Исследование моделей ценообразования опционов с изменяющейся и постоянной волатильностью
Парахоняк Анастасия Никитична, Нижегородский филиал Государственного университета Высшая школа экономики, г. Н. Новгород.
Исследование моделей ценообразования опционов с изменяющейся и постоянной волатильностью.
В течение последних десятилетий роль производных ценных бумаг на финасовом рынке постоянно возрастает. В первую очередь это обусловлено тем, что диапазон применения производных финансовых инструментов шире, чем диапазон применения базисных активов. Деривативы лежат в основе множества торговых стратегий, являются эффективным инструментам снижения риска при их реализациии. Область применения производных финансовых инструментов продолжает расширяться по мере развития финансовых рынков.
Актуальность данной темы для российского финансового рынка определяется наличием ликвидного и быстрорастущего срочного рынка фондовой биржи. Однако диапазон применения деривативов именно на российском рынке еще не так широк, а практические схемы и модели их применения недостаточно хорошо проработаны, несмотря на широкую теоритическую базу.
Классическими и наиболее распространенными моделями ценообразования опционов являются модели Блэка-Шоулса и биномиальных (реже триномиальных деревьев). Особенностью данных моделей является предположение о постоянной волатильности доходности за весь рассматриваемый период действия базового актива. Однако простой анализ графиков изменения доходности позволяет наглядно выявить как периоды с относительно постоянной волатильностью, так и достаточно большие ее скачки между данными периодами. Моделями, учитывающими данную особенность, являются GARCH-модели или общие авторегрессионные модели с условной гетероскедастичность, в основе которых лежит предположение о том, что волатильность в текущем периоде зависит от волатильности и показателя доходности предыдущих. В общем виде модель записывается следующим образом
, где - доходность, а - волатильность
Таким образом мы видим, что волатильность параметра в настоящем периоде зависит от значений волатильности и самого параметра в предыдущих соответственно p и q периодах. При этом недавним наблюдениям придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего момента, что видно из следующего соотношения
, и , - долгосрочная волатильность
Оценка параметров модели производится по ретроспективным данным методом максимального правдоподобия.
Таким образом задача сводится к тому, чтобы минимизировать
Для минимизации данной функции используются численные алгоритмы.
В качестве модели, используемой для эмпирических оценок, была использована GARCH(1,1), то есть модель с единичными лагами по времени как для волатильности, так и для доходности.
Параметры модели оценивались с помощью встроенной функции garchfit в среде Matlab. Для оценки стоимости опционов был реализован метод Монте-Карло. С помощью встроенной функции garchsim для каждой ситуации симмулировалось 30000 различных процессов с ранее оценнеными параметрами в заданных пределах точности относительно начальных условий. Далее стоимость опционов «колл» и «пут» рассчитывалась путем усреднения по всем таким процессам по описаному ниже алгоритму:
,
где - цена «колл» опциона; - цена «пут» опциона; - стоимость акции; - срок действия опциона, - цена исполнения, - безрисковая ставка процента.
Для сравнения полученных результатов в качестве модели с постоянной волатильностью была выбрана классическая модель Блэка-Шоулза, оценивающая стоимость «колл» и «пут» опционов следующим образом:
, где
Эмпирическое исследование проводилось на основании данных о ценах акций трех зарубежных и трех российских: Air France, Peugeot, Unilever, ОАО «Волгателеком», ОАО «Лукойл», ОАО АКБ «Банка Москвы». Все данные взяты за период с первого июля 2007 года, до первого июля 2009 года, то есть включают периоды как относительной стабильности, так и резких изменений цен акций.
Сравнение моделей проведем по следующим критериям:
- Сравним сопоставимость оценок двух моделей для акций зарубежных и российских компаний.
- Рассмотрим изменения оценок при переходе от периодов с высокой волатильностью к периодам с низкой и на их границе.
- Исследуем зависимость оценок соимость опционов в обеих моделей от изменения таких параметров как срок действия опциона и цена исполнения.
На основании ретроспективных данных за первое полугодие 2009 года сравним оценки стоимости «колл» и «пут» опционов в рамках двух моеделей. Срок действия опциона выберем равным тридцати дням, а цену исполнения положим равной средней цене акций каждой компании за период.
Таблица 1
Цены «колл»и «пут» опционов
|
|
|
|
Блэк-Шоулз
|
GARCH
|
|
|
стоимость акции
|
цена исполнения
|
колл
|
пут
|
колл
|
пут
|
|
Air France
|
7,732
|
8,639
|
0,9334
|
0,4797
|
1,6456
|
1,1757
|
|
Peugeot
|
14,500
|
16,425
|
3,0729
|
0,6791
|
5,6883
|
3,4136
|
|
Unilever
|
16,100
|
16,247
|
1,3433
|
0,3284
|
1,5730
|
1,1820
|
|
Волгателеком
|
17,170
|
26,159
|
9,6120
|
0,2140
|
16,7343
|
3,4838
|
|
Лукойл
|
1151,000
|
1361,700
|
132,8232
|
107,4030
|
253,0366
|
160,9420
|
|
Банк Москвы
|
701,250
|
718,793
|
20,3696
|
27,0924
|
45,3036
|
46,7913
|
Анализируя данные, приведенные в таблице, можем видеть, что в целом оценки стоимости опционов по обеим моделям имеют одинаковый порядок, но везде оценки стоимости опционов по GARCH-модели выше, чем в модели Блэка-Шоулза. Сопоставляя эти данные с реальными ценами на акции в момент исполнения опциона (в данном случае везде будет реализован опцион на продажу), рассмотрим, оправдан ли такой разброс. Наблюдаем, что оценки стоимости «пут» опционов по GARCH оказались более точными и почти везде покрывают разницу между ценой исполнения и фактической ценой (за исключением двух случаев, когда произошел наиболее сильный скачок цен на акции), чего нельзя сказать об оценках по модели Блэка-Шоулза. Таким образом, в данном случае лучше сработала GARCH-модель. Отдельно стоит отметить, что при рассмотрении компании Unilever, цены на акции которой изменялись несильно, обе модели дали наиболее схожие результаты.
Далее проанализируем, как меняются оценки в зависимости от выбранного периода на примере одной из компаний. Для анализа была взята комапния Unilever, так как цены на акции данной компании отличались наибольшей стабильностью. Рассмотрим, как изменялась доходность акций компании в течении двух лет.
Рис.1. Доходность акций компании Unilever.
На графике отчетливо видны интервалы с высокой и низкой волатильностью. Они фактически соответствуют полугодиям. Рассмотрим, какие результаты дадут обе модели на таких и смешанных интервалах. По-прежнему цена исполнения равна средней цене акции за период, а время действия опциона – тридцать дней.
Таблица 2
Стоимость опционов на акции компании Unilever
|
|
|
|
Блэк-Шоулз
|
GARCH
|
|
|
период
|
стоимость акции
|
цена исполнения
|
колл
|
пут
|
колл
|
пут
|
Исполняемый опцион
|
|
2-ое полугодие 2007
|
20,430
|
22,928
|
2,4396
|
0,0806
|
3,2399
|
0,6908
|
пут
|
|
1-ое полугодие 2008
|
19,140
|
21,127
|
0,0497
|
3,0206
|
0,6711
|
4,0431
|
пут
|
|
2-ое полугодие 2008
|
16,140
|
18,620
|
0,6600
|
1,8282
|
2,2956
|
2,6782
|
пут
|
|
1-ое полугодие 2009
|
19,360
|
16,247
|
1,3433
|
0,3284
|
1,5730
|
1,1820
|
колл
|
|
4-ый квартал 2008 - 1-ый квартал 2009
|
17,530
|
17,142
|
0,2712
|
2,4603
|
2,2301
|
3,0569
|
колл
|
Снова наблюдаем, что оценки по GARCH-модели дают лучшие результаты, так как удачнее предсказывают диапозон изменеия цен акций. Можно заметить, что в первый, второй и четвертый периоды, когда волатильность была не очень высокой, обе модели дали похожие результаты. В третий период с высокой волатильностью и пятый период, включающий участки с высокой и низкой волатильностью, оказались наибольшие расхождения в результатах, что оказалось оправданным, как следует из таблицы.
Теперь рассмотрим зависимость цен на «колл» и «пут» опционы в зависимости от срока действия опциона. Для анализа возьмем данные за первое полугодие 2008 года для компании ОАО «Лукойл». Стоит отметить, что данный период характеризовался высокой волатильностью доходности акций компании. В качестве цены исполнения возьмем среднюю цену акций за период.
Таблица 3
Зависимость цены опциона от срока действия
|
|
Блэк-Шоулз
|
GARCH
|
|
срок действия, дней
|
колл
|
пут
|
колл
|
пут
|
|
15
|
270,07
|
12,70
|
356,50
|
99,39
|
|
30
|
296,93
|
33,37
|
454,80
|
114,32
|
|
45
|
321,78
|
52,05
|
566,70
|
126,84
|
|
60
|
344,53
|
68,65
|
641,10
|
182,06
|
|
75
|
365,55
|
83,54
|
745,60
|
171,37
|
|
90
|
385,18
|
97,05
|
869,30
|
222,94
|
|
120
|
421,15
|
120,85
|
1018,20
|
257,21
|
Видим больший разброс цен опционов в GARCH-модели по сравнению с моделью Блэка-Шоулза, при этом перепад цен акций за период составил 1086 рублей. Можно заметить, что если для модели Блэка-Шоулза разница между ценой «колл» и «пут» опциона слабо растет и остается приблизительно одинаковой вне зависимости от срока его действия, то для GARCH модели эта разница существенно растет. При этом при сроке действия в пятнадцать дней эта разница фактически одинакова для обеих моделей.
Аналогично исследуем зависимость цен на опционы в зависимости от цены исполнения. Для этого проанализируем данные по ценам на акции компании Air France за второе полугодие 2007 года. Срок действия опциона везде выберем равным тридцати дням.
Таблица 4
Зависимость цены опциона от цены исполнения
|
|
Блэк-Шоулз
|
GARCH
|
|
Цена исполнения
|
колл
|
пут
|
колл
|
пут
|
|
19
|
5,2215
|
0,0579
|
5,031
|
1,1644
|
|
20
|
4,3041
|
0,1344
|
4,4283
|
1,3978
|
|
21
|
3,4495
|
0,2739
|
3,8643
|
1,7022
|
|
22
|
2,6811
|
0,4995
|
3,3575
|
2,0598
|
|
23
|
2,0175
|
0,8299
|
3,0254
|
2,3689
|
|
24
|
1,4685
|
1,275
|
2,7292
|
2,7783
|
|
25
|
1,034
|
1,8344
|
2,5017
|
3,2655
|
|
26
|
0,7046
|
2,4991
|
2,5658
|
3,7732
|
|
27
|
0,4653
|
3,2538
|
2,7847
|
4,3866
|
|
28
|
0,2981
|
4,0806
|
2,7462
|
5,1795
|
Как видно из таблицы, изменения цен в обих моделях имеют фактически одинаковую тенденцию. Цена на «колл» и «пут» опционы в обеих моделях выраниваются в районе цены исполнения в 24 евро. Однако в GARCH-моделе можно заметить нарушение монотонности изменения цен на «колл» опционы.
В заключении можно сказать, что в результате исследования двух моделей с постоянной и изменяющейся волатильностью были выявлены как общие черты и закономерности в зависимости от изменения параметров моделей, так и различия, связанные с абсолютной оценкой стоимости опционов. Как следует из вышеприведенного анализа, оценки по GARCH-моделе дали наиболее точные оценки, чем в моделе Блэка-Шоулза, что связано в первую очередь с тем, что GARCH-модель лучше учитывает изменения волатильности доходности. Таким образом, можно сделать вывод о том, что данный способ оценки является весьма эффективным, особенно при больших скачках волатильности. Интерес для дальнейшего исследования представляют комбинированные модели, включающих в себя элементы GARCH-процессов, а также GARCH-модели с ассиметрией. Полученные результаты могут применяться для лучшего понимания оптимального выбора рыночной стратегии, базирующейся на торговле деривативами, а использованный инструментарий - для разработки и анализа данных стратегий.
Библиографический список.
- Джон Халл. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструмены. – М.: ООО «И.Д. Вильямс» 2007.
- Ю.-Д. Люу. Методы и алгоритмы финансовой математики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.
- Tim Bollerslev, Robert F. Engle, Daniel B. Nelson. ARCH-models. N.B.E.R., 2000.
- Chun-Yang Liu, Yuh-Dauh Lyuu. On accurate trinomial GARCH option pricing algorithms. National Taiwan University, 2005.
PAGE 5
Исследование моделей ценообразования опционов с изменяющейся и постоянной волатильностью