Классификация и методы учета погрешностей

Контрольная работа

Классификация и методы учета погрешностей

Содержание

1 Классификация погрешностей

2 Случайная погрешность

3 Методы обнаружения и исключения систематических погрешностей

4 Методы обнаружения и исключения грубых погрешностей

5 Суммирование систематических и случайных погрешностей

6 Погрешности косвенных измерений

Литература

1 Классификация погрешностей

При любом измерении неизбежны обусловленные различными причинами отклонения результатов измерений от истинного значения измеряемой величины. Истинное значение является объективной оценкой объекта. Результаты измерения представляют собой приближённые оценки значений величин, найденные путём измерения. Они зависят от метода измерения, от средств измерений, от оператора.

Погрешностью называется отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины. Классификация погрешностей осуществляется по различным признакам.

1. В зависимости от условий применения средств измерения (СИ) погрешности делят на:

1. основную – составляющая погрешности измерения, которой обладает СИ в нормальных условиях эксплуатации;
2. дополнительную – погрешность СИ при отклонении условий измерений от нормальных.

2. В зависимости от слагаемых процесса измерения:

1. погрешность меры;
2. погрешность преобразования;
3. погрешность сравнения измеряемой величины с мерой;
4. погрешность фиксации результатов измерения.

3. В зависимости от характера проявления погрешности делят на:

1. систематические погрешности – составляющие погрешности, которые при повторных измерениях одной и той же физической величины остаются постоянными, или изменяются по определённому закону;
2. случайные погрешности – составляющие погрешности, которые при повторных измерениях одной и той же физической величины изменяются случайным образом;
3. грубые погрешности – составляющие погрешности, которые существенно превышают ожидаемые.

В зависимости от причины возникновения:

1. аппаратурная (инструментальная) погрешность, возникающая из-за несовершенства средства измерений, т.е. от погрешностей средств измерений.
2. внешние погрешности, зависящие от условий проведения измерений, т.е. от отклонения влияющих величин от нормальных значений.
3. методическая погрешность, обусловленная несовершенством выбранного метода измерений или неполным знанием особенностей изучаемых явлений:
4. субъективные погрешности, обусловленные индивидуальными особенностями экспериментатора.

5. В зависимости от способа количественного выражения:

1. абсолютная погрешность

х = х - х0 (1)

где x – результат измерения, x0 – истинное значение измеряемой величины;

1. относительная погрешность

(2)

На практике вместо истинного значения измеряемой величины используют действительное значение, определяемое экспериментальным путём и максимально приближённое к истинному значению.

1. Приведённая погрешность

(3)

где xN –нормированный множитель, равный длине шкалы.

хN= x k – x k0 (4)

где x k 0 и xk – начальное и конечное значения на шкале прибора соответственно.

2 Случайная погрешность

Наличие случайных погрешностей в результате при повторении измерений в неизменных условиях эксперимента объясняется самой природой этих погрешностей. Строго говоря, условия не остаются неизменными и их колебания вызывают непостоянство результата, т.е. случайные погрешности всегда будут присутствовать в результате измерений.

Характером проявления случайной погрешности определяется и способ их учета. Учесть влияние случайных погрешностей на результат измерения можно только путем анализа всей совокупности случайных погрешностей.

Случайная погрешность считается случайной величиной, и поэтому ее оценивают методами математической статистики и теории вероятности. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности является закон распределения, представляющий собой зависимость вероятности появления случайной погрешности от величины этой погрешности. Большинство результатов измерений содержит случайную погрешность, подчиняющуюся нормальному закону распределения:

, (5)

где W() – плотность вероятности случайной погрешности отдельного измерения , это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений;

– параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения Х0, называют средним квадратическим отклонением случайной величины измерения;

- математическое ожидание результатов наблюдений.

, – являются точечными оценками случайной погрешности.

При случайных погрешностях результат каждого измерения Хi будет отличаться от истинного значения Х0 измеряемой величины:

(6)

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения (результата наблюдения).

Истинное значение Х0 неизвестно, поэтому на практике его заменяют наиболее достоверным значением измеряемой величины, определяемым на основании экспериментальных данных.

Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое значение, то оно является наиболее достоверным значением измеряемой величины. При вычислении среднего арифметического большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.

(7)

где n – число измерений.

(8)

где xi – численный результат отдельного измерения;

n – число измерений.

Характер кривых, описываемых (5), показан на рисунке 1а для трёх значений . Функция (5) графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке =0, а величина этого максимума . Как видно из рисунка 1, чем меньше , тем уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

Рисунок 1

Вероятность появления погрешности в пределах между 1 и 2 определяется площадью заштрихованного участка на рис. 1 б, т.е. определённым интегралом от функции W():

(9)

Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов 1=– и 2=+, равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от – до + равна единице.

Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:

(10)

Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измерения не выходят за пределы ±. С вероятностью 0,997 случайная погрешность находится в пределах ±3, т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать погрешность, превышающую ±3. Это соотношение называется законом трёх сигм.

Так как на практике число измерений не превышает нескольких десятков, то появление погрешности равной ±3 , маловероятно. Поэтому погрешность ±3 считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3 считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

(11)

где - оценка средней квадратической погрешности ряда из n измерений.

Рассмотренные оценки результатов измерений , , выражаемые одним числом, называют точечными оценками. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значение измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более чем на .

Это можно записать в виде

(12)

Вероятность называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности, а интервал значений от – до + — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

(13)

где t(n) - табулированный коэффициент распределения Стъюдента, который зависит от доверительной вероятности и числа измерений n, значения которого можно найти в математических справочниках.

Доверительную вероятность и доверительный интервал называют интервальными оценками.

3. Методы обнаружения и исключения систематических погрешностей

Для учёта и устранения систематических погрешностей применяют методы, которые условно можно разбить на две группы: теоретические и экспериментальные способы.

1. Теоретические способы возможны, когда может быть получено аналитическое выражение для искомой погрешности на основании априорной информации.
2. Экспериментальные способы также предполагают наличие априорной информации, но лишь качественного характера. Для получения количественной оценки необходимо проведение дополнительных исследований.

Для устранения систематических погрешностей применяются следующие методы:

1. Постоянные систематические погрешности.

а) Метод замещения - осуществляется путем замены измеряемой величины известной величиной так, чтобы в состоянии и действии средства измерений не происходило изменений;

б) Метод противопоставления.

Измерения выполняются с двумя наблюдениями, проводимыми так, чтобы причина постоянной погрешности оказывала разные, но известные по закономерности воздействия на результаты наблюдений.

в) Метод компенсации погрешности по знаку.

Измерения также проводятся дважды так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в результат измерения с разными знаками. За результат измерения принимается среднее значение двух измерений.

2. Прогрессирующие систематические погрешности.

а) Метод симметричных наблюдений.

Измерения производят с несколькими наблюдениями, проводимыми через равные интервалы времени, затем обрабатывают результаты, вычисляют среднее арифметическое симметрично расположенных наблюдений. Теоретически эти средние значения должны быть равны. Эти данные позволяют контролировать ход эксперимента, а также устранять систематические погрешности.

б) Метод рандомизации.

Этот метод основан на переводе систематических погрешностей в случайные. При этом измерение некоторой физической величины проводят рядом однотипных приборов с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов. Уменьшение систематической погрешности достигается и при изменении случайным образом методики и условий проведения измерений. При определёнии значений систематической погрешности, результаты измерений исправляют, то есть вносят либо поправку, или поправочный множитель, но исправленные результаты обязательно содержат не исключенные остатки систематических погрешностей (НСП)

Методы обнаружения и исключения грубых погрешностей

При измерении физической величины может появиться результат наблюдения хВ, резко отличающийся от остальных, который называют анормальным. При этом необходимо проверить, не является ли он промахом, который следует исключить.

При обнаружении грубых погрешностей ставится вопрос об учёте или отбрасывании анормального результата наблюдения. Решение этой задачи осуществляется статистическими методами теории вероятности и зависит от проведенного числа измерений.

Если проведено большое число измерений (n30), то пользуются критерием грубых погрешностей.

- такой результат отбрасывают.

При малом числе измерений (n < 30) пользуются критерием, рекомендуемым положениями ГОСТ 8.207 – 76. Для исключения грубых погрешностей из результатов измерений по этому критерию проводят следующие операции.

1. Результаты группы из n наблюдений упорядочивают по возрастанию и по формулам (7) и (8) вычисляют оценки среднего арифметического и среднеквадратического отклонения наблюдений данной выборки. Для анормального результата рассчитывается коэффициент

(14)

2. Задаются уровнем значимости критерия ошибки , т.е. наибольшей вероятностью того, что используемый критерий может дать ошибочный результат. Этот уровень должен быть достаточно малым (0.05-0,1), чтобы вероятность ошибки была невелика. Далее по справочным данным для заданных значений n и находят предельное (граничное) tгр.

3. Выполняют сравнение коэффициентов tгр и t:

если t > tгр – анормальный результат относят к промахам и исключают;

если t < tгр – анормальный результат учитывают при обработке результатов наблюдений.

5 Суммирование систематических и случайных погрешностей

Погрешность сложных измерительных приборов зависит от погрешностей отдельных его блоков. Суммирование погрешностей производится по определенным правилам. В общем случае измерительный прибор состоит из n блоков, каждый из которых обладает как систематической , так и случайной среднеквадратической погрешностями.

1. Суммирование систематических погрешностей производится по алгебраическому закону с учётом знаков

2. Суммирование случайных погрешностей производится по квадратическому закону с учётом коэффициента корреляции. На практике обычно пользуются двумя крайними случаями, когда корреляция отсутствует, т. е. к= 0, тогда

(15)

к=1 - жёсткая корреляция.

(16)

3. Результирующая погрешность определяется квадратическим суммированием систематической и случайной погрешностей с учётом коэффициента корреляции.

При суммировании погрешностей используют критерий ничтожной погрешности: если частная погрешность меньше 0,3 общей погрешности, то этой частной погрешностью можно пренебречь.

6. Погрешности косвенных измерений

Погрешность косвенных измерений находится в соответствии с теоремой:

пусть физическая величина Z, значение которой определяют косвенным путём, представляет собой нелинейную дифференцируемую функцию Z=f(x1,x2…xq) и 1,2,… - независимые результаты прямых измерений значений аргументов X1, X2,…,Xq, полученные с абсолютными среднеквадратическими случайными погрешностями 1, 2,…,q, и содержащие соответственно абсолютные систематические погрешности 1, 2,…,q.

Тогда результат косвенного измерения, определяемый из выражения

А = f (X1, X2,…, Xq)

содержит абсолютную систематическую погрешность, определяемую соотношением:

, (17)

относительную систематическую погрешность:

, (18)

абсолютную случайную среднеквадратическую погрешность:

, (19)

относительную случайную погрешность:

. (20)

При оценке погрешности косвенных измерений необходимо пользоваться критерием ничтожных погрешностей.

Если частная погрешность составляет менее 30% от результирующей - её отбрасывают (на практике используют даже 40%).

Литература

1. Анисимов, В.П. Метрология, стандартизация и сертификация (в сфере туризма): Учебное пособие / В.П. Анисимов, А.В. Яцук. - М.: Альфа-М, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 253 c.

2. Аристов, А.И. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования / А.И. Аристов, Л.И. Карпов, В.М. Приходько. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 416 c.

3. Аристов, А.И. Метрология, стандартизация, сертификация: Учебное пособие / А.И. Аристов, В.М. Приходько, И.Д. Сергеев, Д.С. Фатюхин. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 256 c.

4. Архипов, А.В. Метрология. Стандартизация. Сертификация: Учебник для студентов вузов / А.В. Архипов, А.Г. Зекунов, П.Г. Курилов; Под ред. В.М. Мишин. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. - 495 c.

5. Басаков, М.И. Основы стандартизации, метрологии, сертификации: 100 экзаменационных ответов / М.И. Басаков. - Рн/Д: Феникс, ИКЦ МарТ, 2010. - 224 c.

6. Берновский, Ю.Н. Стандартизация: Учебное пособие / Ю.Н. Берновский. - М.: Форум, 2012. - 368 c.

7. Боларев, Б.П. Стандартизация, метрология, подтверждение соответствия: Учебное пособие / Б.П. Боларев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 254 c.

8. Герасимов, Б.И. English for quality management and standardization = Английский язык для специалистов в области управления качеством и стандартизации: Учебное пособие / Б.И. Герасимов, О.А. Гливенкова, Н.А. Гунина, Н.Л. Никульшина. - М.: Форум, 2011. - 160 c.

9. Димов, Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник для вузов. Стандарт третьего поколения / Ю.В. Димов. - СПб.: Питер, 2013. - 496 c.

10. Дубовой, Н.Д. Основы метрологии, стандартизации и сертификации: Учебное пособие / Н.Д. Дубовой, Е.М. Портнов. - М.: ИД ФОРУМ, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 256 c.

11. Зайцев, С.А. Метрология, стандартизация и сертификация в машиностроении: Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / С.А. Зайцев, А.Н. Толстов, Д.Д. Грибанов. - М.: ИЦ Академия, 2011. - 288 c.

12. Зайцев, С.А. Метрология, стандартизация и сертификация в машиностроении: Учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования / С.А. Зайцев, А.Н. Толстов, Д.Д. Грибанов. - М.: ИЦ Академия, 2012. - 288 c.

Классификация и методы учета погрешностей