Индексный метод анализа

Тема 5. Индексный метод анализа.

1. Сущность, значение, задачи индексов.
2. Классификация индексов.
3. Индивидуальные индексы.
4. Общие (агрегатные) индексы.
5. Средние (преобразованные) индексы.
6. Индексы переменного и постоянного состава, индексы структурных сдвигов.
7. Индексы с постоянными и переменными весами с постоянной и переменной базой сравнения.
8. Взаимосвязи индексов.
9. Территориальные индексы.
10. Биржевые индексы.

1. Сущность, значение, задачи индексов.

Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям. С их помощью производится анализ развития социально-экономических явлений в пространстве и времени, выявляется роль отдельных факторов в формировании важнейших экономических показателей.

Термин «индекс» имеет несколько значений: это показатель, указатель, опись, реестр, условное обозначение. В статистике индекс – это относительная величина, получаемая в результате:

1. сопоставления уровней социально-экономических явлений во времени (динамические индексы) или в пространстве (территориальные индексы);
2. сравнения фактических данных с эталонными (план, прогноз, норматив)

Условные обозначения:

– индивидуальный индекс

– общий индекс

– базисный период

– отчетный период

– цена единицы товара или продукта

– количество товара или продукта в натуральном выражении

– себестоимость выпуска единицы товара или продукта

– затраты времени на производство единицы продукции

– стоимость, оборот по данному товару

– товарооборот, стоимость всей выпущенной продукции, стоимость оказанных услуг

– себестоимость выпуска, издержки производства продукции данного вида

– себестоимость всей выпущенной продукции, суммарные издержки производства

– затраты времени на производство продукции данного вида

– суммарные затраты времени на производство всей продукции

Основой индексного метода при определении изменений в производстве и обращении товаров является переход от натуральной формы выражения к стоимостной.

Задачи индекса:

характеристика динамики сложных социально-экономических явлений;

выявление роли факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление;

сравнение развития явлений на отдельных территориях;

пересчет макроэкономических показателей (ВВП, ВТС и т.д.) из фактических цен в сопоставимые (т.е. неизменные).

Динамические индексы – это коэффициенты роста

2. Классификация индексов.

1. по степени охвата явления:

• индивидуальные – характеризуют изменение отдельных элементов явления;
• общие (сводные) – характеризуют изменение всего явления;

1. по базе сравнения:

• динамические – строятся во времени:

а) цепные

б) базисные

• территориальные – строятся в пространстве и используются для межрегиональных и межстрановых сравнений;

1. по виду весов (коэффициентов соизмерения):

• индексы с постоянными весами;
• индексы с переменными весами;

1. по форме построения:

• агрегатные;
• средневзвешенные:

а) арифметические;

б) гармонические;

1. по характеру объекта исследования:

• индексы количественных (объемных показателей);
• индексы качественных показателей;

1. по объекту исследования:

• – цена
• – себестоимость
• – количество

1. по составу явления:

• постоянного (фиксированного) состава;
• переменного состава;

1. по периоду вычисления:

• неделя;
• месяц;
• квартал;
• полугодие;
• год.

3. Индивидуальные индексы.

Индивидуальные индексы – получают в результате сравнения однотоварных явлений. Они вычисляются по конкретному товару отдельно. С их помощью можно охарактеризовать динамику отдельных элементов той или иной совокупности.

Все индивидуальные индексы, являясь показателями роста, показывают во сколько раз (или на сколько %) произошло изменение изучаемого показателя, характеризующего данный вид продукта/товара в отчетный период по сравнению с базисным.

Таблица

Месяц	Цена, руб./кг.	Количество, т.
Сентябрь Октябрь	7,0 8,0	3,2 2,5

1. индивидуальный индекс цен:

(на 14,3 %)

1. индивидуальный индекс физического объема:

(на 21,9 %)

1. индивидуальный индекс стоимости:

( на 10,7 %) – выручка

Аналогично вычисляются прочие индивидуальные показатели.

Если имеется за 3 и более периодов, то вычисляются цепные и базисные индивидуальные индексы.

Недостаток: не дает общего представления о динамике всего явления.

4. Общие (агрегатные) индексы.

В отличие от индивидуальных индексов характеризуют динамику всего изучаемого явления, состоящего из разнородных единиц.

В индексной теории изложены 2 концепции их построения:

• синтетическая – предполагает с помощью индексного метода соединение в целое разнородных единиц статистической совокупности и их последующую характеристику. Пример: предприятие выпускает разнородную продукцию, физический объем ее выпуска нельзя суммировать. Для определения общего объема выпуска методология индексов предусматривает, прежде всего, приведение разнотоварных явлений к соизмеримому виду;
• аналитическая – предполагает с помощью индексного метода выявление и измерение влияние факторов на изучаемое явление.

Общий индекс может быть построен 2 способами:

• как агрегатный (основной);
• как средний из индивидуальных.

Aggregatus (лат.) – складывающийся, суммируемый, присоединяемый.

В числителе и знаменателе агрегатного индекса находится сумма произведений двух показателей, один из которых меняется, т.е. выступает в роли индексированной величины, а второй остается неизменным, т.е. выступает в роли соизмерителя (весы).

Индексируемая величина – признак, изменение которого изучается (цена, количество, курс).

Соизмеритель (вес) – величина, при которой производится соизмерение индексируемых величин.

А 2 правила выбора весов при построении агрегатного индекса:

1. если строится индекс качественного показателя, весы берутся за отчетный период;
2. если строится индекс количественного показателя, весы берутся за базисный период.

– цена реализации 4 товаров в базисном периоде

– цена реализации 4 товаров в отчетном периоде

– количество в базисном периоде

– количество в отчетном периоде

– товарооборот в базисном периоде

– товарооборот в отчетном периоде

– товарооборот в отчетном периоде по ценам базисного периода

1. Общий индекс физического объема (товарооборота):

Позволяет сопоставить изменение в объеме многих видов несоизмеримых между собой товаров.

Для расчета необходимо преодолеть несуммируемость количества этих товаров. Для этого надо подобрать соизмеритель (вес), который позволит представить продукцию за каждый из периодов в сопоставимом виде. Таким соизмерителем является цена!

Показывает во сколько раз (или на сколько %) изменилось количество продаваемых товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным.

2. Общий индекс цен:

Поставить сопоставить изменения в ценах несоизмеримых между собой товаров.

Показывает во сколько раз (или на сколько %) изменились цены реализации товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным.

3. Общий индекс товарооборота в фактических (действительных) ценах:

В данном индексе цена и количество одновременно являются как индексируемыми величинами, так и соизмерителями.

4. – индекс покупательной способности денежной единицы.

Индексная мультипликативная модель:

Приростная аддитивная модель

– сумма эффекта продавцу

Построение прочих агрегатных индексов аналогично.

((себестоимость) динамика себестоимости).

Существует противоположная форма построения этих индексов (есть противоположные правила выбора весов).

Пааше (весы за отчетный период)

Ласпейрес (весы за базисный период)

Фишер – «идеальная формула» Фишера (по сравнению геом.)

5. Средние (преобразованные) индексы.

При необходимости (отсутствии каких-либо данных) из агрегатных индексов может быть преобразован в средний из индивидуальных.

– средний арифметический индекс физического объема

– средний арифметический индекс товарооборота в фактических ценах

6. Индексы переменного и постоянного состава, индексы структурных сдвигов.

В статистическом анализе помимо агрегатных индексов применяют индексы особого рода, которые характеризуют динамику средней величины. Они вычисляются всегда для однородной продукции. Разберем построение индексной системы на примере модели динамики средней цены (3 тип задач в теме индексы). 2 варианта:

1. рынок – на нем продавцы;
2. город – не сколько рынков

Продукты					Выручка от реализации (товарооборот), тыс. руб.
1 2 3
Итого	–	–

Товар «А»

3 знака после запятой

Индекс цен переменного состава:

(3 знака после запятой)

Он показывает, во сколько раз (или на сколько %) изменилась средняя цена реализации данного товара в целом в отчетном периоде по сравнению с базисным:

1. качественный фактор – меняется цена этого товара у отдельных продавцов;
2. количественный фактор: а) в целом стали больше/меньше продавать;

б) меняется доля отдельных продавцов (меняется объем продаж у отдельных продавцов).

Индекс цен постоянного (фиксированного) состава:

– агрег. сост.

Показывает, во сколько раз (или на сколько %) изменилась средняя цена реализации данного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным, только за счет влияния изменения цены реализации данного товара у отдельных продавцов.

Индекс структурных сдвигов (индекс влияния структурных сдвигов на динамику средней цены):

(структурные сдвиги)

Индекс структурных сдвигов показывает, во сколько раз (или на сколько %) изменилась средняя цена реализации данного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет:

1. влияния структурных сдвигов в объемах продажи данного товара на рынке;
2. только за счет изменения доли отдельных продавцов в общем объеме продажи данного товара на данном рынке;
3. только за счет влияния перераспределения объемов продаж данного товара между отдельными продавцами.

7. Индексы с постоянными и переменными весами с постоянной и переменной базой сравнения.

При наличии за 3 и более периодов вычисляются не только индивидуальные индексы, но и общие цепные и базисные индексы. Причем база сравнения у них может быть постоянной или переменной.

8. Взаимосвязи индексов.

В статистическом анализе часто используются взаимосвязи, существующие между различными индексами.

– индекс годовой/часовой выработки рабочих

средняя продолжительность рабочего периода

средняя продолжительность рабочего дня

Пример использования взаимосвязи: в текущем периоде цены реализации товаров возросли на 30 % по сравнению с базисным периодом, а выручка (товарооборот) за это же время возросла на 20 %. Как изменилось количество продаваемых товаров:

1,2 1,3

( на 7,7 %)

9. Территориальные индексы.

Эти индексы строятся не во времени, а в пространстве, и позволяют сравнить величину явления в разных регионах или странах. При их построении возникают обычные проблемы с выбором весов (соизмерителей).

Пример: сравнить индекс цен в городе А и Б:

При построении территориальных индексов необходимо применить стандартизированные веса:

– в качестве стандартного веса в данном индексе выступает суммарное количество каждого из товаров в городе А и Б.

(По товарам представителем)

10. Биржевые индексы.

Следует различать индексы товарно-сырьевой биржи (см. учебник «Статистика рынка товаров и услуг» под ред. Белявского) и индексы фондовой биржи (см. рынок ценных бумаг).

Тема 6. Статистическое изучение

связи между явлениями.

1. Виды взаимосвязей между явлениями.
2. Задачи статистики по изучению связи.
3. Методы изучения связи.
4. Корреляционно-регрессионный метод анализа:
   1. Парный корреляционный анализ.
   2. Парный регрессионный анализ.
   3. Множественные корреляции и регрессии.

1. Виды взаимосвязей между явлениями.

Изучаемые статистикой явления формулируются и развиваются за счет действия на них многих факторов.

Статистика при помощи различных методов выявляет эти факторы, определяет наличие связи и форму зависимости между ними.

Основные виды связи:

1. балансовая;
2. компонентная;
3. факторная.

Балансовая связь характеризует зависимость между источниками формирования ресурсов и их использованием:

предложение = использование ресурсов

остатки на начало + прибытие = выбытие + остатки на конец периода

Компонентные связи характеризуют изменение статистического показателя за счет изменения компонентов, его образующих.

– результативный признак, и – факторные признаки

Факторные связи проявляются в согласованной вариации изучаемых показателей.

– факторный признак

– результативный признак (испытывает влияние факторных признаков)

Факторные связи принято классифицировать по степени зависимости одного явления от других:

1. Функциональная связь – связь, при которой величины результативного признака полностью определяется величиной факторного признака .

Функциональные связи чаще всего встречаются в технике, математике и других точных науках.

1. Корреляционная (статистическая) связь – проявляется в массовых явлениях общественной жизни. В этом случае нет точного соответствия и .

Одному значению факторного признака может соответствовать несколько значений результативного признака , т.к. на результативный признак воздействует еще множество других факторных признаков.

,

где – влияние общих неучтенных факторов.

Таким образом, влияние факторного признака проявляется лишь в общем, среднем для всей совокупности.

По направлению связи бывают:

• прямые;
• обратные.

По аналитическому выражению:

• линейные (прямолинейные);
• нелинейные (криволинейные).

Различают также парные, множественные связи:

2. Задачи статистики по изучению связи.

выявить наличие связи между явлениями;

установить направление связи;

оценить тесноту связи;

Эти задачи решает корреляционный анализ (метод корреляции).

выразить связь аналитически – метод регрессии.

3. Методы изучения связи.

метод сопоставления двух параллельных рядов;

1. графический;
2. метод аналитической группировки;
3. балансовый;
4. метод дисперсионного анализа;
5. метод корреляционной таблицы;
6. метод корреляционно-регрессионного анализа.

4. Корреляционно-регрессивный анализ.

4.1. Парный корреляционный анализ.

Упрощенная схема парного корреляционно-регрессионного анализа:

да да да

нет нет нет

Парный корреляционный анализ заключается в вычислении подходящего показателя тесноты связи в зависимости от исходной информации. Полученный результат расчетов обычно сравнивают со шкалой Чеддока, которая позволяет сделать вывод о степени зависимости между изучаемыми признаками:

Шкала Чеддока:

Значение коэффициента корреляции	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика тесноты связи	Слабая	умеренная	Заметная	высокая	весьма высокая

I. Параметрические показатели тесноты связи: если есть возможность провести регрессионный анализ, то для оценки тесноты связи вычисляются параметрические показатели (коэффициенты (см. блок-схему)). К ним относятся:

1. Линейный коэффициент корреляции:

– факторный признак

– результативный признак

– число наблюдений

Значения всегда (-1;+1)

Если значение :

• – прямая
• – обратная
• и – сильная
• – слабая

Этот коэффициент применяется, если в регрессионном анализе была выявлена прямолинейная зависимость между и .

1. Корреляционное отношение:

1. Индекс корреляции:

(0;+1)

Они применяются, если в регрессионном анализе выявлена криволинейная зависимость между и . Для вычисления данных показателей рассчитываются предварительно 3 вида количественной дисперсии:

1. – отражает вариацию результативного признака за счет действия факторного признака ;
2. – отражает вариацию за счет всех факторов кроме .
3. – отражает вариацию за счет действия всех факторов.

II. Непараметрические показатели тесноты связи: показатели данной группы вычисляют для количественной оценки тесноты связи. Если нет возможности применить регрессионный анализ.

1. Коэффициент Фехнера (самый простой):

(–1;+1)

Его вычисляют для двух количественных признаков: – это сумма совпадающих знаков в отклонениях от средних по рядам, – это сумма несовпадающих знаков в отклонениях от средних по рядам.

№ п/п
1 2 3 4 . .			+ – + – . .	+ – – + . .	1 1 0 0 . .	0 0 1 1 . .

и – значение признаков у каждой единицы наблюдения

1. Коэффициент ассоциации Юла: применяются для оценки тесноты связи между двумя альтернативными признаками:

(–1;+1)

	Да	Нет
Да
Нет

– соответствующие поля «матрицы четырех полей»

1. Коэффициент контингенции Пирсона вычисляется вместо коэффициента ассоциации в случае, когда одно из полей матрицы равно 0. Дает более осторожную оценку тесноте связи (как правило, на 1/3 всегда меньше , т.к. если в матрице одно из полей равно 0, либо +, либо –).

(–1;+1)

Коэффициенты взаимной сопряженности:

1. Пирсона:

(0;+1)

1. Чупрова: учитывает, на сколько

групп разбит каждый из признаков

(более предпочтителен).

(0;+1)

Вычисляются в случае, если каждый из признаков и разбит на 2 группы и более (признаки могут быть как качественными, так и количественными). По данным коэффициентам можно сделать вывод только о тесноте связи, о направлении связи – нельзя.

и – число групп по каждому из признаков

Методика расчета :

Группа по признаку	Группа признаков
	1	2	3
1	4 16 +	+	=	=	* +
2	+	+	=	=	* +
3	+	+	=	=	* =
Итого

– частоты (3 х 3)

• в клетках под каждой частотой записываем ее квадрат;
• полученный результат делим на итог частот данного столбца;
• суммируем полученные значения в строчках и результат записываем в первом итоговом столбце;
• полученные значения делим на сумму частот данной строки, и результат записываем во второй итоговый столбец;
• суммируем полученные значения * - это величина и есть .

Ранговый коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции рангов):

1. К. Спирмэна

(–1;+1)

– ранговая разность

– число наблюдений (единиц совокупности).

1. М. Кендалла

(–1;+1)

Методика Спирмэна:

1. Ранжируем единицы наблюдения по признаку (ранжирование – это перегруппировка исходных данных – расположение единиц наблюдения в порядке возрастания или убывания значений):

№ п/п
. .	. .	. .

Формируем новую таблицу по – по возрастанию:

№ п/п
25 16 3 8 14	13,8 13,9 13,9 14,2 14,4 … ….	1,8 1,9 2,2 1,9 2,6 … …	1 2,5 2,5 4 5 … …	1 2,5 4 2,5 5 … …

1. Проставляем ранги сначала для , затем для : ранг – это порядковый номер варианта в упорядоченной совокупности. Связанные ранг – 13,9 и 13,9, сл., . Ранги хороши тем, что нет единиц измерения;
2. Предварительные выводы:

• если с ростом ранга возрастает ранг , то связь есть – она прямая;
• Если с ростом ранга уменьшается ранг , связь есть – она обратная;
• если с ростом ранга невозможно отследить закономерность изменения ранга , то связь либо отсутствует вообще, либо настолько слаба, что нет смысла ее оценивать.

1. вычисляем ранговую разность и ее квадрат ;
2. подстановка в формулу + выводы из 3 частей: есть/нет, прямая/обратная, сильная/слабая).

В некоторых случаях вычисляются другие непараметрические показатели, например, коэффициент канкордации, песериальный коэффициент корреляции.

4.2. Парный регрессионный анализ.

Наряду с оценкой направления и тесноты связи, статистика выражает аналитически взаимосвязь между факторным и результативным признаками с помощью уравнения регрессии, которое показывает форму связи между и и имеет вид математической функции.

Наиболее распространенные функции для выражения формы связи:

(уравнение прямой (линейная))

(парабола второго порядка)

(гипербола)

(показательная)

(степенная)

Если выбрана линейная функция: – показывает, на сколько единиц изменяется результативный признак , при увеличении факторного признака на единицу.

Если – то связь прямая

– то связь обратная

Если имеет положительное значение, то связь прямая, если отрицательное значение, то связь обратная.

Этапы построения уравнения парной регрессии:

1. Проверка однородности совокупности по каждому из признаков, а также близости распределений каждого из признаков к нормальному закону распределения вероятностей.
2. Строится график корреляционного поля – исходные данные переносим на график:
   1. оценка наличия направления связи:

1. выявление и исключение (выбраковка) аномальных единиц наблюдения (значения).

фактические значения

аномальные значения

теоретические значения

доверительный интервал

Рис. 1. Корреляционное поле.

1. подбор математической функции по характеру концентрации единиц на корреляционном поле. Например, можно предположить, что наблюдается линейная зависимость между и .
2. Если и имеют разные единицы измерения, то необходима стандартизация, т.е. пересчет по каждому из признаков в стандартизованный масштаб:

№ п/п	,	, руб.
1 2 3 4 5* .
Итого

* – такое-то (единица) наблюдение исключено из общего анализа, т.к. считается аномальной.

По каждому признаку необходимо рассчитать среднее значение и среднее квадратическое отклонение.

1. Составление системы нормальных уравнений:

Для уравнения прямой:

1. Промежуточные расчеты.
2. Вычисление параметров уравнения с точностью до 3, 4 знаков после запятой:

(в нашем примере: увеличение на 1 вызывает рост на 5 тыс. 348,2 руб.)

1. Расчет теоретических значений результативного признака .
2. Проверка правильности расчетов: (допускается небольшое отклонение).
3. Для подтверждения значимости построенного уравнения вычисляем соответствующий параметрический показатель тесноты связи ( – индекс корреляции) и делаем выводы.
4. Оценка уравнений регрессии:
   1. визуальная оценка: переносим теоретические значения результативного признака на график корреляционного поля и визуально определяем, насколько удачно выбранная функция описала сложившуюся взаимосвязь между и .
   2. математическая оценка – это проверка точности (достоверности) уравнения регрессии: есть разные критерии:
      1. остаточное средне квадратическое отклонение теоретических значений от фактических:

1. средняя ошибка аппроксимации:

Чем меньше значение, тем лучше (тем точнее уравнение регрессии, тем точнее описывает взаимосвязь).

1. интерпретация результатов (выводы).

Индексный метод анализа