СРАВНИТЕЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ VAR ДЛЯ ОЦЕНКИ РЫНОЧНЫХ РИСКОВ
Корнев Александр Анатольевич
Государственный Университет Высшая Школа Экономики Нижегородский филиал студент 4 курса
СРАВНИТЕЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ VAR
ДЛЯ ОЦЕНКИ РЫНОЧНЫХ РИСКОВ
Данное исследование имеет целью сравнительный анализ прогнозной точности и эффективности применения различных моделей расчета величины VaR.
Экспериментальное исследование заключается в тестировании моделей на основе исторических данных и анализе их эффективности, таким образом сравнивая границы и условия применения различных моделей VaR. Также в рамках исследования приведена классификация моделей VaR, акцент сделан на вариационно-ковариационный метод расчета VaR и метод исторического моделирования, как наиболее ярких представителей двух классов методов оценки – полной и локальной оценки VaR.
Классификация методов расчета показателя VaR
Подходы к расчету показателя VaR могут быть разделены на две группы. Первая группа использует локальную оценку. Методы локальной оценки измеряет риск с помощью первоначальной оценки стоимости портфеля и последующим использованием производной для предсказания возможных изменений. Вариационно-ковариационный (или Дельта-нормальный) метод использует линейную или дельта производную, предполагая нормальное распределение факторов риска. Благодаря ковариационному методу, стало возможным реализовать такой его вариант, названный, Греческим (Greeks). Он состоит аналитической аппроксимации первой и второй производной, особенно хорошо подходящий для портфелей с ограниченными источниками риска. Вторая группа подходов используют полную оценку. Методы полной оценки измеряют риск с помощью множественного пересчета стоимостей портфелей для различных сценариев (то есть используется эмпирическая функция распределения). «За» и «Против» локальной версии полной оценки будут рассмотрены далее. Лучший пример локальной оценки это ковариационный метод. Полная оценка реализуется в методе исторического моделирования и методе Монте-Карло.
Эта классификация отражает главный компромисс между скоростью и точностью. Скорость важна для больших диверсифицированных портфелей, где наблюдается множественная корреляция различных инструментов. С такими задачами проще всех справляется ковариационный подход. Точность может быть более важна, когда портфель включает значимые нелинейные компоненты.
Вариационно-ковариационный метод
Понятие VaR (Value-at-Risk) зародилось в 50-х годах XX века в рамках теории портфеля Марковица, получило широкое распространение в 90-х годах в связи с требованиями базельского комитета по банковскому надзору, и прочно вошло в сознание экономистов как надежный помощник риск-менеджеров.
Автором понятия VAR можно считать Тилля Галдимана (Till Guldimann), главу исследовательского цента в J.P. Morgan в начале 1980-х годов. Позднее термин впервые появился в печатных отчетах G-30, предоставивших площадку для исследований представителям J.P.Morgan, в июле 1993 года. С момента возникновения понятие VaR неразрывно связано с ковариационным методом расчета этого показателя, который базируется на аппарате современной портфельной теории и предположении о нормальном распределении доходностей финансовых инструментов.
Данное предположение значительно облегчает нахождение величины VaR, так как в этом случае распределение доходности инструментов, являющихся линейной комбинацией факторов риска, также будет нормальным. На этом фундаментальном свойстве основан расчет VaR для портфелей, состоящих из инструментов с линейными ценовыми характеристиками, как например, акций или валют. Таким разом рассчитывать показатель VaR на основе только текущей стоимости портфеля и оценок изменчивости доходности факторов риска, что особенно удобно для больших диверсифицированных портфелей, подверженных многим различным факторам риска. С точки зрения скорости вычислений это выгодно отличает ковариационный метод от методов стохастического моделирования (методы Монте-Карло и исторического моделирования), в которых производится полная переоценка портфеля (full revaluation) по большому числу гипотетических сценариев изменения факторов риска. Такой подход более правилен с точки зрения теории, но требует значительно большей вычислительной мощности и затрат времени. В настоящее время только ковариационный метод позволяет рассчитывать показатель VaR в режиме времени, близком к реальному для торговых портфелей крупных финансовых институтов. Наконец, ковариационный метод позволяет легко анализировать «вклады» отдельных инструментов в общий риск портфеля и оценивать чувствительность показателя VaR к изменениям размеров позиций.
Недостатки ковариационного метода хорошо известны и являются продолжением его достоинств. Существенно ограничивает применимость данного метода невыполнение основополагающей посылки о нормальном распределении доходностей факторов риска. Реальные распределения изменений цен обычно характеризуются значительным эксцессом — более тяжелыми хвостами и острыми вершинами по сравнению с нормальным распределением. В рамках ковариационного метода эта проблема может быть решена, в частности, путем подбора другого распределения (например, Распределений Стьюдента, Лапласа, Вейбулла, смеси нормальных распределений и т.д.), которое более точно аппроксимирует эмпирически наблюдаемые распределения цен.
Метод исторического моделирования
В историческом моделировании для моделирования изменений переменных состояния используются исторические данные, т.е. с точки зрения статистики строится эмпирическая функция распределения.
Данный метод обходит необходимость оценивать матрицу ковариации, что значительно упрощает вычисления для больших портфелей (с большим количеством инструментов) в короткие ременные горизонты. Все что необходимо – это временной ряд. Результаты работы метода напрямую зависят от длины выбранного горизонта. Другое преимущество – метод не предполагает линейные зависимости и нормальное распределение. И наверно что более важно, он может работать с тяжелыми хвостами, потому что он не полагается на оценочную модель. Можно сказать, что этот метод ИМ является самым популярным.
К минусам можно отнести то, что метод предполагает наличие долгой и обоснованной истории изменения цены. Чтобы получить 1000 независимых реализаций однодневного изменения, нам необходима непрерывная история на протяжении 4 лет. Некоторые активы могут просто не иметь такой длинной истории. Также минус – используется только одна выборочная траектория. Да и сама предпосылка о том, что прошлое может достоверно описывать настоящее, неоправданна. Если мы пропустим важные события в прошлом (выбросы), хвосты распределения будут недостаточно полно описаны. И наоборот, выборка может включать события, которые никогда не произойдут в будущем, однако их наличие будет сказываться на оценках в настоящем. Риск содержит в себе значительные и предсказуемые временные изменения. Простой метод ИМ выкидывает из рассмотрения ситуации с временным ростом волатильности. Хуже того, он очень медленно сгруппировывает структурные переломы, которые более легко анализируются аналитическими методами.
Практический расчет показателей VaR
В практической части работы, вычисляется показатель VaR для шести инструментов (обыкновенных акций следующих компаний):
- ОАО Газпром, (GAZP);
- Лукойл НК, (LKOH);
- ГМК Норильский Никель, (GMKN);
- ОАО Сбербанк России, (SBER);
- Сургутнефтегаз, (SNGS);
- Ростелеком РАО, (RTKM);
а также составленного из них портфеля. (Замечание: выбор инструментов исключительно из, так называемых, "голубых фишек" несет исключительно иллюстративный характер и принципиального значения не имеет)
Перед нами стоит задача оценки рыночного риска вычислением VaR и дополнительным показателем Shortfall как для всего портфеля, так и для отдельно взятой компании разными методами, также будут сравнены эффективности каждого. Ежедневные котировки данных акций были взяты по итогам торгов на бирже ММББ в период с 07 июня 2008 года по 05 июня 2009 года.
Анализ оценок VaR и Shortfall при равномерном распределении (Табл. 2) капитала показывает, что в рассмотренный период времени наибольшим рыночным рискам подвержены вложения в акции Норникеля и Ростелеком и наоборот, наименьший рыночным риск характерен для акций НК Лукойл и Газпрома. Отсюда следует, что уменьшив долю акций Норникеля и Ростелеком в портфеле, увеличивая за счет них долю других эмитентов, можно значительно уменьшить VaR портфеля в целом. Действительно, при начальном капитале в 100 000 рублей и при равномерном распределении капитала по эмитентам однодневный 99% VaR портфеля составляет почти 7244 рубля (см. табл. 1).
|
Метод
|
GAZP
|
GMKN
|
LKOH
|
RTKM
|
SNGS
|
SBER
|
Портфель
|
|
Исторический
|
1202,346
|
1729,835
|
1176,731
|
1678,049
|
1583,091
|
1411,223
|
7101,719
|
|
Монте-Карло
|
945,285
|
36,146
|
22,530
|
19,950
|
38,572
|
24,779
|
1060,717
|
|
VaR Нормальное
|
1173,810
|
1619,933
|
1158,820
|
1614,189
|
1491,887
|
1352,017
|
7243,706
|
|
VaR Парето
|
1328,232
|
1725,765
|
1334,593
|
1735,997
|
1539,084
|
1402,071
|
7929,333
|
|
VaR Гамма
|
1173,810
|
1619,933
|
1158,820
|
1614,189
|
1491,887
|
1352,017
|
7243,706
|
|
Shortfall Парето
|
1969,015
|
2957,132
|
1821,863
|
2630,254
|
2051,386
|
1992,051
|
11954,554
|
|
Shortfall Гамма
|
1329,238
|
1967,280
|
1271,924
|
1886,791
|
1727,629
|
1582,359
|
8393,299
|
|
Максимум за период
|
1519,062
|
2519,053
|
1451,788
|
2126,767
|
2001,266
|
1668,760
|
10438,892
|
Табл 1. Оценка VaR и Shortfall уровня 99%
Максимум за период отражает максимальное отрицательное изменение стоимости портфеля за рассматриваемый период.
Оптимизация распределения капитала на предмет построения портфеля с наименьшим VaR дает решение отличное от тривиального (Табл. 2). 99% Парето VaR такого оптимального портфеля равен 7259.265, что меньше, чем при тривиальном вложении всего капитала в акции НК Лукойл. Все рассчитанные параметры найденного оптимального портфеля представлены ниже. Видим, VaR по сравнению с Shortfall действительно занижает риски.
|
Распределение капитала
|
|
GAZP
|
GMKN
|
LKOH
|
RTKM
|
SNGS
|
SBER
|
Сумма
|
|
0,229
|
0,005
|
0,63
|
0,003
|
0,014
|
0,119
|
1
|
|
|
|
|
|
VaR
|
=
|
6849,35
|
|
Метод
|
GAZP
|
GMKN
|
LKOH
|
RTKM
|
SNGS
|
SBER
|
Портфель
|
|
Исторический
|
1652,023
|
51,895
|
4448,042
|
30,205
|
132,980
|
1007,613
|
7358,659
|
|
Монте-Карло
|
1298,822
|
1,084
|
85,164
|
0,359
|
3,240
|
17,692
|
1398,981
|
|
Var Нормальное
|
1612,814
|
48,598
|
4380,341
|
29,055
|
125,319
|
965,340
|
6849,347
|
|
Var Парето
|
1824,944
|
51,916
|
5044,451
|
31,375
|
129,384
|
1001,113
|
7259,265
|
|
Var Гамма
|
1612,814
|
48,598
|
4380,341
|
29,055
|
125,319
|
965,340
|
6849,347
|
|
Shortfall Парето
|
2705,183
|
89,480
|
6884,961
|
48,005
|
172,867
|
1422,505
|
9351,371
|
|
Shortfall Гамма
|
1826,373
|
59,018
|
4807,873
|
33,962
|
145,121
|
1129,804
|
7719,559
|
|
Максимум за период
|
2087,191
|
75,572
|
5487,760
|
38,282
|
168,106
|
1191,495
|
7664,943
|
Табл. 2 Распределение капитала в долях и рассчитанные VaR и Shortfall
Теперь обратим внимание на частоту превышений отрицательных изменений стоимости портфеля над суммой VaR. C Табл.3 представлены количество (в процентах) случаев за фактический временной период с 07 июня 2008 года по 05 июня 2009 года, когда однодневный VaR успешно покрывал возникающие потери. А также для сравнения, представлены результаты, полученные на смоделированных данных. Было проанализировано тысяча возможных сценариев изменения стоимости портфеля, и для каждого рассчитан однодневный VaR.
|
|
VaR
Историч.
|
VaR
Монте-Карло
|
VaR Норм.
|
VaR Парето
|
VaR Гамма
|
Shortfall Парето
|
Shortfall Гамма
|
Макс.
|
|
Теоретич.
|
98,70%
|
98,90%
|
99,10%
|
99,10%
|
99,20%
|
99,40%
|
98,90%
|
99,30%
|
|
необходимая сумма резервирования
|
1404,88
|
1411,83
|
1498,31
|
1483,04
|
1498,31
|
1816,08
|
1491,02
|
1630,52
|
|
пракическ.
|
95,88%
|
72,02%
|
97,12%
|
96,71%
|
97,94%
|
98,35%
|
96,71%
|
96,71%
|
|
необходимая сумма резервирования
|
6290,62
|
1411,83
|
6461,38
|
6459,16
|
6494,42
|
8706,53
|
6827,60
|
6399,97
|
Табл.3 Сравнительные показатели
Отметим, что необходимая сумма резервирования рассчитана как среднее из всех рисковых стоимостей за период.
Видим, что с реальными данными лучше всего «справились» ковариационные модели VaR рассчитанные по нормальному и Гамма-распределению, при сравнительно небольших суммах резервирования, они показывают наибольшую точность (не сравниваем с Shortfall), более приближенную к теоретическому доверительному интервалу 99%. Также заметно, что в данном случае все параметрические методы показали себя более эффективными, нежели простое принятие в качестве суммы под риском максимального отрицательного изменения стоимости портфеля за исторический период.
В ситуации с моделированными изменениями, каждый метод показал достаточно высокую прогнозную точность. Опять же выделяются параметрические методы расчета VaR.
Отдельное слово, нужно сказать про показатель Shortfall, который по определению является более консервативной мерой риска, чем VaR. Для одного и того же уровня он требует резервировать больший капитал. Таким образом, Shortfall позволяет учитывать большие потери, которые могут произойти с небольшой (меньшей, чем 1- ) вероятностью. Он также более адекватно оценивает риск в распространенном на практике случае, когда распределение потерь имеет тяжелый хвост.
Заключение
Исходя из всего анализа VaR можно сказать, что это является эффективным и разновариантным инструментом для оценки широкого спектра рыночных рисков как по отдельности, так и вместе. Причем точность и быстрота оценки напрямую в наибольшей степени зависит от условий, в которых мы применяем метод, а также от самого выбора метода VaR. Руководствуясь выводами, сделанными ранее, в той или иной ситуации, для портфеля или отдельного актива, мы может подобрать наиболее подходящий метод VaR, что говорит о его широте, как показателя, и в то же время узкой специализации на конкретной ситуации. Это позволяет подходить к анализу конкретных факторов риска на определенные активы с максимальной степенью точности, что и позволяет получать достаточно точные оценки рисков.
Стоит отметить, что VaR это не единственный метод оценки рыночных рисков, не панацея от любых форм проявления риска. Существуют также бета-анализ теории САРМ, АРТ, ShortFall, Capital-at-Risk, Maximum Loss и ряд других классических методов. Однако его относительная простота реализации, с помощью которой он завоевал свою популярность и широкое применения в различных компаниях и банках, говорят сами за себя. Все благодаря тому, что VaR есть просто формализация здравого смысла в цифры.
Список используемой литературы:
- Jorion P. Value at risk: the new benchmark for managing financial risk, Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 2nd ed., 2001
- Matthews K. The economics of banking / Kent Matthews, John Thompson, Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 2005
- Hull J.C. Options, futures and other derivatives, Pearson Prentice Hall, 2006
- Blanco C. Component VaR, VaRdelta and VaRbeta in Risk Management, Paper presented at the UNICOM Risk& Return99 Conference. London, 1999
- Dowd K. Beyond Value at Risk. London: John Wiley and Sons, 1998.
PAGE 1
СРАВНИТЕЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ VAR ДЛЯ ОЦЕНКИ РЫНОЧНЫХ РИСКОВ