Предположим, что существует множество R, на котором расположены две алгебраические операции: сложение и умножение.
Принято считать, что умножение имеет свойство правой дистрибутивности по отношению к сложению:
 .
И соответственно сложение имеет свойство левой дистрибутивности по отношению к умножению. В случае, если операция умножения коммутативна, тогда данные свойства равнозначны.
Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем двустороннюю дистрибутивность.
Допустим, операция сложения на множестве R имеет нейтральный элемент, т. е. 0.
Приравняв у и z к нулю, получим: x * 0 = x * 0 + x * 0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x * 0 = 0.
В случае наличия у элемента y противоположный элемент, т. е. отрицательный, приравняв z к (-y), получим: 0 = x * 0 = x * y + x *(-y), отсюда следует, x *(-y) = -x * y.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим:  .
Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.
Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+, *), если:
  0.
Обратимыми называют те элементы кольца R, которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае обозначается через  .
Множество является группой по умножению, называемой мультипликативной группой кольца R для ассоциативного кольца с единицей.
Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
Ассоциативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности.
Кольцо с единицей — наличие нейтрального элемента для операции умножения.
(R, +) — абелева группа (аддитивная группа кольца R).
Приведем некоторые примеры колец и полей.
Допустим R — любое ассоциативное коммутативное кольцо и x — некоторый символ. Формальная сумма вида p =  , где  называется многочленом над кольцом R.
Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам, и они образуют кольцо R [x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R [x]. Если  , то число n называется степенью этого многочлена и обозначается deg (p).
Если R не имеет делителей нуля, то deg (pq) = deg (p) + deg (q), и потому R [x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.
Данная конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных по определению: R [x,y] = R [x][y] (= R [y][x]).
Аддитивная группа этого кольца — хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа  содержит всего 2 элемента — 1 и -1 — и потому изоморфна  .
Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Элементы, не входящие в , необратимы, хотя и не являются делителями нуля.
Рассмотрим поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел.
Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2).
Если p — простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента: 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом.
Рассматривая группу  с дополнительной операцией умножения, мы получаем поле из p элементов, которое обозначается GF (p).
Будем считать, что R является ассоциативным коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.
Множество  квадратных матриц порядка n с элементами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.
Если det (A) — обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц:  , где  — присоединенная к А матрица.
Если R содержит единицу , то матрица Е = diag (, ,..., ) будет единицей кольца матриц.
Для любой матрицы  имеет смысл понятие определителя det (A)  R, причем det (AB) = det (A) det (B).
 =  — группа матриц порядка n с обратимым определителем. Любая вырожденная матрица будет делителем нуля. В случае поля R это означает, что det (A) 0, то есть матрица невырождена.
В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы:  , причем не все коэффициенты нулевые.
А * В = 0, где А является делителем нуля в том случае, если В — ненулевая матрица.
Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z  Z не имеет единицы. Более того, может случиться, что и R, и K имеют единицы, но они не равны друг другу.
Например, для подкольца  , состоящего из матриц с нулевой последней строкой и последним столбцом,  = diag (1,1,...,1,0)  = diag (1,1,...,1).
Допустим,  — некоторое подкольцо. К, + — подгруппа коммутативной группы R,+, можно образовать факторгруппу R / K, элементами которой являются смежные классы r + K.
Поскольку К * К К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r + K) * (s + K) r * s + r * K + K * s + K.
Подкольцо К называется идеалом кольца R, если  : x * K K и K * y K.
Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r + K) * (s + K) содержится в смежном классе r * s + K. Значит, в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.
Подкольцом является подмножество , если оно является кольцом относительно тех же операций, которые определены в R.
Согласно данной интерпретации, К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения:  .
К будет обладать свойствами ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами.
Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:  и  называется гомоморфизмом колец  .
Пусть  — сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R / Ker . Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.
Ядро группового гомоморфизма аддитивных групп  называется ядром гомоморфизма  . Ядро гомоморфизма колец является идеалом.
Пусть — гомоморфизм колец, I = Ker ,  — любой элемент. Тогда, (x * I) = (x) * (I) = (x) * 0 = 0. Значит, x * I Ker = I.
Аналогично проверяется, что I * x I.
Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом.
Отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу
Приведем примеры.
Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем. В самом деле, если  , x  0, то для всякого  имеем:  , откуда  .
Если  любой его элемент, то множество I = x * S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x.
Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x) = S.
Факторкольцо Z / nZ — это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом кольца Z является подкольцо nZ, так как для любого целого m m (nZ) nZ. Если число n не является простым, то Z / nZ имеет делители нуля.
Допустим, что I — идеал кольца R. Тогда, соотнося каждому элементу  смежный класс r + I, получаем сюръективный гомоморфизм  , который называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.
Предположим, что I R [x] является множество всех многочленов , у которых  = 0. Тогда I = xR [x]. Так как p * I = (p * x) R [x] I, значит, получаем идеал кольца многочленов.
Каждый смежный класс q + I содержит элемент  , поэтому (q + I) * (s + I) = (+ I) * ( + I) = * + I.
|