Стоимостная оценка алмазов: разрушение стереотипов

Бабат Лев Георгиевич

ЦЭМИ РАН

Москва

Стоимостная оценка алмазов: разрушение стереотипов

Алмаз является стратегическим сырьем высочайшей удельной ценности цена 1 карата (0, 2 г) высококачественного алмаза в 1000 раз выше цены 1 карата золота. При этом многовековая практика оценки и обработки алмазов основана на индивидуальном человеческом опыте, передающимся из поколения в поколение. Бытовало мнение, что эти вопросы не под силу науке. В конце 20 века это мнение было опровергнуто.

Обоснованность стоимостной оценки и эффективность обработки особенно важны для высококачественных алмазов. Такой алмаз представляет собой восьмигранник, который можно получить из правильного октаэдра (идеального природного кристалла алмаза) параллельно смещая какие-либо его грани. Назовём такие многогранники
(и алмазы) октаэдрическими. На рис. 1 показано, как параллельно смещая одну, а затем другую грань можно получить из правильного октаэдра многогранник, являющийся типичным примером октаэдрического. Говоря далее о многогранниках (алмазах), будем иметь в виду октаэдрические.

Рисунок

Основная масса алмазов (более 80%) перерабатывается в круглые бриллианты. Поэтому, говоря далее о бриллиантах, будем иметь в виду круглые (см. рис. 2). Центром, осью и радиусом бриллианта назовём центр, ось и радиус его рундиста. Ось полагаем направленной от шипа к шапке.

Рисунок

Естественно считать, что стоимость алмаза тем выше, чем выше стоимость получаемых из него бриллиантов. Цена бриллианта (при прочих равных условиях) растет с увеличением веса, причем при переходе через границы фиксированных весовых интервалов растёт скачкообразно. Поэтому при переработке алмазов основной вклад в стоимость полученных бриллиантов, обычно вносит тот, чей вес максимален. То есть алмаз (при прочих равных условиях) тем ценнее, чем больше вес максимального бриллианта, который можно из него получить.

Исторически сложился стереотип: чем больше вес алмаза, тем он (при прочих равных условиях) дороже. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, чем больше вес алмаза, тем реже он встречается в природе, а редкость, увеличивает цену. Во-вторых, считается, что максимальный бриллиант, который может быть получен из алмаза, весит тем больше, чем больше вес алмаза.

Оказалось, что второй стереотип неверен. Ситуация, когда из алмаза меньшего веса может быть получен бриллиант такого же (или даже большего) веса, является настолько частой, что её можно считать типовой. Данный феномен связан с тем, что соотношение линейных размеров алмаза (его форма) влияет на вес максимального бриллианта, который может быть из него получен, не меньше, чем вес алмаза.

Чтобы бриллиант можно было получить из алмаза, он должен определённым образом вкладываться в этот алмаз. Требования, накладываемые на способ вложения, вызваны технологическими ограничениями, обусловленными наличием в алмазе, так называемых, мягких и жёстких направлений. Эти требования состоят в том, что бриллиант должен вкладываться так, чтобы направление его оси составляло с какой-либо из кристаллографических осей алмаза угол, не превосходящий 12. Вложения, удовлетворяющие этому условию, назовём допустимыми.

Введём ещё два термина. Скажем, что многогранник B расположен параллельно многограннику A, если для любой грани можно указать такую грань , что внешние нормали и граней и – коллинеарны и направлены в одну сторону. Скажем, что многогранник B параллельно вложен в многогранник A, если он вложен в A и при этом расположен параллельно A.

Представим себе, что бриллиант D допустимо вложен в многогранник A. Подвинем каждую из 8 граней A параллельно самой себе до касания с D. Получим меньший многогранник B, содержащий D и параллельно вложенный в A. Известно, что у параллельно расположенных алмазов кристаллографические оси направлены одинаково. Поэтому бриллиант D допустимо вложен в B. Многогранник B, все грани которого касаются допустимо вложенного в него бриллианта D, назовём тесным относительно D.

Из сказанного вытекает, что имеет место такой факт.

Лемма . Бриллиант D допустимо вкладывается в многогранник A тогда и только тогда, когда существует тесный относительно D многогранник B, который параллельно вкладывается в A.

Данный факт сводит вопросы допустимого вложения бриллиантов в алмазы к вопросам параллельного вложения многогранников.

Напомним, что говоря о многогранниках, имеем в виду октаэдрические. Но любой октаэдрический многогранник можно рассматривать, как пересечение двух правильных тетраэдров T и H расположенных так, что для любой грани имеется такая грань , что внешние нормали и граней и – коллинеарны, но направлены в противоположные стороны. Пару расположенных таким образом правильных тетраэдров, образующих в пересечении восьмигранник (рис. 3), назовём звездой, а всякую пару их граней, внешние нормали которых направлены противоположно, – противолежащими гранями данной звезды. Скажем, что звезда порождает многогранник A, если .

Рисунок

Имеют место следующие факты.

Лемма . У многогранника имеется ровно одна порождающая его звезда.

Лемма . Если звезда порождает многогранник B тесный относительно бриллианта, то высоты правильных тетраэдров T и H равны, а многогранник B зеркально симметричен.

Пользуясь леммой 2, разделим множество многогранников на две части N и E. К N отнесём многогранники, порождаемые звёздами, состоящими из тетраэдров разной высоты, а к E – многогранники, порождаемые звёздами, состоящими из тетраэдров одинаковой высоты. Понятно, что N существенно обширнее E – наугад взятый многогранник, скорее всего, будет принадлежать N, а не E. С другой стороны, учитывая леммы 1 и 3 можно вывести такой факт.

Теорема . Пусть A –многогранник из N. Для любого бриллианта D, который допустимо вкладывается в A, в подмножестве E найдется многогранник B, удовлетворяющий условиям: (а) объём B строго меньше объёма A; (б) бриллиант D допустимо вкладывается в B.

Сопоставляя это с тем, что вес алмаза пропорционален объёму, видим: ситуация, когда из алмаза меньшего веса может быть получен бриллиант такого же (или даже большего) веса, является типовой. Это говорит о важности разработки методов стоимостной оценки алмаза, учитывающих соотношение его линейных размеров (форму). Очевидно, что ценность таких методов резко возрастает, если они дополняются методами, указывающими способ переработки алмаза, обеспечивающий получение бриллианта максимального веса.

При производстве бриллиантов линейные размеры и углы выдерживаются с некоторой степенью приближения. Поэтому ценность имеют не только точные методы, но и приближённые, особенно позволяющие выбирать степень приближения. Для октаэдрических алмазов такие методы разработаны.

Пусть >0. Бриллиант, получаемый из алмаза A, назовём -оптимальным для A, если его вес отличается от максимально возможного не более, чем на . Разработаны методы, позволяющие по алмазу A и >0 осуществить следующее: (а) вычислить вес
-оптимального для A бриллианта; (б) найти возможное положение в алмазе A
-оптимального для A бриллианта.

Чтобы объяснить основные идеи этих методов, вернёмся к введённому выше понятию противолежащих граней звезды. Пользуясь этим понятием, свяжем с каждой звездой шестимерный вектор , где – выписанные в порядке неубывания расстояния между противолежащими гранями звезды, а и – выписанные в порядке неубывания высоты правильных тетраэдров T и H. С учётом
леммы 2 назовём этот вектор профилем многогранника, порождаемого звездой .

Профили обладают важным свойством.

Теорема . Если B – зеркально симметричный многогранник, а A – произвольный многогранник, то B параллельно вкладывается в A тогда и только тогда, когда профили и многогранников B и A таковы, что .

Введём обозначение. Если A и B – многогранники, а и – их профили, то обозначим, как .

Очевидно, что при гомотетии профиль умножается на модуль коэффициента гомотетии. Совместно с теоремой 2 это даёт.

Лемма . Если B – зеркально симметричный многогранник, а A – произвольный многогранник, то максимальный коэффициент гомотетии G, при котором G(B) параллельно вкладывается в A, равен .

Факторизуем множество многогранников, тесных относительно бриллиантов, по отношению подобия, выбрав в качестве представителей классов многогранники тесные относительно бриллиантов радиуса 1. Обозначим множество представителей, как . Из лемм 1, 3 и 4 вытекает.

Лемма . Радиус максимального бриллианта, получаемого из алмаза A равен .

Рисунок

Перед тем, как двигаться дальше, зафиксируем систему координат . Пусть K – конус, вершиной которого является точка O, осью – положительная часть оси OZ, а угол между образующими конуса и его осью равен 12. Рассмотрим часть Q положительного октанта, лежащую между плоскостью и биссектральной плоскостью двугранного угла, образуемого плоскостями и OYZ. Бриллиант радиуса 1, у которого центр совпадает с O, а выходящая из O полуось принадлежит пересечению , назовём каноническим (на рис. 4 пересечение выделено жирными линиями).

Направления кристаллографических осей алмаза задаются тремя взаимно перпендикулярными прямыми. Это позволяет выделить в подмножество , состоящее из таких алмазов B, что: (а) направления кристаллографических осей B задаются осями координат; (б) B тесен относительно канонического бриллианта.

Из определения допустимого вложения и зеркальной симметричности многогранников, тесных относительно бриллиантов (лемма 3), выводится такой факт.

Лемма . Для любого многогранника из в есть многогранник ему равный.

Это позволяет усилить лемму 5.

Теорема . Радиус максимального бриллианта, получаемого из алмаза A равен .

Имеет место также следующее утверждение.

Теорема . Для любого канонического бриллианта в имеется ровно один тесный относительно него многогранник.

Рассмотрим выходящую из точки O полуось l канонического бриллианта D и её проекцию на плоскость OXY. Пусть – угол между l и осью OZ и, а – угол между и осью OX. Ясно, что и однозначно задают положение D. С другой стороны, согласно стандартам огранки, форма любого бриллианта определяется с точностью до подобия отношением q высоты рундиста бриллианта к его радиусу, причём q должно удовлетворять неравенствам . Совместно с теоремой 4 это позволяет построить однозначное отражение h бруса

на множество .

Верны два факта.

Теорема . Имеются формулы, выражающие профиль многогранника через q, и , .

Теорема . Профиль алмаза, можно найти с помощью простых измерительных инструментов.

Опираясь на теоремы 4, 5 и 6, удаётся свести поиск бриллианта, -оптимального для алмаза A, к двум моментам:

а) выделению в брусе множества T узлов прямоугольной сети, шаг которой можно вычислить по и профилю A;

б) нахождению в T (например, перебором) узла .

Это даёт достаточно простой в реализации -оптимальный (оптимальный с точностью до ) метод стоимостной оценки октаэдрических алмазов и расчёта способа их обработки. Просматривается возможность распространения данного метода на алмазы близкие к октаэдрическим (со «скруглёнными» ребрами и вершинами). Для других классов алмазов вопрос влияния формы на стоимость получаемых бриллиантов пока открыт.

Вопросы правильной стоимостной оценки и обработки алмазов, мало изучены. Полученные результаты представляют собой первые шаги в этой обширной, интересной и практически важной области.

Литература.

1. Бабат Л.Г. Исследование стереотипов стоимостной оценки алмазов. ЦЭМИ РАН, 2008.
2. Бабат Л.Г., Фридман А.А. Параллельные вложения многогранников. Дискретная математика. 2008. № 2.
3. Фридман А.А., Бабат Л.Г. Оптимальное вложение бриллианта в алмаз и стоимостная оценка алмаза. ЦЭМИ РАН, 2005.
4. Фридман А.А., Бабат Л.Г. Мировой алмазобриллиантовый рынок. Математический метод оценки и обработки алмазов. ЦЭМИ РАН, 1995

PAGE \* MERGEFORMAT 6

Стоимостная оценка алмазов: разрушение стереотипов