Оценка рисковых активов на фрактальном рынке
Марков Андрей Аркадьевич
ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве РФ», г. Москва
Кафедра математики
Аспирант
Оценка рисковых активов на фрактальном рынке1
Исследуемая модель ценообразования рискового актива имеет вид:
(1),
где
St и S0 – стоимости рискового актива в моменты времени t и 0 соответственно;
– дрейф базисного актива;
– волатильность базисного актива;
ВtH – сечение фрактального броуновского движения (далее – ФБД) с показателем Херста Н в момент времени t.
В исходном виде данная модель допускает арбитраж. Однако существует ряд подходов к исключению арбитража из модели с ФБД. Из их числа наиболее приближенным к практическим реалиям торговли на фондовых рынках видится подход, основанный на включении в модель пропорциональных транзакционных издержек2. В роли издержек выступают брокерские комиссии, вычисляемые как фиксированный процент от объема торговой сделки.
- Дискретная аппроксимация модели с ФБД
Непрерывная модель (1) является исходной в данной работе, однако для дальнейшего решения ряда задач возникает потребность в переходе к ее дискретному аналогу. Дискретный аналог3 представляет собой модифицированное биномиальное дерево, в котором цена рискового актива на n-м шаге определяется по формуле:
(2),
где
а – смещение, определяемое как средняя доходность в расчете на шаг;
ХХn – коэффициент повышения (понижения), вычисляемый путем замены интеграла в интегральном представлении ФБД на частичные суммы.
- Оценка верхних и нижних границ стоимостей опционов с учетом транзакционных издержек (брокерских комиссий)4
Предположим, что базисный актив не приносит дивидендного дохода.
Оценка верхней границы стоимости европейского опциона-колл на n-м шаге (n < N) вычисляется по формуле:
(3),
где
Sn и SN – стоимость базисного актива на n-м и N-м шагах соответственно,
К – цена исполнения опциона-колл,
k – комиссия за операции по покупкам и продажам в процентах от оборота,
r – безрисковая процентная ставка в расчете на шаг модели.
Оценка нижней границы стоимости европейского опциона-колл на n-м шаге (n < N) вычисляется по формуле:
(4),
где S’(n) определяется из условия
(5).
При этом для n = N граница равна
.
Отметим, что формулы (3)-(5) применимы к случаю ФБД, поскольку не используют независимость доходностей.
Оценки стоимостей опционов-пут можно получить по аналогии с оценками для опционов-колл.
- Оценка фрактальных характеристик фондовых индексов на основе исторических цен закрытия5
Оценки показателя Херста получены методом нормированного размаха. Результаты R/S-метода проверены другими методами (см. Таблицу 1). Расчеты проведены по историческим логарифмическим доходностям6, при этом из данных удален линейный тренд согласно интегральному виду модели (1).
Путем расчета V-статистики оценена продолжительность непериодических циклов в динамике индексов. V-статистика получена по формуле:
(6).
Проверена гипотеза о том, что характер динамики рынка на некоторых горизонтах обусловлен детерминированным хаосом. Для этого оценена корреляционная размерность индексов.
Полученные оценки показателя Херста, а также длины выделенного непериодического цикла для индекса РТС приведены в Таблице 1.
Таблица 1
|
Индекс
|
Метод оценки
|
Период (дни)
|
Н
|
Н средний
|
Циклы
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
РТС
|
R/S-метод
|
1-дн.
|
0,614
|
0,617
|
403-дневный (персистентный)
При увеличении горизонта персистентность усиливается
|
|
|
|
3-дн.
|
0,646
|
|
|
|
|
|
5-дн.
|
0,664
|
|
|
|
|
Метод модулей приращений
|
1-дн.
|
0,619
|
|
|
|
|
|
3-дн.
|
0,646
|
|
|
|
|
|
5-дн.
|
0,597
|
|
|
|
|
Метод дисперсии
|
1-дн.
|
0,623
|
|
|
|
|
|
3-дн.
|
0,640
|
|
|
|
|
|
5-дн.
|
0,597
|
|
|
|
|
По скорости возрастания дисперсии логдоходностей
|
-
|
0,586
|
|
|
Результаты вычислений дают основания считать, что динамика индекса РТС подчиняется процессу черного шума. Это персистентный процесс, характеризующийся существенной зависимостью от начальных условий.
Вместе с тем на некоторых инвестиционных горизонтах наблюдаются признаки детерминированного хаоса в поведении данного индекса. В случае 10-дневного горизонта логарифмические доходности имеют конечную корреляционную размерность, тангенс угла наклона кривой корреляционного интеграла стабилизируется на уровне около 7.
Аналогичные расчеты проведены для индексов ММВБ, Dow Jones Industrial Average, NASDAQ и Standard&Poors 500.
- Фьючерсный опцион-колл американского типа на индекс РТС (погашение опциона – 14 октября 2009 г.)
По состоянию на 12 октября 2009 г. данный опцион торговался на РТС FORTS. Базисный актив – фьючерсный контракт на индекс РТС с исполнением 14 декабря 2009 г.
Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с ценами исполнения 100 000, 110 000, 120 000, 125 000, 130 000 и 150 000 б.п. с одним и тем же базисным активом) проводился ежедневно в течение четырех недель с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (2) с N = 10 шагов. Оценки параметров модели (2) составили: Н = 0.617; = 0.000709 (в пересчете на 1 день); = 0.02883 (в пересчете на 1 день); r = 9.0079% годовых – безрисковая процентная ставка, соответствующая доходности наиболее близкой по дюрации государственной облигации ОФЗ-25057 по состоянию на начало сентября 2009 г. Транзакционные издержки (брокерские комиссии) взяты равными 0.01% от торгового оборота.
Проведено сравнение результатов расчетов с реальными ценами сделок, с котировками на покупку и продажу, а также с теоретической ценой опциона-колл, рассчитываемой биржей РТС по формуле Блэка-Шоулза7. В Таблице 2 представлены результаты расчетов границ стоимостей наиболее ликвидного (из перечисленного набора) опциона, который имеет цену исполнения 120 000 б.п.
Таблица 2
|
Дата
|
Дней до исполнения
|
Цена баз. актива (б.п.)
|
Верхняя граница стоимости опциона (б.п.)
|
Нижняя граница стоимости опциона (б.п.)
|
Bid
|
Ask
|
Теор. цена
|
Last
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
14.09.2009
|
30
|
116 340
|
8 435,05
|
1 316,69
|
5 530
|
5 810
|
5 705
|
5 425
|
|
15.09.2009
|
29
|
120 780
|
10 661,47
|
4 306,88
|
7 105
|
7 230
|
7 270
|
7 185
|
|
16.09.2009
|
28
|
123 590
|
12 447,71
|
6 288,69
|
1 055
|
9 000
|
8 550
|
8 400
|
|
17.09.2009
|
27
|
124 960
|
13 143,21
|
7 296,29
|
8 070
|
8 700
|
8 585
|
8 400
|
|
18.09.2009
|
26
|
121 730
|
10 698,40
|
4 698,39
|
7 310
|
7 705
|
7 535
|
7 635
|
|
21.09.2009
|
23
|
119 805
|
8 734,03
|
3 094,13
|
6 500
|
6 600
|
6 535
|
6 500
|
|
22.09.2009
|
22
|
124 045
|
11 207,60
|
6 125,49
|
8 330
|
8 895
|
8 525
|
8 000
|
|
23.09.2009
|
21
|
125 010
|
11 600,38
|
6 801,86
|
8 370
|
9 075
|
8 990
|
9 200
|
|
24.09.2009
|
20
|
123 720
|
10 443,71
|
5 682,46
|
7 435
|
8 170
|
7 925
|
7 700
|
|
25.09.2009
|
19
|
121 190
|
8 501,72
|
3 661,69
|
5 815
|
6 375
|
6 035
|
7 090
|
|
28.09.2009
|
16
|
123 640
|
9 257,57
|
5 231,83
|
7 125
|
7 545
|
5 500
|
7 310
|
|
29.09.2009
|
15
|
124 145
|
9 303,09
|
5 530,50
|
7 100
|
7 625
|
5 500
|
7 400
|
|
30.09.2009
|
14
|
125 720
|
10 065,62
|
6 673,29
|
7 860
|
8 385
|
8 145
|
8 250
|
|
01.10.2009
|
13
|
125 370
|
9 517,86
|
6 289,06
|
7 185
|
7 700
|
7 700
|
7 600
|
|
02.10.2009
|
12
|
120 750
|
6 168,66
|
2 611,52
|
4 205
|
5 555
|
4 595
|
4 610
|
|
05.10.2009
|
9
|
120 485
|
5 019,20
|
2 067,98
|
3 625
|
3 700
|
3 615
|
3 580
|
|
06.10.2009
|
8
|
124 070
|
6 973,69
|
4 681,80
|
5 570
|
6 025
|
5 875
|
5 900
|
|
07.10.2009
|
7
|
129 000
|
10 471,36
|
8 865,79
|
5 000
|
9 980
|
9 550
|
9 800
|
|
08.10.2009
|
6
|
131 880
|
12 738,86
|
11 423,88
|
12 150
|
13 350
|
12 335
|
12 300
|
|
09.10.2009
|
5
|
138 460
|
18 965,10
|
17 781,01
|
1 555
|
20 000
|
18 515
|
18 135
|
По мере приближения дня погашения величины оценок верхней и нижней границ стоимости опциона естественным образом сходятся друг к другу. Оценки, как и следовало ожидать, находятся в выраженной прямой зависимости от цены базисного актива. Цены последних сделок8 во все дни, когда проводился расчет, попали в интервал между верхней и нижней границами. В данном случае то же самое можно сказать и о теоретических ценах опционов, хотя это скорее стечение обстоятельств, поскольку результаты применения формулы Блэка-Шоулза никак не зависят от модели (2). В то же время цены bid и ask ведут себя достаточно произвольно, что в ряде случаев объясняется невысокой ликвидностью торгов опционами на FORTS.
- Фьючерсный опцион-колл американского типа на индекс РТС (погашение опциона – 14 декабря 2009 г.)
По состоянию на 12 октября 2009 г. данный опцион торговался на РТС FORTS. Базисный актив – фьючерсный контракт на индекс РТС с исполнением 14 декабря 2009 г. Таким образом, опцион исполняется одновременно с базисным активом.
Расчет верхних и нижних границ стоимости опционов (с ценами исполнения 110 000, 120 000, 130 000 и 150 000 б.п. с одним и тем же базисным активом) проводился ежедневно в течение тех же четырех недель с 14 сентября по 9 октября 2009 г. при помощи модели (2) с N = 10 шагов. Все параметры модели, кроме срока до исполнения, остаются прежними.
Для обеспечения наглядной сопоставимости расчетов в Таблице 3, как и в Таблице 2, приведены результаты оценки границ стоимости опциона с такой же ценой исполнения – 120 000 б.п., но более длинным сроком до исполнения.
Таблица 3
|
Дата
|
Дней до исполнения
|
Цена баз. актива (б.п.)
|
Верхняя граница стоимости опциона (б.п.)
|
Нижняя граница стоимости опциона (б.п.)
|
Bid
|
Ask
|
Теор. цена
|
Last
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
|
14.09.2009
|
91
|
116 340
|
19 661,96
|
5 495,29
|
11 030
|
11 130
|
11 040
|
10 845
|
|
15.09.2009
|
90
|
120 780
|
22 349,77
|
8 626,52
|
13 010
|
13 130
|
13 050
|
13 130
|
|
16.09.2009
|
89
|
123 590
|
25 464,41
|
10 584,77
|
11 700
|
18 400
|
14 340
|
14 800
|
|
17.09.2009
|
88
|
124 960
|
26 301,98
|
11 566,23
|
14 220
|
14 370
|
14 300
|
14 650
|
|
18.09.2009
|
87
|
121 730
|
23 716,00
|
9 124,05
|
12 750
|
12 800
|
12 750
|
12 900
|
|
21.09.2009
|
84
|
119 805
|
21 785,77
|
7 557,63
|
11 510
|
11 620
|
11 550
|
11 790
|
|
22.09.2009
|
83
|
124 045
|
24 637,78
|
10 542,67
|
11 105
|
18 390
|
14 180
|
13 775
|
|
23.09.2009
|
82
|
125 010
|
25 163,64
|
11 236,97
|
14 460
|
14 915
|
14 670
|
15 050
|
|
24.09.2009
|
81
|
123 720
|
24 004,17
|
10 172,75
|
13 800
|
13 900
|
13 875
|
13 800
|
|
25.09.2009
|
80
|
121 190
|
21 981,71
|
8 298,00
|
11 735
|
11 850
|
11 800
|
12 565
|
|
28.09.2009
|
77
|
123 640
|
23 156,02
|
9 857,01
|
12 955
|
13 075
|
11 610
|
13 000
|
|
29.09.2009
|
76
|
124 145
|
23 329,34
|
10 179,31
|
12 980
|
13 510
|
11 610
|
13 000
|
|
30.09.2009
|
75
|
125 720
|
24 303,61
|
11 359,39
|
13 700
|
14 240
|
13 975
|
14 070
|
|
01.10.2009
|
74
|
125 370
|
23 839,68
|
11 017,65
|
13 530
|
13 680
|
13 590
|
13 440
|
|
02.10.2009
|
73
|
120 750
|
20 306,88
|
7 533,94
|
11 015
|
11 135
|
11 080
|
11 450
|
|
05.10.2009
|
70
|
120 485
|
19 532,97
|
7 148,79
|
10 665
|
10 740
|
10 710
|
10 555
|
|
06.10.2009
|
69
|
124 070
|
21 866,23
|
9 668,28
|
11 535
|
13 530
|
12 625
|
10 900
|
|
07.10.2009
|
68
|
129 000
|
25 359,11
|
13 576,65
|
15 180
|
15 330
|
15 290
|
15 330
|
|
08.10.2009
|
67
|
131 880
|
27 351,20
|
15 858,36
|
10 000
|
17 725
|
17 360
|
17 660
|
|
09.10.2009
|
66
|
138 460
|
32 217,48
|
21 250,91
|
12 000
|
24 890
|
22 305
|
22 000
|
Как и следовало ожидать, разность между оценками верхних и нижних границ стоимости «длинного» опциона больше, чем «короткого». Однако она предсказуемо уменьшается по мере приближения срока исполнения инструмента. Теоретические цены опционов, как и цены последних сделок, попали в интервал между верхней и нижней границами. Цены bid и ask вели себя более произвольно.
Заключение
Результаты проведенных расчетов показали, что гипотеза фрактального рынка вполне согласуется с реальным поведением исследуемых рисковых активов и производных финансовых инструментов на фондовом рынке. Динамика всех рассмотренных фондовых индексов подчиняется процессу «черного шума», то есть ФБД с показателем Херста H > 0,5. Персистентность индексов меняется в зависимости от длины инвестиционного горизонта. Подобная неоднородность позволяет выделить непериодические циклы, и всем анализируемым индексам присущ как минимум один цикл.
Безарбитражная модель, основанная на процессе ФБД, адекватно описала динамику ценообразования анализируемых биржевых инструментов. Показаны адекватность модели (1)-(5) и ее практическая применимость как минимум на российском рынке опционов.
1 Автор выражает признательность научному руководителю, Зав. Кафедрой математики ФГОУ ВПО «Финансовая академия при Правительстве РФ», к.ф.-м.н., доц. Гисину В.Б. за постоянное внимание и помощь в работе.
2 Безарбитражность модели с транзакционными издержками показана в: Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Mathematical Finance, Volume 16, Issue 3. – 2006 – pp. 569-582.
3 Подробнее о дискретной модели см. в: Sottinen T. Fractional Brownian motion, random walks and binary market models // Finance & Stochastics 5. – 2001. – pp. 343-355..
4 Данная методология подробно описана в: Constantinides G.M., Perrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs // Journal of Economic Dynamics & Control, 26. – 2002 – pp. 1323–1352..
5 Подробно о методах расчетов и их результатах см. в: Марков А.А. Некоторые фрактальные свойства фондовых индексов // Сегодня и завтра российской экономики, №30. – 2009. – с. 103-112..
6 Данные взяты из: Экспорт/Архив РТС Классический. Индекс РТС. Экспорт данных daily. – http://export.rbc.ru/expdocs/free.rts.1.shtml?RTSI.
7 Данные взяты из: Фьючерсы и опционы RTS FORTS – доска опционов. - http://www.rts.ru/ru/forts/optionsdesk.aspx?sby=0&isin=RTS-3.09&sid=1&bSubmit=%CF%EE%EA%E0%E7%E0%F2%FC+%2F+%CE%E1%ED%EE%E2%E8%F2%FC.
8 Более подробные сведения по итогам торгов доступны по ссылке http://www.rts.ru/ru/forts/contractresults.html.
Оценка рисковых активов на фрактальном рынке