Предмет теории вероятностей

PAGE 1

Лекция № 1

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры случайных явлений:

Одно и то же тело несколько раз взвешивается на весах, самых точных (аналитических). Результаты повторных испытаний - взвешиваний - несколько отличаются друг от друга. Это происходит за счет влияния многих факторов, как-то: положение тела и разновесок на чашках весов, вибрация аппаратуры, смещение головы и глаза наблюдателя и т.п.

2. Производится испытание изделия, например, реле на длительность безотказной работы. Результат испытания изменяется, не остается постоянным. Это обусловлено многими факторами, например, микродефекты в металле, разные температурные условия и т.д.

Закономерности случайных явлений могут проявляться только при их многократном наблюдении. Изучению поддаются только такие случайные явления, которые можно наблюдать много, практически неограниченное число раз. Такие случайные явления называются массовыми.

Результаты отдельных наблюдений случайных явлений непредсказуемы, но при многократных наблюдениях выявляются определенные закономерности. Эти закономерности и являются предметом изучения теории вероятностей (ТВ).

Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине 17 века и связано с именами Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665), Гюйгенса (1629-1695). Истинная история теории вероятностей начинается с работ Бернулли (1654-1705) и Муавра (1667-1754).

В 19 веке большой вклад в развитие теории и практики внесли Лаплас (1749-1827), Пуассон (1781-1840) и Гаусс (1777-1855). Следующий период в развитии теории вероятностей связан с именами Чебышева П.Л. (1821-1894), Маркова А.А. (1856-1922), Ляпунова А.М. (1857-1918).

Современный период развития связан с именами Колмогорова (1903-1987), Бернштейна (1880-1968), Мизеса (1883-1953) и Бореля (1871-1956). Теория вероятностей является мощным инструментом исследования. Находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики.

Построение вероятностной математической модели случайного явления

Общим для всех случайных явлений является их непредсказуемость в отдельных наблюдениях. Для их описания и исследования необходимо построить математическую вероятностную модель. Для построения модели введем некоторые определения.

Опыт (эксперимент, испытание) - наблюдение какого-либо явления при выполнении определенных фиксированных условий.

Событие - факт, регистрируемый в результате опыта.

Случайное событие - такое событие, которое при проведении данного опыта может произойти, а может и не произойти. События обозначаются: A, B, C, D...

Пространство элементарных событий: для данного опыта всегда можно выделить совокупность случайных событий, называемых элементарными. В результате опыта обязательно происходит одно и только одно из элементарных событий.

Пример: Подбрасывается игральная кость. Может выпасть одна из граней с числом очков «1», «2», «3», «4», «5» или «6». Выпадение грани - элементарное событие. Элементарные события называют также исходами опыта. Совокупность всех возможных в данном опыте элементарных событий (исходов) называется пространством элементарных событий.

Обозначение: W={wi}, где W - пространство элементарных событий wi.

Таким образом, любому опыту можно поставить в соответствие пространство элементарных событий. Если производится наблюдение за неслучайным (детерминированным) явлением, то при фиксированных условиях всегда возможен лишь один исход. (W состоит из одного элементарного события). Если наблюдается случайное явление, то W состоит более чем одного элементарного события. W может содержать конечное, счетное или несчетное множество элементарных событий.

Примеры W :

Подбрасывается игральная кость. Элементарное событие - выпадение какой-либо грани. W={1,2,3,4,5,6} - конечное множество.
Измеряется число космических частиц, падающих на площадку за определенное время. Элементарное событие - число частиц. W={1,2,3...} - счетное множество.
Производится стрельба по мишени без осечки бесконечно долго. Элементарное событие - попадание в некоторую точку пространства, координаты которой (x,y). W={(x,y)} - несчетное множество.

Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг в формировании вероятностной модели случайного явления.

Случайные события

Наряду с пространством элементарных событий важнейшим понятием теории вероятности является понятие случайного события. Как известно, событие - факт, регистрируемый в результате опыта. Этот факт может иметь место при наступлении одного из исходов, обладающих определенными свойствами. Данные исходы образуют подмножество в W. Можно сказать, что случайному событию A соответствует некоторое подмножество пространства элементарных событий W. Элементы этого подмножества обладают определенными свойствами, и реализация каждого из них приводит к наступлению события A. Подмножество обозначают той же буквой, что и A. Таким образом, случайное событие можно определить, используя понятие пространства элементарных событий следующим образом:

Случайное событие А - подмножество А в пространстве элементарных событий. Подмножество A может содержать один исход, ни одного исхода, счетное, несчетное число исходов, всё пространство элементарных событий.

Примеры случайных событий:

Подбрасывается игральная кость.

Событие А={выпадение четной грани}, А={2,4,6,}.

Событие B={выпадение ‘6’}, B={6}.

Измеряется число космических частиц, падающих на площадку. Событие

А={число частиц не превышает N},A={1,2,...N}.

Производится стрельба по мишени. Событие А={попадание в десятку},

где R радиус центра мишени. W

Классификация событий

1.Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте. Невозможному событию соответствует пустое множество. обозначение: .

Пример: = {выпадение ‘7’} при подбрасывании одной игральной кости.

2. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта (не может не произойти). Достоверному событию соответствует все пространство элементарных событий. Обозначение: W.

Пример: W={выпадение не более, чем ‘6’} при подбрасывании одной игральной кости.

3. События А1, А2,..., Аn называются несовместными, если в данном опыте никакие два из них не могут произойти вместе.

Пример: А1 ={выпадение ‘6’}, А2={выпадение нечетной грани}. А1 и А2 несовместные события в опыте по подбрасыванию одной игральной кости.

4. Событие B называется подсобытием или частью события A, если при проявлении события B обязательно происходит событие A .Обозначение: BA.

Пример: Подбрасывается игральная кость. A={выпадение четной грани}; B={выпадение‘6’}.

Говорят также, что событие B влечет за собой событие A.

5. События A и B называются эквивалентными, если они могут появиться и не появиться только вместе. Обозначение: A=B. В этом случае AB и ВА.

6. Событием, противоположным (дополнительным к) событию A называется событие, заключающееся в непоявлении события A. Обозначение: .

Пример: A={выпадение четной грани}, ={выпадение нечетной грани}.Очевидно =А

7. События А1, А2,..., Аn образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно происходит хотя бы одно из них .

Замечание Элементарные события образуют полную группу несовместных событий.

Действия над событиями

1. Объединением или суммой событий A и B называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение: С=АВ; C=A+B - для несовместных событий А и В. Объединение последовательности событий {Ai}, - появление хотя бы одного из них. Обозначение: C=; C=- для несовместных событий.

2. Пересечением или произведением событий A и B называется событие C, состоящее в появлении и события A и события B. Обозначение: C=AB; или C=AB. Произведение последовательности событий Ai , - это событие, состоящее в появлении всех n событий. Обозначение: C=.

Замечание: Если A и B несовместные события, то C=AB=.

3. Разностью событий A и B называется событие C, состоящее в появлении события A и непоявлении события B. Обозначение: C=A-B=A/B. Очевидно, что A-B=A.

Свойства действий над событиями

1. Объединение и пересечение коммутативны :

AB = BA; AB = BA, или

A+B=B+A; AB=BA.

2. Объединение и пересечение ассоциативны :

(AB)C=A(BC)=(AC) B=ABC.

(AB)C=A(BC)=(AC)B=ABC;

3. Объединение и пересечение событий дистрибутивны :

(AB)C=ACBC.

4. Для любых A и B справедливо

Обобщение на n событий:

5. Для любых A и B справедливо: =

Обобщение на n событий: .

Свойства 4 и 5 выражают принцип двойственности (или правила де-Моргана): операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям.

действия с противоположными событиями.

Объединение (сумма) полной группы событий А1, А2,..., Аn представляет собой достоверное событие:

=W.

9. Любое событие А можно разложить на сумму несовместных (непересекающихся) событий: A=AW=A(B+)=AB+A.

Нетрудно видеть, что операции (действия) над событиями тождественны операциям над множествами.

Вероятность и её свойства.

Любому случайному событию в данном опыте можно поставить в соответствие числовую характеристику, определяющую степень возможности появления этого события. Она называется вероятностью. Понятие вероятности является одним из основных понятий при построении вероятностной модели случайного явления. Используя введенное ранее понятие «пространство элементарных событий», дадим современное определение вероятности, базирующееся на аксиоматике Колмогорова.

Пусть задано некоторое пространство элементарных событий W и некоторая система E множеств A, которые являются событиями: AW.

С помощью операций объединения: «», пересечения: «» и разности: «\» можно из элементов E построить новую систему множеств, которые также являются событиями. Присоединяя к этим событиям достоверное W и невозможное , получаем систему множеств E, которая является алгеброй, т.е. такой системой подмножеств множества W, что

1) W E ,

2) Если А E, то E,

3) Если А E и В E, то множества AB, AB, A\B также принадлежат E.

Обобщение на n событий: если Ai E, i=1,...,n, то E и E.

Таким образом, алгебра – класс множеств, замкнутый относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения, а s-алгебра – класс множеств, замкнутый относительно счетного числа этих операций.

Система F множеств А называется s-алгеброй (или борелевским полем событий), если

1) WF ;

2) Если АF, то F;

3а) Если AiF,то и F и F.

Замечания:

1. В условиях 3) и 3а) достаточно одного утверждения, другое можно получить на основе условия 2) и принципа двойственности.

2. Замкнутость классов E и F позволяет производить соответствующие действия над событиями (множествами), оставаясь в пределах класса.

Если задано пространство элементарных событий W и какая-нибудь алгебра или s-алгебра его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство (W,E) или (W,F). На измеримом пространстве задается числовая функция P(A), которая называется вероятностью и удовлетворяет трем аксиомам.

Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)

Аксиома №1 (аксиома неотрицательности):

Р(А)0 , для любого А E или АF

Каждому событию А соответствует неотрицательное число – вероятность этого события.

Аксиома №2 (аксиома нормировки):

Р(W)=1.

Вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома №3 (аксиома аддитивности):

Если заданы события такие, что при ij, то

(*)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

Замечание: Функции множеств, обладающие свойством (*) при n< называются аддитивными мерами, а при n= – счетно-аддитивными мерами.

Определение: Вероятность – неотрицательная, нормированная к единице мера, заданная на измеримом пространстве событий, характеризующая степень возможности появления событий.

Соответствие между событиями и их вероятностями называется распределением вероятности.

Таким образом, Р(А), как функция множеств АF, (E) определяет распределение вероятностей на F,( E). Пространство элементарных событий W с заданной на нем алгеброй E (или s-алгеброй F) подмножеств и определенной на E (F) вероятностью Р называется вероятностным пространством.

Обозначение вероятностного пространства: (W,E,Р) или (W,F,Р). Вероятностное пространство определяет вероятностную модель рассматриваемого случайного явления.

Свойства вероятностей (следствия из аксиом)

1. Вероятность невозможного события равна нулю: Р()=0

Доказательство: Так как невозможное событие несовместно с любым другим событием А, А=, то из аксиомы 3 следует, что Р(А)=Р(А)+Р(). С другой стороны, так как А=А (добавление невозможного события не изменяет события А), то Р(А)=Р(А). Следовательно, Р()=0.

2. Р()=1-Р(А)

Доказательство: Из А+=W, А= и аксиом 2,3 следует:

P(A)+P()=P(W), P()=1-P(A)

3. Если АВ, то Р(А)Р(В)

Доказательство: Разложим В на два несовместных события: В=А+. Получим в силу аксиомы 3: Р(В)=Р(А)+Р(), откуда следует, что Р(В)Р(А).

Таким образом, если событие А может произойти только вместе с событием В, то вероятность события А не может быть больше вероятности события В.

4. Р(А)1 для любого А.

Доказательство: Из того, что любое событие А может произойти только с достоверным событием: А=АWW, а также из свойства 3 и аксиомы 2 следует Р(А)Р(W)=1.

5. Теорема сложения вероятностей. Для любых А и В справедливо

Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Доказательство: AB=A+B,

P(AB)=P(A)+P(B) (1)

C другой стороны, любое событие можно разложить на два несовместных события:

B=AB+B,

P(B)=P(AB)+P(B), откуда

P(B)=P(B)-P(AB).

Подставляя это выражение для Р(В) в (1) получаем:

Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

6. Теорема сложения вероятностей для n событий:

Доказательство: Методом математической индукции. При n=2 теорема доказана. Пусть она верна для (n-1) события; покажем, что при этом она верна для n событий. Обозначим В=, тогда

(2)

В свою очередь для (n-1) событий вида имеем:

(3)

Подставляем (3) в (2) и получаем утверждение теоремы.

7. Если ВА, то Р(А-В)=Р(А)-Р(В)

Доказательство:

А=В+(А-В);

Р(А)=Р(В)+Р(А-В); а это влечет:

Р(А-В)=Р(А)-Р(В).

8. Аксиома непрерывности.

Функция множеств Р(А) - непрерывна. Если Аn есть монотонно возрастающая последовательность множеств: A1A2A3...An... и , , тогда

Доказательство: Согласно определению:

Если А0=

Определение вероятности, как меры измеримого пространства событий, позволяет по заданным (или определенным из эксперимента) вероятностям одних событий находить вероятности других более сложных событий, используя действия над событиями и свойства вероятности. Однако, данное определение не задает конкретную величину вероятности событий. Её можно определить теоретически лишь в некоторых частных случаях, и в общем случае - оценить экспериментально. Рассмотрим частные случаи, в которых вероятности событий можно рассчитать теоретически.

Классическое определение вероятности

Это определение используется, когда число возможных исходов опыта конечно и каждый исход равновозможен (например, при подбрасывании игральной кости).

Пусть W состоит из n равновозможных в данном опыте элементарных событий, т.е. Р(wi)=р, где wi – элементарное событие, . Элементарные события несовместны и образуют полную группу событий, поэтому = W и Р()==np; P(W)=1, откуда.

Вероятность любого события А, которому соответствует в пространстве элементарных событий некоторое подмножество А, содержащее nA исходов, определится следующим образом: А={wi}, . Тогда

, т.е.

(1)

Это классическое определение вероятности.

Вероятность некоторого события А есть отношение числа исходов nA, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу возможных исходов n.

Классическое определение вероятности удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

1. ;

2. ;

3. Если А и В несовместны и они имеют nA и nB благоприятствующих исходов соответственно, то .

Итак, классическое определение вероятности является частным случаем аксиоматического определения. Для подсчета числа исходов n и nA используют комбинаторику.

При этом необходимо, чтобы обязательно выполнялись условия применимости классического определения: конечное число равновозможных исходов в опыте.

Пример 1: В урне находится m белых шаров и k красных. Из урны наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынут белый шар. А={вынут белый шар}.

Решение: Общее число равновозможных исходов опыта n=m+k. Число исходов, благоприятствующих А, nA=m ,

Пример 2: Одновременно подбрасывается две монеты. Найти вероятность события А={хотя бы на одной монете выпадет герб}.

Решение: Кажется, что в опыте три возможных исхода: {два герба}, {две решки}, {герб и решка}. Однако, эти события не равновозможны: последнее вдвое вероятнее первых двух, так как герб и решка могут появиться на разных монетах. Равновозможные исходы: {г,г}, {р,р}, {г,р}, {р,г}, n=4. Исходы приводящие к событию А: {г,г}, {г,р}, {р,г} nA=3,

Р(А)=0.75

Геометрическое определение вероятности

Это определение используется, когда опыт имеет несчетное множество равновозможных исходов. В этом случае пространство элементарных событий можно представить в виде некоторой области G. Каждая точка этой области соответствует элементарному событию. Попадание «наугад» брошенной точки в любое место области G равновозможно. Если некоторому событию А соответствуют точки, составляющие некоторую область С внутри G, то

(2),

где mes G - мера области G (под мерой понимается длина, площадь, объем и т.п.).

Геометрическое определение вероятности удовлетворяет аксиомам Колмогорова и является частным случаем аксиоматического определения.

Пример: Два лица X и Y условились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого 20 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что они встретятся, если моменты их прихода независимы и равновозможны в течении часа.

Решение: Пусть x и y - моменты прихода X и Y

соответственно относительно 12 часов, y

т.е. х0,60, у0,60. Всё пространство

элементарных равновозможных исходов можно 60

представить в виде внутренних точек квадрата G G

(см. рис.). Событие А={встреча состоялась} С

произойдет, если x-y20

Точки, соответствующие этому событию 0 20 60 х

образуют заштрихованную область С

Статистическое определение вероятности