Підготовка до шкільного туру олімпіади з математики

Задачи 9, 10, 11 класс

{C}1. Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Решение

Общее число бананов в 2009 раз больше числа лимонов, которое в 2009 раз больше числа ананасов, следовательно, общее число фруктов в 20092 + 2009 + 1 раз больше числа ананасов. 20092 + 2009 + 1 ≡ (-6)2 - 6 + 1 ≡ 0 (mod 31).

Задачи на движение для 5.6,7 классов

1. Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?

Подсказка

Сколько времени займёт путь в один конец на автобусе? А сколько - путь в один конец пешком?

Решение

Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно, путь в один конец на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец пешком понадобится 1,5 ч-15 мин, т. е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу пешком в оба конца Аня тратит 2, 5 ч.

Ответ

2,5 ч.

2. Известно, что в январе четыре пятницы и четыре понедельника. На какой день недели приходится 1 января?

Подсказка

Заметьте, ни 1е, ни 2е, ни 3е января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу.

Решение

Ни 1, ни 2, ни 3 января не могут приходиться ни на понедельник, ни на пятницу, поскольку в противном случае 29, 30 или 31 января получатся пятой пятницей или пятым понедельником в месяце. Наше условие может быть выполнено, только если 1, 2 и 3 января придутся, соответственно, на вторник, среду и четверг. Значит, 1 января - вторник.

Ответ

На вторник.

3. В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребёнка - простое число. Сколько лет младшему?

Подсказка

Может ли возраст младшего ребёнка быть чётным числом?

Решение

Возраст младшего ребёнка не может быть чётным числом, так как иначе возрасты старших детей не будут простыми числами. Он не может оканчиваться на 1, 3, 7, 9 - иначе возраст одного из старших детей будет делиться на 5. Единственное простое число, удовлетворяющее этим условиям, - 5. Проверка показывает, что если возраст младшего ребёнка будет равен 5 годам, возрасты всех старших будут выражаться простыми числами.

Ответ

5 лет.

4. Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

Подсказка

Чему равно частное?

Решение

Поскольку делимое в 6 раз больше делителя, значит, частное равно 6. А так как делитель в 6 раз больше частного, значит, он равен 36, а делимое, соответственно, равно 216.

Ответ

216; 36; 6.

5. Куб со стороной 1 м распилили на кубики со стороной 1 см и положили их в ряд (по прямой). Какой длины оказался ряд?

Решение

Получим 100 × 100 × 100 = 1000000 (см) или 10000 м = 10 км.

6. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки - не могут. Сколько надо позвать Мышек, чтобы они смогли сами вытащить Репку?

Подсказка

Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?

Решение

Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5•6 Мышек. Внучка заменяет 4•5•6 Мышек. Бабка заменяет 3•4•5•6 Мышек. Дедка заменяет2•3•4•5•6 Мышек. Итого потребуется:

(2•3•4•5•6) + (3•4•5•6) + (4•5•6) + (5•6) + 6 + 1 = 1237 Мышек.

Ответ

1237 Мышек.

7. Начнём считать пальцы на правой руке: первый - мизинец, второй - безымянный, третий - средний, четвёртый - указательный, пятый - большой, шестой - снова указательный, седьмой - снова средний, восьмой - безымянный, девятый - мизинец, десятый - безымянный и т. д. Какой палец будет по счёту 1992-м?

Подсказка

Заметьте, с некоторого момента начнёт повторяться группа из восьми пальцев: безымянный, средний, указательный, большой, указательный, средний, безымянный, мизинец.

Решение

Первый палец - мизинец, а затем всё время повторяется группа из восьми пальцев: безымянный, средний, указательный, большой, указательный, средний, безымянный, мизинец. Когда мы станем перечислять пальцы, первым будет мизинец, затем 248 раз повторится группа из восьми пальцев, а потом - последние семь. Седьмой палец в нашем списке - безымянный.

Ответ

Безымянный.

8. Чему равно выражение (102+112+122+132+142)/365 ?

Подсказка

Заметьте, можно просто "посчитать в лоб", т. е. вычислить каждый из квадратов, все сложить и, наконец, поделить; а можно вспомнить формулу квадрата суммы и сделать некоторые преобразования.

Решение

Приведем порядок действий, которые вполне могут быть сделаны в уме.

102 + 112 + 122 + 132 + 142 = 102 + (10+1)2 + (10+2)2 + (10+3)2 + (10+4)2 = 5×102 + 2×10×(1 + 2 + 3 + 4) + 12 +22 +32 + 42 =500 + 200 + 1 + 4 + 9 + 16 = 730.

Теперь уже легко сообразить, что ответ задачи - 2. Можно решить эту задачу и по-другому:

102 + 112 + 122 + 132 +142 = (12−2)2 + (12−1)2 + 122 + (12+1)2 + (12+2)2 = 5×122 + 2×10×(1+2−1−2) +2×(12 + 22) = 60×12 + 0 + 2×5 = 720 + 10 = 730.

И теперь тоже легко сообразить, что ответ задачи - 2.

9. В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры. Получилось 4 . 5 . 4 . 5 . 4 = 2247. Восстановите исходный пример и объясните, как Вы это сделали.

Подсказка

В исходном примере хотя бы один сомножитель чётный.

Решение

В получившемся примере три сомножителя чётные, значит, в исходном примере хотя бы один тоже был чётным. Поэтому и произведение было чётным числом, то есть последняя цифра произведения была изменена. Таким образом, слева изменено не более одной цифры. Значит, в исходном примере слева были и пятёрки, и четвёрки, а оканчивалось произведение на 0.

Если бы ни один из сомножителей не был исправлен, то произведение равнялось бы 4 . 5 . 4 . 5 . 4 = 1600. Но запись числа 1600 отличается от записи числа 2240 более чем на одну цифру. Значит, ровно один из сомножителей исправлен, а произведение равно 2240. Поэтому одна из пятёрок исправлена на семёрку.

10. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) - со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

Решение

Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до орешника. Поэтому время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть равно 54 : 3 = 18 секунд. Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18 4 = 72 метра.

Ответ

72 метра.

11. Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на десятом месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Вася был пятнадцатым с конца?

Решение

Так как Петя оказался на десятом месте, а Вася финишировал перед ним, то Вася занял девятое место. Вася был пятнадцатым с конца, значит за ним финишировало еще четырнадцать человек. Следовательно, в гонке участвовало 23 человека.

Ответ

23 человека.

12. Электронные часы показывают часы и минуты (например, 16:15 ). Тренируясь в счете, Буратино находит сумму цифр на этих часах ( 1 + 6 +1 + 5 = 13 ). Запишите такое время суток, когда сумма цифр на часах будет наибольшей.

Ответ

19:59 .

13. В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?

Ответ

Через 59 секунд.

Задачи 6,7,8 класс

1. Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь. Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов. Сколько было гномов, и сколько пони?

Первое решение.

Обозначим количество гномов через X, а количество пони - через Y. Получим следующую систему уравнений:

Из этой системы находим: X=12, Y=3.

Второе решение.

Из условия мы знаем, что всего в караване было 15 существ. Если бы все они были гномами, то у них было бы 15 2 = 30 ног; но на самом деле ног на 6 больше, а значит, в караване были 6 / (4 - 2) = 3 пони и 15 - 3 = 12 гномов.

Ответ

12 гномов и 3 пони.

2. Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 439, а номер последней записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?

496 страниц (248 листов).

3. Натуральное число A увеличили на 1, а его квадрат увеличился на 1001. Чему равно A?

Запишем для A уравнение (A + 1)2 - A2 = 1001, откуда A = 500.

4. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое ''уплотнение'' повторили ещё дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?

Подсказка

Найдите, сколько точек было перед последним уплотнением, т. е. решайте задачу ''с конца''.

Решение

Если (до уплотнения) было отмечено N точек, то после уплотнения будет отмечено 2N - 1 точек (из которых N старых и N - 1 новая). Если после уплотнения получилось K точек, то 2N - 1 = K или N = (K + 1)/2. Таким образом, до последнего уплотнения было (113 + 1)/2 = 57 точек, до второго - (57 + 1)/2 = 29 точек и в самом начале - (29 + 1)/2 = 15 точек.

Ответ

15 точек.

5. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

Решение

Если на этаже не более трёх квартир, то в десяти подъездах их не более, чем 10·9·3 = 270, то есть в 10-м подъезде квартиры № 333 не будет. Если на этаже не менее пяти квартир, то уже в девяти подъездах будет не менее, чем 9·9·5 = 405 квартир, то есть Сашина квартира будет не в 10-м подъезде. Значит, квартир на этаже 4, в первых девяти подъездах 9·9·4 = 324 квартиры. Тогда в 10-м подъезде квартиры начинаются с 325-й. На втором этаже они начнутся с 329-й, на третьем - с 333-й. Таким образом, Пете нужно подняться на третий этаж.

Ответ

На 3-й этаж.

6. В строчку написано 37 чисел так, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 29. Первое число 5. Каким может быть последнее число?

Решение

Обозначим последнее в строке число через x. Сгруппируем 37 чисел двумя способами: с одной стороны, откинем первое число, а остальные 36 разобьем на 6 шестерок из подряд идущих чисел (сумма чисел в каждой из таких шестерок по условию равна 29); с другой стороны, откинем последнее число, а оставшиеся 36 разобьем на группы аналогично. Тогда сумма всех 37 чисел равна S=5+629=629+x, откуда x=5.

Ответ

Последнее число может быть равно только пяти.

7. Из десятизначного числа 2946835107 вычеркнули 5 цифр. Какое наибольшее число могло в результате этого получиться?

Подсказка

Выгоднее, чтобы в начале числа оставались большие цифры.

Решение

В результате вычеркивания остается некоторое пятизначное число. Если в числе 2946835107 не вычеркивать первую цифру, то полученное пятизначное число будет начинаться с двойки и, следовательно, будет меньше, чем 98517. Таким образом, первую цифру надо вычеркивать. Цифру 9 нужно оставлять, иначе в пятизначном числе первая цифра будет меньше, чем 9. Подобным образом продолжаем анализ: чтобы вторая цифра пятизначного числа была максимально возможной, нужно вычеркнуть цифры 4 и 6, а цифру 8 - оставить. Далее, нужно вычеркнуть цифру 3 (если ее оставить, пятизначное число будет иметь вид 983.., т. е. будет меньше, чем 98517). Остается вычеркнуть еще одну цифру, и легкая проверка показывает, что выгоднее всего вычеркнуть ноль.

Ответ

98517.00

8. 48 кузнецов должны подковать 60 лошадей. Какое наименьшее время они затратят на работу, если каждый кузнец тратит на 1 подкову 5 минут? (Лошадь не может стоять на двух ногах.)

Подсказка

Сначала решите задачу для четырёх кузнецов и пяти лошадей.

Решение

Задача состоит из двух частей: доказать, что за 25 минут управиться можно, и доказать, что быстрее выполнить работу нельзя. Начнём со второй части.

Всего у 60 лошадей 240 копыт. Если бы всю работу делал один кузнец, то ему бы потребовалось 240×5 = 1200 минут. Значит, 48 кузнецов никак не смогут выполнить всю работу быстрее, чем за 1200 : 48 = 25 минут.

Покажем теперь, как можно подковать всех лошадей за 25 минут. Разобьём кузнецов на 12 бригад по 4 кузнеца в каждой и выделим каждой бригаде по 5 лошадей. Каждая бригада сможет подковать ''своих'' лошадей за 25 минут следующим образом. Организуем конвейер, назначив каждого кузнеца ''ответственным'' за определённую ногу лошади.

Первые пять минут первый кузнец подковывает переднюю правую ногу первой лошади, второй - переднюю левую второй лошади, третий - заднюю правую третьей, четвёртый - заднюю левую четвёртой, а пятая лошадь отдыхает.

Затем сдвигаем лошадей ''по кругу''. Вторые пять минут первый кузнец подковывает переднюю правую ногу пятой лошади, второй - переднюю левую первой лошади, третий - заднюю правую второй, четвёртый - заднюю левую третьей, а четвёртая лошадь отдыхает.

Третьи пять минут первый кузнец подковывает переднюю правую ногу четвёртой лошади, второй - переднюю левую пятой лошади, третий - заднюю правую первой, четвёртый - заднюю левую второй, а третья лошадь отдыхает.

Продолжив работу по этой схеме, каждая бригада подкуёт ''своих'' лошадей за 25 минут, а, значит, 48 кузнецов подкуют 60 лошадей за 25 минут.

Ответ

25 минут.

9. Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел. Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?

Решение

Рассмотрим первую сотню натуральных чисел. Среди этих чисел десять квадратов (от 1 до 102 = 100) и четыре куба (от 1 до 43 = 64). Учтем, что два из этих чисел, а именно, 1 и 64 являются одновременно квадратами и кубами. Таким образом, из первой сотни вычеркнули 12 чисел. Среди следующих двенадцати чисел нет ни квадратов, ни кубов (112 = 121, 53 = 125), следовательно, среди оставшихся чисел на сотом месте стоит число 112.

Ответ

112.

10. На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?

Подсказка

Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".

Решение

В начале хранения в ягодах был 1% (т. е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т. е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2% - 1 кг, то 100% - 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.

Ответ

50 кг.

11. У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?

Решение

Первое решение. Во время разговора энергия аккумулятора расходуется в 210/6=35 раз быстрее, чем в то время, когда разговор не ведётся. Пусть Алёна проговорила X часов. Тогда энергии аккумулято - ра осталось на (6-X) часов разговора или на 35(6-X) часов ожидания. По условию это время также равно X часов ожидания, поэтому 35(6-X)=X, откуда X=356/36=35/6 часов, то есть 5 ч 50 мин. И, значит, вся поездка продолжалась 11 ч 40 мин.

Второе решение. Если бы Алёна говорила 2106 часов и молчала 2106 часов, то телефон бы полностью разрядился 210+6=216 раз. Так как на на самом деле телефон разрядился один раз, Алёна говорила 2106/216 часов и молчала 2106/216 часов, то есть ехала она 2(2106/216) часов. После сокращения получаем 11 часов 40 минут.

Примечание. Ответ в этой задаче является средним гармоническим чисел 6 и 210 (средним гармоническим чисел A и B называется число 2/((1/A)+(1/B))=2Ab/(A+b)).

Ответ

11 часов 40 минут.

12. На дне озера бьют ключи. Стадо из 183 слонов могло бы выпить озеро за 1 день, а стадо из 37 слонов - за 5 дней. За сколько дней выпьет озеро один слон?

Решение

Пусть объем озера a литров, ключи за день добавляют x литров, а слон за день выпивает p литров, за k дней 1 слон выпивает озеро, тогда можем составить систему уравнений

Из первых двух уравнений получаем 4x = 2p или p = 2x. Из первого и третьего уравнений имеем (k − 1) x = (k − 183) p или (k − 1) x = (k − 183) 2x, отсюда получим k = 365.

Замечание. Выпитое полностью озеро заполнится вновь за два года.

Задачи 9, 10, 11 класс

{C}1. Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31.

Решение

Общее число бананов в 2009 раз больше числа лимонов, которое в 2009 раз больше числа ананасов, следовательно, общее число фруктов в 20092 + 2009 + 1 раз больше числа ананасов. 20092 + 2009 + 1 ≡ (-6)2 - 6 + 1 ≡ 0 (mod 31).