Аналитические индексы потребления: история и перспективы
В.К. Горбунов
Ульяновский государственный университет
Аналитические индексы потребления: история и перспективы1
1. Используемые в экономико-статистической практике развитых стран индексы изменения ко личеств и цен потребления относятся к классу бинарных статистических, рассчитываемых по конечным формулам и по двум парам многомерных наборов (векторов) "цены-количества", соответствующих индексируемым периодам динамики неко торого рынка продуктов (благ) конечного потребления [2, 9, 11]. Эти многочислен ные формулы представляют субъективизм исследователей и политиков, но игнорируют субъективизм и рациональность потребителей, приспосабли вающихся к меняющейся конъюнктуре в соответствии со своими предпоч тениями. В условиях экономической нестабильности они дают неприем лемо большие расхождения [9, 1]. Первым шагом построения индексов потребления, учитывающих ра циональность потребителей, была работа советского экономиста-математика А.А. Конюса (1924) [12]. В ней был предложен "истинный индекс стоимости жизни" (ИСЖ), как отноше ние стоимостей двух наборов товаров – реального, потреблённого в базо вый период при соответствующих ценах, и виртуального, обеспечиваю щего в новых ценах базовый уровень потребления. При этом уровень потребления измеряется значением функции полезности, представляющей классическую систему предпочтений потребителей. Идея Конюса получила развитие во многих зарубежных работах и привела к созданию нового направления индексологии – теории "экономических" индексов потребительского спроса [2, 19]. Эти индексы называются также «индексами рационального потребления» [3] и «аналитическими» [9]. Несмотря на очевидную прогрессивность этой идеи, аналитические индексы до настоящего времени не вошли в полной мере в статистическую практику и спорадически появляются как объект исследования в отдельных научных публикациях.
Одной из причин этого, видимо, является известная методологическая несостоятельность современной теории потребительского спроса как раздела микроэкономики [18]. Здесь классическая модель рационального потребительского выбора для рынка n товаров при ценах p и расходе e заключается в макси мизации порядковой функции полезности на доступном множестве товаров:
. (1)
Здесь и далее – скалярное произведе ние в , – функция спроса (в общем случае некоторый элемент множества максимальных точек). При этом модель (1) применяется как к индивидуальным потребителям (покупателям) с независимыми предпочтениями, представляемыми индивидуальными функциями полезности, так и к ансамблю покупателей некоторого рынка, представляемому коллективной функцией полезности. Существенно, что рыночный (коллективный) спрос определяется совокупными расходами покупателей. Такая схема объясняется желанием построить теорию макрообъекта – рыночного спроса – через теорию микрообъекта – индивидуального покупателя, причём на основе одинаковой аналитической модели (1) с наблюдаемыми параметрами . При этом естественно возник вопрос об аналитических свойствах индивидуальной и коллективной функций полезности, обеспечивающих корректное агрегирование.
Ответ был дан в статье У. Гормана 1953 года [17]. Оказалось, что необходимым и достаточным условием корректного агрегирования является "выпрямление", кривых Энгеля для всех покупателей, причём все индивидуальные прямые Энгеля должны быть параллельными. Аналогичный результат получен в последние годы В.И. Зоркальцевым [10]. Класс соответствующих предпочтений является некоторым обобщением однородных предпочтений, совершенно недостаточным для представления известных свойств наблюдаемого рыночного спроса, установленным на основе анализа торговых статистик (классификация благ как ценных, малоценных, заменителей, дополнителей...).
Способ освобождения теории потребительского рыночного спроса от описанных противоречий предложен нами в [4, 5]. Статистический ансамбль потребителей необходимо взять за априорный объект теории и признать, что для описания индивидуальных потребителей более уместен аппарат дискретных вероятностных процессов. Этой концепции мы придерживаемся при изложении и развитии методов построения аналитических индексов потребительского спроса, относя модель (1) к ансамблю потребителей исследуемого рынка.
2. Аналитические индексы определяются через функцию потребитель ских расходов, представляющую значение задачи минимизации расходов для достижения заданного уровня потребления:
, (2)
здесь – уровень потребления, определяе мый базовым набором благ . Эта задача является взаимной2 для исходной задачи (1). Аналитические индексы цен и количеств потребления определяются [19, 4] как отношения значений при различных аргументах p и w=u(x) из множества статистики продаж
, . (3)
Индекс Конюса есть .
Задача (1) требует предварительного решения обратной задачи для базовой задачи (1), т.е. построения функции полезности по статистике продаж. Требования монотонности и вогнутости искомой функции делают эту задачу достаточно сложной, и в настоящее время методы её эффективного решения только создаются [4, 8].
Проблема аналитических индексов существенно упрощается в случае однородных предпочтений, когда функцию полезности можно считать линейно однородной, т.е. когда выполняется для любого [19, 4]. При этом спрос имеет постоянную структуру, т.е. , и обратный множитель Лагранжа задачи (1), где , т.е. , связан с функцией полезности канонической двойственностью [19]3:
, . (4)
В этом случае функция (2) представляется в виде
,
и индексы (3) принимают вид
. (5)
Индексы (5) удовлетворяют всем тестам Фишера и называются инвариантными индексами. Инвариантные индексы относительно легко строятся в рамках «непараметрического метода» Африата-Вэриана [16, 20, 21] решения задачи построения функции полезности по статистическому спросу. При этом достаточно решить систему линейных «неравенств Африата», определяющую значения функции полезности и множителя Лагранжа (или обратные множители ) для задач (1), соответствующих всем статистическим ценам и расходам . Эти значения называются числами Африата. Инвариантные индексы (5) вычисляются по формулам
. (6)
Однако реальные предпочтения потребителей для содержательных групп товаров неоднородны. Это ограничивает область применения инвариантных индексов задачей ступенчатого агрегирования информации о потребительском спросе, когда последовательно и достаточно произвольно отыскиваются подгруппы товаров, спрос на которые может считаться однородным [14, 15]. В общем случае инвариантные индексы не существуют.
Для общего случая классических предпочтений (непрерывных, полных и транзитивных) автором введено [4] понятие квазиинвариантных индексов, вычисляемых, как и инвариантные индексы (6), по числам Африата и расходам :
. (7)
Первые опыты расчёта квазиинвариантных индексов (7) для реальных данных [7, 13] демонстрируют преимущества новых индексов относительно традиционных статистических. В докладе будут представлены: свойства и метод построения квазиинвариантных индексов, новый опыт их применения, а также перспективы развития метода аналитических индексов на основе построения функции полезности по торговой статистике и перехода к новой аналитической модели потребительского выбора, основанной на поле потребительских предпочтений [6]. Эта модель обобщает классическую модель (1), сохраняя (в отличие от множества абстрактных обобщений) её аналитические возможности, за счёт отказа от транзитивности и/или полноты предпочтений, следовательно, отказа от функции полезности. Однако последняя существует, если поле предпочтений потенциальное.
Список литературы
1. Айзенберг Н.И. Сравнительный анализ методов расчета индексов цен: автореф. дис. ... канд. экон. Наук. ИСЭ СО РАН. - Иркутск, 2000.
2. Аллен Р. Экономические индексы - М.: Изд-во Статистика, 1980.
3. Горбунов В.К. Индексы рационального потребления // Обозрение прикл. и промышл. матем. Сер. Финанс. и страх. математика.1997. Т.4. Вып.1.
4. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной потенциал. - М.: Экономика, 2004.
5. Горбунов В.К. Особенности агрегирования потребительского спроса // ЖЭТ. 2009. No 1.
6. Горбунов В.К. Модель потребительского спроса, основанная на векторном поле предпочтений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 6. Экономика. 2009. Вып.1.
7. Горбунов В.К., Козлова Л.А. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Соврем. технологии. Сист. анализ. Моделирование. - Иркутск: ИрГУПС, 2008. No 3 (19).
8. Горбунов В.К., Македонский К.С. Обратная задача теории потребительского спроса в классе дифференцируемых функций полезности // Пробл. экон., фин. и упр. производством: Сб. науч. тр. вузов России - Иваново: ИГХТУ, 2003. Вып.11.
9. Зоркальцев В.И. Индексы цен и инфляционные процессы. - Новосибирск: Наука, 1996.
10. Зоркальцев В.И. Проблемы агрегирования в экономике: есть ли логическая совместимость микроэкономики и макроэкономики? Иркутск: Препринт ИСЭМ СО РАН, 1997.
11. Кевеш П. Теория индексов и практика экономического анализа. - М.: Финансы и статистика, 1990.
12. Конюс, А.А. Проблема истинного индекса стоимости жизни // ЭММ, 1989 (1924, переиздание). No3.
13. Козлова, Л.А. Опыт применения квазиинвариантных индексов потребления // ЖЭТ. 2009. No 2.
14. Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод // Матем. моделирование, 1998. - Т.10. No 4.
15. Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Анализ торговой статистики Нидерландов 1951-1977 г.г. с помощью обобщенного непараметрического метода. - М.: Изд-во ВЦ РАН, 1998.
16. Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data // Intern. Econ. Rev., 1967. V.8. No 1.
17. Gorman W.N. Community Preference Fields // Econometrica. 1953. V.5. No 1.
18. Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. – New York: Oxford Univ. Press, 1995
19. Samuelson P.A. Swamy S. Invariant economic index numbers and canonical duality: survey and synthesis // The Amer. Econ. Rev., 1974. V.64. No 4.
19. Varian H. The nonparametric approach to demand analysis // Econometrica, 1982. V.50. No 4.
20. Varian, H. Non-parametric tests of consumer behaviour // The Rev. Econ. Studies, 1983. V.50. No 1.
1 Исследование поддерживается АВЦП Минобрнауки "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010)", проект 2.1.3/6763.
2 Термин принадлежит, видимо, А.Л.Лурье (ЭММ, 1966, вып.1). В западной литературе [19] задачи (1) и (2) называются двойственными.
3 Открыта в 1953 г. (R.W.Shephard), см. также Ашманов С.А. Введение в математическую экономику, М.: Наука, 1984, с.229.
PAGE 3
Аналитические индексы потребления: история и перспективы