Интерполирование функций полиномами

Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

ОТЧЁТ

По лабораторной работе №2

“Интерполирование функций полиномами.”

Выполнил: студент гр. А-22д

Литус И.В.

Проверил: старший преподаватель

Захаров В.В.

Севастополь

2011

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить методы алгоритмизации и программирования формы представления интерполяционного полинома Ньютона с равномерным расположением узлов.
Изучить свойства интерполяционного полинома Ньютона.
Исследовать зависимость ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Ньютона.

2 ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ

№ варианта

С1

С2

С3

С4

С5

Форма

Fm(x)

0,5

4,6

-1,87

0,65

Ньютон

3 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Интерполирование - это приближённое определение значений функции f(x) в промежуточных точках заданного замкнутого интервала xB x xE изменения её аргумента x по известным значениям f(x1), f(x2),…, f(xm). Значения аргумента xi[xB, xE] , i=1,2…,m интерполируемой функции f(x) называются узлами интерполяции.

Интерполирование функции f(x) полиномом означает построение такого полинома минимальной степени Fm(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

f(k)(xi) = Fm(k)(xi) , i = 1,2,…,m , k = 0,1,…,mi-1 . (1)

Здесь f(k)(xi) – известные значения функции f(x) и её производных k- ого порядка f(k)(x) в узлах интерполяции, а mi – кратность i- ого узла. Если mi=1, i-тый узел называется простым.

Интерполирование функций f(x) полиномом с простыми узлами (mi=1, i =1,2,…,m) означает построение такого полинома минимальной степени Fm(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

f(xi) = Fm(xi) , i = 1,2,…,m .

Функция

, (2)

для которой необходимо построить интерполяционный полином Fm(x) в форме Ньютона на интервале 0 x 1 изменения аргумента x, задана аналитически. Это даёт возможность при любом значении x[0,1] вычислить величину абсолютной ошибки интерполирования

(3)

и, таким образом, провести полное исследование зависимости точности интерполирования от количества узлов интерполирования m и расположения точки x относительно узлов интерполирования xi. Значения коэффициентов c1, c2, c3, c4, c5 и форма представления интерполяционного полинома определены вариантом задания. Таблица вариантов приведена в разделе «Приложение».

В работе предполагается, что узлы xi - простые и расположены равномерно на интервале [0,1]. При этом первый x1 и последний xm узлы находятся на концах интервала (x1=0, xm=1), так что шаг интерполирования h (расстояние между двумя соседними узлами) является величиной постоянной на интервале [0,1] и определяется формулой

h = 1/(m1) ,

а узлы - формулой

xi = (i1) h , i=1,2,…,m . (4)

Интерполяционный полином Лагранжа [1,2] может быть представлен в виде

Fm (x) = , (5)

где

, i (x,0) = 1 . (6)

Коэффициенты аi интерполяционного полинома Ньютона определяются как решение системы линейных алгебраических уравнений с нижней треугольной матрицей коэффициентов, которая получается при подстановке (5) в (1). В случае равномерного расположения узлов коэффициенты аi определяются аналитически через конечные разности значений функции f(x) в узлах интерполирования (4) формулой

. (7)

Ошибка интерполирования функции f(x) на интервале обычно оценивается как максимальное значение на этом интервале абсолютной величины ошибки . Поскольку вычислить E(x) во всех точках интервала невозможно, то в работе предлагается вычислить её значение в точках

zi = (i-1)·0,01 , i = 1,2,…,101 (8)

и определить оценку ошибки интерполирования функции на заданном интервале [0,1], как

e = |E(zi)| . (9)

4 СХЕМА ПРОГРАММЫ

Fm (z) =

emax = |e(zk)|

5 ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

double tochnoe (double x, double *c);

int main ()

{

int l,k,i,j,m;

double x,e,a,z,h,emax,tt;

double c[5],t[100],g[100];

printf ("Vvedite kol-vo uzlov:");

scanf("%d",&m);

printf ("vvedite coefficieti:\n");

emax=0;

for (i=0;i<5;i++)

scanf("%lf",&c[i]);

h=1/double(m-1);

t[0]=0;

g[0]=tochnoe(t[0],c);

for (i=1;i<=m;i++)

{

t[i]=t[i-1]+h;

g[i]=tochnoe(t[i],c);

}

for (i=2;i<=m;i++)

for (j=m;j>=i;j--)

g[j]=g[j]-g[j-1];

tt=1;

for (k=2;k<m;k++)

{

tt=tt*h*(k-1);

g[k]=g[k]/tt;

}

for (l=0;l<101;l++)

{

z=l*0.01;

x=g[m];

for (i=m-1;i>0;i--)

{

x=g[i]+(z-t[i])*x;

}

e=tochnoe(z,c)-x;

if (emax<fabs(e))

emax=e;

if (l%10==0)

printf("N=%lf f(z)=%lf Fm(z)=%lf E=%lf\n",z,tochnoe(z,c),x,e);

}

printf("shag %lf\n",h);

printf("osibka %e\n",emax);

system("pause");

return 0;

}

double tochnoe (double x, double *c)

{

double f;

int i;

f=(c[0]*x+c[1])/(x*x*x+c[2]*x*x+c[3]*x+c[4]);

return f;

}

6 PЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

При m=3

При m=10

При m=20

Рисунок 6.1-графики зависимости значения точного и приближенного значения функции

от узлов интерполирования.

Из рисунка 6.1 видно что при увеличении узлов интерполирования, решение с помощью полинома Ньютона становится практически равным точному решению.

Рисунок 6.2-графики зависимости ошибки от узлов интерполирования.

Из рисунка 6.2 видно что при увеличении количества узлов интерполирования ошибка стремится к 0.

ВЫВОД

В ходе лабораторной работы были освоены методы алгоритмизации и программирования формы представления интерполяционного полинома Ньютона с равномерным расположением узлов, а также изучены свойства интерполяционного полинома Ньютона и исследована зависимость ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Ньютона.

Из рисунка 6.2 видно что при увеличении количества узлов интерполирования ошибка стремится к 0.

Интерполирование функций полиномами