МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ «ПРОБЛЕМЫ БЕЗБИЛЕТНИКА»

О.Е. Пыркина, А.Ю. Юданов

Финансовая академия

при Правительстве Российской Федерации

Москва

МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ «ПРОБЛЕМЫ БЕЗБИЛЕТНИКА»

1. Экономическое значение задачи и ее постановка на уровне модели

Знаменитой проблемой экономической теории, уже целое столетие (!) не находящей применимого на практике решения, является проблема неоплаченного присвоения общественных благ или, иначе, проблема безбилетника (free rider problem). Как известно, список общественных благ простирается от таких конкретных объектов, как дорожные указатели, до универсалий общественного бытия вроде поддержания правопорядка или обороны страны. Создание общественных благ требует больших издержек, которые должны нести – но не всегда несут, в чем и состоит проблема! – все потребители.

Феномен безбилетничества принято связывать, во-первых, с неисключаемым характером потребления общественных благ. Например, нельзя организовать дело так, чтобы ночным освещением улиц могли пользоваться только честные налогоплательщики. Во-вторых, безбилетничество поощряется неконкурентным (или неальтернативным) характером потребления общественных благ. Так, степень защищенности граждан от вражеской бомбардировки в результате функционирования системы ПВО не сокращается, если под «зонтиком безопасности» кроме них оказываются люди, не платившие налоги (например, иностранные туристы). Неконкурентность потребления снижает общественную мотивацию противодействия безбилетничеству, т.к. «зайцы» часто лично никому не вредят. Особенно же распространена ситуация, когда вред теоретически существует, но наносится каждому члену общества в микродозах. Скажем, лицо, уклоняющееся от уплаты налогов, в принципе переваливает на других свою долю финансирования общественных благ. Но реально поимка отдельного неплательщика облегчит бремя прочих граждан столь незначительно, что они этого не заметят. В итоге неуплата налогов воспринимается как простительный грех, а неплательщик сохраняет возможность пользоваться общественными благами при попустительстве социума.

Особенности природы общественных благ делают их неоплаченное присвоение массовым явлением. Неудивительно, что поиском решения проблемы «безбилетника» экономисты озабочены с начала XX века. Среди уделивших ей внимание экономистов блистают первые имена последнего столетия (краткий обзор классической литературы с позиций развиваемого авторами подхода см. [1], [2]). Являясь во многом шедеврами теоретической мысли, эти концепции на вопрос о том, как «победить безбилетника», прямо не отвечают. Не случайно, их суммированное изложение или «ортодоксия учебников» возлагает [см., например, 3] задачу борьбы с безбилетниками на внешнего контролера (государство). Ясно, что об эффективности таких методов борьбы говорить не приходится.

По мнению авторов, для частного случая нарушения безбилетником интересов своего близкого окружения знаменитая неразрешимая проблема все же имеет решение. Интересным объектом для анализа таких случаев может служить фальшивомонетничество. Суть деятельности фальшивомонетчика состоит в бесплатном получении доступа к универсуму экономических благ, а главным злом, от которого страдает все общество, является подрыв покупательной способности денег. Легко заметить, однако, что окружение фальшивомонетчика страдает не столько от ухудшения «качества денег», сколько от более значимого для конкретного лица локального эффекта: подсунутую ему фальшивку может никто не принять. Соответственно и борются рядовые люди с фальшивомонетчиками, куда более заинтересованно и ожесточенно, чем с другими «зайцами».

2. Формализация модели: марковское свойство денежного обращения.

При построении математической модели «задачи о фальшивомонетчике» авторы обратили внимание на марковское свойство системы наличного денежного обращения (полное обезличивание денег в любом хранилище и вследствие этого отсутствие предыстории), что позволило применить математический аппарат конечных цепей Маркова.

На первом этапе моделирования (обращение подлинных купюр как однородный марковский процесс) выделено три условных «хранилища» наличных денег: «кошелек», «касса», «банк». Они различаются по уровню проверки подлинности купюр при поступлении и представляют собой множество состояний системы. Вероятности перемещения купюры из одного «хранилища» в другое (из состояния с номером в состояние с номером ) есть переходные вероятности для цепи Маркова.

1. Основные обозначения, применяемые в модели

Случайный процесс показывает состояние системы в момент времени .

В работе прослеживается эволюция распределения вероятностей состояний цепи (и, соответственно, купюр по состояниям) от начального распределения до распределения .

Нас будут интересовать вероятности перехода из состояния в состояние за шагов – обозначим их , тогда матрица перехода за шагов есть . Число здесь есть индекс состояния системы (сделано шагов от начального распределения). Для однородных цепей Маркова известно, что [4]. Тогда .

4. Построение графа денежного обращения для подлинных купюр

Для анализа переходов в цепи выделено три группы операций с наличностью (переходы между состояниями), различающиеся по уровню проверки подлинности купюр.

I группа - операции, связанные с наличными расчетами между частными лицами. Проверки подлинности купюр осуществляется лишь визуальная, вероятность обнаружения и отсева фальшивки близка к нулю.

II группа - операции с наличными деньгами, проходящие через кассу. В большинстве касс в торговле и сервисе первичный контроль подлинности крупных купюр проводится, однако возможность «пропустить» фальшивку исключить нельзя. Представляется целесообразным обозначить вероятность «необнаружения» фальшивки как .

III группа - операции с наличностью, проводимые с участием банка. Проверка подлинности носит массовый и тщательный характер, вероятность обнаружения фальшивки близка к 1, вероятность «необнаружения» фальшивки будет близка к нулю

На графе (Рис.1) процесса денежного обращения представлены три состояния системы. На каждой дуге обозначена вероятность изображаемого ею перемещения купюры, то есть вероятность перехода системы из состояния в другое за один временной шаг. Для этого графа можно составить матрицу переходных вероятностей , где элементы с совпадающими индексами () описывают сохранение состояния. Для состояния 1 такой переход (с вероятностью ) не означает, что деньги хранятся «в чулке»; под эту категорию попадают все наличные расчеты без использования кассы.

Именно в таких расчетах ввод в оборот фальшивых купюр наиболее вероятен!

Рис.1. Граф перемещений подлинных купюр

Наличные расчеты между двумя кассами или между двумя банками - явление достаточно редкое, поэтому для состояний 2 и 3 переходы с вероятностями (из кассы в кассу) или (из банка в банк) описывают хранение наличных денег в кассе или в банке, соответственно.

Мы предполагаем, что кассы и банки не делают сознательных попыток ввода в оборот фальшивых купюр, поэтому эти переходы не являются существенными для модели, на графе они обозначены более тонкой линией.

1. Анализ движения фальшивых купюр на графе.

Рис. 2 Граф перемещений фальшивых купюр.

При введении в оборот фальшивой купюры описание марковского процесса денежного обращения изменится. Фальшивка рано или поздно будет замечена. Полагаем, что после обнаружения она подлежит утилизации – введем для этого еще одно хранилище наличных денег - «утиль». Это поглощающее состояние системы; попав в него, купюра в оборот не возвращается. Множество состояний системы теперь есть ..

Необходимо также добавить IV группу операций с наличностью – это изъятие из оборота и уничтожение фальшивых купюр.

Граф возможных перемещений фальшивой купюры из «хранилища» в «хранилище» (переходов из состояния в состояние с вероятностями ) представлен на Рис.2. Появление и исчезновение (перемещение в «утиль») фальшивой купюры обозначены красным цветом.

Если фальшивую купюру не сумели распознать при поступлении в «хранилище», далее она хранится и обращается вместе с подлинными деньгами, поэтому переходы 2-2, 3-3 соответствуют хранению фальшивых купюр в кассе или в банке.

Матрица

переходных вероятностей

для фальшивой купюры

(за один временной шаг) есть

Здесь состояние 4 является поглощающим, поэтому все вероятности переходов из состояния 4 в иные состояния равны нулю, а

Выпишем уравнения, связывающие элементы матриц и .

В операциях I группы фальшивку обнаружить практически невозможно, поэтому фальшивая купюра обращается как подлинная. Таким образом,.

При переходе денег из рук частных лиц в кассу или банк вероятности «необнаружения» фальшивки составляют или (это суть вероятности принять фальшивую купюру за подлинную). Их величины зависит от совершенства технических средств и добросовестности проверяющего. Поэтому имеем , .

Выявленные фальшивые купюры (не прошедшие систему контроля подлинности в кассе с вероятностью или в банке с вероятностью ) подлежат дальнейшей утилизации (попадают в состояние 4), поэтому

(сумма элементов строк матрицы равна 1 для сохранения свойства стохастичности).

Если фальшивка «проскочила» систему контроля подлинности в кассе или в банке, в дальнейшем она участвует в обороте наряду с подлинными купюрами, поэтому ,, , для вероятностей «выхода» из сост. 2.

Аналогично, для «выхода» из сост. 3: . , , .

В качестве пояснения последних соотношений можно отметить, что при получении наличных денег в кассе или в банке обычно никто не сомневается в их подлинности, поэтому дополнительной проверки не проводит. Таким образом, успешно «проскочившая» неидеальную систему контроля подлинности фальшивка искренне принимается получателем за подлинную купюру и снова участвует в обороте.

Матрица переходных вероятностей системы для фальшивой купюры (за один временной шаг) принимает вид

Эта матрица описывает марковский процесс с одним поглощающим состоянием, и к ней применимы результаты теории поглощающих цепей Маркова.

1. Анализ длительности нахождения фальшивой купюры в обороте

Построим фундаментальную матрицу цепи , элементы которой однозначно связаны с переходными вероятностями. Для этого разобьем первоначальную матрицу переходных вероятностей на 4 блока (разбиение намечено штриховыми линиями):

. Здесь - матрица , элементы которой определяют переходы из непоглощающих состояний в непоглощающие. Далее, - матрица , элементы которой описывают переходы из непоглощающих состояний в поглощающие. - матрица , состоящая из нулей (ее элементы суть вероятности «выхода» из поглощающего состояния). И, наконец, блок - единичная матрица - описывает пребывание в поглощающем состоянии. Для подобной матрицы существует обратная матрица [5], являющаяся фундаментальной матрицей для марковской цепи с поглощающими состояниями. Сумма ее элементов по строке дает среднее время достижения поглощающего состояния при условии, что в начальный момент цепь находилась в состоянии .

Предположим, что фальшивые купюры появляются в обороте лишь при расчетах I группы (переход 1 - 1, вероятность такого перехода есть ), считая, что «кассы» и «банки» не вводят фальшивые купюры в оборот (за исключением описанных выше случаев сбоя в системе контроля). Поэтому начальное распределение фальшивых купюр по состояниям выбирается так, чтобы все фальшивые купюры были сосредоточены в «кошельках» - в состоянии 1. Тогда распределение будет иметь вид .

Далее нас будет интересовать эволюция во времени случайного вектора . Здесь каждая из вероятностей есть вероятность того, что купюра (цепь) находится в состоянии в момент времени , при условии, что в начальный момент она имела распределение . Динамика такого вектора описывается уравнением [4]. Достижение финального распределения означает, что все фальшивые купюры обнаружены и благополучно утилизированы.

Реальный анализ реакции системы наличного денежного обращения на увеличение доли фальшивых купюр в обороте требует учета обратной связи. Действительно, чем больше обращается фальшивок, тем бдительнее становится каждый получатель купюры и тем меньше вероятность «проскочить» контроль. Чем бдительнее получатель, тем менее выгодно запускать фальшивки в оборот и тем меньше их концентрация .

Оценки подобного самосогласованного воздействия были получены при рассмотрении последовательности матриц с различными значениями переходных вероятностей, обусловленными различными значениями вероятностей или «необнаружения» фальшивых купюр в кассах или банках. Влияние концентрации фальшивых купюр в обороте на эти вероятности описывалось соотношениями и ( и - коэффициенты пропорциональности). Такое описание отвечает сделанному выше предположению о том, что получатель купюры становится все более бдительным по мере увеличения концентрации фальшивых купюр в обороте, а, значит, и размеров своего возможного убытка.

Численное моделирование на основе изложенного подхода было проведено при различных значениях параметров и , при различных матрицах переходных вероятностей , задающих, соответственно, различные матрицы .

Для иллюстрации в Таблице 1 приведены результаты моделирования для значений и для приведенной здесь матрицы переходных вероятностей .

Условно принималось, что поглощающее состояние достигнуто, если начальное распределение перешло в финальное распределение вида , то есть более 99% фальшивых купюр обнаружено и утилизировано.

Табл. 1. Зависимость количества временных шагов до достижения системой

поглощающего состояния от концентрации фальшивых купюр в обороте

> 300

Результаты показывают, что с увеличением в обороте концентрации фальшивых купюр система приходит к финальному состоянию за все более короткие промежутки времени, что подтверждает заключение о возможности «саморегулирования» системы, при наличии соответствующих институциональных условий.

1. Основные выводы

Наиболее значимым результатом представляется адекватное экономическому смыслу задачи описание феномена локального сопротивления неоплаченному присвоению общественных благ (это явление, по мнению авторов, уместно назвать «эффектом фальшивомонетчика»). В случаях, когда поведение безбилетника не только нарушает общественный интерес, но и непосредственно вредит контактирующим с ним экономическим агентам, безбилетничество эффективно пресекается усилиями последних.

Представляется, что эффект фальшивомонетчика может быть выявлен в широком спектре экономических процессов и корректно описан с помощью математических моделей, однотипных с приведенной выше моделью. Ведь пробравшийся в салон поезда «заяц» всегда сливается с честной публикой, что придает не только рассмотренному случаю, но и типовой ситуации «проблемы безбилетника» марковское свойство. Соответственно, предлагаемый авторами рецепт противодействия безбилетничеству состоит в формировании институциональной среды, ставящей локальное окружение безбилетника в прямую оппозицию к нему. Представляется, что это предложение не является прекраснодушным прожектерством, поскольку (1) лежит в русле общих современных представлений [6] о «выращивании институтов» как о лучшем средстве преодоления институциональных ловушек, частным случаем которых является «проблема безбилетника» и (2) стихийно уже реализуется на практике. Мы имеем в виду случаи, вроде тех, когда служащие (окружение безбилетника) давят на работодателя («зайца»), заставляя его выплачивать зарплату «по белому» не из заботы о налоговых доходах казны, а руководствуясь собственным корыстным интересом (при «белой» зарплате банк легче выдает кредит).

8. Литература.

1. Пыркина О.Е., Юданов А.Ю. Локальное сопротивление неоплаченному присвоению общественных благ (марковская модель для «задачи о фальшивомонетчике»). Математика. Компьютер. Образование: Сб.научн. трудов. Т. 1 / Под ред. Г.Ю. Ризниченко. М – Ижевск: НИЦ РХД, 2008, 208-218.
2. Юданов А.Ю., Беккер Е.Г. Безбилетник или фальшивомонетчик? (Об одном решении неразрешимой проблемы)/ Теневая экономика-2007. Научный ежегодник, М.: РГГУ, 2008.
3. 50 лекций по микроэкономике/ Под ред. В.С. Автономова и др., СПб: Экономическая школа, 2000, т.2. с. 414
4. Кемени Д. Д., Снелл Д. Л. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970, 272с.
5. Ф.С. Робертс. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим наукам. М.: Наука, 1986.
6. Полтерович В.М. Элементы теории реформ. М.: Экономика, 2007, разделы 2.10, 3.7.

МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ «ПРОБЛЕМЫ БЕЗБИЛЕТНИКА»