Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений.
Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, например:
Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений.
Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.
При решении системы линейных уравнений возможны следующие три случая:
система не имеет решений;
система имеет ровно одно решение;
система имеет бесконечно много решений.
I. Решение системы линейных уравнений методом подстановки.
Данный метод также можно назвать «метод подстановки» или методом исключения неизвестных.
Пример 1
Решить систему линейных уравнений:
Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа -5 и -7) расположены в левой части уравнения. Запишем систему в обычном виде.
Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.
Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.
Решаем.
Из первого уравнения системы выражаем: . Это и есть подстановка.
Полученное выражение подставляем во второе уравнение системы вместо переменной
Решим данное уравнение относительно одной переменной.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :
4) Далее возвращаемся к подстановки , чтобы вычислить значение .Значение нам уже известно, осталось найти:
5) Пара – единственное решение заданной системы.
Ответ: (2,4; 2,2).
После того, как решена любая система уравнений любым способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике. Делается это легко и быстро.
1) Подставляем найденный ответ первое уравнение :
– получено верное равенство.
2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение:
– получено верное равенство.
Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Однако необходимо оценивать подстановку, так чтобы в ней как можно меньше было дробных выражений. Самый невыгодные из четырех способов – выразить из второго или из первого уравнения:
или
Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Это экономит время, а также снижает вероятность допустить ошибку.
Пример 2
Решить систему линейных уравнений
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).
II. Решение системы методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы
В ходе решения систем линейных уравнений можно использовать не метод подстановки, , а метод алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы. Этот метод экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.
Пример 3
Решить систему линейных уравнений:
Возьмём ту же систему, что и первом примере.
1) Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной у одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:
2) Решим данное уравнение относительно одной переменной.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.
3) Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе):
В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:
Ответ: (2,4; 2,2).
Пример 4
Решить систему линейных уравнений:
В данном примере можно использовать метод подстановки, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. Действия с дробями мало кто любит, а значит это потеря времени , и велика вероятность допустить ошибку.
Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:
Как видим числа в парах (14 и 7), (-9 и –2) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 14 и -14 либо 18 и –18.
Будем рассматривать коэффициенты при переменной .
14х – 9у = 24;
7х – 2у = 17.
Подбираем такое число, которое делилось бы и на 14 и на 7, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты.
Далее:
Первое уравнение умножаем на 14:14 =1;
Второе уравнение умножаем на 14: 7 =2.
В результате:
Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.
Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.
Теперь подставляем найденное значение в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:
Ответ: (3:2)
Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной .
14х – 9у = 24;
7х – 2у = 17.
Очевидно, что вместо пары коэффициентов (-9 и –3) нам нужно получить 18 и –18.
Для этого первое уравнение умножаем на (-2), второе уравнение умножаем на 9:
Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:
Теперь подставляем найденное значение х в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:
Ответ: (3:2)
Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. Чаще всего при решении систем стремятся складывать и умножать, а не вычитать и делить.
Пример 5
Решить систему линейных уравнений:
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).
Пример 6.
Решить систему уравнений
Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения а из второго
Ответ: Решений нет.
Пример 7.
решить систему уравнений
Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).
Ответ: Бесконечно много решений.
III. Решение системы c помощью матриц.
Определителем этой системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных. Этот определитель
Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам
В этом случае говорят, что система - совместная или определенная
Составим таблицу из коэффициентов при неизвестных ( сама табличка называется матрицей) и найдём значение знаменателя ( принято говорить : вычислим определитель ).
; = 1·1 – (-1)·2 = 3;
Конечно, ясно, что от такой записи нисколько не легче, если не указать, как ею пользоваться.
Умножать надо «по стрелкам», причем если стрел ки идут слева — вниз — направо, то произведение надо брать со знаком плюс, если же справа — вниз — налево, то со зна ком минус. Запомнить такое правило очень легко.
А теперь остаётся проделать такие же вычисления для и :
= -5· 1 - (-7)· (-1) = -12;
= 1· (-7) - (-5)· 2 = 3;
Значит, и
Ответ: ( -4; 1).
Пример 8.
Решить систему линейных уравнений:
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).
Ответы для самостоятельного решения:
1) Ответ: ( -1; 1).
2) Ответ: ( 4; 2).
3) Ответ: ( 0,5; -1).
Системы линейных уравнений