Внимание учащимся 9-а класса! Вашему вниманию предлагаются примеры решений задач на тему: Арифметическая прогрессия

Определение 1. Числовая последовательность (an)n Î N называется арифметической прогрессией, если существует действительное число d (называемое разностью прогрессии), такое, что an+1 - an = d, ("n Î N) (1)



то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему плюс одно и то же число (разность прогрессии).



Пример 1. Проверить, являются ли данные последовательности арифметическими прогрессиями

a) an = 2n - 1, b) 3, 6, 9, ..., 3k, ... c) an = 1/n.



Решение. a) Разность an+1 - an является постоянным числом для любого n Î N

an+1 - an = 2(n + 1) - 1 - (2n - 1) = 2

следовательно, последовательность, заданная общим членом an = 2n - 1, является арифметической прогреcсией c разностью 2:

1, 3, 5, ..., 2n - 1, ...



b) Аналогично решению примера a), получим

an+1 - an = 3(n + 1) - 3n = 3, ("n Î N)

и, следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью 3.



c) Выпишем первые три члена последовательности a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3 и заметим, что a2 - a1 = -1/2 ≠ a3 - a2 = -1/6, то есть, данная последовательность не образует арифметическую прогрессию.



Иначе, рассматривая разность, заметим, что она зависит от n (не является постоянным числом) и, следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.



Свойства арифметической прогрессии



Доказательства приведенных ниже свойств можно найти, например, в [1].



P1. Общий член арифметической прогрессии an определяется по формуле an = a1 + (n - 1)d, (2)



где a1 - первый член прогрессии, d - ее разность.



P2. (Характеристическое свойство арифметической прогрессии). n-ый член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов прогрессии: an-k + an+k = 2·an, (3)





Замечание. Из свойства P2 следуют необходимые и достаточные условия:



a) три числа a, b, c (в указанной очередности) образуют арифметическую прогрессию, если 2b = a + b, (4)





b) три числа a, b, c (независимо от очередности) образуют арифметическую прогрессию, если (2b - a - c)(2c - a - b)(2a - b - c) = 0. (5)





P3. Если a1, a2, ..., an, ... - арифметическая прогрессия и k + n = m + p (k, n,m, p Î N), то ak + an = am + ap. (6)





P4. Сумма Sn первых n членов арифметической прогрессии равна (7)



или, учитывая (2) (8)





Определение 2. Арифметическая прогрессия называется возрастающей (убывающей если ее разность - положительное (отрицательное) число. Если разность прогрессии равна нулю, имеем постоянную последовательность.



Рассмотрим несколько примеров.



Пример 2. Определить арифметическую прогрессию, если a3 = 2 и a5 = -2.



Решение. Используя формулу общего члена арифметической прогрессии, получим систему a3 = a1 + 2d,

a5 = a1 + 4d,



или, учитывая условия примера, a1 + 2d = 2,

a1 + 4d = -2,



откуда находим первый член арифметической прогрессии a1 = 6 и ее разность d = -2.



Пример 3. Определить число x, если числа a - x, x, b (a, b даны) в указанной последовательности образуют арифметическую прогрессию.



Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получим линейное уравнение

2x = a - x + b,

откуда



Пример 4. Определить арифметическую прогрессию, сумма первых n членов которой определяется по формуле

Sn = 3n2 + 6n (n ≥ 1).



Решение. Поскольку сумма первых (n - 1) членов прогрессии равна

Sn-1 = 3(n - 1)2 + 6(n - 1) = 3n2 - 3, (n ≥ 2)

и Sn - Sn-1 = an, следует, что

an = 3n2 + 6n - 3n2 + 3 = 6n + 3.



Последовательно подставляя в формулу n-ого члена n = 1,2,3,..., получим a1 = 9, a2 = 15, a3 = 21, ...



Пример 5. Определить сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, ..., если

a4 + a8 + a12 + a16 = 224.



Решение. Заметим, что 4 + 16 = 8 + 12 и, следовательно, (см. (6)) a4 + a16 = a8 + a12. Учитывая, что сумма этих членов равна 224, найдем, что a4 + a16 = 112.



Поскольку (см. (7)) и a1 + a19 = a4 + a16 = 112 (1 + 19=4 + 16), то