Показательные и логарифмические уравнения в курсе Алгебры и начал анализа в 10 классе

Повышение уровня математической подготовки учащихся средствами систематизации учебного материала на примере изучения темы «Показательные и логарифмические уравнения» в курсе Алгебры и начал анализа в 10 классе. Дипломная работа

СОДЕРЖАНИЕ

[1] Виды групп

ВВЕДЕНИЕ

Согласно закону об образовании содержание образования должно обеспечивать формирование у обучающегося адекватной современному уровню знаний и уровню образовательной программы картины мира, формирование человека и гражданина, интегрированного в современное общество нацеленного на совершенствование этого общества. Должно учитывать разнообразие мировоззренческих подходов, способствовать реализации права обучающихся на свободный выбор мнений и убеждений (статья 14.от 13.01.1996 №12-Ф3 Закона об образовании РФ).

В настоящее время повышение уровня математической подготовки до уровня соответствующего современным требованиям общества в процессе обучения математике – одна из наиболее остро стоящих проблем обучения. Она диктуется, во-первых, всевозрастающей математизацией наук и производства, и вытекающей отсюда потребностью в собственно математиках; во-вторых, изменившейся в наше время парадигмой образования, ставящей в центр становление новых духовных ценностей.

Систематизация занимает важное место в развитии и воспитании мышления и памяти. Знания и умения только тогда являются действенным аппаратом мышления, когда в сознании учащихся они организованы в системы взаимосвязанных понятий. Объективным условием для систематизации является логическая структура учебного предмета. В которой различаются некоторые основные исходные понятия и другие более частные. Являясь формой организации материала, систематизация позволяет более продуктивно использовать память, т.к. освобождает от необходимости запоминать материал как сумму частных сведений и фактов за счет группировки их в более крупные единицы, которые легче удержать в сознании и воспроизвести [14].

Стремление к систематизации в виде простейших классификаций возникает уже у дошкольников. Дети на предметах осваивают операции отнесения части к целому, включения одной группы объектов в группу большего объема, выражая результаты этого упорядочивания своих впечатлений о вещах в словах «все», «некоторые», «один», «ни один» и т.п. Школьное обучение, направленное на овладение системой знаний, дает богатый материал и средства для формирования систематизации, которая развивается от форм, основывающихся на выделении внешнего сходства между предметами и явлениями, к формам, все более опирающимся на существенные отношения между изучаемыми объектами. Признаком совершенствования систематизации в связи с накопление знаний является возможность включать один и тот же объект в разные системы. Это позволяет раскрывать в нем все новые стороны.

Вопрос о проблеме систематизации учебного материала является одним из важнейших. Анализ учебников показывает, что систематизации, схематизации, методики ее формирования не уделяют достаточного внимания. В настоящее время, практически весь теоретический материал представлен в словесно–символьной форме, однако, «только 22% учеников полностью понимают материал, изложенный в учебниках»[4].

Таким образом, возникает проблема повышения уровня математической подготовки учащихся средствами систематизации. Решить эту проблему на наш взгляд возможно путем разработки и внедрения специальной методики изучения алгебры и начал анализа, основанной на различных приемах систематизации.

Проблемами систематизации занимались Шаталов В.Ф., Давыдов В.В., Виленкин Н.Я., Сохор А.М., Крамор В.С, Епишева О.В. и др.

Системность - есть всеобщее свойство материи, форма ее существования, а значит, и неотъемлемое свойство человеческой практики. Она является показателем качества результатов любой человеческой деятельности. Появление проблемы в деятельности – признак недостаточной системности, решение проблемы – результат повышение уровня системности [25].

Если на уроках математики используются наглядные пособия, схемы, структуры, алгоритмы, то изложение материала становится более доступным и понятным, помогает глубже и прочнее усвоить его, повышает эффективность и качество урока, это способствует более прочному и глубокому усвоению знаний, получаемых на уроках.

Объект исследования – Процесс систематизации учебного материала учащимися, направленный на повышение математической подготовки.

Предмет исследования – Методика изучения темы «Показательные и логарифмические уравнения» с использованием средств систематизации учебного материала на уроках алгебры в 10 классе, направленная на повышение математической подготовки.

Цель – Разработать методику преподавания, систему заданий по теме «Показательные и логарифмические уравнения», направленную на повышение математической подготовки учащихся и провести эксперимент.

Задачи:

1. Проанализировать психолого-педагогическую, методическую и учебную литературу по проблеме исследования;
2. Разработать систему заданий на систематизацию учебного материала по теме «Показательные и логарифмические уравнения» 3 уровней;
3. Разработать методику преподавания темы «Показательные и логарифмические уравнения» на основе систематизации, направленную на повышение математической подготовки
4. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Для решения поставленных задач используются методы исследования:

• теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по исследуемой проблеме.
• анализ учебных программ, учебников, учебно-методических пособий по математике для 10 класса по исследуемой проблеме.
• экспериментальная проверка и оценка основных положений исследования.

Гипотеза: разработанная методика изучения темы «Показательные и логарифмические уравнения», с использованием средств систематизации повысит математическую подготовку учащихся.

Практическая значимость состоит в разработке методических рекомендаций изучаемой темы «Показательные и логарифмические уравнения» для организации учебной деятельности:

• спроектированы цели;
• выбраны методы;
• разработана система заданий;
• разработаны средства наглядности, средства контроля, методические рекомендации для учителей и студентов в форме системы уроков, различные средства систематизации, система уроков.

Предложенные методические рекомендации могут быть использованы в работе учителей математики, студентов педагогических вузов и колледжей.

Апробация и внедрение материалов исследования осуществлялось в ходе экспериментальной работы в школе №5 города Нижневартовска в 10 В классе на уроках «Алгебра и начала анализа» с 14 ноября по 24 декабря 2005, учитель математики: Вдовина Зинаида Степановна.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены объект, цель, предмет, задачи и гипотеза исследования. Первая глава посвящена теоретическому обоснованию обучения систематизации учебного - теоретического и практического - материала, как метода познания, и ее основных характеристик, а также проблеме математической подготовки учащихся.

Во второй главе представлена методика изучения темы «Показательные и логарифмические уравнения» на основе систематизации и проведенные фрагменты уроков.

В третьей главе рассмотрен педагогический эксперимент, состоящий из 3 этапов: диагностирующий, формирующий и итоговый - диагностирующий.

В заключении приведены выводы и результаты проведенного исследования.

Список литературы представлен 27 наименованиями.

Глава 1. Средства систематизации учащихся при обучении старших школьников и их влияние на математическую подготовку

§1. Понятие систематизации учебного материала

Согласно педагогической энциклопедии понятие систематизация происходит от греческого «сочетание», «устройство», и обозначает «мыслительная деятельность, в процессе которой изучаемые объекты организуются в определенную систему на основе выбранного принципа [14].

Важнейший вид систематизации - классификация, т.е. распределение объектов по группам на основе установления сходства и различия между ними. Систематизации предшествует анализ, синтез, обобщение, сравнение, результаты которых используются и подытоживаются в систематизацию.

Исследования разного рода систем проводятся в рамках системного подхода. В психологическом словаре, «системный подход - методологический принцип, который по своему месту в иерархии уровней методологии науки выступает как связующее звено между философской методологией и методологией специальных наук» [19]. Он ориентирует исследование на раскрытие целостности объекта, на выявление многообразных типов связей в нем и сведение их в единое целое. Системность есть всеобщее свойство материи, форма ее существования, а значит, и неотъемлемое свойство человеческой практики. Она является показателем качества результатов любой человеческой деятельности. Появление проблемы в деятельности – признак недостаточной системности, решение проблемы – результат повышения уровня системности [25].

Также выделяют определение системного подхода в философии. «Системный подход – направление методологии, специально - научного познания и социальной практики, в основе которой лежит исследование объектов как систем. Он ориентирует исследование на раскрытие целостности объекта, на выявление многообразных типов связей в нем и сведение из в одну теоретическую картину. По своим познавательным установкам системный подход имеет много общего со структурализмом и структурно - функциональным анализом».

В философском словаре дают определение одному из дидактических принципов обучения систематичности и последовательности. Систематичность – это «принцип диалектико-материалистической методологии, выражающий философские аспекты системного подхода и служащий основой изучения сущности и всеобщих черт системного знания. Принцип системности в основном ориентирован на изучение стабильных форм, структурных зависимостей и соотношений. Системный подход – одно из методологических оснований синтеза и интеграции современного научного знания. Принцип системности служит методом, способом выявления системной специфики теоретко-познавательных средств, применяемых в естественно-научных сферах» [27].

В толковом словаре систематизировать – значит, приводить что-то в систему. Следовательно, систематизировать учебный материал – привести учебный материал в систему. Что же значит «система»?

Система определяется как совокупность элементов (компоненты системы), находящийся в отношениях и связях друг с другом, которые образуют определенную целостность, единство. В качестве общих характеристик выступают: целостность, взаимосвязь со средой, иерархичность, множественность описания [26]. Это понятие по логике связано с понятием структура.

Структура – (от лат. взаиморасположение, строение) совокупность устойчивых связей между множеством компонентов объекта, обеспечивающих целостность [20].

В словаре Ожегова С.И. структура – «это представление данных в схематическом, табличном и других видах» [12].

А.М. Сохор понимает логическую структуру отрезка учебного материла как систему внутренних связей между понятиями и суждениями, входящими в данный отрезок. Усвоение знаний учащимися в процессе обучения означает формирование и упрочнение определенной системы связей, включающей уже имевшиеся в сознании учащегося сведения [24].

§2. Фундаментальные формы систематизации

Систематизация очень обширное понятие, оно встречается и в формах мышления (в виде классификации, обобщении), и в дидактических принципах, и в классификации уроков, и в структуре урока. Поэтому, рассмотрим это понятие с точки зрения методологии, форм познания и форм мышления.

Так как мы выяснили, что классификация является видом систематизации, а систематизации предшествует анализ, синтез, обобщение, сравнение, результаты которых используются и подытоживаются в систематизацию, то, следовательно, мы не сможем понять что такое систематизация пока не раскроем понятия методов научного познания.

Психологи дают следующие определения:

«Сравнение - метод научного познания, который дает возможность мысленно установить сходства или различия объектов или явлений».

«Обобщение - метод научного познания, при котором выделяются существенные свойства объектов или явлений, несущественные отбрасываются».

«Анализ - метод научного познания, при котором объект, предмет или суждение разбивается на части, составляющие».

«Синтез - метод научного познания, при котором из частей составляется целое, общее».

«Классификация - метод научного познания, при котором объединение объектов выполняется по какому - либо определенному признаку».

Еще одной разновидностью систематизации является обобщение. Проблемой обобщения занимался психолог В.В. Давыдов. «Обобщение – это мысленное выделение фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений» [10]. Обобщение используется при формировании понятий.

Высшей формой понятийного мышления является структурное мышление. Такой тип мышления, который отражает тенденции к быстрому сокращению, «свертыванию» рассуждений, к мышлению сокращенными умозаключениями, «свернутыми» структурами очень характерен для математической деятельности.

Рубинштейн С.Л. писал: «Осмысление материала включает в себя все мыслительные процессы: сравнение, сопоставление и различение, анализ и синтез, абстракцию, обобщение и конкретизацию, переход от конкретного, единичного к отвлеченному общему и от абстрактного, общего к наглядному, единичному, словом, все многообразие процессов, в которых совершается раскрытие предметного содержания знания и в его все более глубоких и многосторонних взаимосвязях» [23].

Можно представить такую схему видов систематизации.

Схема 1. Виды систематизации

В дидактике многочисленны попытки разработать систему дидактических принципов в работах исследователей нового времени [22]. Их анализ позволяет выделить в качестве основополагающих, общепризнанных следующие принципы:

• сознательности и активности;
• наглядности;
• систематичности и последовательности;
• прочности;
• научности;
• доступности;
• связи теории с практикой.

Систематичность и последовательность в обучении - один из дидактических принципов. Систематичность в обучении предполагает усвоение знаний, навыков и умений в определенной логической связи, когда ведущее значение имеют существенные черты изучаемого и когда оно, взятое в совокупности, представляет собой целостное образование, систему.

Приучение учащихся к систематизации и последовательности начинается с соблюдения ими определенной логики изложения в устных и письменных ответах, в рассуждениях о плане решения задачи и т.п.

Усваивая систему знаний по данному предмету, учащиеся познают связь его с другим предметом. Важно, чтобы учащиеся овладели определенной совокупностью приемов ли операций при усвоении каждого навыка, умения. Объединение частей в целое дает лучшее познание целого и его частей. С этой целью необходимо применять обобщающее повторение по более или менее крупным разделам предмета, а затем и по предмету в целом этому служат специально проводимые уроки, составление схем, таблиц и т. п.

В практической деятельности принцип систематичности реализуется путем соблюдения 26 правил обучения, но мы перечислим главные:

1. Используйте схемы, планы, чтобы обеспечить усвоение системы знаний.
2. Не ставьте на уроке ни одного вопроса, не вносите в план ни одного пункта, на основательное раскрытие и рассмотрение которого не рассчитываете.
3. Не допускайте нарушения системы, как в содержании, так и в способах обучения, а если система нарушена, немедленно ликвидируйте пробелы, чтобы предупредить неуспеваемость.
4. Формируйте понятие о своем предмете как о частице науки, реальной действительности. Используйте межпредметные связи.
5. Используйте передовые достижения методики обучения: оставляйте опорные конспекты, структурно-логические схемы,
6. Чаще повторяйте и совершенствуйте ранее усвоенное, чтобы обеспечить систематичность и последовательность в обучении.
7. В конце раздела обязательно проводите уроки обобщения и систематизации.
8. Требуйте усвоения системы знаний, умений, навыков по каждому разделу и по всей программе.
9. Забытые знания быстро восстанавливаются в системе, без нее – с большим трудом [22].

Если не соблюдать системы и последовательности в обучении, то процесс развития учащихся замедляется.

Современная дидактика анализирует урок более глубоко. На сегодняшний день разработано несколько классификаций уроков: по дидактической цели (М.И. Махмутов); по основному этапу учебного процесса (С.В. Иванов); методах обучения (И.Н. Борисов); способам организации учебной деятельности учащихся (Ф.М. Кирюшкин) [14]. Мы будем рассматривать классификацию по дидактической цели:

• уроки изучения нового материала;
• формирования и совершенствования умений и навыков;
• уроки обобщения и систематизации;
• уроки контроля и коррекции знаний, умений и навыков;
• комбинированные (смешанные уроки).

Для рассмотрения нашей темы рассмотрим урок обобщения и систематизации. Урок этого типа нацелен на решения двух основных дидактических задач. Первая — установление уровня овладения учащимися теоретическими знаниями и методами познавательной деятельности по узловым вопросам программы, имеющим решающее значение для овладения предмета в целом. Вторая – проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся по всему программному материалу, изучаемому на протяжении длительных периодов — четверти, полугодия и за весь год обучения.

Психологически такие уроки стимулируют учащихся к систематическому повторению больших разделов, крупных блоков учебного материала, позволяет им осознать его системный характер, раскрыть способы решения типовых задач и постепенно овладевать опытом их переноса в нестандартные ситуации при решении возникающих перед ними новых необычных задач.

Уроки обладают своей спецификой. Обычно учитель при проведении такого урока заранее называет вопросы для повторения, указывает источники, которыми учащиеся должны воспользоваться, задает подготовительные задания на дом. Кроме того, в старших классах предварительно проводят обзорные лекции, групповые консультации, индивидуальные собеседования дают рекомендации по подготовке к самостоятельной работе [14].

В практике обучения чаще всего выделяют следующие этапы урока:

1. постановка целей,
2. проверка домашнего задания,
3. объяснение нового материала,
4. закрепление, повторение ранее изученного,
5. обобщение и систематизация новых знаний,
6. контроль знаний и умений,
7. постановка домашнего задания.

В содержании учебного материала в школьном курсе математики выделяют 2 крупных блока: теоретический материал и практические задания. Теоретический материал представлен понятиями и их определениями: утверждениями (теоремами, свойствами, признаками), алгоритмами (правилами, формулами и т.д.) [9].

Систематизации учебного материала, глубокому пониманию его и формированию прочных знаний способствует организация повторения на уроках математики. Эмоциональная память, опирающаяся на наглядно-образные процессы, постепенно уступает памяти с логическими процессами мышления, основанными на умении устанавливать связи между известными, классифицировать их, обосновывать свои высказывания. Особо важное значение для организации успешного обучения имеет систематическое повторение ранее изученного, связанного с данным уроком, с материалом предшествующих лет, т.е. систематическое возвращение к ранее изученному [11]. Например, при изучении логарифмических уравнений полезно вспомнить с учащимися свойства логарифмов, ранее изученные уравнения, которые они уже знают и умеют решать, и на этой основе ввести способы решения логарифмических уравнений – приведение к квадратному уравнению, использование определения и свойств логарифма и др.

Наряду с повторением, предваряющим изучение нового материала, выполнение практической работы, проводится повторение при закреплении и направлено на обобщение изученного, выделение главного. Повторение в конце темы или курса несет обзорный характер и способствует систематизации знаний по теме, курсу.

В.Д. Шадриков предлагает такие способы произвольного или организованного запоминания:

«Группировка – деление материала на группы по каким-либо основаниям (по смыслу, ассоциациям); выделение опорных пунктов, полная – совокупность опорных пунктов; классификация – распределение каких –либо предметов по классам, группам на основе общих признаков».

«Структурирование – установление взаимного расположения частей, составляющих целое».

Систематизация очень обширное понятие, оно встречается и в формах мышления (в виде классификации), и в дидактических принципах, и в классификации уроков, и в структуре урока. Но определение «систематизация учебного материала» подразумевает представление информации в сжатой, краткой, наглядной форме которая легче будет восприниматься учащимися в процессе обучения., а, следовательно, облегчать процесс усвоения знаний учащимися. «Изучение математики включает в себя изучение языка математики и понимания его логической структуры. Понимание логической структуры определений понятий, аксиом, теории и доказательств является необходимым условием усвоения математического знания» [11].

§3. Средства систематизации

Сначала дадим определение средства обучения. Понятие средства в словаре Ожегова С.И. определяется как прием, способ действия для достижения чего-либо. И вторая интерпретация – это орудие, предмет для осуществления какой-либо деятельности [12].

«Средства обучения – все объекты и процессы, которые служат источником учебной информации и инструментами для усвоения содержания учебного материала, развитие и воспитание учащихся» [17].

К средствам обучения относят различные материальные объекты, в том числе искусственно созданные специально для учебных целей и вовлекаемые в воспитательно-образовательный процесс в качестве носителей учебной информации и инструмента деятельности педагога и учителя.

Термину «Средства обучения» соответствуют эквиваленты: «учебные оборудования», «учебно-наглядные и учебные пособия», «дидактические средства».

Средства преподавания помогают возбудить и поддерживать познавательные интересы учащихся, улучшают наглядность учебного материла, делают его более доступным [13].

Что же значит «средства систематизации»?

Как было сказано, важным видом систематизации является классификация и обобщение, однако систематизация не сводится только к этим методам научного познания. К систематизации приводит также установление причинно-следственных отношений между изучаемыми фактами, выделение основных единиц материала, что позволяет рассматривать конкретный объект как часть целой системы.

Систематизация используется практически на всех этапах учебного процесса в форме составления схем и таблиц, в которых представлены результаты обработки некоторых фактических данных или обобщены факты, относящиеся к какому-либо разделу учебного материла. Использование различного рода таблиц, схем, формул не только завершают систематизацию уже изученного материала, но могут быть использованы и в процессе его изучения. При таком пути изучения материала у учащихся формируются обобщенные и систематизированные знания данного раздела.

Особое значение схемам придают ряд авторов. Н.В. Талызина выделяет схемы как способы необходимой материализации некоторых сторон умственной деятельности. О том, что схема переводит решение задачи из абстрактно-словесного в относительно конкретный план, пишет М.Э. Боцманова. Т.С. Сухогубская указывает, что схематическая наглядность способствует укрупнению «единиц информации», создает возможность для одномоментного рассмотрения всех данных задач.

Следовательно, из вышесказанного мы можем составить общую схему средств систематизации.

Схема №2. Средства систематизации

Таким образом, при использовании в обучении различных средств систематизации является эффективным методом повышения уровня математической подготовки учащихся.

§4. Математическая подготовка. Уровни математической подготовки

«Подготовка – запас знаний, навыков, полученный кем-нибудь»[10]. Понятие подготовки можно рассматривать как:

1. «готовить кого-то», в нашем случае школьников, «делать годным, готовым для использования, для какой-нибудь цели»;

2. «работать над выполнением, осуществлением чего-нибудь» [10].

Говоря о математической подготовке, за основу будем принимать запас знаний, навыков по математике полученный кем-нибудь.

Уровневая дифференциация основывается на планировании результатов обучения на двух уровнях: уровне обязательной подготовки и повышенном уровне.

Психолого-педагогические исследования показывают, что в школьной практике знания и умения учащихся оценивают на следующих уровнях:

1 уровень - репродуктивный, уровень осознанного воспринятого и зафиксированного в памяти конкретного знания;

2 уровень - реконструктивный, ученик готов применить знания в знакомой ситуации, по образцу;

3 уровень - творческий – ученик переносит знания в незнакомую ситуацию;

4 уровень - вариативный, в котором ученик сам выводит способы решения.

В.П. Беспалько различает четыре уровня: I - уровень знакомства, II – уровень «репродукции», III - уровень умений, IV - уровень трансформации [3].

Епишевой О.Б. выделены уровни сформированности знаний учащихся при изучении линии «Уравнения и неравенства», которую мы и возьмем за основу для нашего исследования.

I уровень	II уровень	III уровень
Ученик знает
Общие и специальные термины, процесс решения, формулы и алгоритмы решения простейших уравнений	Определения видов уравнений, формулировки их общих и различных свойств, приемы решения и проверки, решение текстовых задач методом уравнений.	Обоснование методов и приемов решения уравнений, искусственные приемы их решения, решение задач методом уравнений, приемы их переноса.
Ученик понимает
Правильно воспроизводит термины, формулировки формул, правил, алгоритмов, выполняет простейшие иллюстрации к задачам, приводит примеры.	Интерпретирует методы и приемы решения уравнений, используя блок-схемы, графики, числовую ось, подводит уравнение под прием решения, выделяет главное в частных и специальных приемах их решения	Имеет представление об уравнениях как моделях разнообразных задач, выделяет идеи обобщенных методов решения и связи между ними, выводит следствия, находит новые приемы решения
Ученик умеет
Решает простейшие уравнения по данным формулам, алгоритмам, по образцу, проверяет решение подстановкой, находит в учебнике ответы.	Решает типовые и прикладные задачи в стандартных ситуациях, самостоятельно выбирая и используя формулы, алгоритмы, составляет простейшие задачи, выделяет главное в учебном тексте	Решает уравнения с параметрами, типовые задачи методом уравнений в нестандартных ситуациях, самостоятельно используя обобщенные и искусственные приемы решения, проверки и переноса.

Таблица1. Уровни сформированности учебной деятельности

В дальнейшем, при проведении эксперимента мы будем опираться на данную классификацию уровней сформированности знаний.

§5. Влияние средств систематизации на уровни математической подготовки школьников

Математическая подготовка важна, т.к. ее уровень постоянно оценивается в школах при промежуточных и итоговых аттестациях, а также при сдаче единого государственного экзамена в конце 11 класса по математике. Сдача единого государственного экзамена по математике является обязательной программой для получения аттестата о полном среднем образовании. А для подготовки к экзамену необходимо повторять и систематизировать учебный материал с учащимися. Таким образом, использование элементов систематизации в учебном процессе оказывают огромное влияние при подготовки учащихся к единому государственному экзамену.

Гусев В.А. отмечает, что «фундаментом во всем многообразии» классификаций параметров математических способностей «являются мыслительные процессы, это выдвигает на первый план процессы формирования приемов мыслительной деятельности». Процесс обучения систематизации целиком опирается на закономерности мыслительной деятельности и направлен, прежде всего, на выработку умений выполнять такие мыслительные операции, как анализ и синтез, сравнение и обобщение, абстрагирование и конкретизация, классификация и систематизация, - следовательно, способствует развитию мышления, а значит и повышению математической подготовки.

Математический объект не может быть правильно понят, если рассматривать его в изолированном виде вне его связи с другими объектами. Практика показывает, что там, где этот принцип нарушается, понимания материала не получается. Очень важно научить ученика выводить некоторые следствия из изучаемого факта. Именно процесс получения таких следствий обеспечивает понимание самого факта [6].

При использовании средств систематизации учебного материала у учащихся формируются обобщенные и систематизированные знания данного раздела, что существенно влияет на ход и эффективность мыслительных операций.

Глава 2. Методика обучения учащихся систематизации учебного материала на уроках алгебры

§1. Цели и содержание темы «Показательные и логарифмические уравнения»

Цели:

1. ознакомить учащихся с понятием уравнение и его отдельных видов;
2. овладение учащимися приемами решения (алгебраического и графического) уравнений;
3. формировать обобщенного приема решения произвольного уравнения, не являющегося простейшим;
4. развить аналитическое мышление;
5. воспитать культуру устной и письменной математической речи.

Содержание этого материала позволяет продолжить развитие познавательных процессов, речи и умения учиться, алгоритмического и обобщенного мышления, элементов творческой деятельности при решении основных типов задач.

Для разработки методики, направленной на повышение математической подготовки средствами систематизации нами было проанализировано 2 учебника алгебры и начал анализа, результаты которого приведены в таблице №2.

В учебнике Алимова Ш.А. структура материала по теме «Показательные уравнения» построена следующим образом: дается определение показательного уравнения в текстово-символьной форме, потом следуют примеры решения простейших уравнений, далее следуют практические задания. В учебнике Колмогорова А.Н. определение показательного уравнения дано конструктивным способом, а далее аналогично предыдущему учебнику.

Определение «логарифмическое уравнение» в учебнике Алимова Ш.А. вообще не рассматривается, а сразу даются примеры решения логарифмических уравнений. В учебнике Колмогорова А.Н. нет определения, но дана формула логарифмического уравнения.

Название учебника	Количество в теории	Количество заданий на системати зацию.	Количес тво заданий всего
	Таблицы	Схемы	Алгоритмы	Формулы	Определение	классификации
Ш.А. Алимов Тема: «Показательные уравнения».	0	0	8	1	Тектово-символьная форма	0	8	40%	39,5%	20
Тема: «Логарифмические уравнения».	0	0	7	0	Нет определения	0	7	39%		18
А.Н.Колмогоров Тема: «Показательные уравнения».	0	0	4	1	В виде формулы	0	4	25%	34,3%	16
Тема: «Логарифмические уравнения».	0	0	7	1	В виде формулы	0	8	42%		19

Таблица 2. Анализ учебников

Анализ литературы показал, что в учебнике Алимова Ш.А. задания, направленные на систематизацию знаний составляет всего 39,5%. В учебнике Колмогорова - 34,3%. Содержание материала не содержит систем, классификаций.

Анализ действующих учебников показал, что проблеме систематизации, схематизации, методики ее формирования не уделяют достаточного внимания. В настоящее время, как показывает анализ учебной литературы, практически весь теоретический материал представлен в словесно–символьной форме, «только 22% учеников полностью понимают материал, изложенный в учебниках» [4]. Однако существует различный дидактический материал для абитуриентов, для учащихся, в которых представлен весь школьный курс в схемах и таблицах. Например, Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа», Епишева О.Б., Волкова Е.Е. «Повторим математику, Алгебра в таблицах. 7-11 класс.- Справочное пособие». Их необходимо использовать на уроках как помощь учащимся.

§2. Система заданий, направленная на систематизацию знаний по теме «Показательные и логарифмические уравнения»

«Показательное уравнение – уравнение содержащее переменную в показателе степени».

«Логарифмическое уравнение – это уравнение, содеражщее переменную под знаком логарифма».

«Система – совокупность элементов, находящийся в отношениях и связях друг с другом, которые образуют определенную целостность, единство» [24].

Система заданий по теме «Показательные и логарифмические уравнения» была разработана для осмысления и углубления теоретического материала, выработке навыков решения уравнений, математическому и общему развитию учащихся.

1 уровень.

1 Задание. Решите по аналогии уравнения.

2 Задание. Решите по приведенному алгоритму уравнение.

3 Задание. Вставить пропущенные элементы в формулах.

4 Задание. Распознать какое из уравнений показательное и логарифмическое?

5 Задание. Сформулировать основные определения, теоремы, свойства в изученной теме.

2 уровень.

1 Задание. Заполните пропуск в алгоритме при решении уравнения:

2 Задание. Заполните классификацию уравнений по методам решения

3 Задание. Решите уравнения показательные и логарифмические.

4 Задание. Приведите пример уравнений по каждому из методов решения.

5 Задание. Определить истинна или ложна данная формула, схема.

3 уровень.

1 Задание. Составьте кроссворд по теме «Логарифмические уравнения» из 10 слов.

2 Задание. Выведите общий алгоритм решения логарифмических уравнений.

3 Задание. Составьте свою собственную классификацию логарифмических уравнений, по одному из признаков.

4 Задание. Решите уравнения и укажите метод, которым пользовались.

5 Задание. Найти ошибки, допущенные в решении.

§3. Методика проведения уроков по теме «Показательные и логарифмические уравнения» с использованием средств систематизации, направленная на повышение математической подготовки учащихся

Изучение темы «Показательные и логарифмические уравнения» с использованием средств систематизации проходило на разных этапах урока.

1) На этапе актуализации знаний

Урок №1. Подготовка к контрольной работе

Тема: Показательные уравнения.

Цели: 1. Систематизировать и обобщить знания учащихся;

2. развить интерес к математике;

3. воспитать культуру математической речи.

Задание: Необходимо составить примерную схему решения уравнений.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Какое уравнение называется показательным? 2. Что значит решить уравнение? 3. Сколько может быть корней? Корнем могут быть все действительные числа? Почему? Какие виды уравнений вы знаете? Приведите пример? Каким способом решается простейшее уравнение? Какие условия должны при этом соблюдаться? Какие еще уравнения вы решали? Каким методом вы пользовались? Какой еще существует метод решения показательного уравнения? В чем он заключается? А при решении более сложных уравнений вы всегда их сначала приводили к простейшим используя свойства степени и тождественные преобразования.	Отвечают на вопросы уравнение в котором неизвестное содержится в показателе степени найти все корни один Да Т.к. показательная функция изменяется на R. простейшее, 4 x=64 - приводим к уравнению вида a f(x)= a g(x), и решаем равносильное ему уравнение f(x)=g(x) - f(x)>0, g(x)>0 в виде квадратного уравнения методом замены графический он заключатся в том, что	a x = b 1. a f(x)= a g(x) 2. f(x)=g(x) f(x)>0, g(x)>0 A a2x +B ax + C=0 1. ax= t 2. A t2 +B t+C=0 3. возвращались к замене и решали a x = t уравнение .

2) На этапе изучения нового материала.

Урок №5

Тема: Логарифмические уравнения

Цели: 1. Рассмотреть простейшие логарифмические уравнения, и способы их решения.

2. развить алгоритмическую культуру;

3. воспитать самостоятельность.

Задание: на доске таблица виды уравнений по методам решения, которую необходимо заполнить до конца урока.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
Какие виды уравнений вы знаете? 1. Какими способами известными вам вы решали уравнения? 2. Этими же методами мы воспользуемся при решении логарифмичес ких уравнений. 3. Посмотрите на доску. Какое это уравнение? 4. Мы можем найти х? Чем воспользуемся? 5. Чему будет равно х? 6. Это простейшее уравнение. Именно к нему мы будем приводить логарифмиче ское уравнение, если выберем метод приве дения к простейшему. 7. Итак, к нашим методам прибавился еще один: используя определение логарифма. 8.решим уравнение метод выберем приведе ние к простейшему. Каким образом будем приводить к простейшему? Теперь запишем алгоритм решения. Следовательно решением логарифмического уравнения logax=b является система	Отвечают на вопросы приведение к простей шему, замена, графи ческий. логарифмическое да, воспользуемся определением х=4 записывают в тетрадь определение 1. Воспользуемся свой ством логарифма 2. Воспользуемся опред елением логарифма 3. Решим квадратное уравнение, найдем корни 4. Выполним проверку; 5. Записываем ответ.	Виды логарифмических уравнений простейшие Log 5 x = 625 Х=4 Loga х = b, x =a b a>0, a 1 log 2 (x+1)+log 2 (x+3)=3 1. log 2 (x+1)* (x+3)=3 2. log 2 (х2 +4х+3) =3 3. 8= х2 +4х +3, 4. х1 =1 , х2 = - 5, 5. х1 =1 подходит х2 = - 5 не удовлетворяет условиям 6. х1 =1. logax=b

3) На этапе систематизации и обобщения знаний.

Урок №2

Тема: Логарифмы. Понятие логарифмов.

Цели: 1. Введение понятия логарифма и основных формул

2. развить интерес к математике;

3. воспитать ответственность.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Итак, повторим, что называется логарифмом числа? 2. Какие должны соблюдаться условия? 3. Как называется действие нахождения логарифма? 4. Как называется b? 5. Как называется a? 6. Что такое х? Какую формулу вы сегодня запомнили? Заполните пропуск.	Отвечают на вопросы показатель степени в которую надо возвести, чтобы получить b. Логарифмированием Подлогарифмическим тождеством Основанием логарифма Показатель степени основное логарифмическое тождество	Loga b = x a x = b, a>0, a 1 =

Урок №3

Тема: Свойства логарифмов.

Цель: 1. Рассмотрение свойств логарифма;

2. развить логическое мышление;

3. воспитать трудолюбивость и ответственность.

Задание: Заполнить пропуски в формулах, которые даны на доске.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. сколько мы сегодня свойств логарифма изучили? 2. продолжите: логарифм произведения равен… 3. логарифм частного равен… 4. сумма логарифмов равна … 5. разность логарифмов ... 6. заполните пропуски в формулах (на доске)	4 сумме логарифмов разности логарифмов логарифм произведения логарифм частного	loga - log c = loga log a b log a c = log (bc) log br = loga b log a b = log a =

Урок №7

Тема: Логарифмические уравнения

Цель: 1. Сформировать навыки решения уравнений;

2. развить логическое мышление;

3. воспитать культуру математической устной и письменной речи.

Задание: заполнить схему.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. познакомимся с еще одним способом, логарифмированием? он используется когда неизвестное содержится и в основании и в показателе степени 2. по какому основанию прологарифмируем? Итак теперь вы узнали, что в логарифмическом уравнении неизвестное может содержаться не только в подлогарифмическом выражении, но и ….	по основанию 10 в показатели степени в основании	xlg x =10 000 lg (xlg x) = lg 10 000 lg x lg x =4 lg x =2 x=100

4) На этапе самостоятельной работы.

Урок №4

Тема: Свойства логарифмов.

Цели: 1.Проверить ЗУН учащихся при решении заданий;

2. развить логическое мышление;

3. воспитать самостоятельность и ответственность.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
Учащимся предлагается карточка с заданиями	Выполняют задания самостоятельно

5) На этапе закрепления знаний на практике

Урок №5

Тема: Логарифмические уравнения

Цели: 1. Рассмотреть простейшие логарифмические уравнения, и способы их решения.

2. развить аналитическое мышление.

Задание: на доске таблица «Виды уравнений по методам решения», которую необходимо заполнить до конца урока.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Рассмотрим следую щее уравнение решение этого уравнения сводится к системе самостоятельно попытайтесь решить. При затруднениях решаем вместе 2. Решим уравнение каким методом воспользуемся? 3. Какие будут предложения? А теперь заполним схему и запишем общий алгоритм решения уравнений.	решают самостоятельно введем замену определили вид уравнения выполнили преобразования решили известным методом полученное уравнение выполнили проверку записали ответ	lg(2x 2 –4x+12)= = lg(x2+3х) Loga x =loga y Log 3 x + log x 3 = 5/2 1) t = Log 3 x log x 3 = 1/t 2) t+ 1/t =5/2 2t2 – 5t +2 =0 3) t1=2, t2=1/2 4) Log 3 x= 2, Log 3 x=1/2 5) x=9, x= 3 Общий алгоритм: определить вид уравнения выполнить преобразования решить известным методом полученное уравнение проверка ответ

Урок №6

Тема: Логарифмические уравнения

Цели: 1. Повторить и закрепить знания при решении уравнений;

2. развить логическое мышление;

3. воспитать ответственность.

Задание: Заполнить пропуск в алгоритме решения уравнения

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
1. Решите и заполните пропуск в алгоритме решения. 2. Сверим ответ. 3. придумайте свой пример с пропущенным этапом решения.	-	Log2 x – 2log x2 = - 1 введем замену, решим квадратное уравнение, …, выполним проверку, запишем ответ: log4 (2x-1)* log4 x =2log4 (2x-1) перенесем все в левую часть; вынесем общий множитель; …; найдем корни уравнений; выполним проверку; запишем ответ.

Урок №8

Тема: Подготовка к контрольной работе

Цели: 1. Систематизация и обобщение знаний,

2. выявить и ликвидировать пробелы в знаниях;

3. развить интерес к математике.

Задание: заполнить пропуски в карточках.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
Этап закрепления Выдаются карточки с заданиями и проводится анализ решения уравнений.	Решают самостоятельно. Сдают работы. Вместе с учителем решают те же задания, что и на карточках, задают вопросы.

Для того, чтобы проверить умения учащихся были разработаны контрольные срезы для начального и заключительного этапов экспериментального исследования, которые были предложены учащимся в качестве домашнего задания.

Глава 3. Экспериментальная проверка разработанной методики

§1. Введение

Цель – установить степень изменения уровня математической подготовки под воздействием использования на уроках средств систематизации.

Задачи:

1. разработать анкету для выявления у учащихся представлений о систематизации.
2. разработать способ оценивания уровня сформированности умений путем разработки контрольных заданий.
3. разработать материал экспериментального обучения.
4. провести экспериментальное обучение и осуществить измерение результатов обучения.
5. провести измерение уровня математической подготовки до и после эксперимента.
6. сравнить уровень умений сформированных под воздействием алгоритмического метода.

Гипотеза: Реализованный метод изучения темы «Показательные и логарифмические уравнения» на основе систематизации в период экспериментального исследования будет способствовать повышению уровня математической подготовки учащихся.

Объект исследования – Деятельность учащихся, направленная на формирование умений систематизировать материал, выделять алгоритм, решать уравнения.

Предмет исследования – Умения систематизировать учебный материал с помощью различных средств систематизации.

§2. Этапы эксперимента

Эксперимент разделен на 3 этапа: диагностирующий, формирующий и диагностирующий.

Цель диагностирующего этапа: установить уровень умения выполнять систематизацию материала.

Цель формирующего этапа: на основе полученных данных, формировать навыки систематизации материала с помощью специально подобранных заданий.

Цель итогового диагностирующего этапа: определить уровень сформированности умений под воздействием разработанной методики. На всем протяжении эксперимента используется константная группа – это учащиеся 10 класса.

Программа эксперимента

№	1	2	3
Этапы	Диагностирующий	Формирующий	Диагностирующий
Цель этапа	Установить уровень умения выполнять систематизацию материала	Формирование навыков систематизации материала с помощью специально подобранных заданий	Определение уровня сформированности умений под воздействием разработанной методики
Виды групп  Copyright © yurii.ru - 2023