Проекции прямой

Лекция 3

Проекции прямой

 

31. Проецирование прямой на три плоскости проекции.

           

            Прямую можно рассматривать как результат пересечения двух плоскостей (рис 3.1, 3.2.).

Рис. 3.1.

Рис 3.2.

Прямая в пространстве безгранична. Ограниченная часть прямой называется отрезком.

Проецирование прямой сводится к построению проекций двух произвольных ее точек, так как две точки полностью определяют положение прямой в пространстве.  Опустив из точки А и В (рис. 3.2.) перпендикуляры до пересечения с плоскостью П1, определяют их ух горизонтальные проекции А1 и В1. Отрезок А1В1 – горизонтальная проекция прямой АВ. Аналогичный результат получают, проведя перпендикуляры к П1 из произвольных точек  прямой АВ. Совокупность этих перпендикуляров (проецирующих лучей) образует горизонтально проецирующую плоскость a, которая пересекается с плоскостью П1 по прямой А1В1 – горизонтальной проекции прямой АВ. Исходя из тех же соображений,  получают фронтальную проекцию А2В2 прямой АВ (рис 3.2).

Одна проекция прямой не определяет ее положение в пространстве. Действительно, отрезок А1В1 (рис. 3.1.) может быть проекцией произвольного отрезка, лежащего в проецирующей плоскости a. Положение прямой в пространстве однозначно определяется совокупностью двух ее проекций. Восставляя из точки горизонтальной А1В1 и фронтальной П1 и П2, получают две проецирующие плоскости a и b, пересекающиеся по единственной прямой АВ.

Рис. 2.3

На комплексном чертеже (рис 3.3)  изображен отрезок АВ прямой общего положения, где А1В1 – горизонтальная, А2В2 – фронтальная и А3В3 – профильная проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка. Для построения третьей проекции отрезка прямой по двум данным можно использовать те же способы, что и для построения третьей проекции точки: проекционный (рис 3.4.), координатный (рис 3.5.) и с использованием постоянной прямой чертежа (рис. 3.6.).

Рис. 3.4.

Рис.3.5.

Рис. 3.6.

 

 

3.2.   Положение прямой относительно плоскости проекций.    

            На рис 2.5. изображен параллелепипед со срезанной вершиной и произвольная треугольная пирамида. Ребра параллелепипеда и пирамиды занимают различные положения в пространстве относительно плоскостей проекций. Чтобы строить и читать чертежи, нужно уметь анализировать положения прямой. По своему положению в пространстве прямые распределяются на прямые частного и прямые общего положения.

            Прямые частного положения  могут быть проецирующими и прямыми уровня.

            Проецирующими называются прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций, т.е. параллельные двум другим плоскостям: для П1, называется горизонтально проецирующей прямой; ее горизонтальная проекция А1В1 – точка, а фронтальная и профильная проекции – прямые, параллельные оси Оz. Прямая CD (рис. 3.7.) перпендикулярная к плоскости проекций П2, называется фронтально проецирующей прямой; ее фронтальная проекция С2D2 – точка, а горизонтальная и профильная проекции – прямые, параллельные оси Оу. Прямая MN (рис. 2.8.) перпендикулярная к плоскости проекций П3, называется профильно проецирующей прямой; ее профильная проекция М3N3 – точка, а горизонтальная и фронтальная проекции – прямые, параллельные оси Ох.

Рис. 3.7.

Рис. 3.8.

            Следовательно, на одной из плоскостей проекций проецирующая прямая изображается в виде точки, а на двух других – в виде отрезков занимающих горизонтальное или вертикальное положение, величина которых равна натуральной величине самого отрезка прямой.

            Прямыми уровня называются прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Прямая АВ (рис. 3.9.), параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонтальной прямой, или, сокращенно, горизонталью. Ее фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций Ох, а горизонтальная А1В1 равна натуральной величине отрезка прямой (А1В1 = АВ). Угол b между горизонтальной проекцией А1В1 и осью Ох равен натуральной величине угла наклона прямой АВ к плоскости проекций П2.

Рис. 3.9.

            Прямая CD (рис. 3.10.)  параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтальной прямой, или, сокращенно, фронталью. Ее горизонтальная проекция C1D1 параллельна оси Ох, а фронтальная С2D2 равна натуральной величине отрезка прямой (C2D2  = CD). Угол a между фронтальной проекцией С2D2  и осью Ох равен действительной величине угла наклона прямой к плоскости проекций П1.

Рис. 3.10.

            Прямая MN (рис. 3.11.) параллельная профильной плоскости проекций П3, называется профильной прямой. Ее фронтальная M2N2 и горизонтальная M1N1  проекции перпендикулярны к оси Ох, а профильная проекция равна натуральной величине отрезка (M3N3 = MN). Углы a и b между профильной проекцией и осями Оу3 и Оz равны действительной величине углов наклона прямой к плоскости проекций П1 и П2.

Рис. 3.11.

            Следовательно, прямые уровня на одну из плоскостей проекций проецируются в натуральную величину, а на две другие – в вид отрезков уменьшенной величины, занимающих на чертеже вертикальное или горизонтальное положение. По чертежу можно определить величину углов наклона этих прямых к плоскостям проекций.

            Если прямая лежит в плоскости проекций, то одна ее проекция (одноименная) совпадает с самой прямой, а две другие – с осями проекций. Например, прямая АВ (рис.3.12) лежит в плоскости П1. Ее горизонтальная проекция А1В1 сливается с прямой АВ, а фронтальная А2В2 – с осью Ох. Подобную прямую называют нулевой горизонталью, так как высота ее точек (координата z) равна нулю.

Рис. 3.12.

            Прямой общего положения называют прямую, наклонную ко всем плоскостям проекций. Ее проекции образуют с осями Ох, Оу и Оz острые или тупые углы, т.е. ни одна из ее проекций не параллельна и не перпендикулярна к осям. Величина проекций прямой общего положения всегда меньше натуральной величины самого отрезка. Непосредственно по чертежу без дополнительных построений нельзя определить действительную величину прямой и угол ее наклона к плоскостям проекций.

Если точка лежит на прямой, то проекции точки находятся на одноименных проекциях прямой и на общей линии связи.

На рис. 3.13. точка С лежит на прямой АВ, так как ее проекции С1 и С2 находятся соответственно на горизонтальной А1В1 и на фронтальной А2В2 проекциях прямой. Точки М и  N не принадлежат прямой, так как одна из проекций каждой точки не находится на одноименной с ней проекции прямой.

Рис. 3.13.

Проекции точки делят проекции прямой в таком же отношении, в каком сама точка делит отрезок прямой, т.е.  Пользуясь этим правилом, можно разделить данный отрезок прямой в нужном соотношении. Например, на рис. 3.14. прямая EF разделена точкой К в отношении 3:5. Деление выполнено способом, известным из геометрического черчения.

Рис.3.14.

 

 

3.3 Определение натуральной величины отрезка

Если отрезок прямой занимает общее положение, то ни на одной основной плоскости проекций нельзя определить его истинную длину (рис. 3.15). Построить изображение отрезка в истинную величину на комплексном чертеже можно способом прямоугольного треугольника.

Рис. 3.15

 

Возьмем отрезок АВ (АП1) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекции (рис. 3.16). В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник А1ВВ1, в которой гипотенузой является сам отрезок, одним катетом – разность высот точек А и В отрезка. Так как по чертежу прямой определить разность высот точек её отрезка не составляет труда. То можно построить на горизонтальной проекции отрезка прямоугольный треугольник, взяв вторым катетом превышение одной точки над второй. Гипотенуза этого треугольника и будет натуральной величиной отрезка  АВ (рис.3.17)

                                                    

Рис. 3.16                                                                   Рис. 3.17

 

 

3.4. Следы прямой.

 

На рис. 3.18. изображен в пространстве отрезок АВ прямой общего положения. Если отрезок продлить в обе стороны от точек А и В, то в точках М и N он встретится с плоскостями проекций П1 и П2.

Точки пересечения прямой с плоскостями  проекций называются следами прямой.

Точка М – горизонтальный след прямой, а точка N – фронтальный. Проекции следов на чертеже соответственно обозначены М1 и М2, N1  и N2. На рис. 3.19. прямая АВ и ее след изображены на комплексном чертеже.

Рис. 3.18.

Рис. 3.19

 

Из условия, что след является точкой, одновременно принадлежащей данной прямой и плоскости проекций, вытекает правило нахождения следов прямой. Для построения на комплексном чертеже горизонтального следа прямой АВ нужно:

а) продлить фронтальную проекцию А2В2 до пересечения с осью Ох в точке М2 (точка М2 – фронтальная проекция искомого следа М);

б) провести из М2 вертикальную линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией А1В1 в точке М1 (точка М1 – горизонтальная проекция следа и сам след М).

Аналогично определяют горизонтальный след прямой.

 

 

3.5.    Взаимное положение прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.

3.5.1.Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на любую плоскость также взаимно параллельны. Представим себе, что через параллельные прямые АВ и CD (рис. 3.20.) проведены две горизонтально проецирующие плоскости и , которые пересекает третья горизонтальная плоскость П1. В результате пересечения получим параллельные между собой горизонтальные проекции А1В1 и С1D1 этих прямых. На комплексном чертеже (рис. 3.21.) изображены параллельные прямые общего положения; одноименные проекции этих прямых параллельны между собой, т.е. А1В1 С1D1; А2В2   С2D2. На рис. 3.22. параллельные прямые MN и KF лежат в плоскости, перпендикулярно к плоскости проекций П1, а на рис. 3.23. параллельны прямые перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций.

Рис. 3.20

Рис. 3.21.

Рис.3.22.

Рис. 3.23.

Для профильных прямых параллельность определяется по профильной проекции рис. 324.

Рис.3.24.

2.5.2. Пересекающие прямые. Если две прямые в пространстве пересекаются, то их одноименные проекции также пересекаются в точках К1 иК2, лежащих на общей линии связи. На рис. 3.25. изображены пересекающиеся прямые общего положения, на рис. 3.26. пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций П2, а на рис. 3.27. – прямые частного положения, которые пересекаются и лежат в горизонтальной плоскости.

 

Рис.3.25.

Рис. 3.26.

Рис. 3.27

Скрещивающиеся прямые. Если две прямые в пространстве не параллельны между собой и не пересекаются, то они скрещиваются. Точка пересечения одноименных проекций этих прямых не находятся на одной линии проекционной связи. На рис. 3.28. изображены скрещивающиеся прямые общего положения.

Рис. 3.28.

           

3.6. Конкурирующие точки.

 

           Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит первой, а другая – второй из этих скрещивающихся прямых. Например, на рис точка с проекциями К2 иК1 принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L2 и L1 принадлежит прямой СD. Эти точки одинаково удалены от плоскости П2, но расстояние их от плоскости П1 различны: точка с проекциями L2 и L1 дальше от плоскости П1 чем точка с проекциями К2 иК1 (рис 3.26.).

Рис. 3.26.

 

3.7. Определение видимости точки

Точки с проекциями М2, М1 и N2, N1 одинаково удалены от плоскости П1, но расстояние этих точек от плоскости П2 различны.

      Точка с проекциями L2 и L1 принадлежащая прямой CD, закрывает собой точку с проекциями  К2 иК1 прямой АВ по отношению к плоскости П2, соответствующее направление взгляда показано стрелкой у проекции L2. По отношению к плоскости П2 точка с проекцией  N2, N1  прямой CD закрывает собой точку с проекциями  М2, М1 прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N1.

Точки М2 N2,v K1 L1 – называются конкурирующими и с их помощью определяется видимость.

3.8. Теорема о проецировании прямого угла.

1.                 Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.

2.                 Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в виде прямого же угла.

Рис. 3.30.

            Положим, что сторона ВС прямого угла АВС (рис. 3.30.) параллельна плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна С1В1. Пусть вторая сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А1С1 в точке К. Проводим в плоскости проекций через точку К прямую параллельно С1В1. Прямая KL так же параллельна СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно тереме о трех перпендикулярах угол С1KL также прямой. Следовательно, и угол А1С1В1 прямой.

Рис. 3.31.

            Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратных.

3.                  Если проекция плоскости угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций. (рис. 3.31.).    

4.                 Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

5.                 Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то угол не может равняться проектируемому углу.

 

Проекции прямой