Модели формирования партий и участия в выборах

Васин А.А., профессор, д.ф.-м.н.

Сосина Ю.В., старший научный сотрудник, к.ф.-м.н.

Вартанов С.А., аспирант

МГУ им. М.В. Ломоносова

В современном мире важнейшим элементом политического процесса в большинстве стран являются референдумы и выборы в органы власти. Результаты выборов оказывают влияние на все сферы жизни государства и его граждан и, так или иначе, затрагивают интересы всех участников политического процесса (избирателей, кандидатов, политических партий, лоббистов, властных структур).

Самое существенное значение для определения исхода голосования имеют два фактора. Во-первых, это политическая структура общества, то есть количество партий или кандидатов, принимающих участие в выборах, их политические программы, идеология и т.д. Во-вторых, это явка избирателей и их стремление участвовать в политической жизни государства. Поэтому данная работа состоит из двух частей, одна из которых посвящена исследованию математической модели формирования политических партий. Вторая часть работы описывает математическую модель участия граждан в выборах при условии неизменной политической структуры общества.

Первый важный вопрос, которому посвящена данная работа, вопрос формирования политических партий или иных политических структур и коалиций, а также вопрос их устойчивости к образованию новых партий. Для ответа на эти вопросы обычно используются теоретико-игровые модели формирования коалиций в больших (и, возможно, неоднородных) множествах игроков. Подобные модели находят применение в различных областях знаний: от политической экономии до экономической географии, однако, несмотря на широту области применения таких моделей, все они обладают рядом общих черт. Рассматривается множество агентов, каждый из которых характеризуется идеальной точкой, отражающей его предпочтение на некотором множестве. Функция выигрыша агента зависит от расстояния между его идеальной точкой и точкой, соответствующей выбору коалиции, к которой он примкнул, а также от размера этой коалиции. Основным объектом исследования в работах, посвященных рассматриваемым моделям, является равновесность и устойчивость получающихся коалиционных структур. При этом в качестве решения используется как равновесие Нэша ([7, 9, 10]) или сильное равновесие ([3]) , так и другие концепции равновесия. Так, модель, предложенная в статье [2], основана на кооперативной игре с побочными платежами, где в качестве решения выступает -ядро.

В настоящей работе развивается модель формирования коалиций, изучавшаяся в работах [7, 9, 10]. В них основные результаты получены в предположении равномерного распределения агентов по идеальным точкам на некотором одномерном множестве. Целью данной работы является исследование устойчивости равновесий Нэша к расколу входящих в него коалиций при неравномерном распределении агентов, описываемом монотонной или унимодальной функцией плотности .

Каждый агент выбирает стратегию из множества, представляющего собой конечный набор меток. Выбирая одну из таких меток, агент присоединяется к соответствующей коалиции, или же воздерживается (что соответствует метке «0»). Набор стратегий агентов задает множество непустых коалиций и набор функций плотности распределения агентов, выбравших каждую из коалиций. Рассматриваются такие наборы стратегий, что каждой коалиции соответствует интегрируемая функция плотности.

Размеры коалиций пропорциональны долям ее сторонников, а её политика определяется как медиана распределения с плотностью, равной плотности распределения её сторонников. Выигрыш агента в случае, если он присоединяется к какой-либо коалиции, возрастает по размеру коалиции и убывает с ростом расстояния от идеальной точки агента до политики выбранной им коалиции. Выигрыш агентов, не присоединяющихся ни к какой коалиции, полагается нулевым.

Равновесием Нэша является такой набор стратегий агентов, в котором каждый агент присоединяется к той коалиции, в которой получает максимальный выигрыш при условии, что все остальные агенты не меняют своего выбора. Регулярным равновесием Нэша называется равновесие, в котором политики всех коалиций различны. Следующее утверждение (доказанное в [9]) описывает структуру регулярного равновесия.

Утверждение 1. Любому регулярному равновесию Нэша соответствует разбиение всего множества на непересекающиеся интервалы. Каждой непустой коалиции при этом соответствует ровно один интервал, называемый её носителем.

Исследуем множество равновесных по Нэшу коалиционных структур. Если в регулярном равновесии присутствуют две соседние коалиции, то агент, чья точка лежит на границе носителей данных коалиций, получает одинаковый выигрыш в любой из этих коалиций. Это условие называется уравнением безразличия граничного агента.

Поскольку из содержательных соображений функция выигрыша граничного агента в зависимости от размера его коалиции обычно предполагается вогнутой, то в рассматриваемых прикладных моделях типична ситуация, когда уравнение безразличия имеет не более двух решений относительно размера каждой из коалиций.

Назовем коалицию минимальной (максимальной) относительно предыдущей коалиции , если ей соответствует меньший (больший) корень уравнения безразличия относительно размера коалиции . Аналогично определяются понятия коалиции, максимальной (минимальной) относительно последующей. Заметим, что в общем случае длина равновесия не является монотонной функцией размера крайней коалиции. Однако в случае монотонности для равновесий, состоящих только из минимальных коалиций, монотонность общей длины имеет место. Кроме того, существует такое , что для любого в исследуемой модели существует регулярное равновесие из минимальных коалиций. Это означает, что заведомо существуют равновесия, состоящие из большого числа коалиций небольшого размера. Однако небольшой размер коалиций может обуславливать стремление их участников к объединению.

Равновесие называется устойчивым к локальному объединению, если не существует такой новой коалиции, состоящей из двух соседних существующих коалиций, что всем её участникам выгодно объединение.

Утверждение 3. Равновесие является устойчивым к локальному объединению тогда и только тогда, когда для любой пары соседних коалиций объединение невыгодно хотя бы одному граничному агенту формирующейся коалиции.

Одним из главных результатов работы является критерий устойчивости регулярных равновесий Нэша к локальному объединению.

Утверждение 4. Пусть функция плотности распределения агентов по идеальным токам является унимодальной, достигая максимума в одной из точек множества . Для того чтобы равновесие Нэша было устойчивым к локальному объединению, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары соседних коалиций выполнялось одно из трех условий:

1) хотя бы одна из них является максимальной относительно второй;

2) если носители этих коалиций лежат правее точки максимума плотности, то размер левой коалиции превышает пороговое значение, определяемое из Утверждения 3.

3) если носители этих коалиций лежат левее точки максимума плотности, то размер правой коалиции превышает пороговое значение, определяемое из Утверждения 3.

Равновесие называется устойчивым к расколу, если не существует новой коалиции, являющейся собственным подмножеством одной из существующих коалиций, и обеспечивающей бльшие выигрыши всем своим членам.

Утверждение 5. Пусть плотность распределения унимодальна, и дважды дифференцируемы, выпукла, вогнута, а убывает. Тогда любое равновесие Нэша устойчиво к расколу.

Также в работе получены необходимые и достаточные условия устойчивости к расколу для равномерного распределения игроков и линейной функции .

Второе направление, которому посвящена данная работа, касается участия избирателей в выборах и референдумах. Всеобщие выборы и референдумы привлекательны с той точки зрения, что должны учитывать мнения всех, кто имеет право голоса. Тем не менее, они не являются идеальными формами общественного принятия решений, так как конечный исход их зависит не только от изначальных предпочтений граждан, имеющих право голоса, но и от их явки. На нее влияют различные обстоятельства, связанные с издержками, которые несет избиратель в связи с участием в выборах. Кроме того, многие избиратели осознают, что значимость их голоса пренебрежимо мала, особенно если речь идет о голосовании в масштабах целой страны. Таким образом, неучастие в выборах тоже может представлять собой пример рационального поведения. Возникающая при этом низкая явка граждан может даже приводить к победе кандидатов-маргиналов. Более подробно различные парадоксы при голосованиях описаны в работах [6] и [8].

Модель участия граждан в выборах, исследуемая в настоящей работе, близка к модели, рассмотренной в работе [4]. Эта работа посвящена исследованию электорального поведения граждан на выборах с двумя кандидатами. В ней основные результаты были получены в предположении, что одного из кандидатов поддерживает всего один избиратель, в то время как второй имеет намного большее число сторонников.

В настоящей работе исследуется теоретико-игровая модель голосования двух групп избирателей численностями и соответственно, каждая из которых поддерживает своего кандидата. Предполагается, что . Стратегия каждого избирателя – принимать или не принимать участия в голосовании, при этом в случае участия он несет фиксированные издержки (, ), не зависящие от исхода голосования. В случае победы «своего» кандидата избиратель получает фиксированный выигрыш , , превышающий его затраты на участие в голосовании. Если кандидат терпит поражение, то его сторонники теряют столько же. Взаимодействие избирателей описано в виде игры в нормальной форме с игроками.

Поведение избирателей предполагается рациональным: при выборе стратегии каждый из них исходит из максимизации своего индивидуального выигрыша. Равновесием Нэша в рассматриваемой модели является такая ситуация (распределение игроков по стратегиям), что никому из избирателей невыгодно индивидуально изменять свое решение об участии в голосовании при фиксированном поведении остальных участников.

Утверждение 6. В исследуемой модели равновесие Нэша в чистых стратегиях существует тогда и только тогда, когда . В этом случае единственным равновесием является ситуация, при которой все избиратели принимают участие в голосовании.

Так как при неравной численности групп равновесия Нэша в чистых стратегиях не существует, изучим свойства смешанных равновесий. При этом предположим, что сторонники каждого из кандидатов ведут себя одинаково: любой избиратель из второй группы участвует в голосовании с вероятностью , а избиратель из первой группы – с вероятностью . Тогда смешанное равновесие определяется из системы

(4)

Здесь - относительные издержки сторонников каждого из кандидатов. Заметим, что функции и , стоящие в левых частях системы (4), есть не что иное, как вероятности того, что голос произвольного сторонника первого или второго кандидата, является решающим для исхода голосования. В настоящей работе показано, что эти обе функции являются квазивогнутыми по каждому из аргументов. Таким образом, у каждого из уравнений системы (4) есть не более двух решений относительно каждой переменной при фиксированном значении второй. Обозначим решения второго уравнения (меньшее), (большее), первого - и . Существует всего четыре типа возможных равновесий (HH, HL, LH, LL), зависящих от того, каким именно корням они соответствуют.

Утверждение 7. При равных относительных издержках () существует не более двух смешанных симметричных равновесий.

Обозначим стратегии участников первой и второй групп в равновесии и соответственно. Тогда если , то , и это - и - равновесия, иначе равновесия имеют тип и , и .

В докладе также обсуждаются вопросы устойчивости получающихся равновесий, а также вероятность победы менее поддерживаемого кандидата при условии, что избиратели ведут себя в соответствии с равновесными стратегиями.

===

В настоящей работе развивается модель формирования коалиций, изучавшаяся в работах [7, 9, 10]. В них основные результаты получены в предположении равномерного распределения агентов по идеальным точкам на множестве . Целью данной работы является исследование устойчивости равновесий Нэша к расколу входящих в него коалиций при неравномерном распределении агентов, описываемом монотонной или унимодальной функцией плотности .

Каждый агент выбирает стратегию из множества , представляющего собой конечный набор меток. Выбирая одну из меток, агент присоединяется к соответствующей коалиции, или же воздерживается (что соответствует метке «0»). Набор стратегий агентов задает множество непустых коалиций и набор функций плотности распределения на множестве агентов, выбравших коалицию . Рассматриваются такие наборы стратегий, что каждой коалиции соответствует интегрируемая функция . Размер коалиции пропорционален доле ее сторонников (), а её политика определяется как медиана распределения с плотностью . Выигрыш агента с идеальной точкой в случае, если он присоединяется к коалиции с размером и политикой , равен , где , – возрастающие функции, и .

Равновесием Нэша является такой набор стратегий агентов, что . Регулярным равновесием Нэша называется равновесие, в котором политики всех коалиций различны. Следующее утверждение (доказанное в [9]) описывает структуру регулярного равновесия.

Утверждение 1. Если – выпукла, то в регулярном равновесии Нэша каждой коалиции соответствует единственный интервал , такой что и , где – замыкание .

Таким образом, любому регулярному равновесию Нэша соответствует разбиение всего множества на непересекающиеся интервалы. Каждой непустой коалиции при этом соответствует ровно один интервал, называемый её носителем.

Исследуем множество равновесных по Нэшу коалиционных структур. Если в регулярном равновесии присутствуют две соседние коалиции с носителями и , то размеры и этих коалиций связаны равенством (уравнением безразличия граничного агента)

, (1)

где - функция, обратная к . Поскольку из содержательных соображений функция обычно предполагается вогнутой, а функция - выпуклой, то в рассматриваемых прикладных моделях типична ситуация, когда уравнение (1) имеет не более двух решений как относительно , так и относительно . Это всегда верно при равномерной плотности распределения .

Назовем коалицию минимальной (максимальной) относительно коалиции , если ей соответствует меньший (больший) корень уравнения (1) относительно при фиксированном . Аналогично определяются понятия коалиции, максимальной (минимальной) относительно предыдущей. Заметим, что в общем случае длина равновесия не является монотонной функцией размера крайней коалиции. Однако в случае монотонности для равновесий, состоящих только из минимальных коалиций, монотонность общей длины имеет место. Кроме того, существует такое , что для любого в исследуемой модели существует регулярное равновесие из минимальных коалиций. Это означает, что заведомо существуют равновесия, состоящие из большого числа коалиций небольшого размера. Однако небольшой размер коалиций может обуславливать стремление их участников к объединению.

Рассмотрим пару соседних минимальных коалиций, расположенных на участке возрастания функции плотности и имеющих общую граничную точку . При любом фиксированном значении существует единственное минимальное значение размера левой коалиции, при котором равновесие, включающее рассматриваемые коалиции, устойчиво к их объединению. Исходя из утверждения 3, этот размер определяется из уравнения

, (2)

где - выигрыш левого граничного игрока левой коалиции.

Для коалиций, расположенных на участке убывания функции плотности, справедливы аналогичные рассуждения относительно правой коалиции и функции выигрыша её правого граничного агента . При этом уравнение для вычисления порогового размера имеет аналогичный вид:

, (3)

Утверждение 4. Пусть является унимодальной, достигая максимума в точке . Для того чтобы равновесие Нэша было устойчивым к локальному объединению, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары соседних коалиций, имеющих размеры и и общую границу , выполнялось одно из двух условий:

1) хотя бы одна из них является максимальной относительно второй;

2) при размер левой коалиции превышает пороговое значение , определяемое из уравнения (2).

3) при размер правой коалиции превышает пороговое значение , определяемое из уравнения (3).

Утверждение 5. Пусть плотность распределения унимодальна, и дважды дифференцируемы, выпукла, вогнута, а убывает. Тогда любое равновесие Нэша устойчиво к расколу.

(4)

Дальнейшие направления работы по каждой из моделей можно сформулировать следующим образом. В модели формирования коалиций представляет интерес поиск условий существования равновесий, устойчивых к образованию любой новой коалиции (коалиционных равновесий) и обобщение соответствующих результатов работы [4] для неравномерного распределения агентов. Возможно также изменение модели, отражающее зависимость выигрыша агентов не только от характеристик «его» коалиции, но и всей структуры. В реальных ситуациях редко бывает так, чтобы влиятельность коалиции зависела бы только от её размера. Для более точного отражения влияния коалиций можно рассматривать индексы влияния Шепли-Шубика, Банцафа и др.

Кроме того, предполагается изучить динамический вариант рассмотренной модели участия в выборах и описать связь равновесий в статической модели со стационарными точками динамической модели. Другим направлением дальнейшего развития этой модели является избавление от условия равенства относительных издержек. Как правило, при реальном голосовании среди сторонников каждого из кандидатов можно выделить несколько подгрупп, для которых его победа имеет различную ценность. Для описания их поведения модель, рассмотренная в данной работе, уже не подходит.

Список литературы

Alesina A., Spolaore E., On the number and size of nations // National Bureau Of Economic Research, Working paper #5050, March 1995
Dreze J., Le Breton M., Savvateev A., Weber S. A Problem of Football Bars: Vertically and Horizontally Differentiated Public Goods // X Международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества, Т. 2. М.: ИД ГУ ВШЭ, 2010. С. 86-90.
Gomberg A.M., Marhuenda F., Ortuo-Ortn I. A Model of Endogenous Political Party Platforms // Economic Theory Vol. 24, No. 2 (Aug., 2004), pp. 373-394
Haan M., Cooreman P. How majorities can lose the election. Another voting paradox // Social Choice and Welfare, Springer, 2003, #20
Heijnen, P. On the probability of breakdown in participation games // Social Choice and Welfare, Springer, Vol. 32 (3), pp.493-511, 2009
Nurmi H. Voting paradoxes and referenda // Social Choice and Welfare, Springer, vol. 15(3), pp. 333-350, 1998.
Vasin A., Stepanov D., Endogenous formation of political parties // Mathematical and Computer Modelling 48 (2008) 1519–1526
Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии // М.: Академия, 1995
Сосина Ю.В. Теоретико-игровые модели политической конкуренции: диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук: 01.01.09. - Москва, 2006. – 120 с.
Степанов Д.С. Модель эндогенного формирования коалиционных структур: диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук: 01.01.09. - Москва, 2011. – 151 с.

Модели формирования партий и участия в выборах