Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона

Зверев Олег Владимирович,

Хаметов Владимир Минирович,

Московский Государственный Институт Электроники и Математики (технический университет), Москва

Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона.

Введение.

Доклад посвящен теории расчета европейских опционов на неполных рынках. Основная проблема которую приходится решать в этой теории состоит в выборе вероятностной меры относительно которой следует проводить расчет опциона. В работах [1-7] предложено выбирать такую мартингальную меру, относительно которой стоимость европейского опциона была бы максимальной. В них был предложен метод построения портфелей и нахождения стоимости опциона, который опирается на опциональное разложение супермартингалов.

В докладе рассматривается многошаговая минимаксная задача, решение которой позволяет найти такую вероятностную меру, относительно которой стоимость опциона максимальна, при этом рынок оказывается полным. Он состоит из двух частей. В первой части приводится описание многошаговой минимаксной задачи, для которой устанавливаются условия существования решения. Во второй части, опираясь на результаты первой части, строится решение задачи расчета опционов европейского типа.

1. Описание и построение решения минимаксной задачи.

1.1. Описание и решение минимаксной задачи.

Пусть на , , задана d-мерная (d<) согласованная, случайная последовательность, обозначаемая через . Положим, что для любого . Пусть -предсказуемая, d-мерная последовательность, которую назовем стратегией, . Множество стратегий обозначим через . Пусть - любое подмножество , через , где и , обозначим сужение множества на и будем писать , где .

Пусть на фильтрованном измеримом пространстве задана вероятностная мера Q, эквивалентная мере P. Множество мер Q, эквивалентных мере P, обозначим через . Везде ниже мы предполагаем, что , не оговаривая это дополнительно. Математическое ожидание некоторой случайной величины относительно вероятностной меры Q (P) мы будем обозначать через .

Пусть , где ,-некоторая -измеримая, ограниченная случайная величина.

Рассматривается задача нахождения верхнего гарантированного значения в игре двух лиц. Стратегиями первого игрока являются вероятностные меры . Стратегиями второго игрока являются последовательности . Предполагается, что игроки выбирают свои стратегии независимо друг от друга.

Определение. Пару назовем t-бистратегией, , а -бистратегией.

Определение. Оценкой t-бистратегии , , или значением функцией риска в момент времени назовем -измеримую случайную величину, обозначаемую через и определяемую равенством

где -условное математическое ожидание относительно -алгебры , , -скалярное произведение в .

Целью первого игрока является максимизация значения функции риска по множеству мер , а целью второго игрока – минимизация значения по множеству стратегий .

Определение. Стратегию будем называть допустимой, если для любого P-п.н.

где -кумулянта последовательности относительно меры . Множество допустимых стратегий обозначим через .

Определение. Тройку называют игрой Г.

Определение. -измеримую случайную величину, определяемую равенством

называют верхним гарантированным значением.

Целью данного параграфа является нахождение условий при выполнении которых существует допустимая бистратегия такая, что P-п.н. выполняется равенство

. (1)

Определение. Бистратегию такую, что выполнено (1) будем называть минимаксной, при этом вероятностную меру -наихудшей, а стратегию -минимаксной.

Определение. Тройку назовем решением минимаксной задачи (1).

1.2. Существование минимаксного решения задачи (1).

1.2.1. Определение. -измеримую случайную величину , определяемую равенством

называем верхним гарантированным значением в момент времени .

Теорема 1. Пусть фильтрация - универсально полна, а -измеримая, ограниченная, случайная величина. Тогда P-п.н. удовлетворяет рекуррентному соотношению

(2)

1.2.2. Приведем условие, выполнение которого обеспечивает существование минимаксной стратегии.

Условие (). Существуют мера и константа такие, что для любого P-п.н.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и выполнено условие (). Тогда существует стратегия такая, что для любого справедливы равенства P-п.н.

(3)

Кроме того, для любых и справедливо неравенство

Р-п.н.

1.2.3. Приведем условия, выполнение которых обеспечивает существование для случайной величины разложения, аналогичного опциональному, но справедливого для класса эквивалентных мер .

Определение. Будем говорить, что любая -измеримая ограниченная случайная величина допускает S-опциональное разложение, если существуют: а) -измеримая случайная величина, б) -предсказуемая последовательность , в) согласованная неубывающая последовательность такие, что относительно меры справедливо равенство Q-п.н.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда существует S-опциональное разложение, т.е. существуют: i) возрастающая последовательность такая, что для любого

где -предсказуемая последовательность определяемая равенством (3), а удовлетворяет рекуррентному соотношению (2), ii) кроме того, относительно любой меры

Q-п.н. (4)

1.2.4. Приведем условие выполнение которого обеспечивает существование -наихудшей меры.

Через обозначим множество конечно аддитивных вероятностных мер. Очевидно, что .

Определение. Пусть . Будем говорить, что мера доминирует меру если для любого справедливо неравенство .

Условие (К). -слабо относительно компактное множество в .

Через обозначим слабое замыкание множества в .

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и условие (К). Тогда существует единственная мера которая доминирует любую меру . Кроме того, для любого справедливо равенство

(5)

1.2.5. Сформулируем критерий того, что мера -наихудшая.

Определение. Последовательность

назовем верхней S-оценивающей.

Очевидно, что относительно любой меры верхняя S-оценивающая последовательность является супермартингалом.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

i) -наихудшее распределение вероятностей;

ii) для любого -п.н. справедливо равенство (5);

iii) верхняя S-оценивающая последовательность является мартингалом относительно меры .

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда существует решение минимаксной задачи (1).

Минимаксное хеджирование на неполных рынках.

2.1. Пусть -d-мерная, согласованная последовательность, введенная в пункте 1.1, описывает эволюцию стоимости d различных рисковых активов. Предположим, что имеется один безрисковый актив, причем его доходность равна нулю, а его начальная стоимость равна единице. Такой набор активов называют -рынком.

Определение. Меру относительно которой последовательность является локальным мартингалом будем называть мартингальной.

Множество мартингальных мер обозначим через N. Ясно, что N .

Определение.[6] -рынок называется безарбитражным, если на нем существует хотя бы одна мартингальная мера. В противном случае этот рынок называется арбитражным.

Определение.[6] Безарбитражный -рынок называется полным, если мартингальная мера - единственна. В противном случае такой рынок называется неполным.

-измеримую случайную величину называют платежным обязательством европейского опциона с моментом исполнения N+. Пусть -предсказуемая, одномерная последовательность, элементы которой интерпретируются как количество безрискового актива [6]. Пусть -предсказуемая, d-мерная последовательность, описание которой приведено в пункте 1.1. и которую мы назвали стратегией, i-ую () компоненту вектора интерпретируют как количество i-ого рискового актива в момент времени [6]. Последовательность пар называют портфелем. Капиталом портфеля в момент времени на -рынке называют -измеримую, случайную величину, обозначаемую через и определяемую равенством

. (6)

Портфель называют самофинансирующим [6], если для любого выполнено равенство P-п.н.

. (7)

где , . Множество самофинансирующих портфелей обозначим через SF. Очевидно, что капитал портфеля допускает представление

. (8)

Пусть -согласованная, возрастающая последовательность с называемая потреблением. Набор называют портфелем с потреблением [6]. Капитал портфеля с потреблением в момент времени , обозначим через и определим равенством

(9)

Из (8), (9) следует, что в любой момент времени капитал самофинансируемого портфеля с потреблением допускает представление

Определение. Самофинансирующий портфель с потреблением на неполном -рынке в задаче расчета европейского опциона с платежным обязательством назовем суперхеджирующим, если в момент времени N выполняется неравенство

P-п.н.

Определение. Суперхеджирующий портфель назовем совершенным, если

P-п.н.

Определение. Совершенный суперхеджирующий портфель , капитал которого в момент времени равен , назовем минимаксным суперхеджирующим портфелем, если для любого другого совершенного суперхеджирующего портфеля , капитал которого в момент времени равен (т.е. ) и для любых и справедливо неравенство Q(P)-п.н.

2.2 В данном пункте приводятся условия выполнение которых обеспечивает существование минимаксного суперхеджирующего портфеля.

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда существует минимаксный суперхеджирующий портфель .

2.3. Из утверждения теоремы 4 следует существование меры которая доставляет существенную верхнюю грань в (5). В связи с этим возникает необходимость в уточнении утверждения теоремы 7.

Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) -мартингальная мера;

2) является крайней точкой множества .

3) Для любого потребление -п.н.

Определение. Конечно аддитивная мера называется вполне конечно аддитивной, если , где -мера-сингулярная относительно Р.

Теорема 9. Пусть выполнены условия теоремы 8. Тогда вероятностная мера является вполне конечно аддитивной, причем число ее атомов ограничено сверху числом .

Утверждения теорем 8, 9 приводят нас к следующему определению.

Определение. Неполный -рынок назовем -полным, если существует вероятностная мера такая, что:

i) доминирует любую меру ;

ii) -единственная мартингальная мера;

iii) существует портфель для капитала которого в момент времени N справедливо равенство

Портфель назовем минимаксным -хеджирующим.

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда существует -полный рынок, а минимаксный суперхеджирующий портфель является минимаксным -хеджирующим.

Литература.

1. El Karoui. N, Quenez M.C. Dinamic prodramming and pricing of contingent alaims ina incomplete merbet. SIAM Journal ou Control and Optimization, 1995, v.33, №1, p. 29-66

2. Kramkov D.O. Optional Decomposition of supermartingales and hedging contingent alaims in incomplete security markets. Probability Theory and Related Fields, 1996, v.105, №4, p.459-479

3. Fllmer H., Kramkov D. Optional decomposition under constraints. Prolab. Theory and Related Fields, 1997, v.109, p.1-25

4. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. Обозрение прикладной и промышленной математики, 1998, т.5, №2, с.387-409

5. Fllmer H., Kabanov Yu.M. Optional decomposition and Jagrange multipliers. Finance Stoch., 1998, v2, p.69-81

6. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория. Том 2. М.: Фазис, 1998, 544с.

7. Фёльмер Г., Шид А. Введение в стохастические финансы. Дискретное время., М.: МЦНМО, 2008, 496с.

8. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория., М., ИЛ., 1962, 895с.

Минимаксный суперхеджирующий портфель Европейского опциона