Модели диффузии нововведений с растущим потенциалом распространения: сотовая связь и Интернет

Делицын Л.Л.

Московский Государственный Университет

Культуры и Искусств,

Москва

Наиболее широко используемая фундаментальная модель распространения нововведений в обществе [16] имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения

(1)

с начальным условием . Здесь используются следующие обозначения: – текущая численность пользователей, т.е. тех, кто уже использует нововведение в момент времени ; – потенциал распространения инновации, т.е. полная численность потенциальных пользователей, включающая как тех, кто уже пользуется, так и тех, кто способен когда-либо воспользоваться нововведением. Функция носит название функции риска. Предполагается, что . В модели комбинированных воздействий функция риска линейно зависит от текущего количества пользователей [16]

, (2)

где – параметр внешних воздействий (параметр инновации), – параметр внутренних воздействий (параметр имитации), – полное число коммуницирующих индивидов (например, численность популяции).

Уравнение (1) приобретает вид

. (3)

Пусть потенциал линейно растет со временем или постоянен

. (4)

причем , .

Решение для случая , т.е. для постоянного , хорошо известно [16]

, (5)

где . (5a)

В этой работе мы рассматриваем случай . Решение уравнения (1) имеет вид

, (6)

где постоянная (6a)

не зависит от времени, и использованы вспомогательные величины

, , . (6б)

Специальная функция носит название интеграла или интегральной функции Доусона [15]

. (7)

Для вычисления мы использовали библиотеку ALGLIB, реализованную С.Бочкановым на основе библиотеки Cephes [6].

Динамика проникновения сотовой связи в России

Обнаружив отток абонентов в 1999 году, крупные российские операторы сотовой связи приняли решение о выводе услуги мобильной связи на массовый рынок и радикально снизили стоимость минуты разговора. В итоге рост числа абонентов возобновился, а доля владельцев сотовых телефонов среди россиян в 2000 году достигла 2%. Начиная с этого времени, публикуются уникальные в плане разнообразия и полноты данные массовых опросов о личном владении мобильным телефоном (“Левада-Центр”, ФОМ, ВЦИОМ, РОМИР) [4].

Ю.А.Бакман и В.С.Панфилов полагают, что началом периода бурного роста систем сотовой связи в России можно считать 1999 г., когда количество пользователей превысило первый миллион человек [1,2]. О.Панкратова [9] отмечает более высокую скорость роста распространения мобильной связи в России по сравнению с европейскими странами: “Российский рынок совершил беспрецедентный рывок в 2002-2005 г. и «догнал» Европу по охвату услуг. Расширение охвата с 40% до 100%, на которое у других развивающихся рынков уходит 5-6 лет, произошло в России за 2 года.” В 2010 г. МСЭ отметил, что подобный “рывок” был характерен и для стран СНГ в целом. Мы полагаем, что причиной столь высокой скорости диффузии стал быстрый рост потенциала , к которому привела интенсивная конкуренция операторов сотовой связи.

Таблица 1. Динамика APPM в России

в 2000-2009 гг., долл. США

Год	APPM ($/min)	Год	APPM ($/min)	Год	APPM ($/min)
2000	0,40	2004	0,09	2008	0,05
2001	0,24	2005	0,07	2009	0,04
2002	0,18	2006	0,06
2003	0,13	2007	0,06

В таблице 1 представлена динамика средней стоимости минуты разговора APPM в России в 2000-2009 гг., в долларах США по данным Wireless Intelligence [13]. Мы используем также нашу оценку APPM за 1999 г., равную 0,55 $/мин и полученную путем осреднения данных крупных операторов.

Модель AC

Модель логистического роста числа пользователей сотовой связи использовалась в работах [3-6,8,14]. В основе этого подхода лежит представление об однородном и идеально перемешанном обществе, которое представляет собой так называемую атомизованную клику [14]. Между пользователем мобильной связи и владельцем сотового телефона в при этом нет различий. Модель представляется в виде уравнения (3) при . Далее будем называть ее моделью AC. В работах [4,14,18] показано, что модель AC удовлетворительно описывает данные опросов Левада-Центра и ФОМ о личном владении сотовыми телефонами в России в 2000-2009 годах. Снижение стоимости минуты разговора APPM не учитывалось в модели AC, здесь мы попытаемся его учесть при помощи переменного потенциала распространения нововведения .

Модель AV

Новизна предлагаемой в настоящей статье модели AV состоит в том, что в ней учтен рост потенциала , который в модели AC [3-6,8,14] считался постоянным. В реальности доступность мобильной связи, которую отражает , росла во времени. Поначалу был мал. Так, Ю.Федорова отмечает, что “всего 10 с небольшим лет назад сотовый телефон считался предметом роскоши и далеко не каждый мог себе позволить оплачивать счета, составлявшие в среднем 2-3 сотни долларов в месяц” [13]. Сходное мнение высказал В.В.Радаев “Мобильные телефоны относились к разряду экзотики еще в середине 1990-х годов (всего лишь 5-8 лет назад), служили знаком статусного превосходства, элементом престижного потребления ” [10].

Однако уже в августе 2006 г. большинство респондентов ФОМ полагало, что мобильный телефон может иметь каждый, кто захочет (57%). Лишь 17% респондентов связали наличие сотового телефона с уровнем дохода или наличием доступа. Однако в этот период только 54% взрослых россиян владели личным сотовым телефоном. Следовательно, потенциал уже в 2006 г., по-видимому, составлял не менее 83% взрослого населения, и был заметно выше, чем текущий уровень проникновения . Добавим, что в июне 2004 г. было опубликовано экспертное мнение, согласно которому в Перми в результате “ценовых войн” операторов мобильная связь стала доступна даже малообеспеченным слоям населения, в том числе тем, кто был готов тратить на нее лишь 1-2 доллара в месяц [12]. При этом проникновение сотовой связи в Перми составляло 50%, а в Пермской области – 25-30% (этот уровень совпадал со среднероссийским). Это мнение подтверждает предположение, что в 2004 году, потенциал достиг максимальной величины (), и заметно превысил проникновение . В работе Э.А.Разроева [11] описаны маркетинговые исследования, при помощи которых операторы, снижая цены, пытались определить уровень доходов пользователей, которым доступна услуга. Фактически операторы пытались измерить потенциал рынка .

Рис.1. Динамика наличия сотового телефона в личном пользовании (по данным Левада-Центра) и APPM (по данным [13]).

Используем гиперболический тренд цены минуты разговора (APPM)

(8)

и определим неизвестные параметры методом наименьших квадратов. Единицей времени здесь является один день. Параметры оказались равны: , . Данные об APPM [9,13] изображены серыми треугольниками на рис.1, а результаты расчетов по формуле (1) – сплошной серой линией. Очевидно, гиперболический тренд (8) удовлетворительно описывает данные об APPM за 1999-2007 годы. Черными кружками на рис. 1 изображены данные массовых репрезентативных опросов Левада-центра (опубликованных на сайте www.levada.ru и в базе проекта СОФИСТ (sofist.socpol.ru))

Ограничимся рассмотрением периода 2000-2009 годов. Мы не будем принимать во внимание: 1) рост доходов россиян в этот период; 2) снижение стоимости сотового телефона в этот период. Примем во внимание лишь снижение средней стоимости минуты разговора (APPM) и рассмотрим модель, в которой только APPM определяет потенциал . Используем для указанного периода следующую модель зависимости потенциала распространения новой услуги от ее стоимости

пока , далее . (9)

Наложим ограничения на неизвестные пока параметры , , где - рассматриваемая популяция (110 млн. взрослых россиян). Подставляя (8) в (9), получаем линейно растущий потенциал распространения нововведения

, пока . (10)

Мы зафиксировали начальную долю владельцев телефонов равной 0,54% в начале 1999 г., и предположили, что модель AV справедлива, начиная с этого момента времени. Таким образом, последние два параметра табл. 2 были заданы нами заранее. Остальные шесть параметров табл. 2 были определены нами из формул (13-14, 27-28, 31) при помощи данных Левада-центра методом наименьших квадратов.

Если поведение цен, изображенное на рис.1, встречается часто, то предлагаемая нами модель отвечает на два вопроса. Во-первых, на вопрос о том, почему модель с постоянным потенциалом рынка, описываемая формулой (3) хорошо описывает историческую динамику, и при этом не требуются управляющие переменные, такие как стоимость услуги и затраты на рекламу. Это связано с тем, что падение цен является быстрым, после чего потенциал устанавливается на постоянном уровне . Во-вторых, на вопрос о том, почему модель (3) обладает слабыми прогностическими свойствами. Причина состоит в том, что параметры модели (3) определяются в начальный период, когда потенциал быстро растет, но в модели считается постоянным. Это приводит к смещению значений параметров. Если авторы прогноза удачно “угадывают” , то реальные данные будут не сильно отклоняться от прогноза. Если же потенциал определяется с большой ошибкой (а начальная часть кривой очень слабо ограничивает значения потенциала), то и прогноз будет существенно расходиться с реальностью.

Таблица 2

Параметры моделей AC и AV

Модель

M/K

(%)

(лет-1)

(%)

(%/ год)

(чел.Xдолл.)

N0/K

(%)

91,3

0,71

2,910-5

1.09.1991

88,1

1,52

8,410-2

4,29

17,6

10,81

0,54

1.01.1999

Модель BV

Модель атомизованного общества объясняет лишь часть доступных данных опросов – данные о личном владении сотовым телефоном, но неспособна объяснить данные о наличии этого устройства в домохозяйстве [4,14,18]. В 2001-2006 гг. доля россиян, у которых мобильный телефон есть в домохозяйстве, была систематически выше, чем доля имеющих мобильный телефон в личном пользовании (см.рис.2). Это наблюдение представляется тривиальным, однако специально не учитывается в модели атомизованного общества. C целью построения количественной модели, объясняющей все описанные ранее данные социологических опросов, мы использовали четыре допущения [14,18]:

Условный “глава домохозяйства” первоначально приобретает новинку для себя, становится ее официальным владельцем.
Период времени между приобретением домохозяйством мобильного терминала и началом использования этого устройства всеми взрослыми членами домохозяйства пренебрежимо мал. Это предположение позволяет считать эквивалентными данные об использовании новинки и о наличии новинки в домохозяйстве.
На решение взрослого россиянина о покупке нововведения влияет доля других пользователей среди взрослого населения, которую он оценивает в процессе общения.
Пользователи-дети не влияют на решения взрослых об использовании нововведения.

На этой основе нами ранее была построена модель BC, подробно описанная в наших работах [14,18]. В этой модели потенциал распространения нововведения предполагался постоянным, как и в модели АC. Однако такое предположение игнорирует имевшее место в реальности значительное удешевление услуг мобильной связи [9-13].

На рис. 2 представлены результаты расчета при помощи модели BV с переменным потенциалом . В этом случае уравнению (3) удовлетворяет не количество владельцев телефонов , а количество пользователей сотовой связи (возможно, использующих устройства, принадлежащие другим членам семьи) [4,18]. Количество владеющих мобильными телефонами домохозяйств численностью членов выражается формулой

где , (11)

которая является аналогом формулы (41) из работы [14]. В случае линейной функции риска эти выражения можно упростить и выразить через интеграл Доусона. В настоящей работе мы рассматриваем лишь наиболее простой для расчетов частный случай .

Рис.2. Динамика наличия сотового телефона в домохозяйствах (по данным Левада-Центра, ФОМ, ВЦИОМ).

На рис.2 потенциал изображен пунктирной линией, доли пользователей сотовой связи среди взрослых россиян и доля владельцев телефонов среди взрослых россиян – жирной и тонкой линиями. Отметим, что рост потенциала заканчивается лишь в 2006 г., а не в 2004 г., как на рис.1. Это связано с тем, что теперь решение должно удовлетворить не только данным опросов о доле владельцев телефонов, но и данным о количестве респондентов, в домохозяйствах которых используется сотовая связь. Мы полагаем, что данные опросов совместно с данными об APPM не устраняют неопределенность в поведении потенциала , и нельзя утверждать, что модель BV “лучше” описывает данные, чем модель BC. Можно лишь утверждать, что модель BV тоже описывает данные приблизительно с той же точностью. Однако модель BV учитывает снижение APPM, в то время как модель BC этот факт полностью игнорирует.

Отметим также, что, хотя различие в поведении потенциала на рис.1 и рис.2 кажется не слишком значительным, оно отвечает весьма различному поведению пользователей. В модели AV, соответствующей рис.1, потенциал вырос резко (почти скачкообразно), однако индивиды проявили определенную инертность, не сразу принимая решение о приобретении телефона. В более реалистичной, на наш взгляд, модели BV, которой соответствует рис.2, операторы, постепенно снижая стоимость минуты разговора, плавно увеличивают потенциал , после чего домохозяйства “почти мгновенно” приобретают сотовые телефоны. Как показывает табл.2, в модели BV оказывается высок параметр внешних воздействий , а значит, на решения домохозяйств значительное влияние оказывала реклама операторов. Заметим, что приведенный в табл. 2. набор параметров – лишь один возможных наборов, дающих приблизительно одинаковую ошибку аппроксимации данных. Изучаемая проблема характеризуется обилием правдоподобных решений, поэтому мы имеем возможность указать лишь на еще одно из возможных объяснений, но, безусловно, не можем выделить единственное решение. Подобная неоднозначность вообще характерна для исследований диффузии нововведений, тем более, что потенциал , играющий важную роль в модели (1), гораздо сложнее измерить, чем количество пользователей, владельцев или абонентов.

Таблица 2

Параметры моделей BC и BV

Модель

(%)

q(лет-1)

p (лет-1)

(лет)

(% )

(% / год)

BС

85,84

0,8

1,7710-5

1,09

1,0

95,00

0,8

0,11

1,09

1,0

4,29

12,3

При подборе параметров моделей мы использовали данные до января 2008 г. включительно. Данные, относящиеся к более позднему периоду, редки и противоречивы. В частности по данным опроса ВЦИОМ, проведенного в мае 2010 г. лишь 10% россиян не обладают личными сотовыми телефонами, однако в марте 2010 г. ВЦИОМ сообщил, что сотовые телефоны отсутствуют в семьях 19% опрошенных. Такие данные несовместимы между собой, ибо количество владельцев аппаратов не может быть меньше количества лиц, в домохозяйстве которых имеются эти устройства. Различия могут быть вызваны не только случайными погрешностями, но и либо различиями в формулировках ответов, которые выбирают респонденты и ответов, которые затем публикуются исследователями, а также особенностями взвешивания результатов квартирных опросов. Наконец, российские домохозяйства, очевидно, неоднородны по географии проживания и уровню доходов, а в нашей работе использованы однородные модели. Мы полагаем, что однозначные результаты могут быть получены лишь в том случае, если исследователи будут с самого начала планировать опрос как источник данных для построения диффузионных модели распространения нововведения.

Моделирование аудитории российского Интернета как инновации с экспоненциально растущим потенциалом

Прогноз месячной аудитории российского Интернета по данным счётчика Rambler’s Top 100, предполагающий постоянный потенциал рынка, был построен автором в июне 2002 г. [18]. (Следуя Фонду “Общественное Мнение”, под “месячной” аудиторией мы подразумеваем количество россиян не моложе 18 лет, воспользовавшихся Интернетом хотя бы раз в течение истекшего месяца). Этот прогноз удовлетворительно выполнялся во второй половине 2002 г. и в 2003 году. Однако в первом полугодия 2004 года оценки аудитории российского Интернета, полученные с помощью счётчика Rambler’s Top 100, начали систематически превосходить этот прогноз. Поэтому в августе 2004 г., составляя новый прогноз роста, автор и его коллеги предположили, что потенциал рынка растёт [20]. Автор предположил, что продолжится рост российской экономики с темпами приблизительно в 7%, что увеличит благосостояние россиян, позволит им приобретать компьютеры и оплачивать доступ к Интернету. При этом ожидалось, что компьютерный рынок в 2005-2007 годах продолжит опережающий рост с темпами 20-25% в год, обеспечивая техникой всех желающих. Подразумевалось также продолжение государственных программ подключения к Интернету высших и средних учебных заведений и создания коллективных пунктов доступа. В целом не предполагалось каких-либо ограничений предложения компьютеров или каналов связи.

Кроме того, автор учёл опубликованный к тому времени прогноз МЭРТ, согласно которому полное число пользователей Интернета в России в 2007 году должно было составить 32 миллиона человек, а также Министерства Информационных технологий и связи РФ о преодолении 50-миллионного рубежа в 2010 году.

В итоге сбыло сделано предположение, что потенциал распространения Интернета в России будет экспоненциально возрастать на 25,6% в год с августа 2002 г. по декабрь 2010 г., после чего остановится на уровне 64 миллиона человек:

В качестве уровня потенциала до августа 2002 г. были выбраны 11,5 млн. человек, что автор счел оценкой численности российского среднего класса, который, по его предположению, и составлял аудиторию Рунета.

В 2004 г. для описания роста аудитории российского Интернета, его отдельных секторов и проектов, автор использовал модель Ф.Басса [4], модифицированную способом П.Мейера [23], для учета роста потенциала распространения нововведения которая описывается следующим уравнением:

(1)

где

X(t) – число пользователей российского Интернета в момент времени t;

M(t) - максимально достижимый объём аудитории российского Интернета в момент времени t;

b – параметр внутреннего влияния (“вирусная” скорость распространения продукта благодаря общению пользователей);

a – параметр внешнего влияния (эффект рекламы продукта, например, при интенсивной рекламе интернет-услуг или порталов по телевидению);

t – время (календарная дата) При моделировании в качестве единицы времени был использован месяц.

Параметр интенсивности межличностного общения был определен по историческим данным до 2004 г. и далее полагался неизменным. Параметр внешнего влияния был положен равным нулю.

Результатом решения стали модель и прогноз на 2005-2007 гг., которые автор этой работы, а также его соавторы И. Засурский, И. Куринной и Н. Секретарёв, опубликовали осенью 2004 г. [20].

На Рис. 3. изображены данные, которыми автор пользовался при построении модели, сама модель, а также новые данные, с сентября 2004 по сентябрь 2005 г. и итоговый прогноз, опубликованный в работе [20]. В 2004 г. авторы не решились увеличить горизонт прогнозирования более, чем до трех лет, исходя из того, что ранее среднесрочные прогнозы оказывались грубо ошибочными.

Кроме того, выбор авторами [20] модели П.Мейера следует признать неверным, поскольку такая модель предполагает рост популяции, в которой коммуницируют индивиды, в то время как потенциал распространения есть лишь часть этой популяции, в которой индивиды способны воспользоваться нововведением, т.е. способны преодолеть финансовые и технические барьеры.

Рис.3. Месячная российская аудитория российского Интернета по данным счётчика Rambler’s Top 100 (сплошные треугольники), модель распространения (сплошная линия), потенциал аудитории (пунктирная линии), прогноз МЭРТ (крупные красные ромбы) [20].

Несмотря на то, что уравнение, использованное авторами [20] описывало неверную модель, рис.3 свидетельствует, что предсказанные с 2007 по 2010 гг. значения месячной аудитории в целом близки к данным измерений ФОМ за эти годы.

В настоящее время оценки месячной аудитории Интернета, полученные на основе данных Интернет-счётчиков, представляются гораздо менее надёжными, чем данные массовых опросов Фонда “Общественное Мнение” (ФОМ) и ВЦИОМ. Поэтому в данной работе использованы только данные указанных опросов.

Рис.4. Месячная российская аудитория российского Интернета по данным ФОМ (сплошные кружки), модель распространения (сплошная линия), экспоненциально растущий потенциал (пунктирная линия). При расчетах использована модель П.Мейера.

Можно предположить, что удовлетворительное совпадение данных и прогноза не полностью случайно; в таком случае следует попытаться измерить или оценить каким-нибудь образом “потенциал распространения” нововведения . Динамика практически полностью объясняется динамикой . В случае же одностадийных моделей распространения нововведений в однородном обществе потенциал постоянен, а изменения определяются в первую очередь интенсивностью межличностных коммуникаций, за которую отвечает параметр .

Нормативные следствия двух моделей весьма различны. Модели однородного общества предписывают стимулирование коммуникаций, передачи информации внутри общества. Модель с переменным предполагает, что индивиды хорошо осведомлены о наличии нововведения, но не имеют возможности им воспользоваться, например, в силу его финансовой или технической недоступности. Следовательно, для ускорения распространения нововведения необходимо снижать стоимость доступа к Интернету, обеспечивать строительство широкополосного доступа в небольших населенных пунктах, обеспечивать обучение использованию компьютера и т.п.

В качестве кандидата на роль может выступить количество желающих воспользоваться Интернетом, которое публикует ФОМ (открытые ромбы на рис.5). Действительно, как показывает рис.5, до 2007 г. между гипотетическим потенциалом и наблюдаемым количеством желающих воспользоваться Сетью имело место близкое соответствие. Позже расхождения стали существенными.

Можно предположить, что практический успех неверной модели [20] в сравнении с более логически совершенными, обусловлен неявным использованием в ней многостадийности [26].

Рис.5. Месячная российская аудитория российского Интернета по данным ФОМ (сплошные кружки), количество желающих воспользоваться Интернетом по данным ФОМ (открытые ромбы), модель распространения П.Мейера (сплошная линия), корректная модель распространения (тонкая пунктирная линия), экспоненциально растущий потенциал (жирная пунктирная линия).

Пересчитаем выполненный в [20] прогноз при помощи корректной модели (3) , используя только данные до середины 2004 г. и те же предположения, что были сделаны в [20]. Рис.5 показывает, что прогноз, полученный при помощи логически корректной модели (4) оказался бы “хуже” предыдущего, и предсказанные им значения месячной аудитории значительно превысили бы те, которые наблюдает сегодня ФОМ.

Попробуем показать, что эти расхождения вызваны неверным прогнозом потенциала , а не какими-либо свойствами нежелательными модели (4).

Рис.6. Месячная российская аудитория российского Интернета по данным ФОМ (сплошные кружки), количество желающих воспользоваться Интернетом по данным ФОМ (открытые ромбы), корректная модель распространения нововведения (тонкая пунктирная линия), экспоненциально растущий потенциал (жирная пунктирная линия).

Рис.6 иллюстрирует результаты моделирования, полученные при использовании , что соответствует росту потенциала на 14% в год при изначально более высоком, чем в прежней модели, значении 16,0 млн. человек. Параметр интенсивности межличностных коммуникаций уменьшен до 68% от значения в предыдущей модели. Как явствует из рис. 6, при таких значениях параметров расчетные соответствуют данным наблюдений, а потенциал весьма близок к количеству желающих воспользоваться Интернетом, существенно ближе, чем на рис.3.

В 2004 г., когда был выполнен прогноз [20], данные о намерениях воспользоваться Интернетом были весьма скудными. Более того, при попытке воспользоваться этими данными в качестве оценки в 2003 г., мы могли получить чрезмерно завышенный прогноз на 2004-2010 гг. Тем не менее, можно предположить, что изучение данных о намерениях за 2003-2007 гг. могло бы позволить идентифицировать количество желающих воспользоваться Интернетом в качестве и построить совместные прогнозы и .

ЛИТЕРАТУРА

Бакман Ю.А., Панфилов В.С. Рынок сотовой связи России: от экстенсивного развития к интенсивному // Проблемы прогнозирования. –2008. – №5. – С.36-54.
Бакман Ю.А., Панфилов В.С. Рынок сотовой связи России как сегмент рынка телекоммуникаций: методы прогнозирования // Научные труды: Институт народнохозяйственного прогнозирования РАН. – 2008. – Т.6. – С.398-416.
Деарт Ю.В. Прогноз развития сотовой связи в России// Вестник связи. - №4. – 2005. – C.32-34.
Делицын Л.Л. Количественные модели распространения нововведений в сфере информационных и телекоммуникационных технологий. – Москва: МГУКИ, 2009. – 106 с.
Казанцев С.Ю., Фролов И.Э. Состояние и потенциал развития инфокоммуникационного комплекса России // Проблемы прогнозирования. — 2005. - №3. – С.17-40.
Казанцев С.Ю., Фролов И.Э. Условия и потенциал развития российского инфокоммуникационного комплекса // Проблемы прогнозирования. — 2006. - №4. – С.80-97.
Крамин Т.В. К оценке потенциала и структуры спроса на услуги сотовой связи в регионах России //Проблемы современной экономики. — 2004. — №1—2. — С. 152—155.
Кузовкова Т.А., Тимошенко Л.С. Анализ и прогнозирование развития инфокоммуникаций. – М.: Горячая линия-Телеком. – 2009. – 224 с.
Панкратова О. Рынок мобильной индустрии России и СНГ // Доклад на форуме РУССОФТ 11 июня 2009 года.
Радаев В.В. Обычные и инновационные практики в деятельности российского среднего класса // Мир России. – 2003. – Т.12. – №4. – С.89-119.
Разроев Э.А.Инфокоммуникационный бизнес: управление, технологии, маркетинг. – СПб.: Профессия, 2003. – 352 с.
Сухомесова И. Сотовое перемирие // Новый Компаньон. Пермская деловая и политическая газета. №21 (314) от 22.06.2004 г.
Федорова Ю. Игра по правилам и без // Связьинвест. Единая техническая политика. №2 (92) февраль 2010. – С.57-58.
Юрина Э.А., Делицын Л.Л. “Эпидемиологические" модели распространения мобильной связи и Интернета в России / Интернет-маркетинг. – 2008. - №1 (43). – С.2-15.
Abramowitz M. and Stegun I.A. (1972). Handbook of Mathematical Functions (3nd Edition) Dover Publications.
Mahajan, V., Peterson, R. A., Models for innovation diffusion / Sage Publications, 1985, 2004. – 88p.
Moshier, S.L. Methods and Programs for Mathematical Functions. Chichester, England: Ellis Horwood, 1989.
Делицын Л.Л. Моделирование данных социологических опросов о распространении мобильной связи в России // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. – 2009. - №1. – С.96-104.
Делицын Л.Л. Догнать Бразилию. В России 8,8 миллионов пользователей интернета // Независимая газета. – 2002. – 11 окт.
Л.Л. Делицын, И.И. Засурский, И.Г. Куринной, Н.А. Секретарёв Экономика внимания: deus ex machina // Независимая газета. – 2004. – 8 окт.
Интервью с замминистра Минкомсвязи Наумом Мардером / Cnews. Электрон. текст. ресурс. Режим доступа http://www.cnews.ru/reviews/index.shtml?2009/11/26/371247
Bass F.M. A New Product Growth for Model Consumer Durables / F.M. Bass // Management Science. – 1969. – Vol. 15. – P.215-227.
Meyer P.S. Bi-Logistic Growth / P.S. Meyer // Technological Forecasting and Social Change. – 1994. – Vol. 47. – P.89-102.
Mahajan, V., Peterson, R. A., Models for innovation diffusion / Sage Publications, 1985, 2004. – 88p.
Юрина Э.А., Делицын Л.Л. “Эпидемиологические" модели распространения мобильной связи и Интернета в России / Интернет-маркетинг. – 2008. - №1 (43). – С. 2-15.
Делицын Л.Л. Некоторые иерархические многостадийные модели распространения нововведений // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Экономические науки. – 2009. - №5. – С.279-287.

Модели диффузии нововведений с растущим потенциалом распространения: сотовая связь и Интернет