Проблема формирования агрегированных экономических показателей: индексы Дивизиа-Конюса

Зоркальцев В.И.

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, г. Иркутск

Работа выполняется при финансовой поддержке РГНФ, грант № 09-0200278а

Рассматривается проблема агрегирования экономических показателей на примере задачи выбора методов построения индексов цен и объёмов товаров. Эта задача обсуждалась с разными уровнями глубины в работах многих экономистов и статистиков. В результате многолетних дискуссий предложено огромное количество методов расчёта экономических индексов, приводящих порой при одних и тех же исходных данных к сильно различающимся результатам [1-4]. Причём расхождения возрастают в периоды активных изменений в экономике: индексы цен и объёмов товаров становятся наименее надёжными (наиболее неоднозначными), когда они наиболее необходимы.

На основе аксиоматического подхода, являющегося развитием введённого почти 100 лет назад И.Фишером [1] тестового анализа методов расчёта индексов, доказано, что проблема выбора метода построения экономических индексов не может быть решена в рамках статистического подхода, когда индексы цен и объёмов представляются в виде некоторых преобразований наборов значений цен и объёмов товаров двух сравниваемых периодов. В докладе приводятся доказанные автором теоремы о противоречивости общепризнанных требований к методам расчёта экономических индексов. Обсуждаются аналогичные результаты других авторов [5-7]. При этом исследуется правомерность введения отдельных требований к методам расчёта индексов, проблема выбора адекватной математической их формулировки.

Пусть – множество мерных векторов с положительными компонентами. Обозначим – искомые индексы цен и объемов рассматриваемых товаров с номерами , сопоставляющими период с периодом , . Различные, предназначенные для статистической практики методы расчета индексов можно представить как функции четырех векторов из :

Здесь – векторы цен и объемов товаров периода , с которым производится сравнение, и периода , который сравнивается. Обозначим – множество отображений четырех векторов из в .

Приводимые ниже требования к функциям и , сформулированные на основе тестов Фишера [1], являются общепризнанными условиями "правильности" построения индексов.

1. Мультипликативность (тест стоимости) – произведение индексов цен и объемов товаров должно дать темп роста стоимости товаров

(1)

2. Требования о среднем – индексы цен (объемов) должны быть средней величиной темпов роста цен (объемов) отдельных товаров

(2)

(3)

3. Транзитивность – для трех периодов времени

(4)

(5)

В препринте [8] и затем в статье [9] доказана

Теорема 1. Требования (1) – (5) являются противоречивыми. В множестве не существует отображений и , для которых выполняются все эти требования.

В порядке организации дискуссии планируется обсудить возможные пути выхода из трудностей в выборе методов построения экономических индексов, в том числе за счёт: 1) нахождения методов, удовлетворяющих максимально широким непротиворечивым наборам требований; 2) параллельного построения и использования двух или большего количества систем индексов, расхождения между которыми могут нести полезную информацию (например, индексы Ласпейреса и Пааше); 3) выбора метода в зависимости от экономической ситуации, оцениваемой на основе аналитической концепции в индексологии.

В связи с выявившейся неразрешимостью проблемы построения индексов в рамках статистического подхода полезно рассмотреть возможность формирования хотя бы теоретических (пусть не пригодных в явном виде для практики) непротиворечивых концепций формирования индексов. На эту роль претендуют индексы в непрерывном времени Ф. Дивизиа [10] и аналитические индексы, введенные А. Конюсом [11].

Пусть – дифференцируемые вектор-функции времени из , компоненты которых соответствуют ценам и потокам объема товаров . Индексами цен и объемов Дивизиа, сопоставляющими момент времени с моментом времени будут величины

где

– поток стоимости всех товаров в момент времени .

Индексы Дивизия удовлетворяют требованию мультипликативности

и, можно с некоторой условностью считать, требованиям транзитивности. Вместе с тем эти индексы могут приводить к странным с экономических позиций результататм. Так, возможна такая траектория изменения цен и объемов товаров [12], у которой конечное состояние совпадает с исходным

и при этом индексы Дивизиа показывают возрастание цен и снижение объемов

Это, в частности, означает нарушение требования о среднем значении – темпы роста за период всех цен и объемов в этом случае равны 1. Главной "странностью" индексов Дивизиа, иллюстрируемой указанным примером, является их зависимость от траектории [7, 12]. Если бы в течение всего периода векторы цен и объемов оставались неизменными, то оба индекса Дивизиа имели бы равное единице значение.

Аналитическая концепция индексов [3, 11, 13] исходит из того, что цены и объемы товаров формируются не произвольно, а взаимосвязанно, например, из модели выбора покупателя. Причем, как показано в [12, 14], аналитические индексы, дабы избежать неоднозначности в их определении, следует рассматривать в рамках индексов непрерывного времени Дивизиа.

Пусть – функция полезности от вектора интенсивности потока благ в какой-то момент времени, – вектор цен из в момент времени , – положительная величина, интенсивность потока денежных средств в момент времени . Обозначим

(6)

– вектор выбираемых в момент времени интенсивностей потока благ. Считаем, что – дифференцируемая вектор-функция, – дифференцируемая функция.

Пусть – множество функций полезности , для которых задача (6) имеет единственное решение при любых . Причем является дифференцируемой вектор-функцией, если дифференцируемой является вектор-функция и функция .

Функцию полезности из назовем псевдооднородной, если для векторов и , являющихся решениями задачи (6) при данной функции полезности , при одинаковых ценах и разных доходах и при любом имеем равенство

Траекторию изменения цен и объемов при будем называть порожденной функцией полезности , если выражается в виде (6) при некоторой функции потока располагаемых доходов для . Функцию полезности будем называть порождающей инвариантные к траекториям индексы Дивизиа, если для любых двух траекторий, порожденных данной функцией полезности, и , при одинаковых начальных и конечных состояниях, т.е. когда

индексы Дивизиа совпадают

Здесь: – индексы цен и объемов Дивизиа для траектории ; – индексы цен и объемов для траектории .

Cправедлива доказанная в [14]

Теорема 2. Функция полезности будет порождающей инвариантные к траекториям индексы Дивизиа в том и только том случае, если эта функция псевдооднородная.

В работах [4, 12] высказывалось предположение, что через совмещение индексов Дивизиа и Конюса удастся найти хотя бы чисто теоретическое разрешение проблемы построения экономических индексов в виде идеализированной конструкции, использующей непрерывное время и непосредственно не наблюдаемые понятия типа функции полезности. Теорема 2 означает, что и на этом пути не удастся разрешить проблему. Индексы Дивизиа-Конюса будут инвариантны к траекториям только в том случае, если функции полезности явно неудовлетворительны по экономическим соображениям. Свойство их псевдооднородности означает, что кривые Энгеля, выражающие зависимость объемов приобретения отдельных благ от располагаемых денежных средств, являются лучами, выходящими из начала координат для всех благ.

Автор выражает благодарность Э.Б. Ершову за интересные обсуждения проблем построения экономических индексов и оказанную помощь в получении публикаций по этой теме.

Литература

И. Фишер. Построение индексов. М.: ЦСУ СССР, 1928.
Л.С. Казинец. Теория индексов. М.: Госстатиздат, 1963.
Р. Аллен. Экономичсекие индексы. М.: Статистика, 1980.
В.И. Зоркальцев. Измерители ценности денег(проблемы и методы расчета индексов цен). Иркутск: СЭИ СО РАН, 1992.
Samuelson P., Swamy S. Invariant Economic Index Numbers and Canonical Duality: Survey and Synthesis // Amer. Economic Review. – 1974. – Vol. 99, № 2.
Иванов Н. Обзор аксиоматической теории индексов // Вопросы статистики, 1992. – № 10.
Ершов Э.Б. Индексы цен и количеств Фишера и Монтгомери как индексы Дивизиа // Экономика и математические методы, 2003. – № 2.
В.И. Зоркальцев. Индексы цен. Сыктывкар: Препринт Коми НЦ УрО АН СССР, 1991.
В.И. Зоркальцев. Аксиоматический анализ методов расчета индексов цен // Экономика и математические методы, 1993.– №2.
Divisia. Economic rationelec. Paris, 1928.
А.А. Конюс Проблема истинности индекса стоимости жизни // Экономический бюллетень Конъюнктурного института, 1924. – №9-10.
В.И. Зоркальцев Индексы цен и инфляционные процессы. Новосибирск: Наука, 1996.
В.Н. Горбунов. Математические модели потребительского спроса. М.: Экономика, 2004.
Зоркальцев В.И. Проблемы агрегирования в экономике: есть ли логическая совместимость микроэкономики и макроэкономики? Иркутск: СЭИ СО РАН, 1997.

PAGE 1

Проблема формирования агрегированных экономических показателей: индексы Дивизиа-Конюса