Введение в теорию роста. Модель Солоу
Арефьев Н.Г. ©
Лекция 2
Введение в теорию роста.
Модель Солоу
Содержание
1. Введение в неоклассическую теорию экономического роста:
технический анализ
1.1. Базовые предпосылки относительно производственной функции
1.2. Вывод основного уравнения динамики
1.3. Модель Солоу (технический анализ)
1.4. Траектория сбалансированного роста
1.5. Воздействие изменения нормы сбережений на капитал, выпуск
и потребление на траектории сбалансированного роста.
Золотое правило запаса капитала
1.6. Динамика модели, вызванная изменением нормы сбережений
1.7. Конвергенция (технический анализ)
1.8. Производственная функция Кобба-Дугласа в модели Солоу
2. Введение в неоклассическую теорию экономического роста:
эмпирические исследования и фундаментальные вопросы
2.1. Историческая справка
2.2. Конвергенция
2.3. Фундаментальные вопросы теории роста
2.4. История развития теории экономического роста
3. Модель Солоу
3.1. Базовые предпосылки
3.2. Оценка качества модели Солоу
3.3. Фундаментальные вопросы и модель Солоу
3.4. Природные ресурсы в модели Солоу
3.5. Эмпирические исследования, связанные с моделью Солоу
Приложение 1. Анализ конвергенции в статье Баумоля (1986)
Приложение 2. Анализ конвергенции в статье Де Лонга (1988)
1. Введение в неоклассическую теорию экономического роста:
материал для разбора на семинарах1
1.1. Базовые предпосылки относительно производственной функции
Основное завоевание неоклассической теории роста – это без сомнений неоклассическая производственная функция; все значимые результаты получены исключительно благодаря её введению.
производственная функция, нейтральная по Харроду (в соответствии с классификацией в учебнике Ромера)
постоянная отдача от масштаба (1)
Предполагается, что производственная функция обладает стандартными неоклассическими свойствами (убывающая предельная полезность каждого из факторов, положительная эластичность замещения).
1.2. Вывод основного уравнения динамики
Для того, что бы получить производственную функцию в интенсивной форме, нужно воспользоваться свойством постоянной отдачи от масштаба. Подставив в (1) = 1/AL, получаем:
Сделав замену y = Y/AL – выпуск в расчете на единицу эффективного труда , f(k) = F(K/AL,1) = F(K,AL)/AL, получаем производственную функцию в интенсивной форме
.
Преимущество перед экстенсивной формой записи в том, что это функция от одной переменной, т.е. мы можем перейти от трехмерного анализа к двумерному.
Найдем динамику капиталовооруженности эффективного труда
(2)
где , задаются экзогенно
Введем переменную C, которая может рассматриваться как а) потребление б) частное потребление плюс госрасходы. c = C/AL - потребление на единицу эффективного труда.
Подставляя выражение динамики капитала, или по-другому, выражение, определяющие величину чистых инвестиций
в уравнение (2), получаем основное уравнение динамики неоклассической теории роста
(3)
Это уравнение будет использоваться как в модели Солоу, так и в других моделях неоклассической теории роста.
1.3. Модель Солоу
Задавая экзогенно норму сбережений s = (1 – C/Y), получаем основное уравнение динамики модели Солоу.
(4)
Если производственная функция в экстенсивной форме обладает свойством убывающей предельной производительности капитала, тогда производственная функция будет обладать свойством убывающей предельной производительности капиталовооруженности эффективного труда
(самостоятельно покажите, как связаны производные производственных функций в интенсивной и экстенсивной формах)
Условия Инады являются достаточными (но не необходимыми) условиями существования траектории сбалансированного роста
,
Динамику k можно анализировать, используя, например, диаграмму Солоу (см. рис. 1а) или фазовую диаграмму (рис. 1б).
Если k < k*, тогда k возрастает,
Если k > k*, тогда k снижается,
Если k = k*, тогда k постоянна.
k = k* является точкой устойчивого равновесия
k = 0 является точкой неустойчивого равновесия
Диаграма Солоу и Фазовая диаграма – два эквивалентных способа анализа точек равновесия и устойчивости системы. Для модели Солоу удобней диаграма Солоу; фазовую диаграму тоже нужно знать, так как она будет встречаться в других моделях.
Устойчивость системы можно так же продемонстрировать, взяв производную в точке равновесия. Что бы система была устойчивой, эта производная должна быть отрицательной, это очевидно из анализа на фазовой плоскости.
1.4. Траектория сбалансированного роста
На траектории сбалансированного роста все переменные в расчете на единицу эффективного труда постоянны:
Подставляя в уравнение (4) , получаем уравнение, из которого можно найти k* для заданной функции f(k).
(5)
y* = f(k*), Y = ALy*, K = ALk*
Y, K, C растут с темпом (g+n)
Переменные в расчете на единицу труда растут с темпом g.
1.5. Воздействие изменения нормы сбережений на капитал, выпуск и потребление на траектории сбалансированного роста.
Золотое правило запаса капитала
Для того, что бы рассчитать, как измениться k* при изменении нормы сбережений, продифференцируем уравнение (5) слева и справа по s (стандартное правило нахождения производной от неявной функции)
,
откуда выражаем нужную нам производную
(6)
из уравнения (5) следует, что
, (7)
где – эластичность выпуска по капиталу.
Подставляя (7) в (6), получаем
(8)
Умножаем слева и справа на s/k* и подставляем s из уравнения (5),
где – эластичность k* по s.
Оценим значение эластичности выпуска по капиталу . По определению
Если рынки являются конкурентными, тогда предельная производительность капитала равна ставке процента плюс амортизация (условие максимизации прибыли фирмой). В этом случае можем записать
В числителе стоит доход, получаемый капиталом (стоимость капитала на объем его использования), в знаменателе – общий доход. Таким образом эластичность выпуска по капиталу равна доле дохода капитала в общем доходе. В развитых странах этот показатель колеблется между 1/3 и .
Таким образом, эластичность капиталовооруженности по норме сбережений на траектории сбалансированного роста составляет 1,3 – 1,5.
Пример: если капиталовооруженность на траектории сбалансированного роста составляет 1000, а норма сбережений меняется с 10% до 11% тогда капиталовооруженность на сбалансированной траектории роста увеличится до 1130 – 1150.
В даном примере не следует путать проценты и процентные пункты: в данном случае норма сбережений изменилась на 10% или на 1 процентный пункт. Эластичность же показывает на сколько процентов измениться капиталовооруженность эффективного труда при изменении нормы сбережений на 1 процент.
Имея уравнение (8), несложно рассчитать эластичность выпуска по норме сбережений на траектории сбалансированного роста
Подставляя (7), получаем
Экономическая интерпретация данного выражения следующая: эластичность выпуска по норме сбережений это эластичность выпуска по капиталу умноженная на эластичность запаса капитала по норме сбережений (на траектории сбалансированного роста).
Аналогично рассчитывается эластичность потребления по норме сбережений
Производим сокращения и подставляем (7),
Отсюда мы можем сделать вывод, что
Если , тогда , и с ростом нормы сбережений потребление растет
Если , тогда , и с ростом нормы сбережений потребление сокращатеся
Если , тогда в этом случае
s = sGR – норма сбережений, соответствующая золотому правилу (см. рис. 2).
Золотое правило можно вывести и в другом виде, более понятном графически.
Для этого произведем замены и . Сокращая, получаем золотое правило в другом виде
То есть норма сбережений должна быть такой, что бы на траектории сбалансированного роста касательная к f(k) была параллельна линии стационарных инвестиций (см. рис. 3).
1.6. Динамика модели, вызванная изменением нормы сбережений
1.7. Конвергенция
Для того, что бы оценить скорость конвергенции, линеаризуем систему в окрестности точки равновесия k = k* (см. рис. 3). Как видно из рисунка, скорость конвергенции в исходной модели ниже, чем в линеаризованной, если k < k* и выше, если k > k*.
Используем разложение первого порядка в ряд Тейлора, что равносильно линеаризации системы:
Из уравнения (4) получаем (вместо знака приближенных вычислений далее везде используется знак равенства):
Используя (7), имеем
Оба сомножителя положительные, знак минус перед ними говорит об устойчивости системы.
Решение данного уравнения хорошо известно:
Разрыв (k – k*) сокращается в два раза за период
Последнее выражение является приложением «Правила 70-ти» для анализа вопроса конвергенции, которое звучит следующим образом: переменная, растущая с темпом х процентов в год, удваивает свое значение примерно за 70/х лет. Мы получаим это правило, если вспомним, что логарифм двух равен примерно 0,7.
1.8. Производственная функция Кобба-Дугласа в модели Солоу
Для производственной функции Кобба-Дугласа мы можем явно выразить динамику каждой переменной как функцию от времени.
Производственную функцию
разделим слева и справа на AL, получаем производственную функцию в интенсивной форме
Уравнение динамики (5) в данном случае выглядит
(5’)
Обозначим капиталоемкость продукции, = K/Y = k/y=k–1.
Решение данного уравнения имеет вид
Все остальные переменные могут быть выражены через , например
и т.д.
2. Введение в неоклассическую теорию экономического роста:
эмпирические исследования и фундаментальные вопросы
(Материалы для лекции)
2.1. Историческая справка
Экономический рост – это феномен, который поражает своими масштабами. Производительность труда в США выросла примерно в 10 раз лишь за последние 100 лет. Если экономика растет с темпом 3% (примерно такой темп роста в США), тогда её ВНП удваивается каждые 23 года. Некоторые страны, такие, как Япония или Южная Корея или Турция демонстрировали темпы роста 10% в год, то есть их ВНП удваивался примерно за 7 лет. За несколько десятилетий этим странам удалось достигнуть стандартов жизни индустриальных стран, после чего темп роста этих экономик снизился. Если Россия сохранит темпы роста, достигнутые в 2000 году (8,5%), тогда в соответствии с официальной статистикой её ВНП за 2008 год достигнет ВНП 1990 года2. Проблемы, связанные с экономическими циклами являются сиюминутными, их решение будет иметь лишь временный эффект. Решение же проблем, связанных с экономическим ростом, раз и навсегда поднимет уровень жизни.
Феномен экономического роста является сравнительно молодым. К сожалению, у нас нет данных о ВНП в античных странах, но мы знаем, что уровень жизни в Англии восемнадцатого века, скорее всего, был ниже уровня жизни в Древнем Риме. “Вероятно, это касается не только высших, но и низших классов, в том числе пролетариата и даже рабов. Англия восемнадцатого века выиграла, пожалуй, лишь в некоторых технологических новшествах: часы, оконные стекла, печатная литература и мушкет над камином”. (Баумоль, 86)
Экономический рост пришел вместе с индустриальной революцией. Во второй половине восемнадцатого века, за счет механизации текстильной отрасли, экономический рост составлял примерно 0,2% в год. После этого темпы экономического роста увеличивались век за веком. За последние столетие темпы экономического роста в индустриальных странах составили примерно 3% годовых.
В то время как одни страны, уже достигнув сравнительно высокого уровня жизни, продолжают демонстрировать устойчивые темпы роста, другие страны остаются бедными. Разница в доходах такова, что она бросает вызов здравому смыслу. Самые скромные оценки говорят о том, что уровень жизни в Индии в 20 раз ниже, чем в США. Официальные данные о ВНП еще более впечатляющие, например за 1999 год ВНП России был сравним с профицитом бюджета США.
2.2. Конвергенция
Если бедные страны растут в среднем с большими темпами, чем богатрые, то мы говорим, что наблюдается конвергенция. Баумоль (1986) обнаружил конвергеницю среди наиболее развитых индустриальных стран: на основе данных Медиссона он показал, что дисперсия выпуска на час труда в этих странах значительно сократилась за последние 100 лет.
Кроме того, Баумоль обнаружил конвергенцию внутри нескольких групп, которые он назвал “клубы конвергенции”. Объяснение, данное Баумолем, достаточно интуитивно: распространение технологий (другие страны имеют доступ к инновациям, этому способствует рост экспорта, мировые коммуникации) и spillover возможны лишь в странах, которые тесно сотрудничают между собой. В остальных же странах по мнению Баумоля наблюдается скорее дивергенция. Кроме того, что эти страны меньше связаны друг с другом, если в какой-то стране нет, например, автомобильной промышленности, она не может выиграть от изобретения новой технологии в этой отрасли.
Регрессия на 16 индустриально развитых стран, построенная Баумолем, выглядит следующим образом:
[темп роста производительности (1870 – 1979)] = 5.25 – 0.75 [лог ВНП на час труда 1870], R2=0.88
Говорят ли эти результаты о конвергенции между странами? Де Лонг (1988) показал, что нет. Дело в том, что Баумоль сделал в своей работе несколько методологических ошибок. Во-первых, ВНП в 1870 г получен обратной экстраполяцией темпов роста. Это значит, что если в начале периода, когда данные о ВНП для какой-то страны стали доступными, в ней наблюдались высокие темпы роста, не зависимо от того, что наблюдалось на самом деле, мы предполагаем, что эта страна росла так же быстро и раньше, а значит, ВНП раньше был совсем маленьким. Это один источники искусственности результата.
Во-вторых, производительность труда в 1870 году входит в обе части уравнения. Это значит, что если ВНП в начале периода был измерен с достаточно большой ошибкой, тогда наша регрессия автоматический становится значимой. Т.е. это ошибка в оценке начального ВНП, а не реальная зависимость, делают нашу регрессию значимой.
В-третьих, была совершена ошибка выборки. Страны, которые вошли в выборку, сделанную Медиссоном, были самыми богатыми странами на конец рассматриваемого периода. Т.е. мы заранее выбрали страны, которые в конце периода оказались ближе всего друг к другу. Даже если нет никакой конвергенции, мы бы получили результат, что она есть.
Де Лонг исправил ошибки, допущенные Баумолем. Его результаты выглядят так
|
Оценка методом максимального правдоподобия 22 изначально богатых стран (1970 - 1979)
|
|
Отношение дисперсий
|
Коэффициент
|
Ст. ошибка
|
|
0
|
-0,556
|
0,144
|
|
0,5
|
-0,292
|
0,192
|
|
1
|
0,11
|
0,283
|
|
2
|
0,669
|
0,463
|
|
бесконечность
|
1,381
|
0,76
|
Исходя из этой таблицы мы можем говорить о конвергенции среди наиболее развитых стран, если только абсолютно уверены в наших данных, если отношение дисперсии ошибки оценки ВНП в 1870 году к ошибке самой регрессии стремиться к нулю. Не забывайте, что даже в США начали измерять ВНП лишь в 30-е годы нашего века.
Основной вывод из работы де Лонг сформулировал в виде такой фразы: Convergence does sometimes happen. Divergence happens too.
Классический результат о конвергенции был получен Барро (1991). Барро для большой выборки стран построил регрессию, где в качестве объясняющих переменных использовался не только физический, но и человеческий капитал. Его результаты проливают свет на источники экономического роста: если из данных исключить факты, связанные с накоплением человеческого капитала, тогда между странами действительно наблюдается конвергенция: бедные страны растут быстрее, чем богатые. Однако сам по себе человеческий капитал оказывает положительное влияние на рост: чем богаче страна с точки зрения человеческого капитала, тем больше в ней потенциал для роста. Таким образом, относительно человеческого капитала происходит дивергениця.
После этой и еще ряда работ макроэкономисты стали говорить об «условной конвергениции», т.е. о конвергенции между странами, обладающими одинаковым потенциалом для роста.
2.3. Фундаментальные вопросы теории роста
В ходе сентябрьских лекций мы будем искать ответы на два вопроса, которые составляют большую часть фундамента макроэкономической теории.
Экономический рост начался по историческим меркам совсем недавно, два с половиной века назад, и с тех пор его темпы лишь увеличиваются. В динамично развивающихся странах каждое поколение живет в два раза лучше, чем предыдущее. А некоторым страном удалось увеличить в несколько раз свой доход лишь за одно поколение. Отсюда первый вопрос теории роста: Каковы его причины?
Некоторые страны, такие, как США или Англия развиваются достаточно равномерно на протяжении уже относительно длительного времени. Другие (Япония, Южная Корея и т.д.) делают «быстрый старт», за несколько лет догоняют наиболее развитых, а затем растут с ними примерно в одном темпе. Третьи страны, например, Зимбабве, остаются бедными, или даже теряют в выпуске на душу населения. Второй фундаментальный вопрос теории роста – в чем причина разности доходов между странами?
Предвкушая материал лекции, вывод, к которому мы в конце концов придем, следующий: основным источником роста является технический прогресс, и современные теории изучают процесс его создания и распространения.
2.4. История развития теории экономического роста
Можно выделить три волны исследований в области теории роста. Первая волна возникла благодаря блестящим работам Харрода (1939) и Доммара (1946). Она была поднята прокейнсианскими моделями с производственными функциями Леонтьевского типа, и демонстрирующими крайне неустойчивую динамику. Такого рода модели требовали активного государственного вмешательства, и поэтому пользовались большой популярностью у экономистов, только что переживших великую депрессию. Однако после второй волны, стимулированной работой Солоу (1956), работы Харрода и Домара стали представлять лишь интерес с точки зрения истории экономической мысли. Поэтому мы не останавливаемся на этих работах.
Вторая волна - это неоклассическая теория роста. Существенного прогресса удалось добиться благодаря введению Робертом Солоу (1956) производственной функции с убывающей отдачей от капитала, а так же гипотезы оптимальности поведения домашних хозяйств (см. Ramsay (1926), Cass (1965))3. Эмпирическое подтверждение этой теории (которое в дальшейшем критиковалось) было получено лишь в 1992 году, благодаря работе Mankiw, Romer, Weil (1992)4, в которой наряду с физическим капиталом в модель вводится человеческий капитал.
Мы считаем, что модель Солоу на уровне Макроэкономика-3 нельзя преподнести принципиально лучше, чем это сделал Девид Ромер (2001) в первой главе5. Поэтому к его изложению мы делаем лишь небольшие добавления, связанные с переходной динамикой.
Изложение модели Рамсея (модель оптимального роста) в первую очередь основано на учебнике Alpha Chiang, курса лекций "Динамическая оптимизация" Antoine d'Autume, университет Paris-1 (Сорбонна), раздаточных материалов Bredford de Long к курсу Advanced Macroeconomics (университет Беркли, материалы доступны на сайте университета), учебниках Blanchard and Fisher (1989), Turnovsky (2000).
В модели Касса мы уделяем внимание двум аспектам. Во-первых, мы показываем, каким образом неоклассическая модель конкурентного роста может быть сведена к модели оптимального роста. С этой точки зрения, вся литература, посвященная модели Рамсея, остается актуальной. Во-вторых, мы показываем, каким образом вводятся предпосылки о положнительных темпах роста населения и технического прогресса (модель Рамсея мы рассматриваем с нулевыми значениями данных показателей). С этой точки зрения полезным оказывается учебник Ромера (2001).
Так же вкусре уделено внимание работе Koopmans, в которой в модель касса вводятся государственные расходы, и работе Barro (1987), где проверяется предсказание модели Касса относительно динамики ставки процента, вызванной временным увеличением государственных расходов. Вопросы, связанные с теоремой Барро-Рикардо, упоминаются в данной главе, но подробно рассмотрены в главе "потребление".
Третья волна в теории роста была стимулирована появлением стати Pole Romer (1986), в которой экономический рост возникает эндогенно за счет внешних эффектов, связанных с капиталом. Grossman and Helpman (1994) выделяют три направления развития теории эндогенного роста. Первое направление - это теории, в которых термин "капитал" рассматривается в широком смысле, в это понятие включается как человеческий, так и разные виды физического капитала. Второе направление связано с внешними эффектами от капитала. Третье исследует некоторые специфические виды индустриальных инноваций как основу роста. Так как курс не специализируется на теории роста, и в дальнейшем студенты ещё будут слушать курс “Экономический рост”, мы ограничиваем себя представлением по одной модели (на лекциях, или в форме докладов студентов) из каждого раздела.
3. Модель Солоу
Модель Солоу концентрирует внимание в первую очередь на динамике накопления капитала. За счет свойства убывающей отдачи от капитала агрегированной производственной функции, экономика накапливает капитал до некоторого предела, определяемого нормой сбережния, населением, амортизацией, и уровнем технического прогресса, после чего накопление капитала останавливается.
Экономический рост в данной модели происходит за счет «технического прогресса»: экзогенного роста некоего параметра модели, природу которого мы даже не пытаемся объяснить. Таким образом, модель Солоу – это модель экзогенного роста.
Не смотря на появление все новых теорий и методов анализа, модель Солоу по-прежнему остается релевантной, и служит «моделью для сравнения». Все модели лучше понятны, если их сравнивать с моделью Солоу, поэтому мы говорим, что это базовая модель для анализа роста.
3.1. Базовые предпосылки
Для упрощения анализа мы предполагаем некоторую нейтральность технического прогресса (см. материалы к семинару): мы предполагаем, что удвоение населения и удвоение уровня технического прогресса производят одинаковый эффект на выпуск. Как правило, говорят, что такая производственная функция обладает свойством нейтральности по Харроду6. Предпосылка нейтральности технического прогресса упрощает наш анализ, позволяя производственную функцию произвольной формы (обладающей лишь свойством постоянной отдачи от масштаба) представить в интенсивной форме, и тем самым перейти от трехмерного анализа к двумерному.
Обязательной предпосылкой модели Солоу является предпосылка о постоянной отдаче от масштаба. К сожалению, эта гипотеза, которую нельзя проверить эмпирический (иначе не существовало бы разногласий о том, какая теория роста более релевантна). Проблема в том, что из-за краткосрочных свойств экономики труд ведет себя проциклически, что означает, что в регрессии, оценивающей производственную функцию, ошибка коррелирует с объясняющей переменной. В результате оценки коэффициента при переменной «труд» оказываются завышенными, а при переменной «капитал» - незначимыми. Собственно, на основе этого построена теория нерегулярной динамики, которую мы будем разбирать в следующих главах.
Тем не менее, есть ряд простых требований, которые, будучи выполненными, гарантируют постоянство отдачи от масштаба. Их всех можно сформулировать в такой метафоре: если мы построим один завод, такой же, как уже построен, наймем таких же работников, которые на уже работающем заводе, и поставим такое же руководство, будет ли выпуск на этом заводе таким же, как на уже существующем, или другим?
Во-первых, экономика должна быть достаточно простой. В противном случае, если экономика настолько мала, что не использованы все возможности для специализации, возможен эффект возрастающей отдачи от масштаба.
Во-вторых, абсолютно ограниченные ресурсы, такие, как земля или природные ископаемые, не играют существенной роли в производстве. Мы свами разберем расширение модели Солоу, где эта предпосылка отброшена, и сможем дать количественную оценку фактического влияния этих ресурсов на темпы роста. Результат, к которому мы придем, вполне успокаивающий: их влияние находится в пределах статистической погрешности, которая свойственна оценкам темпов роста.
В-третьих, в экономике должна быть совершенная конкуренция. Менее жесткое требование – домашние хозяйства (но не обязательно фирмы) должны принимать все цены заданными. В противном случае возможен эффект, когда экономическая прибыль влияет на эффективность производства (см. соотв. лекции по нерегулярной динамике).
Ради справедливости следует отметить, что в разделе «Эндогенный рост» мы придем к выводу, что рост в принципе не возможен с такими предпосылками. Однако на первом этапе модель, построенная на их основании, дает хорошую интуицию в понимании роста. Эта предпосылка позволяет записать производственную функцию в интенсивной форме.
Помимо капитала, динамика производственных факторов, в том числе технического прогресса, задается экзогенно.
На данном этапе мы предполагаем, что норма сбережения задается экзогенно; эта предпосылка будет отброшена на следующих лекциях, когда мы будем разбирать модель Рамсея-Касса-Купманса. Не смотря на то, что постоянство нормы сбережений является одним из стилизованных фактов Калдора, которые мы разберем ниже, нет никаких сомнений в том, что это плохая предпосылка. Вспомните, например историю с кривой Филлипса, которая исчезла ровно тогда, когда при разработке экономической политики начали использовать модели, построенные на её основе. Кроме того, если поведение домашних хозяйств определяется в модели с помощью механических правил, мы не можем изучать нормативных вопросов, просто потому, что у нас нет цели. Так же следует добавить, что следствием этой гипотезы является возможность динамической неэффективности (динамическая неэффективность возможна и при эндогенной норме сбережений, но в случае, если индивиды имеют ограниченный срок жизни, в модели Даймонда).
3.2. Оценка качества модели Солоу
Модель Солоу и стилизованные факты Калдора