Механические свойства и паспорт прочности горных пород

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Кафедра СГ и ГС

Курсовая работа по дисциплине «Физика горных пород»

На тему «Механические свойства и паспорт прочности горных пород»

Выполнил:

ст. гр. ГИ – 10 – 1

Войченко Г.О.

Проверил:

Заев В.В.

Алчевск 2012г.


Содержание:

Введение……………………………………………………...…....................3

1. Механические испытания горных пород…………………………………...4

1.1. Основные теоретические положения……………………………………..4

1.2. Обработка результатов опыта………………………………………….….5

1.3. Выполнение 1 раздела к. р…………………………………...…………....5

2. Прочность горных пород…………………………………………………...10

2.1. Основные понятия и определения……………………………………….10

2.2. Сущность новой теории прочности……………………………………..11

2.3. Определение параметров паспорта прочности…………………………14

2.4. Прочность трещиноватого массива……………………………….……..15

Задание 2.1…………………………………………………..………………..16

Задание 2.2……………………………………………………..……………..19

Список использованной литературы…………………………..……………20


Введение.

Цель курсовой работы - дать практические навыки и закрепить

теоретические знания студентов но дисциплине "Физика горных пород".


1 МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД

Задачи первого раздела: провести на ЭВМ имитационные лабораторные

испытания горных пород и определить их механические свойства (пределы

прочности, модуль упругости и коэффициент Пуассона).

1.1 Основные теоретические положения

Модуль упругости (модуль Юнга Е, Па), коэффициент Пуассона () и

пределы прочности при одноосных сжатии с и растяжении р являются

важными показателями механических свойств горных пород, необходимыми

при проектировании и ведении горных работ.

Напряжения (нормальные и касательные , Па) определяются как

отношение силы (нормальной - F и касательной - Т, Н), действующей на

образец породы, к площади его поперечного сечения - А, м2. Принято правило знаков: сжатие "+", растяжение "-".

,Па; ,Па (1.1)

Пределы прочности при сжатии с и растяжении р - это предельные

значения одноосного напряжения (сжимающего или растягивающего), при

котором происходит разрушение (разделение на части) породы.

Абсолютные деформации образца (продольная - dL, м и поперечная -

dD, м) - это приращения его размеров в продольном и поперечном направлениях при нагружении.

Относительная деформация - это отношение абсолютной деформации к

размеру образца в этом направлении:

, (1.2)

Модуль упругости Е - коэффициент пропорциональности между действующим нормальным напряжением (сжимающим или растягивающим) и соответствующей ему относительной продольной упругой деформацией.

, (1.3)

Коэффициент Пуассона - это отношение между относительными поперечными и относительными продольными деформациями (0 0,5).

.(1.4)

Модуль сдвига G - это коэффициент пропорциональности между касательным напряжением и соответствующей упругой деформацией сдвига. Модуль продольной упругости Е и модуль сдвига G соответствуют основным видам напряжений и деформаций. Они связаны с коэффициентом Пуассона следующей зависимостью:

(1.5)

Для определения этих параметров в лабораторных условиях проводят испытания образцов горных пород. Образец должен иметь цилиндрическую форму с соотношением высоты (L) к диаметру (D) L/D= 1,5...2,0. Диаметр образца обычно равен 30...50 мм. Торцы образца должны быть строго параллельны друг другу и отшлифованы. Нагрузка прикладывается к образцу

при помощи испытательных машин (прессов). Абсолютные деформации образца (продольная – dL и поперечная - dD) измеряют с помощью индикаторов часового типа, тензорезисторов и других измерителей деформаций.

Студенты должны выполнить имитационное испытание породного образца на ЭВМ и определить механические свойства породы.

1.2 Обработка результатов опытов

1. Рассчитать предел прочности образца породы на одноосное сжатие (с и растяжение р Па.)

2. Вычислить относительную продольную деформацию образца пр.

3. Вычислить относительную поперечную деформацию образца поп-

4. Вычислить коэффициент Пуассона .

5. Зная размеры образца (L и D), приложенную нагрузку Р и его деформацию (dL и dD), рассчитать модуль упругости Е данной породы.

6. Рассчитать модуль сдвига G.

7. Зная пределы прочности породы на одноосное сжатие и растяжение, построить линейную аппроксимацию паспорта прочности данной породы на диаграмме О. Мора.

8. Определить условные значения сцепления (С, Па) и угла внутреннего трения (, град.) породы.

1.3 Выполнения первого раздела курсовой работы

1.3.1 Выбираем вариант задания

Указателем "мыши" выбираем номер варианта и записываем исходные

данные:

Вариант № 2.

Тип материала - Доломит.

Диаметр образца - D=0,050м.

Длина образца –L=0,086м.

1.3.2 Определяем разрушающую силу

Проводим 6 испытаний образца породы на сжатие и растяжение.

Доводим прикладываемую нагрузку до разрушающей. По формулам

(1.6)...(1.8) рассчитываем среднее значение разрушающей силы F,

среднеквадратаческое отклонение S и коэффициент вариации Кв:

, кН; (1.6)

где F - среднее значение разрушающей силы по n испытаниям, кН;

Fi, - значение разрушающей силы в каждом опыте, кН;

n - количество опытов.

Находим среднеквадратические отклонения S и коэффициент вариации Кв, которые характеризуют точность лабораторных испытаний.

(1.7)

(1.8)

Результаты расчетов сводим в табл. 1.

Таблица 1 - Результаты определения разрушающей силы

№ опыта

Разрушающая сила Fi; кН

Сжатие

Растяжение

1

269,1

20,9

2

248,9

19,7

3

258,4

20,4

4

260,4

20,9

5

262,7

18,2

6

267,4

19,5

Среднее значение F,кН

267,4

19,9

S,кН

±0,018

±0,008

Кв,%

0,007

0,003

1.3.3 Определяем нагрузку для упругих испытаний породы

Находим силу Fу, при которой деформации остаются упругими, т.е. не вызывающие разрушение образца и не дающие пластической деформации. По данным практики, эта сила составляет 60...70% от разрушающей (здесь примем 65%).

Тогда сила, которую необходимо приложить к испытываемому образцу в

эксперименте, составит:

- при сжатии - Fу.сж= 261,1*0,65=169,7 кН;

- при растяжении - Fу.раст.= 19,9*0,65=12,9 кН.

1.3.4 Определяем поперечную и продольную абсолютные деформаций образца при его упругом сжатии и растяжении

Для этого нагружаем образец до величины силы Fу и определяем полученные деформации при сжатии и растяжении образца. Опыт проводим не менее 6 раз. Рассчитываем средние значения деформаций (dL и dD,мм), их среднеквадратические отклонения (S,мм) и коэффициенты вариации (Кв, %). Результаты заносим в табл. 2.

Таблица 2 - Результаты определения абсолютных деформаций образца

№ опыта

Абсолютные деформации образца

Сжатие при F=169,7кН

Растяжение при F=12,9 кН

dL, мм

dD,мм

dL, мм

dD, мм

1

-0,2057

0,0289

0,0173

-0,0019

2

-0,2140

0,0280

0,0147

-0,0020

3

-0,1980

0,0285

0,0138

-0,0022

4

-0,2189

0,0240

0,0186

-0,0021

5

-0,1814

0,0231

0,0162

-0,0017

6

-0,2097

0,0264

0,0141

-0,0020

Среднее значение

-0,2046

0,0264

0,0157

-0,0019

1.3.5 Определяем пределы прочности образца при сжатии и растяжении

Для этого находим поперечную площадь А, м2 испытываемого образца породы. Для цилиндрического образца рассчитываем ее по формуле:

,м2. (1.9)

Для принятого диаметра D =0,04 м, получим:

,м2.

Определяем пределы прочности породы при сжатии и растяжении по формуле (1.1):

, Па;

, МПа;

, МПа .

1.3.6 Определяем относительные деформации пр , поп при сжатии:

;

.

1.3.7 Определяем коэффициент Пуассона:

;

1.3.8 Определяем модуль упругости для материала образца

, Па;

, Па.

, Па;

1.3.9 Рассчитываем модуль сдвига

, Па;

, Па.

1.3.10 Строим линейный условный паспорт прочности

По рассчитанным пределам прочности материала образца, при сжатии и растяжении, строим паспорт прочности породы. Для этого используем теорию Мора и линейную аппроксимацию для огибающей кругов Мора. Па диаграмме строим круги одноосного сжатия и растяжения и проводим касательную к обоим кругам.

, МПа

Рисунок 1 - Диаграмма О.Мора с линейной аппроксимацией паспорта прочности

Используя паспорт прочности для данной горной породы, геометрически определяем величину сцепления породы (С) и угол внутреннего трения ():

С = 16 МПа;

Tg=(58-16)/21 =2;

= 62 град,

На этом выполнение первого раздела курсовой работы закончено, и необходимо перейти к выполнению второго раздела.


2 ПРОЧНОСТЬ ГОРНЫХ ПОРОД

(основы новой теории)

2.1 Основные понятия и определения

Сущность известной теории прочности Кулона-Мора состоит в применении закона сухого трения Кулона для твердых тел. Согласно этому закону, сдвиг по некоторой плоскости, на которой нет сцепления, происходит тогда, когда сила Р преодолевает предельное значение силы трения F:

, (2.1)

где N - нормальная сила на площадке трения, Н;

f - коэффициент сухого трения, f = tg

- угол сухого трения между контактирующими поверхностями.

Если разделить полученное уравнение (2.1) на площадь контакта А, получим тот же закон в напряжениях:

(2.2)

что, по сути, дает уравнение паспорта прочности идеально сыпучего материала (типа песка) без сцепления.

Пусть в материале есть когезия разрыва 0. Это с физической точки

зрения не что иное, как сцепление между частицами, которое равно как бы

всестороннему внутреннему сжатию материала напряжениями 0 Иными словами, материал с когезией 0 следует рассматривать как тело, в котором соседние частицы прижаты (сцеплены, притянуты) друг к другу напряжением 0.. Поэтому когезию 0 часто (особенно в теории зернистых сред) называют удельной силой сцепления или пределом прочности материала на всестороннее растяжение. Геометрически когезия 0 - это отрезок, отсекаемый (при nt= 0) паспортом прочности на оси диаграммы Мора.

На поверхности возможного сдвига в материале со сцеплением когезию разрыва 0 следует прибавить к нормальным напряжениям n, что, после подстановки в (2.2), дает уравнение паспорта прочности идеально связного материала:

, (2,3)

где 0 = 0f - сдвиговая когезия, Па.

При f = 0 внутреннее трение отсутствует, тогда из (2.3). следует nt = 0, т.е. это уравнение паспорта прочности идеально пластичного материала. Все эти три паспорта прочности представлены на диаграмме О.Мора. Если 0 = 0, 0 = 0 и >0, - получим идеально сыпучий материал (песок), если 0>0,=0 - это идеально пластичный материал (типа влажной глины). Если, наконец, 0>0, 0>0 и >0 - это идеально связный материал (линейная идеализация твердых материалов со сцеплением).

В главных напряжениях паспорт прочности идеально связного тела принимает вид (его можно получить из простейших геометрических построений на паспорте прочности):

(2.4)

где - параметр угла внутреннего трения ;

c=S 3 - предел прочности материала на одноосное сжатие. Па.

Угол внутреннего трения для твердого материала исторически был введен по аналогии с углом трения идеально сыпучего материала (песка). С геометрической точки зрения, это угол наклона предельной огибающей наибольших кругов напряжений диаграммы Мора (паспорта прочности) к оси нормальных напряжений в некоторой точке.

Уравнение (2.4) позволяет описать все существующие линейные паспорта прочности в главных напряжениях:

идеально пластичный материал, в котором = 0, поэтому S = 1, и тогда:

; (2.5)

идеально сыпучий материал 0 = и c = S0 = 0, поэтому уравнение прочности принимает вид:

1= S 3 (2.6)

При 3 = 0получим на диаграмме Мора предельный круг одноосного сжатия 1 = 0, если положить 1 = 0, из (2.4) получим круг одноосного растяжения - 3 = p = с/Sпоследнего равенства следует, что S - это соотношение между пределами прочности на растяжение и сжатие в линейном паспорте прочности: p /с =S.

Если провести из центра предельного круга диаграммы О. Мора перпендикуляр к касательной паспорта прочности, можно определить угол наклона нормали площадки разрушения * к направлению главного максимального напряжения 1:

(2.7)

и, соответственно, к направлению главного минимального напряжения 3

(2.8)

Несмотря на удобство и простоту полученных уравнений, они мало пригодны для описания прочности реальных материалов и горных пород, паспорт прочности которых, как правило, криволинеен.

2.2 Сущность новой теории прочности

Рассмотрим теоретические предпосылки получения обобщенного уравнения паспорта прочности твердого материала (в том числе горной породы). Будем исходить из того, что разрушение сдвигом происходит путем образования многочисленных сдвиговых микродефектов в сочетании с оперяющими их разрывами. В совокупности сдвиги и разрывы, возникающие в теле, образуют многочисленные рассеянные по всему объему материала Z- дефекты.

Наука, изучающая законы зарождения, роста и залечивания микродефектов во времени и происходящие при этом изменения свойств и состояния материала при внешних на него воздействиях, называется реономной микромеханикой. Эта наука пытается описать все сложные процессы деформирования и разрушения материалов на основе решения систем дифференциальных кинетических уравнений, которые отражают на микроуровне процессы изменения внутренней структуры тела, состоящие из элементарных актов зарождения и залечивания различных микродефектов.

Для разработки новой теории прочности необходимо воспользоваться рядом положений реономной микромеханики и отказаться от ставших традиционными воззрений. Так, в отличие от представлений о сухом трении Кулона, положенном в основу теории прочности О. Мора, мы считаем, что на площадке сдвига реализуется одновременно два механизма трения: сухое и жидкостное. Это подтверждается экспериментальными данными физики деформирования и разрушения материалов, изучающей процессы образования и роста трещин в материале на микроуровне. В частности, в устье растущей трещины местная температура превышает температуру плавления материала, и там, очевидно, возникает жидкостное трение.

Тогда при образовании трещин следует учесть не только сухое, но и жидкостное трение. Удобно выразить долю сухого трения на сдвиговых площадках параметром , который назовем показателем хрупкости (0<<1). В предельных случаях, если =0, то сухое трение отсутствует, и материал идеально пластичен согласно уравнению (2.5), если = 1 – материал представляет собой идеально связное (хрупкое) тело согласно (2.4) или (2.6).

В теории О.Мора, при наличии когезии разрыва 0, коэффициент внутреннего трения постоянен:

(2.9)

Мы будем исходить из другого, теоретически более оправданного и общего соотношения, учитывающего, что в материале на сдвиговых дефектах возникает не только сухое, но и жидкостное трение. Значит, в уравнение (2.9) необходимо в числитель ввести показатель хрупкости для учета жидкостного трения. Тогда уравнение (2.9.) запишется в более общем виде:

(2.10)

где nt,n - касательное и нормальное напряжение на площадке сдвига с нормалью n, МПа.

Решая (2.10) как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и определяя постоянную интегрирования из естественного условия nt = 0 при n =0, получим новый тип уравнения для паспорта прочности:

(2.11)

где 0 когезия сдвига, численно равная отрезку на оси , отсекаемому паспортом прочности при n = 0, МПа.

Уравнение (2.11) является обобщенным паспортом прочности однородного материала (горной породы). Обобщенные огибающие на диаграмме О. Мора для разных пород представлены на рис. 2.2.

Рисунок- 2.2 - Общий вид паспортов прочности типичных пород Донбасса и их основные параметры

1 - аргиллит = 0,3; 0 = 3МПа, 0 =7МПа

2 - алевролит = 0,35; 0 = 6МПа, 0 = 15МПа,

3 - песчаник =0,4; 0= 10МПа, 0 = 25МПа,

Расчеты показывают, что задание трех параметров 0, 0, , вполне достаточно для описания любого типа паспорта прочности. При = 0 получим паспорт прочности идеально пластической породы с прямолинейной огибающей, параллельной оси .

Если = 1, паспорт прочности вырождается в прямолинейную огибающую для идеально связного (хрупкого) материала с постоянным углом внутреннего трения, равным 0= arctg(0/0).

Большинство горных пород обладают показателем хрупкости <0,5. Тогда огибающая паспорта прочности пересекает ось под прямым углом. Если >0,5, то этот угол оказывается меньше прямого, что редко встречается у горных пород. При <0,5 когезия 0 и предел прочность на одноосное растяжение р совпадают: р = 0, что существенно упрощает вычисление параметров паспорта по экспериментальным данным.

2.3 Определение параметров паспорта прочности

Экспериментально параметры обобщенной огибающей (паспорта прочности) можно определить, испытав в лаборатории горную породу на одноосные растяжение р и сжатие с, а также использовав тот факт, что угол внутреннего трения при одноосном сжатии пород достаточно хорошо известен. как, например, для различных пород он изменяется в довольно узких пределах (табл.2.1).

Таблица 2.1 - Параметры обобщенного паспорта для типичных пород Донбасса

Тип породы

Показатели прочности

Параметры огибающей

, град

р, МПа

с, МПа

0, МПа

0, МПа

Аргиллиты

18-22

1-4

30-40

0,2-0,30

1-4

5-10

Алевролиты

23-27

3-8

30-80

0,3-0,4

3-8

7-20

Песчаники

28-32

5-12

50-150

0,4-0,45

5-12

10-40

Формулы для определения параметров обобщенного паспорта прочности горной породы имеют вид:

, (2.12)

; (2.13)

. (2.14)

где *n и nt*- напряжения на площадке сдвига при одноосном сжатии, равные:

, (2.15)

. (2.16)

В общем случае достаточно три произвольных прочностных показателя породы (три точки на огибающей), определенных экспериментально, чтобы путем решения системы трансцендентных уравнений, полученных из (2.11), вычислить все три параметра (, 0, 0) обобщенного паспорта прочности. Подобные системы уравнений обычно решают с помощью популярных вычислительных программ Mathcad, Маthlab и т.п. на компьютере.

Пределы численных значений параметров обобщенной огибающей для различных типов пород Донбасса в зонах средней степени метаморфизма представлены в табл. 2.1.

2.4 Прочноcть трещиноватого массива

Экспериментально установлено, что прочность массива горных пород намного меньше, чем прочность слагающих его пород. Это обусловлено наличием трещиноватости. Последняя, как правило, тем больше, чем больше размеры рассматриваемого участка (блока) массива. Такая особенность изменения прочности пород получила название масштабного эффекта. Если с помощью геофизических исследований и геологических изысканий удалось установить степень нарушенности массива трещинами, то можно рассчитать прочность массива на основании данных о степени его трещиноватости и прочности пород в образце.

Для этого введем новый параметр сплошности - для характеристики трещиноватости массива. С физической точки зрения сплошность представляет собой часть ненарушенной трещинами площади, оставшейся на некоторой произвольной плоскости в массиве (0<<1). Если породы разбиты хаотическими трещинами, причем они открытые (с несомкнутыми берегами), то обобщенное уравнение прочности массива можно записать следующим дифференциальным уравнением:

. (2.17)

решение которого, с учетом очевидного граничного условия nt= 0 при n=0,будет:

(2.18)

Таким образом, мы получили уравнение обобщенного паспорта прочности трещиноватого массива с открытыми хаотически распределенными трещинами. Таким же образом решаются и более сложные задачи расчета прочности свойств массива с самыми разнообразными трещинами и условиями изменения сплошности по мере увеличения размеров массива. На рис. 2.3 можно проследить, как изменяется паспорт прочности алевролита, если в нем присутствуют открытые трещины различной интенсивности (пустоты), вызывающие уменьшение сплошности породы.

Здесь же показаны круги пределов алевролита на одноосное сжатие.

Главным принципиальным отличием предлагаемой новой теории прочности являются:

1) оперирование при формулировке условий прочности, вместо алгебраических, дифференциальными соотношениями;

2) учет сухого и жидкостного трения на площадках разрушения введением нового показателя хрупкости ;

3) отказ от понятия «угол внутреннего трения» как параметра свойств материала, поскольку он на самом деле является переменным;

4) учет трещиноватости строения горных пород и массивов с

помощью нового параметра сплошности .

Рисунок 2.3-Паспорта прочности алевролита с различной степенью сплошности, вызванной наличием открытых трещин

2.5 Задания для выполнения курсовой работы по разделу 2

Для выбора исходных данных по номеру n студента из списка группы, в

которой N студентов, следует вычислить вспомогательную константу

- 1 < < 1 (греческая буква «эта») по формуле:

(2.19)

Недостающие исходные данные для заданий вычисляем по формулам, где

используется вспомогательная константа n.

Пример вычисления вспомогательной константы:

Пусть номер студента n=2, всего студентов в группе N - 23

Определяем вспомогательную константу

Задание № 2.1

В результате компьютерных лабораторных испытаний образцов горных

пород (раздел 1 курсовой работы) были определены их пределы прочности на одноосное сжатие c, растяжение p и указан угол внутреннего трения c при одноосном сжатии.

Определите по формулам (2.12)-(2.16) параметры паспорта прочности , о, 0 и постройте на миллиметровой бумаге для этой породы обобщенный паспорт прочности.

Начертите предельные круги для одноосного сжатия и растяжения c, и p , а затем на паспорте графически определите из вспомогательного круга Мора предельное значение 3 =? при заданном максимальном главном напряжении, задаваемом (для каждого студента по его индивидуальной константе ) по формуле

, МПа, (2.20)

Исходные данные для расчета по прочности пород на одноосные сжатие и растяжение взять из компьютерных лабораторных испытаний образцов горных пород (часть 1), а угол внутреннего трения породы определите (по константе ) из уравнения

, град. (2.21)

Выполнение задания 2.1

Определяем исходные данные для расчета. Пусть из проведенных испытаний породы (на компьютере) нам известно, что с= 165,6; р = 12,1 МПа.

Найдем угол внутреннего трения (в нашем случае =-0,64, - см. выше):

град.

Вычисляем параметры паспорта прочности:

Мпа,

,Мпа,

,Мпа,

град.

,МПа

Таким образом, уравнение паспорта прочности данной породы будет:

Задавая значения нормальных напряжений n, строим вспомогательную таблицу для касательных напряжений nt

Таблица 2.3 - Вычисление касательных напряжений

n

-10,1

-7

-3

0

30

55

80

105

134

nt

0

28,8

36,4

40,2

59,1

67,9

74,1

79,4

84,6

По вычисленным данным строим паспорт прочности на диаграмме О.Мора.

Определяем максимальное напряжение искомого круга напряжений диаграммы О. Мора согласно (2.20);

Мпа.

Строим искомую окружность на диаграмме Мора, которая начинается в точке 1 и касается паспорта прочности, откуда и находим 3. Из построения находим, что приблизительно 3= - 6 МПа. Таким образом, первое задание выполнено.

Рисунок 2.4 - Паспорт прочности горной породы к заданию 2.1


Задание 2.2

По условиям выполнения компьютерной лабораторной работы (раздел 1), яз которой известны прочности породы на одноосные сжатие и растяжение, постройте на миллиметровой бумаге обобщенный паспорт прочности трещиноватого массива горной породы, если по результатам геофизических полевых исследований значение его сплошности

(2.22)

Графически найти пределы прочности на сжатие и растяжение с и р трещиноватого массива.

Выполнение задания 2.2

Определяем заданное значение сплошности из (2.22)

Пишем уравнение прочности трещиноватого массива согласно (2.18):

На новом графике строим паспорт прочности, как в предыдущем примере. Вычисляем данные паспорта и заносим во вспомогательную таблицу.

Таблица 2.3 – Вычисление касательных напряжений.

n, МПа

-2,5

-1,75

-0,75

0

7,5

13,7

20

26,2

33,5

nt, МПа

0

9,2

9,8

10,05

11,0

11,4

11,7

11,9

12,1

Из паспорта графически находим прочности массива на одноосное сжатие и растяжение:с=38, р4,05 МПа.

Сравнивая прочности породы и трещиноватого массива, мы видим, что прочность на сжатие уменьшилось в раз, т. е. больше чем снижение сплошности раза, тогда как прочность на растяжение уменьшилась в строгом соответствии с потерей сплошности, т.е. точно в 4 раза.

Рисунок 2.5 — Паспорт прочности трещиноватого массива горных пород(к заданию 2.2)

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ржевский В. В., Новик Г. Я. Основы физики горных пород. - М.: Недра, 1984.-С. 42-47.

2. Алексеенко С. Ф., Мележик В. П. Физика горных пород. Горное давление.: Лабораторный практикум - К.: Вища школа, 1990. - С. 55- 58.

3. Алексеенко С. Ф., Мележик В. П. Физика горных пород. Горное давление.: Сборник задач и упражнений - К.: Вища школа, 1988. - С.

100-105.

4. Литвинский Г.Г. Обобщенный паспорт прочности горных пород/Наук.вicник нацioн. гiрничої академії України (НГАУ).-Дніпропетровськ: НГАУ, 1999.- С.85-89.

5. Литвинский Г.Г. Структура и напряженное состояние микродефектного материала/В сб. Проблеми гірського тиску (Ground Control in Mining). - г. Донецк : ДонГТУ, 2000.- С. 28-48.

Механические свойства и паспорт прочности горных пород