Применение копул в управлении рисками банков

Пеникас Генрих Иозович

Государственный университет –

Высшая школа экономики

Москва

Применение копул в управлении рисками банков1

… в центре нижнего яруса [органа] помещаются … механизм соединений или копуляций клавиатур…

Еженедельник «Музыка», № 22, 1911 г.

Целью доклада является краткое знакомство с инструментарием копул и возможностями его применения при оценке и управлении рисками банка. Вначале приводятся определение копулы и ее свойства; сопоставляются методы оценки копул; приводится структурированный обзор литературы о применении копул в управлении рисками. Далее приводится иллюстративный пример моделирования двумерного распределения рисков. Итогом является вывод о существенной недооценке рисков при использовании основанных на гипотезе многомерного нормального распределения моделей в случаях, когда распределения рисков такими не являются.

Современная банковская практика поставила на повестку дня вопрос корректного способа агрегирования рисков. Так, эксперты базельского комитета проранжировали способы по возрастанию сложности, гибкости и одновременно предпочтительности при использовании [BCBS (2009), p. 28]:

  1. Суммирование рисков;
  2. Метод простой диверсификации;
  3. Дисперсионно-ковариационный подход;
  4. Метод копул;
  5. Полное моделирование зависимостей рисков;

Будучи распространенной практикой в развитых странах модели копул, рекомендуемые в п. 4, не имеют широкого распространения в России. Так автору известны лишь три работы, разрабатывающие тему копул в русскоязычной научной литературе: [Алексеев, Шоколов, Соложенцев (2006)], [Фантаццини (2008)] и [Пеникас, Симакова (2009)]. Данный доклад призван распространить понятие об инструментарии копул и его возможностях в приложении к управлению рисками банков.

  1. Копулы и их свойства

Пусть и - случайные величины, функции распределения вероятности которых определены на множествах A и B, соответственно. Будем обозначать i-ую реализацию j-ой случайной величины как .

Вначале будем называть функцию возрастающей по каждой переменной и , если для нее выполняется следующее условие:

при;

Определим подкопулу как двумерную функцию двух переменных и , определенную на таком множестве , что и , с областью значений и удовлетворяющую следующим условиям:

  1. Ограничение снизу, т.е. , если ;
  2. , если ;
  3. Возрастание по каждой переменной;

Копула – это подкопула в случае, когда и . Именно на данном этапе возможно применить копулы к моделированию совместных вероятностных распределений, поскольку вероятность любой случайной величины также принадлежит отрезку от нуля до единицы.

Свойства копул

  • Ограниченность:

  • Любая копула лежит в границах Фреше-Хефдинга (Frechet-Hoeffding):

  • Упорядоченность (доминирование). Копула доминирует над копулой , или , в случае, когда для верно ;

Семейства копул

Все копулы можно отнести к трем семействам: эллипсообразные (гауссовская, или нормальная; Стьюдента), архимедовы (Франка, Клэйтона) и копулы экстремальных значений (Коши, Гумбеля, Али-Микаэля-Хака).

  1. Методы оценки копул и измерения качества копула-моделей

Параметрические (MLE, IFM)

Данный класс методов предполагает параметризацию как частных распределений, так и копулы. Если базовый подход MLE (Maximum Likelihood Estimation) предполагает максимизацию функции правдоподобия одновременно по маргинальным распределениям и по копуле, то метод «от маргиналов» (Inference for Margin – IFM) предполагает два этапа оценки: вначале – параметризация маргиналов, затем – копулы.

Полупараметрические (SP, CML)

Полупараметрические методы также предполагают двухэтапную оценку копулы. Но на первом этапе вместо оценки маргиналов используется эмпирическое распределение. На втором же этапе происходит параметрическая оценка копулы.

В работе [Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. (2007)] показано, что полупараметрический метод (SP – semi-parametric) дает более состоятельные и устойчивый (робастные) оценки, чем параметрические методы в случаях, когда вид частного распределения не известен и, как следствие, возникает угроза их неверной спецификации.

Непараметрические

Среди непараметрических методов оценки копул можно выделить подходы на основе оценки эмпирической копулы и ядерных оценок. Первый подход предполагает оценки функции распределения эмпирической копулы (), которая отражает количество случаев, когда исходы случайных величин одновременно попали в выбранную ячейку сетки разбиения всего множества вероятностного пространства (подробнее см. [Nelsen (2006), p. 219]).

Измерение качества оценки копулы

Наиболее распространенным критерием выбора оптимальной копулы является критерий на основе значения функции максимального правдоподобия – критерии Акаике (AIC) и Шварца (BIC). Вторыми по частоте применения являются тесты Колмогорова-Смирнова и Андерсона-Дарлинга. Третьим является метод оценки дистанции до эмпирической копулы.

  1. Обзор литературы о применении копул в управлении рисками.

Теоретические основы по моделированию копул представлены в монографиях [Joe (1997)] и [Nelsen (2006)]. Подробное описание применения копул для оценки стоимости производных финансовых инструментов дано в работе [Cherubini, Luciano, Vecchiato (2004)]. Ниже систематизирован обзор литературы, подтверждающий факт того, что моделируемые многомерные распределения рисков не имели гауссовского характера.

Таблица . Обзор литературы по использованию копул при моделировании совместных распределений.

Авторы работы

(год публикации)

Тип данных

Период наблюдений

Лучшая копула

Ane, Kharoubi (2003)

Индексы акций

1987 – 2000 (дневные)

Клэйтона

Junker, Szimayer, Wagner (2003)

Котировки казначейских векселей США

1982 – 2001 (месячные)

Франка (обратная)

Rosenberg, Schuermann (2006)

Банковские риски

1994 – 2002 (квартальные)

Стьюдента

Natale (2006)

Индексы акций

1991 – 2004 (месячные)

Клэйтона

Tang, Valdez (2006)

Страховые риски

1992 – 2002 (полугодовые)

Коши

Chollete, Heinen (2006)

Индексы акций

1990 – 2002 (недельные)

Смесь гауссовских

Kole, Koedijk, Verbeek (2006)

Индексы акций, облигаций, недвижимости

1999 – 2004 (дневные)

Стьюдента

Patton (2006)

Обменные курсы

1991 – 2001 (дневные)

Симметричная копула Джо-Клэйтона (SJC)

Savu, Trede (2006)

Акции

1996 – 2006

Гумбеля

Cech (2006)

Котировки облигаций

2000 – 2006 (дневные)

Стьюдента

Hsu, Tseng, Wang (2007)

Индексы акций

1995 – 2005

Гумбеля Гауссовская

Morone, Cornaglia, Mignola (2007)

Банковские риски

2002 – 2005 (месячные)

Стьюдента

Lay et al. (2009)

Индексы акций

1998 – 2005 (дневные)

Гауссовская

Стьюдента

Алексеев, Шоколов, Соложенцев (2006)

Акции

2002 – 2004 (дневные)

Али-Микаэля-Хака

Фантаццини (2008)

Акции

2004 – 2008 (дневные)

Стьюдента

Пеникас, Симакова (2009)

Процентные ставки

2007 – 2008

(дневные)

Гумбеля
  1. Пример построения многомерных распределений

Для построения многомерного совместного распределения необходимо вначале сгенерировать совместные события, определенные на множестве вероятностей, и только затем через обратные функции частных распределений перейти к множеству исходов случайных величин.

Все четыре приведенные ниже распределения имеют одинаковое математическое ожидание и стандартное отклонение, линейная корреляция двух случайных величин равна +40%. Из графиков ниже видно, что предположение многомерного нормального характера распределения рисков чреват существенной недооценкой потенциальных потерь банка.

Копула

Гауссовская

Стьюдента

Частное распределение

Гауссовское

Рисунок

Рисунок

Гамма

Рисунок

Рисунок

Может показаться, что с использованием копул проблема моделирования рисков решена. Но заметим, что с усложнением инструментария, вызванного введением новой функции копулы, которая имеет сложную аналитическую запись, появилась другая проблема. Этой проблемой является корректная спецификация данной функции. В первую очередь при построении копулы ощущается нехватка необходимых наблюдений2 (включая пропущенные значения, нерепрезентативность и малый объем выборки). Таким образом, проблема моделирования рисков перенеслась из области определения функции многомерного закона распределения в область оценки ее параметров.

  1. Библиография
  2. Алексеев В.В., Шоколов В.В., Соложенцев Е.Д. Логико-вероятностное моделирование портфеля ценных бумаг с использованием копул // Управление финансовыми рисками, №3, 2006, стр. 272 – 283.
  3. Пеникас Г.И., Симакова В.Б. Управление процентным риском на основе копулы-GARCH моделей // Прикладная эконометрика, № 1 (13), 2009, стр. 3 – 36.
  4. Фантаццини Д. Эконометрический анализ финансовых данных в задачах управления риском // Прикладная эконометрика. № 2 (10). 2008, С. 91 – 137; № 3 (11), 2008, С. 87 – 122; № 4 (12), 2008, С. 84 – 138.
  5. Ane Th., Kharoubi C. Dependence Structure and Risk Measure // Journal of Business, 2003, Vol. 76, No. 3, pp. 411 – 438.
  6. Basel Committee on Banking Supervision. Range of practices and issues in economic capital frameworks. March 2009.
  7. Cech C. Copula-Based Top-Down Approaches in Financial Risk Aggregation. 2006. http://ssrn.com/abstract=953888
  8. Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W. Copula Methods in Finance. John Wiley & Sons Ltd. 2004
  9. Chollete L., Heinen A. Frequent Turbulence? A Dynamic Copula Approach. 2006. http://ssrn.com/abstract=968923
  10. Genest Ch., Nelehov J. A Primer on Copulas For Count Data // Astin Bulletin. № 37 (2). 2007. pp. 475 – 515. doi: 10.2143/AST.37.2.2024077
  11. Genest Ch., Remillard B. Tests of Independence and Randomness Based on the Empirical Copula Process // Test. 2004. № 2 (13). P. 335 – 369.
  12. Hsu Ch.-Ch., Tseng Ch.-P., Wang Y.-H. Dynamic Hedging with Futures: A Copula-based GARCH Model. 2007. http://ssrn.com/abstract=1083890
  13. Joe H. Multivariate Models and Dependence Concepts, Monographs on Statistics and Applied Probability 73. Chapman and Hall, London. 1997.
  14. Junker M., Szimayer A., Wagner N. Nonlinear Term Structure Dependence: Copula Functions, Empirics, and Risk Implications. 2003. http://ssrn.com/abstract=407240
  15. Kim G., Silvapulle M., Silvapulle P. Comparison of semiparametric and parametric methods for estimating copulas // Computational Statistics & Data Analysis. 2007. № 51. P. 2836 – 2850.
  16. Kole E., Koedijk K., Verbeek M. Selecting Copulas for Risk Management. 2006. http://ssrn.com/abstract=920870
  17. Lai Y. et al. Optimal dynamic hedging via copula-threshold-GARCH models, Math. Comput. Simul. (2009), doi:10.1016/j.matcom.2008.12.010.
  18. Morone M., Cornaglia A., Mignola G. Economic Capital Assessment via Copulas: Aggregation and Allocation of Different Risk Types. 2007. http://www.riskwhoswho.com/Resources/MignolaGiulio1.pdf
  19. Natale F. P. Optimization With Tail-Dependence and Tail Risk: A Copula Based Approach For Strategic Asset Allocation. Nov. 2006. http://ssrn.com/abstract=942275
  20. Nelsen R. An Introduction to Copulas. Second Edition. Springer. New York. 2006.
  21. Patton A. Modelling Asymmetric Exchange Rate Dependence // International Economic Review. Vol. 47, No. 2, 2006, pp. 527 – 556.
  22. Rosenberg J., Schuermann T. A General Approach to Integrated Risk Management with Skewed, Fat-Tailed Risks // Journal of Financial Economics. Vol. 79, 2006, pp. 569 – 614.
  23. Savu C., Trede M. Hierarchical Archimedean Copulas. Munster. 2006. www.uni-konstanz.de/micfinma/conference/Files/papers/Savu_Trede.pdf
  24. Scaillet O. Kernel-based goodness-of-fit tests for copulas with fixed smoothing parameters // Journal of Multivariate Analysis. Vol. 98, 2007, pp. 533 – 543.
  25. Tang A., Valdez E. Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas. Sydney. 2006. www.ica2006.com/Papiers/282/282.pdf

1 Автор благодарен С.А. Айвазяну за научное руководство при подготовке данного доклада, а также признателен Ф.Т. Алескерову за подробные комментарии при знакомстве с его первой версией.

2 Подробно проблема данных обсуждается в статье Женеста и Нешлеховой [Genest, Nelehov (2007)].

6

Применение копул в управлении рисками банков