Пересечение плоскостея, прямой и плоскости

Лекция 5

5.1 Главные линии плоскости

В плоскости можно расположить бесчисленное количество прямых, среди которых будут линии уровня плоскости, т.е. прямые, параллельные плоскостям проекций, и прямые, перпендикулярные к этим линиям уровня, так называемые линии наибольшего уклона плоскости. Такие прямые называются главными (или особыми) линиями плоскости. К первым относятся горизонтальные линии плоскости (горизонтали плоскости), а также фронтальные и профильные (фронтали плоскости, профильные прямые плоскости).

Главные линии плоскости имеют большое практическое применение. Например при помощи горизонталей изображаются части поверхности земляных сооружений, ограниченные плоскостями (откосы насыпей и выемок, плотин и т.п.), определяются их контуры на планах и т.д. Горизонталями плоскости – напластования горных пород, ориентируется положение пласта породы по отношению к сторонам света (простирание), а линией наибольшего уклона указывается положение этого пласта по отношению к плоскости горизонта (падение).

Горизонтали и фронтали плоскости широко используются при решении различных задач начертательной геометрии. Задание плоскости этими линиями имеет ряд преимуществ перед другими способами задания её.

Горизонтали плоскости. Горизонтальными линиями уровня плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций.

Рис. 5.1

Горизонтальную линию уровня любой плоскости можно рассматривать как линию пересечения этой плоскости с горизонтальной плоскостью уровня. Горизонтальную плоскость проекций П1 можно принять за горизонтальную плоскость нулевого уровня. Поэтому горизонтальный след Р1 плоскости можно принять за горизонтальную линию нулевого уровня этой плоскости.

Все горизонтали плоскости, в том числе её горизонтальный след взаимно параллельны как линии пересечения одной плоскости с параллельными плоскостями уровня.

На рис. 5.1, а изображена плоскость Р, заданная следами Р1 и Р2, горизонталь h и ее проекции h1 и h2. Для построения проекций горизонтали на комплексном чертеже (рис. 5.1, б) проведена проекция h2||ОХ, построены проекции N2=h2P2 и N1ОХ фронтального следа N горизонтали и через N1 проведена проекция h1||P1. Построенная горизонталь h находится в плоскости Р, так как она проходит через точку NP и параллельна прямой Р1Р.

На рис.5.1, в показана горизонталь А1, построенная в плоскости треугольника АВС.

Фронтали плоскости. Фронтальными линиями уровня плоскости называются прямые, лежащие в этой плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций.

Проведя рассуждения, аналогичные рассмотренным для горизонтали, придем к выводу, что фронтали плоскости параллельны фронтальному следу Р2 плоскости, являющемуся фронтальной линией нулевого уровня этой плоскости.

Плоскость Р, заданная следами Р1 и Р2, фронталь f и её проекции f1 и f2 изображены на рис 5.2, а.

рис 5.2

Для построения проекций фронтали на комплексном чертеже (рис 5.2, б) проведена проекция f1||ОХ, построены проекции М1=f1Р1 и М1ОХ горизонтального следа М фронтали и через М2 проведена проекция f2||Р2. Построенная фронталь fР, т.к. она проходит через точку МР и параллельна прямой Р2Р.

Линия наибольшего уклона (ската) плоскости.

Из всех линий, расположенных в плоскости, прямая, идущая под прямым углом к горизонталям (рис. 5.3,а), наклонена к плоскости П1 под наибольшим углом – линия наибольшего ската плоскости (ЛНС). Её горизонтальная проекция составляет прямой угол с горизонтальным следом плоскости и с горизонтальными проекциями горизонталей. Поэтому ЛНС следует начинать строить с горизонтальной проекции (рис. 5.3, б), которая расположена по прямым углом к следу Р1 и к горизонтальной проекции горизонтали. Отметив на горизонтальной проекции линии наибольшего ската две точки М1 и А1, строим их фронтальные проекции. Фронтальная проекция линии наибольшего ската пройдет через точки М2 и А2. Построение линии наибольшего ската на плоскости, заданной треугольником АВС, показано на рис. 3.3, в, где сначала перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали проведена горизонтальная проекция 11-21, а затем фронтальная проекция 12-22 этой линии.

Угол a наклона линии наибольшего ската к плоскости П1 определяет наклон плоскости Р к плоскости П!.

Рис. 5.3

5.2 Построение линии пересечения двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися, частным случаем пересекающихся плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Построение линии пересечения плоскостей - одна из основных задач начертательной геометрии, имеющих большое практическое значение. Она относится к так называемым позиционными задачам.

Позиционными называются задачи на определение общих элементов различных сопрягаемых геометрических форм. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой и плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей.

Линия пересечения двух плоскостей является прямой, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся плоскостям. Поэтому для построения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой или одну точку и направление линии пересечения.

Рассмотрим частный случай пресечения плоскостей, когда одна из них проецирующая. На рис. 5.4 приведены плоскость общего положения, - заданная треугольником АВС и горизонтально-проецирующая Р. Двумя общими точками, принадлежащими обеим плоскостям, являются точки D и Е, которые и определяют линию пересечения.

Для определения этих точек были найдены точки пересечения сторон АВ и ВС с проецирующей плоскостью. Построение точек D и Е как на пространственном чертеже (рис. 5.4, а), так и на эпюре (рис. 5.4,б) не вызывает затруднений, т.к. основано на разобранном выше собирательном свойстве проецирующих следов плоскостей.

Соединяя одноименные проекции точек D и Е получим проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС и плоскости Р. Таким образом, горизонтальная проекция D1 Е1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости Р – с её горизонтальным следом.

Рис. 5.4

Рассмотрим общий случай пересечения когда обе плоскости - общего положения. На рис. 5.6,а показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные (горизонтальные) плоскости уровня R и Т. Вспомогательная плоскость R пересекает заданные плоскости по двум горизонталям h и h1, которые в своем пересечении определяют точку 1, общую для плоскостей P и Q, так как они одновременно принадлежат вспомогательной секущей плоскости R. Вторая плоскость – посредник Т также пересекает каждую из заданных плоскостей по горизонталям h2 и h3, которые параллельны первым двум горизонталям. В пересечении горизонталей получим вторую общую точку 2 заданных плоскостей. Соединяя на эпюре (рис. 5.6,б) одноименные проекции этих точек, получим проекции линии пересечения плоскостей.

Рис. 5.5

На рис. 5.7 приведены две плоскости, заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки пересечении М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получил проекции линии пересечения плоскостей.

Если точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа, а также в тех случаях, когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные плоскости уровня – горизонтальные или фронтальные. Необходимо отметить, что при построении линии пересечения плоскостей, заданных следами, роль вспомогательных секущих плоскостей выполняют плоскости проекций П1 и П2.

Рис 5.6

Рис. 5.7

На рис. 5.7 показан случай пересечения двух плоскостей, когда известно направление линии пресечения, т.к. плоскость Р является плоскостью уровня (Р||П1). Поэтому достаточно иметь лишь одну точку пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов. В нашем случае линия пересечения является общей горизонталью NА плоскостей Р и Т.

5.3. Построение точки пересечения прямой и плоскости

Прямая линия в пространстве может принадлежать плоскости, а также быть параллельной плоскости или пересекать её. При пересечении прямой линии с плоскостью следует выделить частный случай, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Рассмотрим случай пересечения прямой линии с плоскостью.

Если прямая не принадлежит плоскости, и не параллельна ей, то она пересекает данную плоскость. Задача на пресечение прямой линии с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии. Она входит составной частью в решение самых различных задач по всем разделам курса. Решение задач на пересечение прямой и плоскости с поверхностью и взаимное пересечение поверхностей, построение теней в ортогональных проекциях, аксонометрии и перспективе практически сводится к определению точки пересечения прямой с плоскостью или поверхностью.

При решении задач на пересечение прямой с плоскостью следует выделить частный случай. Если плоскость занимает проецирующее положение, то одна проекция точки пересечения определяется в пересечении проекции прямой с проецирующим следом плоскости, а другая проекция строится с помощью линии связи (рис. 5.8.).

Если заданная плоскость общего положения, точка пересечения прямой с плоскостью определяется с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью необходимо (рис. 5.10):

провести через прямую АВ вспомогательную проецирующую плоскость Q;
построить линию 1-2 пересечения данной плоскости и вспомогательной;

определить искомую точку К пересечения данной прямой DЕ с линией пересечения плоскостей 1-2.

Рис. 5.8

а) б)

Рис. 5.9

Решение этой задачи показано на пространственной модели (рис. 5.10, а) и на комплексном чертеже (рис. 5.10,б). Завершается решение задачи определением видимых участков прямой. Видимость прямой относительно плоскости треугольника определяется путем разбора взаимоположения точек заданной прямой и сторон плоскости треугольника, совпадающих на проекциях (метод конкурирующих точек).

Рис. 5.10

Задача на пресечение прямой с плоскостью решается аналогичным способом и в том случае, когда плоскость задана следами (рис. 5.11). Через прямую АВ проведена горизонтально–проецирующая плоскость Q. Найдена линия пересечения МN плоскости посредника Q с плоскостью заданной Р. Искомая точка пересечения К прямой АВ с плоскостью Р найдена в пересечении заданной прямой с полученной линией пересечения. Видимость участков прямой определена методом конкурирующих точек.

Рис. 5.11.

Пересечение плоскостея, прямой и плоскости