Проекции плоскости

Лекция 4

Проекции плоскости

4.1 Способы задания плоскости на эпюре

Из курса элементарной геометрии известно, что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. Таким образом, положение плоскости в пространстве логично определить (задать) тремя точками (точки А, В, С, табл. 4.1, п1.)

Кроме этого, положение плоскости в пространстве определяют: прямая АВ и точка С, не лежащая на прямой (табл. 4.1, п.2), две пересекающиеся прямые АВ и CD (табл. 4.1, п.3), две параллельные прямые АВ и CD (табл. 4.1, п.4), плоская фигура, т.е. часть плоскости, ограниченная линиями (треугольник, квадрат, круг, ромб и т.д.).

На эпюре (табл. 4.1) плоскость может быть задана соответственно проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, прямой и точки, не лежащей на прямой, двух пересекающихся или параллельных прямых, проекцией плоской фигуры.

Плоскости условимся обозначать прописными латинскими буквами, следующими за буквой P по алфавиту: R, S, T и т.д.

Таблица 4.1 Способы задания плоскости в пространстве и на эпюре

№	Задание плоскости в пространстве	Наглядное изображение	Эпюр	Задание плоскости на эпюре
1	Тремя точками, не лежащими на одной прямой		Проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой
2	Прямой и точкой, не лежащей на прямой		Проекциями прямой и точки, не лежащими на одной прямой
3	Двумя пересекающимися прямыми		Проекциями двух пересекающихся прямых
4	Двумя параллельными прямыми		Проекциями двух параллельных прямых
5	Плоской фигурой		Проекциями плоской фигуры
6	Следами		Следами

4.2 Следы плоскости

Положение плоскости в пространстве может быть определено ее следами. Следами плоскости называются прямые линии, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.

В общем случае плоскость имеет три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный.

На рис. 4.1. и в таблице 4.1. п.6 они обозначены соответственно P1, P2, P3 (буквой Р обозначена заданная плоскость, а индексы 1, 2, 3 означают, с какой из плоскостей проекций пересекается плоскость Р).

В точках Px, Py, Pz, лежащих на осях координат, следы плоскости пересекаются. Эти точки называются точками схода следов плоскости.

Следы плоскости всегда можно построить, если положение плоскости в пространстве задано одним из перечисленных выше способов.

Если прямая АВ (рис.4.1. а и б) лежит в плоскости Р, то она пересечет плоскость П1 в точке М1 расположенной на линии Р1, т.е. горизонтальный след прямой, лежащей в плоскости, расположен на горизонтальном следе плоскости.

Плоскость П2 прямая АВ пересечет в точке N, расположенной на линии Р2.

Иными словами, следы прямой, лежащей в плоскости, расположены на одноименных следах плоскости.

Отсюда следует, что следы плоскости должны проходить через одноименные следы прямых, лежащих в плоскости.

Чтобы построить след плоскости, необходимо определить следы двух прямых, лежащих в плоскости.

На рис. 4.1. плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СD. Чтобы построить горизонтальный след плоскости необходимо найти горизонтальный след прямой АВ – точку М и прямой СD – точку М1. Горизонтальный след плоскости будет проходить через точки М и М1.

Рис. 43.1.

Фронтальный след плоскости Р2 строится аналогично. Следует отметить, что для построения следа Р2 достаточно иметь фронтальный след только одной прямой, так как второй точкой, определяющей положение следа Р2 будет точка Рх схода следов (точка пересечения ранее построенного следа Р1 с осью х).

4.3 Принадлежность прямой и точки заданной плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости. Прямая MN (рис.3.2,а) расположена в плоскости Р, заданной следами, поскольку две точки прямой М и N(горизонтальный и фронтальный её следы) принадлежат плоскости, т.е. расположены на её следах. Прямая 1-2 (рис.4.2, б) принадлежит плоскости, заданной параллельными прямыми, поскольку имеет с ней две общие точки.

Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей данной плоскости. Для того, чтобы построить в плоскости точку (рис. 3.2), необходимо провести в плоскости прямую, принадлежащую плоскости, а затем задать на ней точку Е, которая принадлежит прямой и, следовательно, и плоскости.

Рис. 4.2

4.4 Плоскости общего и частного положения

Различают частные и общие случаи расположения плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций.

Плоскость общего положения. Плоскость, произвольно расположенная по отношению к плоскостям проекций, называется плоскостью общего положения (рис. 4.1).

Проекции элементов, которыми задана такая плоскость (точки, прямые, следы плоскости, плоские фигуры), составляют случайные углы с линиями связи и осями проекций комплексного чертежа, т.е. располагаются произвольно и ни в одной проекции не вырождаются в более простой геометрический образ.

Плоскости, перпендикулярные одной или двум плоскостям проекций называются плоскостями частного положения.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций называется проецирующей плоскостью. Проецирующая плоскость, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций называется горизонтально-проецирующей, к фронтальной – фронтально-проецирующей, к профильной – профильно-проецирующей.

В прямоугольных проекциях плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, параллельна направлению проецирования и поэтому является проецирующей. Её проекция на этой плоскости вырождается в прямую; проекция на другую плоскость является неограниченным полем точек.

Горизонтально-проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости Р^П1 является неограниченное поле точек (табл. 4.2, п.1), горизонтальной – прямая Р1. Горизонтальная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в горизонтально-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую горизонтальной проекции этой плоскости.

Фронтально-проецирующая плоскость. Горизонтальная проекция плоскости Р^П2 представляет собой неограниченное поле точек (табл. 4.2, п.2), фронтальная проекция Р2 вырождается в прямую. Фронтальная проекция любой точки, линии или фигуры, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, располагаются на выродившейся в прямую фронтальной проекции этой плоскости.

Профильно-проецирующая плоскость. Профильная проекция плоскости Р^П3, вырождается в прямую (табл. 4.2., п.3). Проекциями на плоскость П1 и П2 являются неограниченные поля точек. Профильная проекция любой линии (точки, фигуры), лежащей в профильно-проецирующей плоскости, располагается на выродившейся в прямую профильной проекции этой плоскости. Из рисунков в таблице 4.2. видно, что один след проецирующей плоскости (так называемый след-проекция) совпадает с выродившейся в прямую проекцией плоскости, а другой- перпендикулярен к оси проекций.

Задание на комплексном чертеже проецирующих плоскостей следами изображено в таблице 4.2. и не нуждается в пояснениях (сопоставьте изображения каждой проецирующей плоскости в таблице).

Заметим, что угол между следом-проекцией и осью проекции равен углу наклона проецирующей плоскости к плоскости проекций.

На комплексном чертеже проецирующие плоскости чаще изображаются не следами, а своей проекцией, выродившейся в прямую. Вторая проекция, представляющая поле точек, безгранична и обычно не изображается и не обозначается.

Таблица 4.2 Положение плоскости относительно плоскости проекций.

№	Положение плоскости в пространстве	Наглядное изображение	Эпюр	Положение следов плоскости
1	Перпендикулярна плоскости П1 – горизонтально-проецирующая плоскость		Р1 – произвольно Р2 – перпендикулярно к оси X Р3 – перпендикулярно к оси Y
2	Перпендикулярна к плоскости П2 – фронтально-проецирующая плоскость		Р1 – перпендикулярно к оси X Р2 – произвольно Р3 – перпендикулярно к оси Z
3	Перпендикулярна к плоскости П3 – профильно-проецирующая плоскость		Р1 и Р2 – параллельны к оси X Р3 - произвольно
4	Параллельна плоскости П1 – горизонтальная плоскость		Р1 – отсутствует Р2 – параллельно оси X Р3 – параллельно оси Y
5	Параллельна плоскости П2 – фронтальная плоскость		Р1 – параллельно оси X Р2 – отсутствует Р3 – параллельно оси Z
6	Параллельна плоскости П3 – профильная плоскость		Р1 и Р2 – перпендикулярно к оси X Р3 - отсутствует

Плоскость, параллельная плоскости проекций называется плоскостью уровня. Такая плоскость перпендикулярна к двум другим плоскостям проекций и, следовательно, по отношению к ним является проецирующей и проецируется на них в прямую линию. Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной, параллельная фронтальной – фронтальной и параллельная профильной – профильной плоскостью уровня.

В таблице 4.2. п. 4, 5, 6 изображены плоскости параллельные плоскостям проекций – плоскости уровня. Здесь же даны изображения этих плоскостей на комплексном чертеже.

Плоскости уровня не имеют следа на параллельной себе плоскости проекций и проецируются на неё в неограниченные поля точек (эти проекции на комплексном чертеже не обозначаются и не ограничиваются).

Итак, положение плоскостей уровня подчинено общему правилу: если плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в поле точек. Её проекция на другой плоскости – прямая, перпендикулярная к линии связи.

Проекции плоскости