Учет краевых эффектов шумов – новый путь к решению проблем теории полезности
Харин Александр Александрович
Московский физико-технический институт
Современная Гуманитарная Академия
Москва
Учет краевых эффектов шумов –
новый путь к решению проблем теории полезности?
Содержание
Введение …………………………………………………………...
- Исходная идея ………………………………………………
- Аналогия. Вибрации вблизи твердой стены
- Пример. Стрельба в мишень
- Парадокс «четырех областей» …………………………...
- Описание
- Примеры
- Решение
- Парадокс Эллсберга ……………………………………….
- Принцип неопределенного будущего
- Парадокс Эллсберга
- Описание
- Решение
Заключение ………………………………………………………
Литература ………………………………………………………
Введение
Kahneman и Thaler1 констатировали, что до сих пор не удалось удовлетворительно решить целый ряд проблем теории полезности, в т.ч. парадоксы Алле2 и Эллсберга3. Но еще Hey и Orme4 пришли к выводу, что поведение человека может быть разумно моделировано как ожидаемая полезность плюс шум и, возможно, следует уделить шумам больше внимания, чем новым моделям полезности.
В последнее время было показано (см., напр., Харин 5):
А) Влияние шумов наиболее заметно вблизи границ диапазонов (Заметим, что большинство проблем теории полезности также сосредоточено, либо наиболее заметно проявляется вблизи границ диапазона вероятностей).
Б) Шумы приводят к смещению средних значений от границ к серединам диапазонов.
1. Исходная идея
1.1. Аналогия. Вибрации вблизи твердой стены
Представим себе электродрель (без сверла) или аналогичное устройство с твердыми боковыми стенками корпуса, способное быстро вибрировать, например, стиральную машину, отбойный молоток и т.д. Допустим, эта дрель, это устройство при работе вибрирует с амплитудой 1 мм.
Можем ли мы приблизить твердую боковую стенку корпуса выключенной дрели (устройства) к твердой стене на расстояние, скажем, 0,1 мм? Конечно да. Теперь включим дрель. Чему станет равно расстояние от дрели до твердой стены?
Вибрации будут отталкивать, смещать дрель (устройство) от твердой стены.
А) Очевидно, что влияние вибраций (шумов) на среднее расстояние от дрели до стены будет наиболее заметно вблизи стены
Б) И из-за вибраций, расстояние между корпусом дрели и стеной увеличится, станет больше 0,1 мм.
1.2. Пример. Стрельба в мишень
Общие условия
Представим себе гипотетический переносной стенд для проверки качества патронов. Во избежание погрешностей, связанных с человеческим фактором, винтовка прикрепляется к основе, имитирующей стоящего человека, а прицеливание выполняется автоматически. Положим, что погрешности сведены к минимуму и составляют значительно меньше одного деления мишени.
Предположим, что стенд при очередной проверке размещен вблизи железной дороги или метро и вибрации почвы при прохождении поездов увеличивают разброс стрельбы до, скажем, двух делений. Для простоты будем считать мишень сильно вытянутой в одном из направлений, т.е. сведем рассмотрение к одномерному и равномерному (без эффектов кривизны) случаю.
Предположим, что имеет место следующий разброс: 1 попадание = точно; 1 попадание =+2 деления, 1 попадание =-2 деления.
Допустим, что деления мишени расположены в диапазоне от «0» до «10». При этом, за делением «10» снова идут деления «9», «8» и т.д. За делением «0» идет пустое пространство, эквивалентное «0».
Смещение, «отталкивание» от краев диапазона
Если прицеливание выполнено, например, в «7», то среднее значение попаданий останется неизменным. Получаем (7+9+5)/3=7.
Если прицеливание выполнено в «9», то одна пуля улетит за «10», но не в «11», а в «9». Получаем (9+9+7)/3=25/3=8. Одна пуля, вместо того, чтобы выбить 11 очков, выбила 9, т.е. на 2 меньше. Среднее значение попаданий сместится от края диапазона делений (от «10») к центру (к ~ «5») на 2/3 деления.
Если прицеливание выполнено в «1», то одна пуля улетит за «0», но не в «-1», а в пустое пространство, эквивалентное «0». Получаем (1+3+0)/3=1. Одна пуля, вместо того, чтобы выбить -1 очко, выбила 0, т.е. на 1 больше. Среднее значение попаданий также сместится от края диапазона делений (от «0») к центру (к ~ «5»), но на 1/3 деления.
А) Видно, что влияние разброса будет наиболее заметно вблизи краев диапазона мишени.
Б) Разброс приводит к смещению, «отталкиванию», среднего значения попаданий от краев диапазона мишени к центру диапазона.
2. Парадокс «четырех областей»
2.1. Описание
Парадокс «четырех областей» (см., напр., Tversky и Wakker6) обобщает большинство аналогичных парадоксов теории полезности (в т.ч. парадокс Алле) и дает общий ключ к их решению.
В нем возможны два исхода. Один – гарантированный. Второй – вероятностный (с риском). Оба исхода - с абсолютно одинаковым средним значением, предполагающим абсолютное равенство выбора: ГАРАНТИЯ=РИСК (Г=Р).
Однако, эксперименты дают совсем иные результаты:
1) Выигрыш с большой вероятностью Г>Р
2) Выигрыш с малой вероятностью Г<Р
3) Проигрыш с малой вероятностью Г>Р
4) Проигрыш с большой вероятностью Г<Р
2.2. Примеры
1) Люди не очень охотно инвестируют и вкладывают деньги в банки.
Несмотря на рекламу и очевидные плюсы вкладов в банки и инвестиций, люди пользуются ими недостаточно охотно.
2) Люди слишком охотно играют в лотереи.
Из выигрышей лотерей вычитаются доходы организаторов этих лотерей, то есть лотерейные билеты стоят гораздо дороже, а выигрыши по ним случаются гораздо реже, чем нужно для того, чтобы их покупка не была явно убыточной. Тем не менее, люди охотно участвуют в лотереях.
3) Люди покупают страховки.
В цену страховок входят (немалые) доходы страховых компаний. Тем не менее, люди покупают страховки.
4) Люди увеличивают свои очевидные долги.
Люди нередко увеличивают свои очевидные долги до большей суммы, вместо того, чтобы сразу отдать меньшую сумму.
2.3. Решение
А) Парадокс происходит вблизи границ диапазона вероятностей.
Б) Шумы приводят к смещению вероятностей от границ к середине диапазона. По определению, гарантированный исход более устойчив к шумам, чем вероятностный. Примем гарантированные исходы за точки отсчета. Учтем также, что Проигрыш=-Выигрыш (П=-В) и при этом смещение среднего значения исхода меняется на противоположное.
Получаем следующее влияние шумов на вероятностные исходы:
1) (большая) Вероятность уменьшается -> Г>Р
2) (малая) Вероятность увеличивается -> Г<Р
3) (малая) Вероятность увеличивается, но П=-В -> Г>Р
4) (большая) Вероятность уменьшается, но П=-В -> Г<Р
Парадокс качественно решен.
3. Парадокс Эллсберга
Для полноты картины, кратко дадим качественное решение парадокса Эллсберга.
3.1. Принцип неопределенного будущего
Развитием идеи учета краевых эффектов шумов стал принцип неопределенного будущего (см., напр., Харин7, Harin8, Харин9). Справочно приведем его второе следствие:
Текущая система оценок вероятностей
будущих событий - неполна
или
Pestimated foreseen < 100%
где
Pestimated foreseen - сумма оценок вероятностей всех предусмотренных будущих событий
3.2. Парадокс Эллсберга,
3.2.1. Описание
Урна У1 содержит красные и черные шары в неизвестном соотношении. Урна У2 содержит красные и черные шары в соотношении 1:1. Все шары на ощупь неразличимы. Игрок получает $100, если вытащит шар заранее заданного цвета. (после этого, шар сразу возвращается назад в ту же урну)
Экспериментами доказано следующее: люди явно предпочитают вытащить, например, красный шар из урны У2 (определенной). Но те же люди так же явно предпочитают вытащить и черный шар тоже из урны У2.
Таким образом люди подразумевают, что (обе) вероятности вытащить и черный и красный шар из (неопределенной) урны У1 одновременно меньше 50%. То есть сумма вероятностей (вероятность вытащить из У1 либо черный либо красный шар) меньше 100% (неполнота системы вероятностей).
3.2.2. Решение
Рассмотрим парадокс Эллсберга с точки зрения второго следствия принципа неопределенного будущего.
Люди интуитивно или бессознательно понимают, что в ситуации с неопределенностью в У1 возможно что-либо непредвиденное, то есть общая сумма предусмотренных вероятностей может оказаться меньше 100%, а в У2 она более гарантирована. Это находит бессознательное отражение в их предпочтениях в парадоксе Эллсберга.
Парадокс качественно решен.
Заключение
Учет шумов вблизи границ диапазона вероятностей (учет краевых эффектов шумов) естественным образом качественно решает ключевые парадоксы теории полезности и может стать новым путем к решению ее проблем.
Литература
1 Kahneman, D. and Thaler, R. (2006) “Anomalies: Utility Maximization and Experienced Utility” Journal of Economic Perspectives, 20, #1, 221-234.
2 Allais, M. (1953) “Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'cole Amricaine” Econometrica 21, 503-46.
3 Ellsberg, D. (1961) Risk, Ambiguity and the Savage Axioms. Quarterly Journal of Economics, 75, 643-669
4 Hey, J. and Orme, C. (1994) “Investigating Generalizations of Expected Utility Theory Using Experimental Data” Econometrica, 62, 1291-1326.
5 Харин, А.А. (2009) “О возможности существования разрывов в шкале вероятностей. Расчет величин разрывов” Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах: Труды 9-й Международной Научной Школы МА БР–2009.
6 Tversky, A. and P. Wakker (1995) “Risk attitudes and decision weights” Econometrica, 63, 1255-1280.
7 Харин, А.А. (2003) “К анализу одного из парадоксов экономической теории” Научные труды Института послевузовского профессионального образования СГА, выпуск 7 Гуманитарные науки, 2003 г.
8 Harin, A. (2005) “A new approach to solve old problems” Game Theory and Information from Economics Working Paper Archive at WUSTL, 0505005.
9 Харин, А.А. (2007) “Принцип неопределенного будущего, примеры его применения в экономической теории, …” Седьмая Международная Научная Школа МА БР – 2007 “Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах”.
PAGE \* MERGEFORMAT 1
Учет краевых эффектов шумов – новый путь к решению проблем теории полезности