Моделирование вероятностного распределения расходов в водопроводных сетях
Государственная акционерная компания
«Ўзбекистон темир йўллари»
Ташкентский институт инженеров железнодорожного транспорта
Бахрамов Нуъмон Умарходжаевич
Моделирование вероятностного распределения
расходов в водопроводных сетях
Магистерская диссертационная работа
по специальности 5А580402 - “Водоснабжение, канализация,
охрана и рациональное использование водных ресурсов”
Т О Ш К Е Н Т – 2010
О Г Л А В Л Е Н И Е
|
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………….
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ И ОБОБЩЕНИЕ СУЩЕСТВУЮЩИХ РЕЗУЛЬТАТОВ............................................................................................
|
4
9
|
|
1.1. Анализ ранее выполненных отечественных и зарубежных исследований по проблеме связанной с разработкой методов математического моделирования трубопроводных сетей……………………………………………………………………….
|
9
|
|
1.2. Определение ранее предложенных методов моделирования реальным условиям.………………………………………………………
|
13
|
|
1.3. Анализ существующих методов оптимизации инженерных сетей, описание их показателей…………………………………………..…….
|
22
|
|
1.4. Недостатки при учете вероятностного характера потребления воды……………………………………………..…………………………
|
31
|
|
1.5. Пути решения проблемы……………………………………………
|
34
|
|
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ…………
|
43
|
|
2.1. Проведение численных исследований с построением графиков и таблиц по выбору приемлемых моделей вероятностных процессов потребления воды………………………………………………………..
|
43
|
|
2.2. Моделирование случайного процесса изменения структуры инженерной сети………………………………………………………….
|
50
|
|
2.3. Имитационное моделирование инженерных сетей. Оценка точности математической модели……………........................................
2.4. Разработка и составление алгоритмов и программ имитационного моделирования…………………………………………………………...
Выводы……………………………………………………………………
|
59
75
83
|
|
ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ ………………………
|
84
|
|
3.1. Вероятностное потокораспределение при различных состояниях структуры сети…………………………………………………………..
|
84
|
|
3.2. Программное обеспечение расчета требуемых характеристик источников питания…………………………………………………….
|
89
|
|
3.3. Выводы ……………………………………………………………….
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ. ………………………………………………………
|
91
92
|
|
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………..
|
92
|
В Е Д Е Н И Е
Обеспечение всемерной экономии всех видов материальных и энергетических ресурсов, является основной задачей развития науки, техники и технологий в нашей стране, поставленной решениями Президента и Правительства Республики Узбекистан для преодоления Всемирного финансово-экономического кризиса [ 1 ].
Весьма актуальна эта задача и для трубопроводных инженерных сетей и систем тепло-, водо-, газоснабжения городов страны, протяженность которых и объемы транспортируемых целевых продуктов ( водо, тепло, газ) неуклонно возрастают с ростом освоения природных ресурсов и увеличением численности населения, что приводит к крупным затратам капитальных вложений и значительным расходам электроэнергии, достигающим в этих системах нескольких процентов суммарной выработки электроэнергии в Республике.
Эффективность проектных работ для создаваемых, расширяемых и реконструируемых трубопроводных инженерных сетей, а также эффективность оперативного управления их функционированием в условиях автоматизации технологических процессов в значительной мере зависят от достоверности используемых на всех этапах проектирования и эксплуатации математических моделей потокораспределения, являющихся базой для выработки различных управляющий воздействий в инженерных сетях, для их параметрической оптимизации. Несмотря на значительный прогресс отечественной науки, применяемые на практике модели потокораспределения имеют детерминированный характер, не позволяют учитывать одно из важнейших свойств сетей систем тепло-, водо-, газоснабжения-, вероятностный характер процессов потребления воды. В связи с этим используемые математические модели потокораспределения инженерных сетях принципиально не могут обеспечить получение результатов, полностью адекватных реальным условиям функционирования рассматриваемых систем.
Цель исследования заключается: в разработке имитационной модели потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях, обеспечивающей связь между параметрами вероятностных процессов потребления воды в узлах сети и параметрами функций распределения вероятности потоков в пассивных и активных элементах сетей.
Основным задачами проведенных исследований в диссертации явились:
1. Разработка имитационной модели в инженерных сетях, а также соответствующих алгоритмов и программ для ЭВМ.
2. Разработка алгоритмов и программ имитационного моделирования инженерных сетей в нормальных условиях и при отказах пассивных элементов схемы.
3. Проведение численных экспериментов для оценки сходимости результатов математического и имитационного моделирования стохастического потокораспределения при нормальных и аварийных состояниях пассивных элементов.
4. Оценка технико-экономической эффективности использования модели вероятностного потокораспределения, разработанных алгоритмов и программ при параметрической оптимизации инженерных сетей и определении характеристик активных элементов в практике проектирования.
В работы использованы следующие методы исследование: теория вероятностей, математическая статистика, теория линейных электрических сетей, математическое и имитационное моделирование, а также экономический анализ эффективности внедряемых разработок.
Научная новизна проведенных исследований заключается в построении имитационной модели потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях эффективной в широком диапазоне изменения многомерного случайного вектора нагрузок в узлах сети и обеспечивающей достоверное определение параметров функций распределения вероятности потоков в активных и пассивных элементах сети.
На базе полученной модели доказана путем численного эксперимента на ЭВМ сходимость получаемых результатов с результатами имитационного моделирования инженерных сетей.
Показана эффективность разработанной модели, соответствующих алгоритмов и комплекса программ для ЭВМ, значение критерия приведенных затрат при параметрической оптимизации инженерных сетей может быть снижено на 5-7% по сравнению с применяемыми на практике методами.
Доказана возможность получения на стадии проектирования эквивалентных гидравлических характеристик инженерных сетей в виде, соответствующем данным экспериментальных измерений давлений в узлах реальных сложных инженерных сетей.
Практическая ценность полученных результатов состоит в разработке программ для ЭВМ , с целью дальнейшего использования разработанных методов моделирования в практике проектных институтов.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы должны на конференциях по итогам научных работ магистров, проведенных в 2008-2010 годах в ТашИИТ.
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 2 опубликованных работах общим объемом 2,5 авторских листа.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, общего вывода и списка литературы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цели и задачи, определены научная новизна и практическая ценность работы.
В первой главе работы дан анализ ранее выполненных отечественных и зарубежных исследований по проблеме связанной с разработкой методов имитационного моделирования трубопроводных инженерных сетях, делается анализ для правильной оценки современного состояния теории в практики проектирования инженерной сети, рассматриваются основные условия их функционирования. В этой главе также рассматриваются соответствие предложенных ранее методов моделирования реальным условиям. При этом показывается что в существующих методах полностью игнорируется реальный вероятностный характер изменения нагрузок потребителей воды при определении значений установившегося потокораспределения с целью выработки воздействий на функционирование системы.
В этой главе также дается анализ существующих методов оптимизации инженерных сетей, описывается их недостатки при учете вероятностного характера потребленияводы, показываются их требования предъявляемые к моделям процесса потребления воды, применяемым при оперативном воздействии на инженерных сетей и при имитационном моделировании. В конце главы даны основные задачи исследований вытекающих из анализа существующих методов моделирования трубопроводных инженерных сетей.
Во второй главе рассмотрены вопросы по методике проведения исследования вероятностного моделирования случайных процессов изменения параметров окружающей среды, дан алгоритм моделирования процессов потребления целевого продукта предназначенных для использования в составе общего алгоритма имитационного моделирования вероятностного потокораспределения. Прежде всего отметим что наиболее приемлемой формой параметра, определяющего способ композиции функций, является его представление в виде суммы некоторых гармонических составляющих и остаточного случайного шума. На основе разработанного алгоритма составлена программа включенная в состав программы имитационного моделирования. Проведенный численный эксперимент показал, что все статические характеристики исходного и моделируемого процесса потребления воды практически совпадают. Далее в главе дан анализ моделирования случайного процесса изменения структуры инженерной сети, показываются пути применения методов для исследования надежности проектируемых сетей,
В третей экспериментальной главе показаны возможности использования математической модели вероятностного потокораспределения при различных состояниях структуры инженерной сети. Для правильного выбора характеристик активных источников следует найти такую функцию распределения вероятности требуемых давлений, насосных компрессорных станциях, которая сможет совокупно учесть и случайный характер изменения нагрузок в узлах, и случайные потоки отказов пассивных элементов. Далее в главе дан алгоритм и описание программы разработанной на основе учета различных состояний структуры сети, показаны возможности практического использования модели вероятностного потокораспределения при параметрической оптимизации инженерных сетей с учетом стохастического характера процесса потребления целевого продукта. Дан анализ и сопоставление различных существующих методов параметрической оптимизации, показываются, что существующие методы слабо учитывают реальный вероятностный характер потребления воды, обосновываются применение модели вероятностного потокораспределения при различных состояниях сети.
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ И ОБОБЩЕНИЕ СУЩЕСТВУЮЩИХ РЕЗУЛЬТАТОВ.
1.1. Анализ ранее выполненных отечественных и зарубежных исследований по проблеме связанной с разработкой методов математического моделирования трубопроводных сетей
С каждым годом возрастает роль и значение трубопроводных инженерных сетей в народном хозяйстве нашей республики. В этих условиях особенно важной становится задача разработки и внедрение в практику проектирования методов имитационного моделирования трубопроводных инженерных сетей обеспечивающих достаточно полный учет факторов, определяющих условия функционирования этих сетей, позволяющих находить оптимальные решения задач по выбору диаметров трубопроводов на отдельных участках сетей, определению параметров различных сооружений (насосных станций, компрессорных, аккумулирующих емкостей и т.п.), нахождению оптимальных режимов совместной работы всех сооружений и сетей.
Задачи имитационного моделирования трубопроводных инженерных сетей в различных постановках неоднократно становилась предметом изучения многих исследоватей [2, 3, 4, 5, 6]. В результате работ которых в настоящее время ряд моделей широко используется в практике проектирования и эксплуатации. Для правильной оценки современного теории и практики проектирования инженерных сетей рассмотрим основные условия их функционирования, определим соответствие предложенных ранее методов моделирования реальным условиям.
Основная цель функционирования инженерных сетей состоит в обеспечении потребителей некоторыми целевыми продуктами (вода, газ, тепло) [ 2 ], транспортируемом от источников и сооружений по его обработке. В работах А.Г.Евдокимова[ 7 ], при разработке моделей алгоритмов оперативного управления инженерными сетями введено разделение трубопроводных систем энергетики на подсистемы, включающие собственно инженерные сети и объекты окружающей среды, к которым относятся источники и потребители воды. Такое разделение весьма удобно и для целей настоящей работы, так как позволяет отдельно ставить и решать задачи имитационного моделирования подсистем, в которых возможно (или необходимо) управляемое изменение параметров элементов (сети), и подсистем, для которых управляющие воздействия невозможны (окружающая среда) и требуется лишь адекватное их описание, с целью определения наиболее характерных показателей, подлежащих нормированию.
Инженерную сеть (ИС) можно представить в виде двойки
= ( М, Rq ), (1.1)
Где М - множество элементов; Rq - отношение доминирующего порядка при X, Y, Z М. Причём среди М можно выделить max элемент Xo (корень дерева). При сравнении элементов берут за основу включение в с … >q, доминированием, где >q - соотношение строгого порядка.
В общем виде инженерную сеть можно представить в виде
= (, S( t ), B, E ), (1.2)
где – элемент ИС; S( t ) - структура ИС; B- поведение (состояние) ИС; E - фактор среды.
Инженерную сеть, как сложную систему, можно представить также и в виде автомата (пятерки)
= ( x, G, S, , ) (1.3)
Где x – вход системы; G - выход; S - состояние; - функция перехода из одного состояния Si в другое Si+1; – функция выходов.
Поведение (состояние) представляется в виде
S t = f ( St-1, Gt, Xt ) (1.4)
Любая трубопроводная инженерная сеть описывается [ 7 ] некоторым оператором F , связывающим входные ( X ) и выходные ( Y ) перемененные, каждая из которых задается вектором с размерностью, зависящей от количества выходов (точек подачи целевого продукта в сеть) и входов (точек передачи продукта в сеть) и входов (точек передачи продукта потребителям). Оператор F для функционирующей системы в различные моменты времени ( t ) определяется структурой инженерной сети – S( t ) и ее параметрами s(t). При этом следует различать активные и пассивные элементы сети – к первым относятся источники расхода и давления целевого продукта, вторым являются участки (линии) сети. В реальных условиях для большинства видов трубопроводных инженерных сетей характерно то, что вектор входных переменных инженерных сетей характерно то, что вектор входных переменных X, а также структура сети S( t ) не являются детерминированными – их изменение носит характер случайного процесса.
Для вектора входных переменных X вероятностный характер является вполне очевидным, так как в различные моменты времени изменяются (в дольно значительных пределах) метеорологические условия, состав потребителей, потребность каждого из потребителей в целевом продукте, условия потребления (например, давления в сетях водоснабжения перед водозаборными устройствами, что некоторые факторы изменяются циклично воды). В связи с тем, что некоторые факторы изменяются циклично (так как определяются суточным и недельным ритмом деятельности человека), а также в связи с тем, что число потребителей непрерывно увеличивается (новое строительство зданий и сооружений) параметры вектора Х в общем случае определяются нестационарным случайным процессом [ 4, 8, 9 ]. Кроме того, и структура инженерной сети S(t), построенной из элементов характеризующихся различными параметрами надежности функционирования, в каждый момент времени различна и в общем случае может быть описана вероятностным процессом, параметры которого зависят от потоков (интенсивностей) отказов и восстановлений различных элементов.
Таким образом, и вектор выходных переменных системы Y = F [X, S ( t ) ] является случайным, то есть режимные параметры (подача целевого продукта, давление на источниках питания) могут быть в отдельные моменты времени определены лишь с некоторой вероятностью. При этом для задач оперативного управления функционированием трубопроводных инженерных сетей необходимо иметь адаптивные (изменяющиеся в процессе управления) алгоритмы построения оператора F, так, чтобы различие между прогнозом Y и его текущим значением Y было наименьшим [ 9 ]. Для задач проектирования, то есть задач управления развитием систем и определения некоторого требуемого набора активных и пассивных элементов сетей, весьма важной является проблема нахождения функций распределения вероятности параметров вектора Y и подбора оборудования (в том числе трубопроводов определенных диаметров), соответствующего этим функциям.
Дополнительные трудности разработки методов имитационного моделирования инженерных сетей связаны с тем, что в реальных условиях очень сложно организовать проведение экспериментального изучения условий и параметров их функционирования. Практически возможными являются лишь одновременные замеры параметров вектора Y (число выходов системы ограничено) и отдельных составляющих вектора X, так как в современных системах число входов может достигать нескольких тысяч. Весьма сложным является наблюдение за структурой системы, особенно в части состояний пассивных элементов, число которых в 1,5-2 раз [ 2 ] превышено временное измерение значений последовательной (расход целевого продукта) и параллельной (потеря давления) переменной для всех пассивных (участки трубопроводов) элементов системы. Сложность разработки имитационных моделей связана и с тем, что в полном виде данные о структуре инженерных сети S не используются в проектной практике, здесь применяют так называемые «расчетные схемы», структура которых значительно упрощена по сравнению с реальной сетью. В расчетные схемы включается лишь до 15-30% общего числа пассивных элементов, при этом для каждого из них с целью получения адекватной модели проходится использовать не реальные параметры, а некоторые условные, найденные при решении задач идентификации модели инженерной сети [ 2, 10, 11 ]. В связи с этом, даже в случае выполнения каких либо экспериментов на инженерной сети получаемые данные используются весьма ограничено.
1.2. Определение ранее предложенных методов моделирования реальным условиям
Указанные выше особенности трубопроводных инженерных сетей позволяют перейти к анализу и оценке имеющихся методов их математического моделирования, при этом с позиций темы настоящей работы основной вопрос заключается в соответствии моделей реальным вероятностным условиям функционирования систем водо,-тепло, -газоснабжения городов и населенных пунктов.
Трубопроводная инженерная сеть состоит из совокупности ветвей (участки трубопроводов между узлами) и узловых точек (точки подачи или потребления целевого продукта, а также любые другие точки соединения ветвей), связанных между собой и отображающих любые плоские или пространственные схемы движения жидкости или газа. Сеть содержит I = 1, 2, … р ветвей и j = 1, 2, … n узлов, при этом сеть имеет контуров. В топологическом отношении трубопроводные инженерные сети похожи на электрические [ 10 ]. Здесь также полезно использование теории графов [ 11 ], в соответствии с которой между числом ветвей, узлов и линейно независимых контуров имеется соотношение – n – 1 + k – p.
Основой всех математических моделей потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях являются два линейных сетевых закона Кирхгофа [2, 12, 13 ]. В соответствии с первым из них в каждом – j ом узле должен соблюдаться материальный баланс транспортируемого воды.
qi = Qi , j = 1, 2, . . . n ( 1.5 )
В (1.1.) суммирование ведется по всем ветвям с расходами, примыкающим к данному j – oму узлу, в котором потребление продукта (нагрузка) равна Qj. Для узлов поступления целевого продукта в сеть в (1.5 ) нагрузка берется со знаком «минус». Если узел j является только точкой ветвления потоков, то Qj = 0.
Второй закон Кирхгофа для трубопроводных инженерных сетей приводит к линейному уравнению.
= hi = 0, ( 1.6 )
где i - номер линии; k - номер любого замкнутого контура, выделенного в сети.
В соответствии с ( 1.6) сумма потерь напора в трубопроводах каждого из независимых контуров сети должна равняться нулю.
Вводя первую и вторую матрицу инценденций [2. 10. 11 ] уравнения ( 1.5 ) и ( 1.6) можно записать в матричном виде
Aq = Q; Bh = 0, (1.7)
где A– матрица размерности p(n-1), элементы которой равны + 1,-1 или 0 B - матрица размерности, элементы которой также равны + 1 , -1 или 0.
При составлении матриц и необходимо соблюдать некоторые простые правила [ 2,13 ]. Структура этих матриц полностью характеризует инженерную сеть любой сложности.
Для замыкания систем уравнений ( 1,5 ) и ( 1.6 ) или ( 1.7 ) необходимо записать уравнение связи между последовательной и параллельной переменными, т.е. между величиной потока и потерей напора для любого элемента системы. Во многих случаях трубопроводных инженерных сетей [ 2,3,14 ], имеем
h = S (1.8)
где: S – коэффициент сопротивления; r - постоянная (для сетей тепло-, водо-, газоснабжения низкого и среднего давления r 2).
Нелинейность уравнения ( 1.8 ) является основным затруднением при разработке алгоритмов расчета потокораспределения в инженерных сетях. Если бы ( 1.8 ) было линейным уравнением, то при математическом моделировании трубопроводных сетей можно было бы полностью использовать хорошо развитый аппарат анализа электрических распределительных сетей [ 15, 16 ].
Уравнение ( 1,8 ) относится только к пассивным элементам инженерных сетей при отсутствии в них дополнительных источников давления. Если учесть эти источники (бустерные станции подкачки, компрессные станции, дроссели и т.п.), то с учетом ( 1.8 ) система уравнений ( 1.7 ) принимает вид [ 17 ]:
Aq = 0
BSqq= BH, (1.9)
Где S и q – диагональные матриц размерности p x p; q – матрица-столбец потоков по участкам сети; Н- матрица столбец активных давлений.
Система ( 1.9 ) является математической моделью трубопроводной инженерной сети, записанной в так называемом контурном виде [ 15 ]. Другая (эквивалентная) модель потокораспределения записывается в виде узловых уравнение [ 14, 16 ]:
Aq = Q h = AtP h + H = Sqq , (1.10)
где A – дополненная одним узлом матрица A (дополнительным узлом является узел, где ( 1.1 ) превращается в тождестве, т.е. балансирующий узел сети);
Р – матрица – столбец давлений во всех узлах сети;
t - знак транспонирования.
В настоящее время известно большое число различных методов решения систем уравнения ( 1.5 ) и ( 1.6 ) [ 7,8,10 ] нашедших достаточно широкое использование в практике проектирования и эксплуатации инженерных сетей.
Все методы расчета потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях могут быть разделении на две большие уравнений ( 1.5 ) и (1.6), а также методы экстремального подхода, базирующиеся на поиске экстремума некоторой специальной функции состояния системы с учетом связей, являющихся следствием одного первого или второго из законов Кирхгофа [ 15,16 ]. Ко второй группе относятся и методы, основанные на применении принципов нелинейного программирования [ 17, 18 ].
В первой группе методов расчета установившегося потокораспределения основной путь решения состоит в последовательном улучшении некоторого, заданного произвольно или по какому-либо алгоритму, потокораспределения таким образом, чтобы на каждом шаге итерационного процесса происходило уменьшение невязок решаемой системы уравнений. При этом, если начальное потокораспределение задается, исходя из первого закона Кирхгофа баланс нагрузок в узлах, приходим к тому или иному варианту метода контурных расходов, по сути аналогичного методу контурных токов для линейных электрических сетей [ 14, 16 ]. При задании потокораспределения в виде давление в узлах сети [ 2, 10 ] получаем метод узловых давление, аналогичный методу узловых напряжений [17,20 ]. В любом случае необходимо на каждом шаге «увязочного» процесса расчета установившегося потокораспределения решать систему нелинейных уравнений, размерность которой велика для больших инженерных сетей, насчитывающих до 1000-1500 узлов (наименьшая размерность систем уравнений получается в методах контурных расходов –K x K, где K– число независимых контуров).
Исторически проблемы расчета установившегося потокораспределения в инженерных сетях сводились к решению двух вопросов – ускорению счета и доказательству безусловной сходимости процесса к единственному существующему решению. Второй из вопросов можно считать решенным в результате работ Евдокимова А.Г. [ 3 ], решение первого продолжает быть в значительной мере актуальным и сегодня. Основные направления исследований и разработок в этой области заключаются в алгоритмическом учеты и использовании свойств малой заполненности матриц коэффициентов решаемых уравнений [ 17 ], а также в обеспеченны возможности решения так называемых гибридных уравнений, получающихся в тех случаях, когда потокораспределение необходимо задавать в виде фиксированных потоков по отдельным ветвям схемы, а также давлений в некоторых ее узлах [ 17,18 ].
Для целей настоящей работы, не останавливаясь на глубоком теоретическом анализе достоинств и недостатков большого числа детерминированных методов расчета установившегося потокораспределения, необходимо подчеркнуть два, общих для всех существующих математических моделей и алгоритмов расчета, свойства, состоящих в том, что, во-первых, большая размерность решаемых систем уравнений приводит к достаточно большим затратам машинного времени, а во вторых все методы могут быть использованы только при детерминированном задании нагрузок в узлах (одним числом для каждого узла). При этом обязательным условием является равенство суммарной нагрузки системы тепо-, водо-, газоснабжение сумме нагрузок во всех ее узлах. Указанные свойства существующих моделей установившегося потокораспределения, алгоритмов и программ его расчета на ЭВМ приводят к ряду существенных противоречий между потребностями практики управления потокораспределением в трубопроводных инженерных сетях и существующей их теорией [ 15,16 ].
Прежде всего отметим, что в настоящее время общепризнанным является стохастический характер процессов потребления воды в рассматриваемых системах [ 4 ]. Это значит, что любая измеренная или принятая для конкретного потребителя узла расчетной схемы инженерной сети нагрузка характеризуется некоторой вероятностью ее появления в течение анализируемого периода работы системы (обычно – год). Наиболее полно вероятностный характер потребления воды учитываются при его моделировании нестационарным случайным процессом [ 4, 10 ], но практически полезные результаты в ряде случаев могут быть получены и при рассмотрении нагрузок (величин потребления целевого продукта за какой-либо интервал времени – секунда, минута, час) в качестве случайных величин [ 20 ].
При этом, конечно, теряется весьма важная информация о корреляционных связах между вариацией нагрузок в различных временных сечениях процесса потребления воды, а в качестве важнейших характеристик функций распределения вероятности тех или иных нагрузок используются лишь два первых центральных момента – математическое ожидание и дисперсия нагрузок. Более подробно эти вопросы рассмотрены в разделе настоящей работы, а здесь укажем лишь на то, что в ряде случаев признание вероятностного характера процесса потребления воды приводит к парадоксальным ситуациям и невозможности непосредственного использования существующих математических моделей установившегося потокораспределения.
Так например, в СНиП 02.04.02-97 «Водоснабжение. Наружные сети и сооружения», в отличие от ранее использовавшихся нормативов, введена зависимость величины расчетных нагрузок от численности населения. При этом учтен тот объективный [ 6 ] факт, что по мере увеличения объектов водоснабжения (увеличения численности населения) происходит уменьшение дисперсии функции распределения вероятности нагрузок. Поскольку расчетные максимальные нагрузки должны иметь малую вероятность превышения (или высокую вероятность непревышения, т.е.обеспеченность [ 18 ], они определяются при допущении нормальности закона распределения в виде:
Qp = M(Q) + t D(Q), (1.11)
где Qp - расчетная нагрузка; M(Q) и D(Q) – математическое ожидание и дисперсия; t - параметр стандартизированного нормального распределения; t = 2,5- 3.
Применяя (1.11) к различным потребителям и к сумме всех потребителей, автоматически приходим к
Qpj(n) Qpn , (1.12)
где Qpj(n) – расчетная нагрузка в j – ом узле с численностью населения – n; Qpn - расчетная нагрузка для всей системы при N = n;
Неравенство ( 1.12 ) вызвано тем, что нет никаких оснований применять различные t в ( 1.11 ) для различных потребителей (поэтому t = const для всех узлов сети), а при определении параметров функции распределения общей нагрузки системы простое суммирование допустимо лишь для M(Qj). Для преодоления указанного противоречия имеются лишь предложения [ 6, 11 ]. которые по сути затушевывают его а не устраняют. Так, в [ 16 ] предложено ввести расчет потокораспределения, приняв условно, что общая нагрузка равна сумме нагрузок в узлах и при этом, вместо фактических коэффициентов гидравлического сопротивления отдельных ветвей S использовать фиктивные S = kS, где k определяется так, чтобы ( 1.8 ) из неравенства превратить в равенство. Однако, в [ 6 ] нет ни обоснований такого достаточно произвольного решения, ни оценки его последствий с позиций совпадения найденных потерь напора в сети с реально возможными.
В целом надо отметить, что любая используемая модель потокораспределения приводит сегодня к тому, что величина требуемого давления ( Hнс.) на насосных станциях источников питания инженерных сетей при различных общих нагрузках в сети (Q) описывается выражением
Н н.с = Нг + S экв (Q) (1.13)
где Нг – геометрическая высота подъема ЦП; Sэкв - эквивалентное гидравлическое сопротивление системы.
рис.1.1.
Вид диаграммы рассеивания данных наблюдений по потерям напора в водопроводных сетях;
1 – поле множества событий в течение всего цикла водопотребления;
2 – подмножества событий в часы средних и максимальных расходов
в период активного водозабора;
3 – подмножество событий в часы минимальных ночных расходов.
На рис приведен график зависимости (1.13), а также показаны экспериментальные данные [ 20 ], полученные измерением разности давлений на источнике питания и в одном из узлов действующей крупной системы водоснабжения. Анализ рис.1.1 показывает, что величина требуемого давления Н н.с. не зависит однозначно от Q и для каждого значения общей нагрузки может быть получена функция распределения Н н.с. с достаточно большей дисперсией.
В рамках существующих моделей потокораспределения это обстоятельство не может быть учтено и, в связи с этим, актуальной задачей является разработка математической модели стохастического потокораспределения, цель которой обеспечить удовлетворительное совпадение результатов расчета потокораспределения при случайных нагрузках в узлах сети с экспериментальными данными рис 1.1.
Другой недостаток существующих моделей установившегося потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях связан с тем, что для ряда реальных задач эксплуатации требуется проведение большого числа расчетов при фиксированных значениях ППЦП в узлах сети и различных сочетаниях нагрузок нескольких насосных станций, питающих общую сеть. Такая задача возникает при выборе оптимального по энергозатратам режима работы активных элементов схемы сети источники в условиях автоматизации технологическими процессами в инженерных сетях [ 12, 14 ]. При этом, для выбора оптимального режима может потребоваться порядка сотен расчетов потокораспределения, но из-за достаточно большой продолжительность каждого из расчетов для больших инженерных сетей*), общее время счета значительно возрастает и выбор режима существенно отстает от того момента, когда он необходим. Это приводит к снижению эффективности автоматизации требует перехода к моделям потокораспределения имеющим, возможно, более низкую точность, но значительно превосходящим существующие модели по времени счета.
И, наконец, необходимо отметить, что актуальность разработки моделей стохастического потокораспределения прямо вытекает из потребностей современных алгоритмов оптимального управления режимами функционирования инженерных сетей. Так, Евдокимовым А.Г. [ 15 ] доказано, что в качестве критерия оптимальности системы управления водопроводными распределительными сетями необходимо рассматривать скалярную величину дисперсии свободных напоров в узлах сети, которая связана с эксплуатационными затратами. Очевидно, что для принятия правильных решений, как в случае оперативного управления, так и в случае управления развитием сети необходимо иметь достаточно простые и достоверные алгоритмы вычисления дисперсии узловых напоров в зависимости от параметров функций распределения ППЦП и состояний структуры сети. Именно создание таких алгоритмов и должно стать основной задачей настоящей работы.
1.3. Анализ существующих методов оптимизации инженерных сетей, описание их показателей
Значительный объем строительства различных видов трубопроводных
_____________________________________________________________
*) Даже использую найденное при одних нагрузках источников потокораспределение в качестве хорошего начального приближения при другом сочетании нагрузок, время счета практически может быть другом сочетании нагрузок, время счета практически может быть снижено в несколько раз и иметь порядка десятка секунд, что также велико.
инженерных сетей в нашей стране ставит в ряд наиболее актуальных задачу оптимального управления их развитием, которая в литературе [ 15,16 ] часто называется задачей технико-экономического расчета сетей на стадии проектирования. Даже небольшое (на 5-10%) снижение величины приведенных затрат на строительство и эксплуатацию систем тепло-, водо-, газоснабжения в масштабах всей страны может привести к крупному народно-хозяйственному эффекту.
При проектировании инженерных сетей возникают задачи структурной и параметрической оптимизации [42,43]. Первая из них сводится к определению ряда структурных параметров – трассировки сети, выбор места расположения бустерных насосных станций, дросселей, компрессоров и т.п., а при решении второй по заданной структуре необходимо определить многомерный вектор параметров каждого из активных и пассивных элементов, включенных в структуру. Реально, сочетая какую-либо последовательность выбора различных структур и, проводя параметрическую оптимизацию, для каждой из них можно найти оптимальное инженерное решение сети, выбирая один или несколько [ 43 ] критериев оптимизации. Следует отметить, что в ряде случаев из-за противоречивости критерии оптимизации (например, критерий максимальной надежности в принципе противоречить критерию минимальных капитальных вложений), возникают задачи многокритериальной оптимизации, для решения которых предложен ряд методов [ 40 ], но требуется продолжение исследований и разработок, широкое внедрение их в практику проектирования и эксплуатации инженерных сетей.
Поскольку в настоящей работе основное внимание уделяется вопросам учета вероятностного характера процесса потребления воды и их влияния на модели потокораспределения и алгоритмы его расчета, ниже анализируются только существующие методы параметрической оптимизации на примере сетей систем водоснабжения [ 53,61 ].
Если в качестве критерия оптимальности принять приведенные затраты на строительство и эксплуатацию инженерной сети (W) за расчетный срок окупаемости капитальных вложений (t) то этот критерий может быть записан в виде (1.14)
где – норма амортизационных отчислений;
Di, Li – диаметр и длина каждого i– го участка расчетной схемы сети;
E= – коэффициент эффективности капитальных вложений;
A+b– эмпирическая формула удельной (на единицу длины)
строительной стоимости для участков трубопроводов;
Ho – пьезометрическая отметка диктующей точки сети, в которой
должен быть обеспечен требуемый свободный напор;
Qj – расчетная нагрузка j– ой насосной станции;
– суммарная потеря напора в участках i = € R сети, входящих в любой R путь, по графу сети соединяющий источник и диктующую
точку сети;
– коэффициент, зависящий от конкретных условий системы [ 2 ] - стоимости электроэнергии, удельных затрат на строительство
насосных станций и т.п.
Если в ( 1.14 ), где основной переменной является вектор диаметров участков сети, принимается непрерывная дифференцируемая зависимость, то приходим к так называемым точным методам технико - экономического расчета водопроводных сетей [ 18 ], если D – дискретны, то возникают задачи дискретного нелинейного математического программирования. В любом случае поиск минимального значения критерия происходит с учетом дополнительных ограничений, обусловленных тем, что второй член ( 1.10 ) может включать только те значения, которые удовлетворяют законом Кирхгофа для сети. Таким образом, решение задачи параметрической оптимизации всегда тесно связано с задачей расчета установившегося потокораспределения.
Один из традиционных путей минимизации W в (1.14 ) состоит в переходе к функции:
F=W+….. , (1.15)
где – заданные ограничения (уравнения законов Кирхгофа);
– неопределенные множители Лагранжа.
Поскольку в (1.11) принята непрерывная зависимость то дифференцирование (1.11) и приравниванием производных к нулю, можно найти. При этом размерность задачи снижается благодаря известной связи между величиной потерь напора в участке сети hi и его диаметром Di[2 ].
Результат решения ( 1.11 ) может быть получен в виде:
(1.16)
где qi – расчетное значение потока по i – му участку сети;
Di – диаметр трубопровода на i –oм участке сети;
– показатель степени при диаметре и потоке в формуле определения потерь напора hi:
hi=, m = 5.3, = 2
– показатель степени при Di в формуле ( 1.14 );
– общая расчетная нагрузка системы (сумма нагрузок в узлах, общее
число которых равно );
Xi – коэффициент, учитывающий роль – го участка сети в затратах энергии
(требуемое на источниках питания) на транспортировку воды;
Э – экономической фактор [ 2 ].
При обичных для систем водоснабжения значениях коэффициентов , , показатель при qi в (1.16 ) равен 0,42. а при члене квадратных скобках – 0,14. Если параметрическая оптимизация ведется при заданном потокораспределении, то есть в ( 1.16 ) известны, то диаметр определяется значениями Э и Xi. Коэффициенты Xi носят название фиктивных расходов [ 2 ] и их суть состоит в том, что будучи определены по метода [ 12 ], они обеспечивают соблюдение требований второго закона Кирхгофа при нахождении Di из ( 1.11 ). Методика определения Xi достаточно подробно обоснована в работах ( 2 ). В соответствии с [ 2,15, 18 ] его значение вычисляется по формуле
(1.17)
где k, m - см. ( 1.12 ); b, , , E- см. ( 1.14 );
- стоимость электроэнергии; - КПД насосных станций;
- коэффициент неравномерности расходования энергии на
транспортировку воды.
Таким образом, экономический фактор (1.17) комплексно учитывает целый ряд экономических параметров проектируемой инженерной сети, параметры гидравлических характеристик системы и, что в нашем случае особенно важно, в некоторой мере учитывает неравномерность потребления целевого продукта во времени.
Учитывая, что определение Xi зачастую достаточно сложно, в ряде исследований отмечалось, что принимая,
т.е. приводя ( 1.12 ) к виду
D, (1.18)
можно получить решение весьма близкое к точному решению ( 1.15 ). Это связано с необходимостью на последнем этапе решения выбирать дискретные значения Di , принимая их равным стандартным диаметрам трубопроводов, выпускаемым промышленностью. Для использования ( 1.18 ) составлены таблицы так называемых предельных экономических расходов, и параметрическая оптимизация сводится при этом к выбору из этих таблиц Di при известном значении Э.
Следует отметим, что использование ( 1.18 ) приводит по сути к рассмотрению каждого из участков трубопроводов как работающего изолировано от всей остальной сети. При этом существенно, что в ( 1.17 ) принимается значение коэффициента , отражающее лишь неравномерность потребления целевого продукта, в целом, по всей системе водоснабжения. В то же время, очевидно, что каждой участок сети работает с неравномерностью, отличной от неравномерности системы. Поэтому возникает задача уточнения значений для каждого из участков при определении Di по (1.16 ) или (1.18 ), т.е. необходимо иметь алгоритм определения для каждого этапа развития сети и всего расчетного срока службы в целом. Такой алгоритм позволит находить оптимальные управляющие воздействия при рассмотрении задач реконструкции и расширения сетей.
Какие факторы влияют на значение коэффициента и как можно связать его значение с показателями вероятностного процесса водопотребления? Отметим, что введение коэффициента связано с необходимостью проведения параметрической оптимизации при одном из возможных значений нагрузок и, поскольку это нагрузки, имеющие малую вероятность появления, требуется обобщение данных расчета одного из маловероятных частных режимов функционирования системы и получение такого интегрального показателя, как суммарные годовые затраты электроэнергии на всех насосных станциях системы. Именно для этого перехода требуются и используются коэффициенты [ 18 ].
Поскольку связ между нагрузками инженерной сети и требуемым напором источников ее питания является нелинейной, а правильное интегрирование затрат в настоящее время невозможно из-за игнорирования вероятностного характера процесса водопотребления, имеются предложения [ 2 ] о весьма приближенном определении для систем водоснабжения. В принципе, согласно определению [ 2, 15 ] коэффициент является отношением затрат энергии, полученных при значениях нагрузок в узлах равных расчетным, к средним за год затратам энергии. Тогда простым умножением затрат энергии при расчетных нагрузках на коэффициент и на затрат энергии при расчетных нагрузках на коэффициент и на время работы системы можно получить оценку суммарных затрат энергии. Но реальные рекомендации по значениям коэффициентом базируются на работах Н.Н.Абрамова, который считал [ 2 ], что «действительно потребленная энергия за расчетный срок равна энергии, определенной по среднему за расчетный срок расходу, соответствующему режиму среднего водопотребления», т.е.при нагрузках в узлах, равных их математическому ожиданию. В то же время, понимая малую достоверность такого предложения, Н.Н.Абрамов пишет [ 2 ]: «…в общем случае коэффициент неравномерности расходования должен находиться в результате… расчета системы при различных режимах ее работы», что и определяет необходимость разработки таких моделей стохастического потокораспределения, которые обеспечат нахождение указанных коэффициентов для каждого пассивного элемента участка трубопровода инженерной сети.
Большая роль коэффициентов отмечалась в работах Вербицкого А.С. [ 18 ], показавшего, что значения этого коэффициента сильно зависят от неравномерности процесса потребления воды и давшего формулу для изолированного трубопровода
(1.19)
где K=- отношение нагрузки, с 98%-й обеспеченностью (вероятностью
непревышения 0,98) к средней за год нагрузке j– го потребителя (узла сети).
В то же время, Вербицким А.С. было показано, что коэффициент вариации для процессов потребления воды в инженерных сетях с погрешностью не более 5-7% может быть вычислен по формуле
, ( 1.20)
т.е., связывая (1.15 ) и (1.16 ) можно получить
, ( 1.21)
где L- основание натуральных логарифмов.
Формула (1.17) верна только для случая, когда целевой продукт подается по одному трубопроводу к потребителю, у которого процесс потребления воды характеризуется некоторым значением Vqj.
В соответствии с имеющимися рекомендациями принимается равным 0,4 - 0,7 и постоянным для всей инженерной сети в целом. Также и таблицы экономических расходов и скоростей потока [ 2,3 ] составлены для , что в соответствии с ( 1.15 ) справедливо только при, т.е. для крупных систем и водоводов. Участки магистральных сетей и сетей, подводящих целевой продукт к узлам потребления, работают в режимах с и более [ 6,10 ]. Принимая постоянными все параметры (кроме), от которых зависит экономический фактор по (1.13 ), и используя ( 1.14 ), запишем
, (1.22)
где - отношение диаметров участка сети, определенных при постоянном значении (не зависящем от K) и по (1.19 ).
При K = 2 расчет по (1.22 ) показывает, что принимаемым диаметры на 15% превышают оптимальные. Это говорит о возможности существенной экономии приведенных затрат и металла в том. Случае, если будет найден метод определения для каждого участка инженерной сети. Учитывая (1.17 ) можно утверждать, что решение такой задачи возможно, если математическая модель функций распределения вероятности потоков для всех участков сети. Имея данные о математическом ожидании потока по линии и его дисперсии, легко определить коэффициент вариации Vqj, по ( 1.17 ) найти i и, наконец, по (1.14 ) - Di.
Изложенные соображения о необходимости учета вероятностного характера процесса потребления воды при параметрической оптимизации следует распространить на рекомендуемые методы математического программирования [18 ], каждый из которых также оперирует с постоянными для всех пассивных элементов инженерной сети значениями коэффициентов. Следует отметить, что постановка в настоящей работе задачи об определении для каждого участка сети не ведет к отрицанию или пересмотру существующих методов параметрической оптимизации, но может обеспечить повышение их эффективности, приближение к реальным условиям функционирования трубопроводных инженерных сетей.
1.4. Недостатки при учете вероятностного характера потребления воды
Следует работам Евдокимова А.Г. [ ], выше были выделены подсистемы собственно инженерных сетей и окружающей среды, при этом отмечено, что если в подсистеме сетей возможны те или иные управляющие воздействия, вырабатываемые среды воздействия невозможны и, здесь, требуется лишь получение адекватных имитационных моделей , описывающих происходящие в этой подсистеме процессы.
В соответствии с такой классификацией следует рассмотреть существующие математические модели вероятностных потоков требований потребителей на получение нужного количества воды, то есть модели процессов потребления воды, а также модели потоков отказов (аварий) пассивных элементов инженерных сетей, приводящих к непрерывному случайному изменению структуры инженерной сети S(t).
Прежде всего отметим, что в принципе возможно достаточно большое число математических моделей процессов потребления воды, однако их объективный анализ возможен только при совместном рассмотрении с теми конкретными задачами проектирования или эксплуатации инженерных сетей, для решения которых предполагается использование той или иной модели. Это связано с тем, требования к информации об изменениях нагрузок потребителей значительно отличаются на стадиях их проектирования и эксплуатации. Если в первом случае необходимо, чтобы число параметров модели было минимально, чтобы было возможно экспериментальное изучение этих параметров и их последующее нормирование, то во втором случае (при эксплуатации инженерной сети) в условиях автоматизированного функционирования имитационная модель может быть значительно сложнее, должна по возможности учитывать конкретные особенности каждого объекта. Кроме того, для проектирования модель должна отражать совокупность черт процесса потребления воды на достаточно больших интервалах времени (год), а для условий эксплуатации обеспечивать минимальную погрешность краткосрочного прогноза потребления воды за час, сутки, неделю. Для ряда проектных задач безразлична последовательность появления нагрузок различной величины (например, для расчета такого интегрального показателя, как годовые затраты электроэнергии на транспортировку целевого продукта), а для задач эксплуатации и оперативного управления функционированием инженерных сетей, кроме значения ожидаемых нагрузок, необходимо знать и время их появления, то есть необходим прогноз всего суточного графика нагрузок (например, часовых расходов воды, тепла или газа).
Собственно сам характер процесса потребления предопределяет возможность различных способов анализа. Если рассматривать каждую фактическую зарегистрированную нагрузку как случайную величину, то приходим к необходимости построения и аппроксимации эмпирических функций распределения вероятности; если рассматривать суточный график нагрузок как одну из возможных реализаций вероятностного потребления воды, то возникает необходимость построения адекватных моделей нестационарных случайных процессов [15,16]. Конечно, при игнорировании корреляционных связей между различными временными сечениями процесса (если нагрузки представляются только как случайные величины) теряется достаточно важная информация о процессе потребления воды, но простота моделей, возможность представления результатов в той форме, в которой они могут быть включены в имеющиеся математические модели потокораспределения, предопределяют широкое использование таких моделей на практике [11, 12].
Традиционно расчетные (максимальные, минимальные) часовые нагрузки инженерных сетей представляются в виде произведений средних нагрузок (средних за год или за сутки максимального потребления целевого продукта) на так называемые коэффициенты неравномерности потребления - К. При этом, одним из важнейших является вопрос нормирования обеспеченности (вероятности непревышения) значений этих коэффициентов и, следовательно, самих нагрузок. Несмотря на значительное число исследований процесса потребления воды в различных типах инженерных сетей [6,18] , вопрос обес печенности сегодня по-прежнему не имеет обоснованного решения ни в нашей стране, ни за рубежом. Как правило, ограничиваются указанием на то, что обеспеченность расчетных максимальных на грузок должна быть достаточно велика и принимают значения параметра t в (I.7) равным 2,5-3,0. Такое положение связано с тем, что при существующем уровне теории надежности больших систем энергетики (именно к ним относятся системы тепло-, водо-, газоснабжения городов) невозможно связать между собой применяемое значение параметра t в (I.7) и значение какого-либо показателя надежности. Учитывая, что практически невозмо жно установить величину ущерба от недоподачи коммунально-быто вым потребителям некоторого количества целевого продукта, по лучение указанной связи вряд ли возможно и в ближайшей перспек тиве.
1.5. Пути решения проблемы
Поэтому более правильным, отражающим суть реальных процессов потребления воды, представляются предложения [28] о нормировании параметров функций распределения нагрузок инженерных сетей. Несмотря на то, что эмпирические функции распределения, как правило, бимодаль ны, в работах Вербицкого А.С. показано, что все же возможна их аппроксимация нормальным законом. При этом, в [2,28] установлено, что в зоне максимальных нагрузок (концевые статиcтики) приближение нормальным законом достаточно хорошее, а погрешности такой аппроксимации в области малых нагрузок не имеют принципи ального значения при решении ряда конкретных задач проектирования - определение параметров суммарных распределений для группы объектов по данным о параметрах индивидуальных распределений для каждого объекта, определение затрат энергии на транспортировку воды в системах водоснабжения и др.
В связи с этим, для систем водоснабжения при экспериментальном изучении фактического водопотребления населением [1, 19, 28] были установлены значения достаточно точных оценок и тематичес кого ожидания нагрузок в течение года и их дисперсии установ лена зависимость этих показателей от основных влияющих факторов - степени благоустройства жилищного фонда, климатических условий: (для математического ожидания), удельных (л/сут.чел.) нагрузок и численности населения (для дисперсии).
На рис.1.2 показаны график для определения дисперсии часовых нагрузок (за год) для систем водоснабжения, пост военный по данным Вербицкого А.С. [12]. Значения факторов, необходимых для определения дисперсии нагрузок на коммунально-бытовых объектах систем водоснабжения, всегда известны на стадии проектирования. Имеются также данные [18] о коэффициентах корреляции между режи мами процессов потребления воды в этих системах, но использование указанных материалов сегодня практически еще невозможно из-за отсутствия математичес ких моделей вероятностного потокораспределения, на что было ука зано в разделе I.I.
Поэтому на практике сегодня продолжается представление нагрузок в детерминированном виде [2,10], но намеченная в настоя щей работе разработка модели стохастического потокораспределения может базироваться на достаточно представительном статистическом материале о параметрах функций распределения нагрузок сис тем водоснабжения. Получение графиков, аналогичных графику на рис 1.2, для систем тепло- и газоснабжения, не представляет принципиальных трудностей, учитывая опыт, накопленный при изуче нии систем водоснабжения [8,13].
Совсем другие требования предъявляются к моделям процессов потребления воды, используемым для оперативного управления функционированием инженерных сетей и при их имитационном моделировании. Важность ими тационного моделирования определяется тем, что только этим путем можно реально получить статистические оценки параметров потокораспределения (математическое ожидание и дисперсия потоков в пассивных элементах) для оценки адекватности предлагаемых математических моделей стохастического потокораспределения.
Известен достаточно широкий круг моделей процессов потребления воды [13,20], нашедших то или иное применение на практике. Они различаются хара ктером и объемом исходной требуемой информации, степенью учета трех основных факторов, определяющих процесс водопотребления- хронологических, метереологических, организационных [14]. Для различных видов инже нерных сетей находят применение модели типа "упреждающий индика тор", модели авторегрессии - проинтегрированного скользящего сре днего, авторегрессии - скользящего среднего и др.[19], причем построение каждой модели состоит из двух этапов - структурной и параметрической идентификации, базирующихся на некоторой выбор ке зарегистрированных значений процессов потребления воды называемой обучающей.
Адекватность модели процессов потребления воды определяется статистической значи мостью отличия остаточных ошибок прогноза процессов потребления воды от процесса "бе лого шума" [13]. Использование моделей процессов потребления воды, описанных в [43,26], наиболее целесообразно в условиях автоматизированного управления, когда достаточно просто производится получение обучающих выборок, все необходимые рас четы могут выполняться на ЭВМ, а модели могут адаптироваться к текущим условиям процессов потребления воды.
В то же время, использование моделей [26,43] для задач имитационного моделирования в тех или иных исследовательских работах, представляется достаточно сложным и громоздким. На длительных интервалах имитационного моделирования инженерных сетей, без возможности коррекции параметров модели в зависимос ти от реального
Рис.1.2 .Зависимость коэффициентов вариации часовых расходов воды нагрузок за год для систем водоснабжения, в зависимости от численности населения и нормы расходования воды.
хода процессов потребления воды, такие модели могут приводить к нако плению систематических погрешностей и даже искажению корреляци онных связей между процессов потребления воды в различных узлах сети. Для целей ими тационного моделирования достаточно крупных инженерных сетей, включающих десятки узлов, более применимы модели, которые могут быть представлены в виде композиции параметрически заданных фун кций
(1.23)
где 1, 2- функция со случайными параметрами Х1.L…; – случайные шумы с заданными свойствами.
Параметры Х1.L считаются заданными, если известны их функции плотности распределения
f (x1, x2….), f (L1,L1,.).
Параметр F в (1.23) определяет принятый в модели способ композиции. Параметры моделей вида (1.23) могут быть определены на ограниченном статистическом материале о процессов потребления воды на объектах раз личного типа. Задавая для различных узлов инженерной сети все параметры таких моделей значением их математического ожидания и некоторой дисперсии можно легко варьировать ход процессов потребления воды, учиты вая изменение параметров для различных дней недели и т.п. При этом гарантируется, что модель (1.23) будет "держать" моделиру емый процесс в определенных рамках, что позволяет легко коррек тировать статистические связи между процессов потребления воды различных узлов сети. Рассматривая в целом подсистему окружающей среды инженер ных сетей, необходимо отметить, что в реальных условиях их фун кционирования происходит достаточно сложное наложение двух слу чайных процессов - процесса потребления продукта и процессов отказов элементов сетей. В принципе, второй тип процессов изу чается бурно развивающейся в последние годы теорией надежности сложных систем [4,17,38,74,77], однако, в настоящее время можно отметить лишь небольшое число практических приложений этой тео рии к задачам проектирования и эксплуатации трубопроводных ин женерных сетей [75,85]. В то же время, потребности практики ве дут к необходимости учета параметров потоков отказов трубопрово дов и других элементов инженерных сетей, к определению вероят ностных характеристик требуемых подач продукта и давления на ис точниках питания не только для нормальных режимов сетей, но и в условиях аварий на трубопроводах. Для достаточно крупных инжене рных сетей по данным эксплуатации количество аварий составляет 3-8 в сутки. Принимая во внимание достаточно большую продолжите льность восстановления поврежденных участков трубопроводов, со ставляющую несколько часов, легко видеть, что продолжительность нахождения инженерной сети в состоянии, когда функционируют все ее элементы, достаточно мала. При этом, если уже на стадии про ектирования развития инженерной сети будет дан анализ последст вий различных аварийных ситуаций, то соответствующие выбором ха рактеристик источников питания (параметры резервных насосов или компрессоров, глубина регулирования числа оборотов электропривода насосов и др.) можно в значительной мере компенсировать последствия аварий и, тем самым, добиться повышения надежности функционирования сети.
Подобный анализ можно вести далее без определения конкретных показателей надежности системы в целом, ограничиваясь лишь оцен кой различных решений по структурной оптимизации сети, особенно для развивающихся и реконструируемых систем.
Важность и актуальность задач повышения надежности функционирования инженерных сетей приводят к необходимости рассмотрения в настоящей работе вопросов математического моделирования случайных процессов, происходящих в окружающей среде систем водо-, теп ло- и газоснабжения. Данный выше анализ современного состояния теории и практи ки математического моделирования потокораспределения в трубопро водных инженерных сетях показывает, что основной недостаток ис пользуемых моделей заключается в невозможности их использования для разработки алгоритмов расчета стохастического потокораспределения, когда для каждого пассивного элемента сети должны быть найдены значения математического ожидания и дисперсии потока, а для каждого активного элемента - параметры функций распреде ления подач целевого продукта и требуемых давлений. Устранение сложившегося разрыва между сгубо детерминированными моделями потокораспределения в инженерных сетях и стохастическими моделя ми подсистемы окружающей среды представляет не только теоретиче ский интерес, но и является актуальной народно-хозяйственной за дачей, решение которой может дать значительный экономический эф фект.
Разработка математической модели вероятностного потокораспределения может явиться основной для принципиально нового решения и задачи о выборе значения расчетных максимальных нагрузок разли чных видов инженерных сетей - вместо фиксированного значения слу чайной величины нагрузки могут быть заданы неслучайные параметры функций распределения. Учитывая новизну формируе мых в настоящей работе задач, по-видимому, можно в первом прибли жении принимать нормальную апроксимацию всех включаемых в модели процессов изменения состояния окружающей среды. При этом допус тимость таких предпосылок, а также достоверность математической модели в целом необходимо подтверждать на всех этапах разработки путем анализа сходимости получаемых результатов с данными имита ционного моделирования трубопроводных инженерных сетей, причем параметры последнего должны в наибольшей мере соответствовать реальным условиям.
Здесь следует отметить, что имитационное моделирование является практически единственным способом оценки достоверности раз личных моделей потокораспределения и, особенно, моделей параметрической оптимизации в инженерных сетях, так как возможности по лучения каких-либо экспериментальных данных в реальных системах тепло-, водо-, газоснабжения весьма и весьма ограничен. Поэтому в настоящее время в практике управления развитием и санкциониро ванием инженерных сетей находят использование многочисленные ме тоды расчета и рекомендации, обоснованность которых еде предсто ит объективно оценить на основе имитационного моделирования реа льных инженерных сетей. Сложившиеся методы управления имеют зна чительные резервы сокращения капитальных затрат, расхода металла, экономии расхода электроэнергии на транспортировку целевого про дукта, что подтверждается, например, проведенным анализом целого ряда проектов сетей систем водоснабжения где скорости движения воды в трубопроводах значительно ниже рекомендуемое теорией эко номичных значений [1, 105]. При этом ошибки в определении параметров активных элементов сетей приводят к перебоям в водоснабже нии, снижению надежности водоснабжения потребителей даже при за вышенных диаметрах большого числа пассивных элементов.
В настоящей работе рассматриваются различные виды инженер ных сетей. При этом только для систем водоснабжения характерно использование регулирующих емкостей для выравнивания :режимов ра боты насосных станций и компенсации колебаний неравномерных во времени процессов водопотребления. С целью получения результатов общих для всех типов трубопроводных инженерных сетей в рабо те могут быть рассмотрены только сети без регулирующих емкостей. Обобщение получаемых результатов на сети систем водоснабжения с регулирующими емкостями может быть дальнейшим этапом разработок.
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 2.1. Проведение численных исследований с построением графиков и таблиц по выбору приемлемых моделей вероятностных процессов потребления воды
В главе 1, при рассмотрении различных возможных методов мо делирования процессов потребления воды был сделан вывод о том, что для целей настоящей работы, то есть для построения моделей предназначенных для испо льзования в составе общего алгоритма имитационного моделирования вероятностного потокораспределения, наиболее приемлемы модели вида ( 1.19 ), представляющие композицию параметрические заданных функций со случайными параметрами. В настоящем разделе модель вида ( 1.19 ) конкретизируется на примере моделирования процессов потребления воды в си стемах водоснабжения.
Прежде всего отметим, что в ( ) наиболее приемлемой фор мой параметра F, определяющего способ композиции функций, явля ется его представление в виде суммы некоторых гармонических сос тавляющих и остаточного случайного шума, то есть:
F= (2.1)
где A, , - амплитуда, частота и фазовый сдвиг для i– ой гармоники;
t - текущее время.
При таком представлении F, естественно вытекающем из логи ческого анализа процессов потребления воды в системах водо-, тепло- и газоснабжения, на процессы потребления определяются циклическими колебаниями ритма деятельности населения, моделируемый случайный процессов потребления воды для любого узла системы будет иметь вид:
(2.2)
где - математическое ожидание процессов потребления воды на интервале моделирования;
- случайный шум.
Поскольку величина , в ( 2.2 ) определяется весьма прос то по данным и удельном (на 1 чел) потреблении целевого продук та и численности обслуживаемого населения, то задача модели рования процессов потребления воды сводится к моделированию F и. Анализ реальных процессов потребления показывает, что любая их суточ ная реализация может быть опроксимирована в виде (2.1) с не которым остаточным случайным членом, имеющим нулевое математическое ожидание и дисперсию. При этом известно [ ], что процесс является стационарным, т.е. его математическое ожидание не зависит от t. Рассматривая достаточно большое число реализаций процессов потребления воды для различных реальных объектов можно определить параметры распределений всех случайных величин в модели (2.2 ). A, , и Q0 (для Q0 па раметр t может не указываться, т.к. эта часть процесса U(t) стационарна).
Приведенная обработка данных реальных процессов потребления воды (использовались результаты ранее выполненного в Тресте «СУВСОЗ» экспериментального изучения режимов водопотребления показала, что законы распределения всех случайных величин, необходимых для модели (2.2), могут быть достаточно точно аппроксимированы нормальным законом распределения вероятностей. Это позволяет реализовать процесс моделирования процессов потребления воды для всех узлов системы с использованием только одного датчика псевдослучайных чисел, распределенных по нормальному закону [ ] следовательно, моделирование случайных параметров в ( 2.2 ) может быть представлено в форме:
а= (2.3)
где - моделируемое значение параметра;
и - и математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение параметра, известные из эксперимента;
- нормированная случайная величина с =0 и =1
Следует отметить, что при моделировании процессов потребления воды можно достаточно просто учесть суточную неравномерность потребления для этого необходимо считать в ( 2.2 ) значение Q также случайной величиной с дисперсией, равной дисперсии суточных нагрузок.
Обработка данных экспериментального изучения режимов водопотребления показала, что для имитационного моделирования процессов потребления воды достаточно использовать в (2.1) две гармонические составляющие с периодом 24 и 12 часов. При этом все статистические характеристики исходного и моделируемого процессов потребления воды практически совпадают. На рис.2.1. приведены данные, показывающие хорошее совпадение автокорреляционной функции исходного и моделируемого процессов (подтверждение совпадений математических ожиданий и дисперсии не требуется, т.к. именно эти параметра исходного процессов потребления воды использованы при моделировании).
Исходя из описанных выше предпосылок разработан алгоритм имитационного моделирования процессов потребления воды,, показанный на рис.2.2.
Работа алгоритма осуществляется следующим образом:
2.1. Примеры моделируемого процесса потребления воды
х – автокорреляционные функции исходного.
1. Для узла расчетной схемы сети вырабатываются случайные числа (где). Значение используется для определения среднего значения нагрузки в первые сутки моделирования для j -го узла:
Qj1 = M(Qj)(1+t1qj), ( 2.3 )
Где M(Qj) и qj - математическое ожидание и коэффициент вариации средних часовых нагрузок за весь период моделирования для j - го узла.
2. По значениям определяются величины амплитуды и фазового сдвига для первых суток по формулам:
Qa1=Qa1(1+t2Qa1) (2.4)
Qa2=Qa2(1+t3Qa2) (2.5)
1= 1(1+t41) (2.6)
2= 2(1+t52) (2.7)
где Qa1 и Qa2 математические ожидания амплитуды первой и второй гармоники в ( 2.1 );
1 и 2- математические ожидания фазовых сдвигов для первой и второй гармоники в (2.1 ) ;
Qa1, Qa2, 1 и 2- коэффициента вариации для амплитуд и узлов фазового сдвига.
3. На основе ( 2.2 ) вычисляется значение нагрузки в узле для всех 24 часов первых суток моделирования. При этом в ( 2.2 )
Q0 = 0tn, n = 6, 7, ……., 27 (2.8)
где 0 - стандартное отклонение случайного шума.
При переходе ко 2 узлу схемы используется значение, для первого узла и 28 новых значений, обеспечивающих вычисление параметров гармоник и 24 часовых нагрузок и для этого узла. Работа алгоритма для новых суток моделирования начинается после выполнения других расчетов в других блоках имитационного моделирования (см. гл. 2).
При работе датчика псевдослучайных чисел в данном алгоритме используются достаточно короткие последовательности этих чисел, что гарантирует отсутствие каких-либо детерминированных трендов в этих последовательностях [ ].
Количество моделируемых случайных нагрузок в каждом из узлов схемы определяется требованиями к желаемой точности получаемых оценок параметров функций распределения. Предполагая, что значения коэффициентов вариации для всех указанных выше функций распределения приблизительно равны максимальному из коэффициентов вариации нагрузок в узлах схемы, а приемлемая погрешность определения математических ожиданий () - составляет 0,05, получаем необходимую продолжительность имитационного моделирования:
, (2.9)
где N - число часов моделирования нагрузок;
- максимальный коэффициент вариации нагрузок ;
- параметр, соответствующий 95% вероятности попадания математического ожидания в интервалах n где n- среднее значение случайной величины.
Поскольку - для систем водоснабжения составляет 0,75-0,8, то в соответствии с (2.9), N = 1280 т.е. период имитационного моделирование составляет 54 дня.
Необходимые для работы алгоритма имитационного моделирования процесса водопотребления исходные данные берётся по заданию к объекту.
Рис. 2.2. Блок-схема алгоритма моделирования процесса потребления воды
2.2. Моделирование случайного процесса изменения структуры инженерной сети
Функционирование трубопроводных инженерных сетей происходит в условиях возникновения отказов различных пассивных и активных элементов. При этом каждый пассивный элемент может находиться лишь в двух состояниях - работоспособном и неработоспособном, т.е. состоянии при котором он должен быть исключен из расчетной схемы инженерной сети. Оценка состояний активных элементов может быть дана также просто в том случае, если речь идет об одном насосе, компрессоре, дросселе и т.п. Если включенный в схему инженерной сети активный источник реально состоит из нескольких параллельных работающих насосов, оценка его состояний значительно сложнее, так как отказ одного из насосов может лишь несколько изменить характеристику всего активного элемента в целом, а наличие резервных насосов может в короткое время полностью компенсировать последствия возникшего отказа. Поэтому правильное определение требований к гидравлическим характеристикам активных элементов (величина подачи и напора во всех возможных условиях работы сети), определение разумного (минимально необходимого) резерва оборудования насосных и компрессорных станций является одной из важнейших задач проектирования инженерных сетей.
Несмотря на то, что само понятие надежности технической системы определяется достаточно просто –«надежность есть вероятность того, что система будет в полном объеме выполнять функции в течении заданного промежутка времени, при заданных условиях работы» [ ], определение конкретных параметров надежности проектируемой или эксплуатируемой инженерной сети представляет сегодня весьма сложную теоретическую и практическую задачу. Для сложных систем энергетики, а именно к ним относятся инженерные сети систем тепло-, водо-, газоснабжения , эта проблема связана не только с трудностями определения пока зателей надежности при последовательно -параллельной схеме соединений пассивных элементов, сколько с самим понятием отказа в инженерной сети, которая обеспечивает транспортирование целевого продукта многим потребителям в узлах схемы сети. При этом даже нарушается нормальное снабжение целевым продуктом одного из узлов схемы,, то, очевидно, это состояние нельзя считать отказом инженерной сети в целом. Такое положение приводит к тому, что при анализе сложных систем в ряде случаев предлагается определять не показатели надежности, а показатели эффективности функционирования [ ]. Однако и в этом случае трудности достаточно велики, когда встает вопрос о выборе некоторой нормы этой эффективности для условий работы конкретной системы.
В настоящее время различные рекомендации [ ]по определению показателей надежности трубопроводных инженерных сетей достаточно противоречивы, дискуссионы и на нашли еще широкого использования на практике. В реальных условиях проектные организации проводят расчеты установившегося потокораспределения при исключении из расчетной схемы инженерной сети небольшого числа пассивных элементов с наибольшими значениями потоков в полной схеме и по этим данным уточняют характеристики активных элементов. При этом значительная часть полученных в ряде исследований [ ] данных о потоках отказов пассивных элементов не находит практического применения. Кроме того, упомянутые расчеты проводят только при максимальных расчетных нагрузках в узлах сети, хотя, как было указано в разделе 1.2., эти нагрузки имеют весьма малую вероятность появления и поэтому полученные результаты не характеризуют поведение системы во всем рассматриваемом промежутке времени.
Один из возможных и уже нашедших применение в практике проектирования электроэнергетических систем методов определения показателей надежности и оценки последствий отказов элементов систем состоит в статистическом моделировании ( метод Монте-Карло) В этом методе моделируется естественный ход случайного процесса возникновения отказов (и восстановлений) и, при достаточной продолжительности моделирования, на этой основе могут быть получены оценки показателей надежности [ ]. В методе Монте-Карло моделирование заключается в определении моментов возникновения отказов, в зависимости от заданных распределений вероятности безотказной работы для всех элементов системы. В принципе, если совместить моделирование случайного потока отказов с моделированием случайных процессов потребления целевого продукта в узлах расчетной схемы инженерной сети, то можно найти оценки последствий отказов пассивных элементов при заданных характеристиках активных источников питания или, наоборот определить требования к этим характеристикам исходя из необходимости поддержания давлений во всех узлах сети. Однако, большое (до 1000 1500) количество пассивных элементов в инженерных сетях, относительно малые значения интенсивности потоков отказов (порядка = 1год. км [ ] приводят к тому, что продолжительности периода моделирования должна составлять 20-30 лет для того, чтобы точность искомых параметров надежности системы в целом была не хуже 10% [ ], При этом весьма сложно будет осуществить моделирование случайных процессов потребления воды на таких длительных интервалах. Таким образом применение метода Монте-Карло для исследования надежности проектируемых инженерных сетей не приводит большому эффекту в следствии вышеуказанных положений.
Основная цель настоящей диссертационной работы состоит в том, чтобы предложить такую математическую модель инженерной сети которая обеспечит построение функций распределения вероятности требуемых давлений источников питания. При этом требуется учесть и случайный характер процесса потребления воды случайные потоки отказов пассивных элементов инженерных сетей.
Для достижения цели более целесообразным представляется не моделирование по методу Монте-Карло, а совмещение сетевых методов изучения надежности и метода пространства состояний [ ]. Первый шаг сетевых методов состоит в построении логической или структурной схемы сложной сетевой системы, в которой источники целевого продукта и его потребители связаны транспортной сетью - в нашем случае трубопроводной инженерной сетью. Между расчетной схемой сети, построенной в зависимости от её физической схемы, и логической схемой имеются существенные различия, которые заключается в том, что последняя строится так, чтобы на её основе можно было определить комбинации отказов элементов, приводящие к отказу системы в целом. Отказавшие элементы исключаются из логической схемы и если при этом наущается связь между точками входа и выхода, то это считается отказом системы. При составлении логических схем элементы сети считаются соединенными последовательно если отказ каждого из них обуславливает отказ системы. При параллельном соединении отказ системы возможен только в том случае, если одновременно отказывают все элементы. Очевидно, что сложные сетевые системы не приводятся однозначно к логическим схемам с последовательно-параллельным соединением элементов и в этом случае используют методы поиска множества минимальных путей и минимальных сечений [ ] в сети для упрощения её логической схемы.
Покажем, что для решения задач настоящей работы нет необходимости построения сложных логических схем инженерной сети и приемлемые решения могут быть найдены если сложную сеть заменить последовательной схемой ее пассивных элементов. При этом в отличие от исследований электроэнергетических систем [ ] не будем считать отказ элемента причиной полного отказа системы. Нам достаточно определить здесь время пребывания системы в состоянии, когда в сети нет ни одного отказавшего элемента, а также обще времена всех состояний системы, при которых в отказе находится лишь один элемент. Далее, если имеется математическая модель стохастического потокораспределения (при случайных нагрузках в узлах сети) то для каждого из указанных выше состояний можно получить функции распределения вероятности требуемых давлений активных элементов (при заданном давлении активных элементов (при заданном давлении в диктующих точках сети). Суммарная функция распределения этих давлений для всех возможных состояний может быть найдена достаточно просто, т.к. при этом следует учитывать, что относительное время пребывания системы в состоянии с одним отказавшим элементом является как-бы весомым коэффициентом. Характеризующей функции распределения требуемых давлений в общую функцию распределения. Математическая модель трубопроводной инженерной сети, обеспечивающая моделирование стохастического потокораспределения для полной схемы сети подробно рассмотрена в разделе, а для состояния системы с одним отказавшим элементом - в разделе. Ниже рассмотрен алгоритм моделирования состояний с потоками отказов для инженерной сети на примере сетей систем водоснабжения.В ряде проведенных исследований надежности систем водоснабжения [ ] было установлено что пассивные элементы (участки трубопроводов) являются ремонтнопригодными с экспоненциальными распределениями продолжительной работы и восстановлений, т.е.
F1(t)= (2.10)
F2(t)=, (2.11)
где F1(t) – функция распределения вероятностей продолжительностей работы; F2(t) - функция распределения вероятностей простоев (восстановлений);
и - параметры потоков отказов и восстановлений, соответственно;
t - время для которого определяется значение F1(t) или F2(t).
Для каждого из элементов сети могут быть определены коэффициенты готовности ( K1) и неготовности (K2), которые при стационарных значениях и и достаточно большом времени t являются вероятностями нахождения элемента в работоспособном состоянии или в простое, соответственно.
Коэффициенты готовности и неготовности определяется по формулам [ ]: K1= ; K2= ; ( 2.12)
Продолжительность периода, когда в системе нет ни одного элемента в состоянии простоя, можно легко определить исходя из ее логической схемы в которой: все элементы соединены последовательно. Так как для каждого элемента отказы и восстановления происходит независимо от состояния других элементов, то можно считать систему по ее логической схеме отказавшей с вероятностью, определяемой как произведение вероятностей отказов для всех элементов.
Таким образом, алгоритм моделирования случайных состояний сложной инженерной сети (рис.2.2) может быть представлен в виде последовательности определения вероятностей отказов для каждого из элементов системы на основе доступных данных-параметров и [ 4 ] показанных на рисунке. Эти вероятности для определения характеристик стохастического потокораспределения для каждого из состояний системы и, далее, для: всех возможных состояний в течение расчетного года работы системы.
Алгоритм моделирования случайных состояний сложной инженерной сети состоит из следующих этапов:
1. Ввод программы, контроль программы и исходных данных.
2. Присвоение I0 для начало работы счетчика циклов.
3. Счетчик циклов по I, служит для проведения арифметических операций.
4. Определение значения параметров потоков отказов для каждого элемента сети по формуле i=* Li , где параметр потоков отказов элементов сети, Li - длина элемента сети I M.
5. Определение значения коэффициентов готовности по формуле 2.12.
6. Определение значения коэффициентов неготовности по формуле 2.12.
1/(год.км)
3
2,5
2
1,5
1
0.5
100 200 300 400 500 600 700 800 900 d, мм
Рис.2.3. График осредненных значений величин , полученных на основании статической обработки данных наблюдений проведенных в трех климатических зонах нашей страны.( соответственно кривые 1, 2 и 3).
1
7
2 2 8
3 3 9
4
4 5 11
5 12
6
6 13
Рис.2.4. Блок – схема алгоритма моделирования случайных состояний сложной инженерной сети.
-
7. Проверка окончания цикла по 1-ым элементам, если условие выполняется то переход к пункту 8, иначе к пункту 3.
8. Присвоение I 0 для начало работы счетчика циклов.
9. Счетчик циклов по I, служит для выполнения арифметических операций.
10. Определение общего времени моделирования случайного состояния работы сети по формуле T0 = Ki1+Ki2
11. Проверка окончания цикла по 1-ным элементам сети, если условие выполняется, то переход к пункту 9, иначе к пункту 12.
12. Печать полученных, результатов.
13. Окончание счета.
2.3. Имитационное моделирование инженерных сетей. Оценка точности математической модели.
Основная задача имитационного моделирования инженерных сетей в настоящей работе состоит в оценке достоверности пред логаемой математической модели вероятностного потокораспределения. Для имитационного моделирования исполь зуются три расчетные схемы инженерной сети, показанные на рисун ках 2.5, 2.6. и 2.7 Легко видеть, что эти расчетные схемы от личаются своей размерностью-числом узлов и ветвей, что позво ляет объективно выявить достоинства математической модели на сетях различной сложности.
Имитационное моделирование сводится к проведению большого числа расчетов установившегося потокораспределения при различ ных значениях нагрузок в узлах схемы сети. По мере накопления данных таких расчетов появляется возможность оценки параметров следующих функций распределения вероятности:
1. Величин потоков в каждом пассивном элементе схемы
(участки сети) – qi.
2. Величин потерь напора в каждом пассивном элементе - hi.
3. Величин суммарных подач целевого продукта во все узлы
cхемы - Qj
4. Величин разности давлений на активных источниках и в диктующей точке схемы - H (эти значения соответствуют наибольшим величинам, получаемым в матрицам ).
Для упрощения анализа предполагается нормальный закон распределения всех случайных величин следовательно, опреде ляются только два неслучайных параметра для каждого из распре делений - математическое ожидание и дисперсия. Кроме того, для активных источников определяются значения ковариации зави симых случайных величин - h0 и Qj,
что, как показано ниже , необходимо для вычисления общих затрат энергии на транспортирование целевого продукта.
Рис. 2.5
Рис. 2.6.
Рис. 2.7
Общий алгоритм имитационного моделирования рис. состоит из трех блоков – A1 котором генерируется случайные значения наг рузок для всех узлов потребления целевого продукта; A2, обеспечивающего расчет установившегося потокораспределения, и A3, предназначенного для статистической обработки получаемых результатов.
Блок A1 построен в соответствии с данными раздела 2.1. Поскольку параметры этой модели в общем случае изменяются в каждые сутки работы инженерной сети, то для работы блока исходная информация содержит не только значения математических ожиданий амплитуды и фазового сдвига для каждой из двух гар моний, но и значения коэффициентов их вариации. Кроме того, математическим ожиданием и коэффициентом вариации характери зуются и значения Qср в (2.3). Такой обьем исходной информации позволяет достаточно достоверно имитировать процесс потребления воды в любом узле расчетной схемы. В настоящей работе моделируются процесс потребления воды в системах водоснабжения, по результатам изучения которых принята необхо димая для моделирования исходная информация.
В блоке A1 предусмотрен датчик псевдослучайных чисел распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией [ ].
Рассматривая блок A2 следует отметить, что здесь могут быть использованы практически любые из известных алгоритмов и программ для расчета установившегося потокораспределения[4, 7, 112, 118]. Единственным требованием к ним с позиций особенностей имитационного моделирования является необходимость достаточно удобной: программной замены величин узловых нагрузок по результатам работы блока A1.
рис. 2.8.Блок – схема алгоритма имитационного моделирования
Блок A3 алгоритма имитационного моделирования достаточ но прост и его суть сводится к тому, что для всех элементов расчетной схемы сети включая активные элементы, обеспечивается расчет математических ожиданий, дисперсии, среднеквадратратичных отклонений и коэффициентов вариации для каждого из интере сующих распределений случайных величин (П ) по известным [ ] формулам:
М(П)=П/N; D(П)=(/N)-[M(П);
(П)= п=(П)/М(П); (2.14 )
Исходная информация, использованная для работы блока A1 алго ритма имитационного моделирования инженерной сети рис. 2.7, описанного в главе 1.2 приведены в таблице 2.1. При моделирова нии сети рис. 2.5 использовались данные для узлов 1, 2, 3 из таблицы 2.1, а для сети рис. 2.6 принимались данные, соответ ствующие узлам 19 из табл. 2.1. В таблице 2.1 значения амплитуд гармоник QA и среднего квадратического отклонения для Q0 (Q0 ) дани в относительных единицах - в долях Qсрj для каждого из узлов расчетной схемы.
Результаты проведенного имитационного моделирования трех инженерных, сетей представлены в таблицах 2.2. + 2.4 . На рис. 2.9 приведено соотношение между коэффициентами вариации потоков в линиях сетей (q ) и потерь напора (h), полученными все результате моделирования. Здесь же показана ли ния, соответствующая полученному выше (формула 2.12)) соотношению между этими коэффициентами. Хорошее совпадение экспериментальных и теоретических данных подтверждает правильность последних и возможность вычисления параметров функций распре деления подачи напора в пассивных элементах по данным о парамет рах функций распределения потерь напора в пассивных элементах по данным о параметрах функций распределения потоков.
Сопоставление параметров функций распределения потоков в пассивных элементах, полученных при имитационном моделировании и при расчете по (2.17) и (2.19) (см. табл. 2.2 2.4), по казывает, что предложенная математическая модель стохастического потокораспределения в нелинейных трубопроводных сетях обеспечи вает достаточную для практических целей точность- погрешность расчета qi не превышает- 8%, а для qi - 10%.
рис.2.9 q - h расчетная линия по ( 2.12 )
При вычислении параметров функций распределения суммарных нагрузок в сети (Qj) и потерь напора в сети ( H ) по формулам (2.12) и (2.11), (2.13) было принято единое значение коэффициента корреляции между процессом потребления воды в узлах инженерной сети rij=0,25. Величина rij получена из графика рис. 2.9, где показано изменение дисперсии суммарной нагрузки сети в зависи мости от значения rij в (2.l). Для всех трех рассмотренных сетей значение rij, при котором расчетные значение дисперсии суммарной нагрузки (при имитационном моделировании) совпада ет со значением, получаемым по(2.12), приблизительно равно 0,25. Это же значение rij используется и при вычислениях дисперсии потерь напора в сети, что вполне допустимо т.к. расхождение между данными имитационного моделирования и расчетом по математической модели стохастического потокораспределения не превышает 10% (см. табл. 2.2 2.4).
Расчеты параметров стохастического потокораспределения для сетей рис. 2.6 и 2.7 весьма громоздки из-за большой размер ности матрицы коэффициентов распределения нагрузок Cij и вы полняются только с использованием ЭВМ. В приложении пока зан пример расчета для небольшой сети (рис. 2.5).
По результатам расчета (сеть 2.5) на графике (рис. 2.7) построено поле возможного изменения потерь напора в сети на Н и суммарной нагрузки Qj, две точки которого ( A и B ) соответствуют предельным (наименьшим и наибольшим значениям потерь напора в сети при минимальных и максималь ных Величин суммарной нагрузки сети.
Для правильного подбора насосного оборудования кроме полученных точек необходимо найти пределы возможного изменения потерь напора в сети при различных значениях суммарной нагрузки Qj . Это можно сделать, рассматривая систему из двух случайных величин H и Qj, предполагая для каждой из них, нормальный закон распределения вероятностей. Если считать известным коэффициент корреляции между значениями этих слу чайных величин например, принять его равным как и ранее 0,25, то можно найти так называемые условные распределение Н, т.е. законы ее распределения при различных фиксированных значенияхQj.
Рис.2.10. Изменение дисперсии суммарной нагрузки сети в зависимости от значения коэффициента корреляции между процессом потребления воды в узлах сети. а – сеть на рис. б – сеть на рис. D(Qj) – значение дисперсии суммарных нагрузок, получены при имитационном моделировании.
Рис.2.11. Функции распределения возможных изменений потерь напора в сети.
Таблица 2.1.
Сопоставление результатов имитационного моделирования и расчетов по математической модели стохастического потокораспределения для сети рис. 2.5.
|
№ участка сети
|
Имитационное моделирование
|
Математическая модель
|
|
|
qi
|
Vgi
|
hi
|
Vhi
|
qi
|
Vgi
|
hi
|
Vhi
|
|
1
|
27,05
|
0,217
|
766
|
0,411
|
27,27
|
0,259
|
791,3
|
0,416
|
|
2
|
26,86
|
0,215
|
755
|
0,403
|
26,64
|
0,265
|
759,15
|
0,499
|
|
3
|
3,08
|
0,782
|
15,3
|
1,37
|
3,19
|
0,980
|
19,9
|
1,22
|
|
4
|
15,29
|
0,252
|
249
|
0,484
|
15,12
|
0,262
|
244,4
|
0,498
|
|
5
|
15,29
|
0,264
|
260
|
0,508
|
15,57
|
0,256
|
258,3
|
0,487
|
|
Источник (узел о)
|
Qj= 53,9
|
Qj= 0,256
|
H= 409
|
H= 0,410
|
Qj= 53,91
|
Qj= 0,265
|
H= 415
|
H= 0,480
|
Примечание: H - разность давлений в узле 0 и диктующей точке – 3.
Таблица 2.2
Сопоставление результатов имитационного моделирования и расчетов по математической модели стохастического потокораспределения для сети рис. 2.6.
|
№ участка сети
|
Имитационное моделирование
|
Математическая модель
|
|
|
qi
|
Vgi
|
hi
|
Vhi
|
qi
|
Vgi
|
hi
|
Vhi
|
|
1
|
131,96
|
0,211
|
1,08
|
0,417
|
131,8
|
0,211
|
1,07
|
0,416
|
|
2
|
358,32
|
0,214
|
1,74
|
0,410
|
358,1
|
0,166
|
1,70
|
0,400
|
|
3
|
50,2
|
0,233
|
1,54
|
0,514
|
50,32
|
0,231
|
1,56
|
0,516
|
|
4
|
75,87
|
0,220
|
2,79
|
0,416
|
75,57
|
0,218
|
2,75
|
0,411
|
|
5
|
13,38
|
0,269
|
3,27
|
0,489
|
13,51
|
0,274
|
3,30
|
0,491
|
|
6
|
185,01
|
0,219
|
2,13
|
0,416
|
184,3
|
0,217
|
2,10
|
0,412
|
|
7
|
152,6
|
0,203
|
2,34
|
0,394
|
153,3
|
0,209
|
2,39
|
0,401
|
|
8
|
90,86
|
0,230
|
2,02
|
0,435
|
90,2
|
0,225
|
2,10
|
0,442
|
|
9
|
150,84
|
0,213
|
2.26
|
0,398
|
150,5
|
0,206
|
2.21
|
0,375
|
|
10
|
69,74
|
0,309
|
2,18.
|
0,507
|
69,2
|
0,302
|
2,15
|
0,501
|
|
11
|
84,86
|
0,272
|
2,05
|
0,486
|
85,6
|
0,279
|
2,12
|
0,493
|
|
12
|
129,04
|
0,363
|
1,94
|
0,536
|
129,6
|
0,361
|
1,91
|
0,531
|
|
Источник (узел о)
|
Qj=
290,28
|
Qj= 0,203
|
H= 1,5
|
H= 0,413
|
Qj= 289,5
|
Qj= 0,197
|
H= 1,25
|
H= 0,408
|
Примечание: H- разность давлений в узле 0 и диктующей точке – 8.
Таблица 2.3
Сопоставление результатов имитационного моделирования и расчетов по математической модели стохастического потокораспределения для сети рис. 2.7
|
№ участка сети
|
Имитационное моделирование
|
Математическая модель
|
|
|
qi
|
Vgi
|
hi
|
Vhi
|
qi
|
Vgi
|
hi
|
Vhi
|
|
1
|
136,89
|
0,388
|
1,28
|
0,684
|
137
|
0,391
|
1,33
|
0,691
|
|
2
|
376,67
|
0,396
|
2,13
|
0,703
|
376,1
|
0,391
|
2,01
|
0,701
|
|
3
|
80,22
|
0,396
|
3,45
|
0,705
|
80,0
|
0,390
|
3,25
|
0,695
|
|
4
|
50,95
|
0,381
|
1,72
|
0,679
|
51,0
|
0,389
|
1,8
|
0,683
|
|
5
|
14,51
|
0,389
|
4,16
|
0,711
|
14,5
|
0,394
|
4,12
|
0,699
|
|
6
|
30,74
|
0,385
|
2,34
|
0,707
|
30,8
|
0,388
|
2,41
|
0,715
|
|
7
|
14,99
|
0,399
|
4,44
|
0,710
|
15,1
|
0,403
|
4,51
|
0,780
|
|
8
|
169,23
|
0,397
|
2,90
|
0,689
|
161,3
|
0,399
|
2,95
|
0,702
|
|
9
|
194,60
|
0,391
|
2,59
|
0,694
|
195,1
|
0,402
|
2,71
|
0,71
|
|
10
|
159,8
|
0,393
|
2,79
|
0,695
|
159,1
|
0,389
|
2,67
|
0,691
|
|
11
|
95,5
|
0,384
|
2,43
|
0,721
|
95,4
|
0,381
|
2,41
|
0,72
|
|
12
|
15,07
|
0,401
|
2,63
|
0,711
|
15,3
|
0,411
|
2,72
|
0,719
|
|
13
|
75,15
|
0,409
|
2,70
|
0,771
|
74,8
|
0,40
|
2,63
|
0,769
|
|
14
|
14,39
|
0,448
|
3,64
|
0,745
|
14,5
|
0,451
|
3,72
|
0,75
|
|
15
|
52,1
|
0,444
|
4,68
|
0,691
|
52,9
|
0,449
|
4,76
|
0,688
|
|
16
|
90,41
|
0,388
|
2,49
|
0,699
|
90,1
|
0,381
|
2,41
|
0,692
|
|
17
|
139,7
|
0,399
|
2,33
|
0,72
|
138,3
|
0,388
|
2,21
|
0,69
|
|
18
|
75,65
|
0,428
|
3,14
|
0,714
|
75,2
|
0,417
|
3,10
|
0,702
|
|
19
|
107,3
|
0,409
|
3,56
|
0,722
|
108,3
|
0,415
|
3,72
|
0,735
|
|
20
|
86,41
|
0,419
|
4,04
|
0,807
|
86,2
|
0,403
|
3,91
|
0,798
|
|
21
|
37,99
|
0,446
|
2,49
|
0,701
|
37,7
|
0,425
|
2,33
|
0,692
|
|
22
|
54,15
|
0,399
|
1,54
|
0,734
|
54,01
|
0,391
|
1,52
|
0,733
|
|
23
|
16,54
|
0,428
|
5,39
|
0,655
|
16,1
|
0,421
|
5,23
|
0,651
|
|
24
|
3,31
|
0,345
|
0,94
|
0,755
|
3,44
|
0,355
|
0,99
|
0,761
|
|
25
|
37,92
|
0,448
|
4,62
|
0,709
|
37,7
|
0,432
|
4,24
|
0,697
|
|
26
|
18,1
|
0,399
|
3,24
|
0,727
|
18,2
|
0,405
|
3,41
|
0,731
|
|
27
|
52,61
|
0,424
|
4,99
|
0,686
|
52,2
|
0,421
|
4,91
|
0,683
|
|
28
|
21,33
|
0,370
|
1,07
|
0,726
|
20,6
|
0,362
|
1,08
|
0,71
|
|
29
|
70,52
|
0,426
|
0,89
|
0,759
|
71,0
|
0,431
|
0,95
|
0,772
|
|
30
|
10,01
|
0,441
|
6,34
|
0,726
|
9,97
|
0,417
|
0,14
|
0,711
|
|
31
|
46,3
|
0,423
|
6,49
|
0,709
|
46,2
|
0,421
|
6,21
|
0,695
|
|
32
|
16,02
|
0,405
|
3,63
|
0,751
|
16,41
|
0,396
|
3,47
|
0,742
|
|
33
|
3,86
|
0,386
|
1,32
|
0,696
|
4,22
|
0,392
|
1,41
|
0,707
|
|
34
|
14,87
|
0,371
|
3,06
|
0,898
|
14,33
|
0,361
|
3,0
|
0,876
|
|
35
|
8,85
|
0,58
|
0,89
|
0,778
|
8,49
|
0,471
|
0,83
|
0,77
|
|
36
|
48,79
|
0,449
|
0,95
|
0,717
|
49,2
|
0,457
|
0,99
|
0,731
|
|
37
|
8,60
|
0,411
|
6,66
|
0,777
|
8,56
|
0,40
|
6,51
|
0,769
|
|
38
|
32,67
|
0,471
|
3,29
|
3,29
|
0,775
|
32,4
|
0,469
|
0,768
|
|
39
|
21,13
|
0,432
|
3,48
|
3,48
|
0,931
|
21,0
|
0,430
|
0,927
|
|
40
|
4,9
|
0,632
|
0,402
|
0,807
|
4,88
|
0,622
|
0,389
|
0,80
|
|
41
|
21,18
|
0,474
|
0,44
|
1,39
|
20,3
|
0,465
|
0,37
|
1,20
|
|
42
|
2,75
|
0,791
|
0,83
|
0,792
|
2,92
|
0,81
|
0,98
|
0,82
|
|
43
|
26,12
|
0,449
|
1,47
|
0,678
|
26,3
|
0,44
|
1,41
|
0,67
|
|
44
|
18,39
|
0,382
|
3,77
|
0,754
|
18,61
|
0,389
|
0,98
|
0,781
|
|
45
|
18,67
|
0,444
|
0,86
|
0,784
|
18,5
|
0,437
|
0,78
|
0,765
|
|
46
|
7,56
|
0,429
|
3,52
|
0,769
|
7,69
|
0,435
|
8,68
|
0,782
|
|
47
|
3,37
|
0,418
|
3,68
|
0,769
|
6,63
|
0,401
|
3,52
|
0,761
|
|
48
|
7,28
|
0,420
|
0,13
|
0,836
|
7,15
|
0,397
|
0,12
|
0,811
|
|
49
|
8,62
|
0,391
|
6,59
|
0,707
|
8,53
|
0,376
|
6,31
|
0,696
|
|
50
|
2,16
|
0,822
|
5,48
|
1,71
|
2,03
|
0,802
|
5,31
|
1,63
|
|
Источник (узел о)
|
Qj=
513,6
|
Qj= 0,205
|
H= 1,4
|
H= 0,413
|
Qj= 513,1
|
Qj= 0,189
|
H= 1,35
|
H= 0,408
|
Примечание: Н - разность давлений в узле 0 и диктующей точке 29.
Известно [ 49 ], что плотность условного распределения двух коррелированных нормально распределенных случайных величин определяется выражением:
(2.13 )
Из (3.51) легко определяется вероятность появления различных значений Н при Qj=E. В (2.12) известны по результатам описанного выше расчета стохастического потокораспределения все необходимые величины, а коэффициент корреля ции между Н и Qj может быть уточнен по результатам имитационного моделирования. Так для сети рис. 2.5 график значений Н для различных Qj показан на рис.2.13. - коэф фициент корреляции здесь равен 0.3, что достаточно близко к использованному ранее.
Результаты расчета условных функций распределения вероят ностей Н при 6 значениях Qj показаны на рис. 3.8, а параметры этих функций приведены в табл. 2.4, данные которой показывают, что расчет по 2.12 достаточно хорошо сходится с имитационным моделированием и вполне соответствует данным натурных экспериментов в инженерных сетях, показанным на рис.2.12.
Рис. 2.12. График изменения Н от суммарного расхода Qj (при r=0,3).
Рис. 2.13. Условные функции распределения вероятности появления Н при различных значениях Qj
Таблица 2.4.
Параметры условных функций распределения вероятности появления Н при различных значениях Qj
|
Значения для сети рис.3.1.
|
Расчет по формуле (2.12)
|
Имитационное моделирование
|
|
|
Н
|
(Н)
|
Н
|
(Н)
|
|
100
|
20,6
|
6,35
|
18,72
|
5,24
|
|
200
|
26,1
|
6,35
|
22,85
|
6,02
|
|
300
|
31,15
|
6,35
|
25,63
|
5,35
|
|
400
|
37,9
|
6,35
|
34,81
|
5,26
|
|
500
|
42,5
|
6,35
|
38,11
|
5,77
|
|
600
|
48,2
|
6,35
|
43,8
|
5,94
|
|
700
|
54,9
|
6,35
|
49,3
|
4,21
|
|
800
|
59,5
|
6,35
|
50,2
|
4,73
|
|
900
|
45,3
|
6,35
|
38,6
|
4,35
|
2.4. Разработка алгоритмов и программ имитационного моделирования
В данном разделе рассматривается программа, выполненная на основе методики и алгоритма, разработанных в диссертационной работе.
S T A T – программа определения значений параметров стохасти ческого потокораспределения в трубопроводных инженерных сетях.
Программа STAT реализует алгоритм модели, который под робно изложен в разделе 2.3.
Как видно из блок-схемы, приведенной на рис. 2.14, програм ма STAT состоит из основной программы, которая производит ввод данных и определяет значения параметров и шести подпрограмм:
1. Подпрограмма CMAT (C, Y, Z, AIS, LI, M1, M2), предназначена для первоначального расчета матрицы С. Входные параметры:
С (1) - действительный одномерный массив длиной М*N], когда записываются полученная матрица С по строкам;
M, N - количество ветвей и узлов схемы;
Y(I) - вспомогательный одномерный массив размерностью М*N;
AIS(I) - массив сопротивлений ветвей, размерностью;
Z(I) - вспомогательный одномерный массив размерностью
LI(I) - вспомогательный одномерный целый, 2-х байтовый мас сив
размерностью М;
M1(I), M2(I) - одномерные, целые, 2-х байтовые массивы размерностью М, куда записываются начальные и конечные номера узлов и ветвей.
Необходимые подпрограммы:
SINV(AN, EPS, IER) - стандартна подпрограмм: обращения треугольной матрицы;
LINEM, COLM - подпрограммы вычисления соответственно строки и столбца 1-й матрицы инциденций М.
Рис 2.14. Блок-схема работы программы STAT/
2. Подпрограмма YMAT(C,Y, Z, LI, M1, M2).
Предназначена для вычисления матрицы Yij.
С (1) – входной массив матрицы С, записанной по строкам, размерностью M*N;
Y(I) – выходной массив, действительной, длиной куда записывается полученная матрица в треугольном виде, только верхняя часть, по строкам, например:
|
1 2 3
4 5 1, 2, 3, 4, 5, 6
6
|
Остальные параметры аналогично пункту 1.
Требуемая подпрограмма - COLM.
3. Подпрограмма LINEM(K, M, L, M1, M2).
Предназначена для вычисления строки 1-й матрицы инцинденций.
К – какую строку надо определить;
М – количество ветвей в сети;
M1, M2 – аналогично, как и в предыдущих;
L(I) – вспомогательный массив, длиной M.
4. Подпрограмма COLM (K, M, L, M1, M2) Предназначена для вычисления столбца 1-й матрицы инциденции М.
К- номер столбца, определяемого подпрограммой;
N - количество узлов в схеме.
M1, M2, L(I) - аналогично п.З.
5. Подпрограмма DlSPER (C, JS, RO, M, N ID,H)
Предназначена для вычисления дисперсии расходов в ветвях сети, при заданном значении коэффициента корреляции между процессами потребления воды в узлах.
С(I) - аналогично, п.1;
JS(I)- массив длиной N , действительный, содержит исходные данные о среднеквадратическом отклонении нагрузок узлов сети;
RO - входная, действительная переменная, содержит значение коэффициента корреляции между столбцами расходов в узлах;
M, N - аналогично, п.1;
ID(I) - входной, действительный, одномерный массив длиной M, содержит значение дисперсии расходов в ветвях;
Н(1) - вспомогательный одномерный, действительный массив длиной M;
Необходимая подпрограмма GММRR .
6. Подпрограмма GMMRR (С , JМО, Н2 , М, N,1) стандартная подпрограмма умножения матрицы на вектор.
Входные параметры:
C(1) - аналогична п.1 и п.2;
JМО(I) - массив длиной N, действительный, содержит исход ные данные о математическом ожидании .
- аналогично п.1;
Входным параметром является одномерный массив Н2(I), длиной M;
7. Подпрограмма NAPUZ (HU, QU, Z)
Предназначена для определения напоров в узлах рассчитываемой сети.
Входные параметры:
HU(I) - действительный вектор напоров в узлах размерностью N;
QU(I)- действительный вектор расходов в узлах размерностью N ;
Выходной параметр:
Z(N,N) - действительная матрица угловых сопротивлений размер ностью N*N;
8. Подпрограмма NUPBT (HB, HU, M1,M2):
Предназначена для определения потерь напоров в ветвях сети.
Входные параметры:
HU(I)- аналогично п.7:
M1, M2 - аналогично п.1.
Выходной параметр:
HB(I) - действительный вектор потерь напора в ветвях сети размерностью M.
Как было сказана в разделе 2.2, при работе алгоритма имитаци онного моделирования работы сети, используется блок А2, предназначенный для расчета информирования линеаризованных значений исходных уравнений. Такой метод расчета предложена в работе Т.Марлоу и другие [ ]. Ниже приводится блок-схема алгоритма А2 разработан ного на основе этого метода ( рис. 2.15 ).
Алгоритм состоит из 20 этапов.
1. Начало работы блока А2; исходными данными для работы блока является Hj, Si, Qj, где Hj, j N предварительное значение напоров в узлах сети, Si, i M- значение сопротивлений линий, Qj, j N - значение узловых отборов.
2. Присвоение I 0, для начало работы счетчика циклов.
3. Счетчик циклов по I , служит для присвоения значения линеаризованных коэффициентов i - ым элементам формируемой сис темы уравнений.
4. Присвоение правой части формируемой системы уравнений значения узловых отборов Qj.
5. Анализируем значение сопротивлений линий сети, если , Si > 0 то переходим к пункту 6. если , Si = 0 - переход к пункту 7.
6. Формирование линеаризованных значений системы уравнений
по формуле: Ai,n+1 = Ai, n+1 - H0 (H0- Hi)/Si
где i = 1, M; N = 1, n;
7. Присвоение j значения ноль, для начала работы счетчика циклов.
8. Счетчик циклов, служит для присвоения рассчитанных значе ний j - ым элементам исходных уравнений.
9. Подготовка массива Aij для последующего его использо вания в работе блока.
10. Настройка программы для вычисления значения линеаризован ных коэффициентов, если Sij 0 то переходим к пункту 11, иначе к пункту 12.
11. Вычисление значения линеаризованных коэффициентов, для формирования линеаризованной системы уравнений по i - ым строкам и j -ым столбцам.
12. Проверка условия i=j, если определены все значения линеаризуемых коэффициентов по i- ым строкам и j - ым столбцам, то переходим к пункту 13, иначе к пункту 15.
13. Присвоение K0, для начало работы счетчика циклов.
14. Счетчик циклов K - предназначен для присвоения значений диагональным элементам формируемой системы линеаризованных урав нений.
15. Проверка условия Sik0, если все элементы по диагонали просмотрены, то переходим к пункту 17, иначе к пункту 16.
16. Вычисление и формирование значений системе линеаризован ных уравнений по формуле: Ai,j = Aij - (Hi- Hk)/Si,k
где k N,
17. Проверка окончания цикла по K - ым элементам, если усло вие выполняется то переход к пункту 14, иначе к пункту 18.
18. Проверка окончания цикла по j - ым элементам, если усло вие соблюдается то переходим к пункту 8, иначе к пункту 19.
19. Проверка окончания цикла по i - ым элементам, если усло вие выполняется то переходим для продолжения цикла, к пункту 3,
если не выполняется, то к пункту 20.
20. Окончание счета.
После вычисления значений линеаризующих коэффициентов по вышеуказанному методу составляется на основе этого алгоритма система ( N - 1 ) уравнений баланса расходов в узлах сети, далее используя стандартную подпрограмму SIMQ [ ] методом после довательного приближения, определяем новые значения напоров в узлах сети. Полученные таким методом значение напоров считается правильным, если выполняется условие 0,01( где - разность полученных значений напоров в i и i+1 шаге решения системы линейных уравнений.
9. Подпрограмма RADEN(SIG, FMO, R)
Предназначена для получения значения случайного расхода распределенного по нормально закону, с математическим ожида нием FMO и среднеквадратичным отклонением расхода = SIG.
Входные параметры: FMO, SIG.
Необходимая подпрограмма REGUL.
10. Подпрограмма REGUL.
Предназначена для получения случайных чисел с равномерным законным распределения в интервале 0 1.
Входные параметру X - случайное число.
Необходимые подпрограммы:
BLOK1 - подпрограмма управления и формирования случай ных чисел для последующего использования его через общие блоки в главной подпрограмме.
BLOCK DATA - подпрограмма предназначена для присвоения начальных значений переменным из именованных общих областей.
В ы в о д ы
1. Показана целесообразность использования для задач имитационного моделирования инженерных сетей квазаидетерминированной модели процесса потребления воды, обеспечивающий достоверность расчета на длительных интервалах моделирования.
2. На основе обработки экспериментальных данных изучения процессов водопотребления, получены математические ожидания и дисперсии параметров квазидетерминированной модели процесса потребления воды систем водоснабжения.
3. Разработан алгоритм моделирования прцесса потребления воды систем водоснабжения, статистическая обработка результатов работы которого показали хорошую сходимость автокорреляционных функций моделируемых процессов потребления воды и реальных процессов потребления воды на различных объектах.
ГЛАВА 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
3.1. Вероятностное потокораспределение при различных состояниях структуры сети
В главе 2 при анализе случайного процесса изменения струк туры инженерной сети в результате отказов пассивных элементов схемы было показано, что вероятность такого состояния структуры, при котором функционируют все её элементы, достаточно мала. Основную часть времени работы инженерной сети её структура ха рактеризуется тем, что один из элементов находился в простое, связанном с необходимостью восстановления после отказа. Из это го следует, что если проектирование будет вестись даже с анали зом стохастического потокораспределения при случайных изменениях нагрузок в узлах схемы сети, математическая модель которого предложена в главе 3, то возможны значительные ошибки при под боре характеристик активных элементов- насосов, компрессоров, и, следовательно, в условиях эксплуатации инженерной сети будет высока вероятность снижения направлений в диктующих точках ниже требуемых значений. Для правильного выбора характеристик активных источников следует найти такую функцию распределения вероятности требуемых давлений, насосных компрессорных станциях, которая может совокупно учесть и случайный характер изменения нагрузок в узлах, и случайные потоки отказов пассив ных элементов. На основе такой функции распределения можно бо лее обосновано выбрать состав и характеристики как рабочих, так и резервных агрегатов насосных станций.
В принципе, отказ какого – либо элемента схемы инженерной сети произойти в момент появления одного из случайных значений вектора узловых нагрузок. Естественно, что если в момент возникновения отказа нагрузки в узлах малы, то и последствия отказа невелики - возмог даже, что при наибольшем времени восстановления потребители практически даже не заметят этих, последствий например, отказ на участке сети системы водоснабжения в точный период устранений за 2-3 часа. Напротив, если отказ возникает в период максимально нагрузок даже на малозначительном линии инженерной сети ряд потребителей лишается целевого продукта и ощущает отказ весьма остро.
Будем считать, что возникновение отказа i - ой линии
схемы сети равновероятно в любой час суток и, следовательно
при любом возможном векторе нагрузок. В этом случае доста точно последовательно изменят структуру инженерной сети, исключая из ее схемы поочередно все участки трубопроводов, для каждой новой структуры при заданных параметрах вектора нагрузок математическое ожидание и дисперсия находить параметры стохастического потокораспределения . При этом для раз личных структур инженерной сети будут одинаковыми параметры функции распределений вероятности подач от источников целевого продукта, а параметры функций распределения вероятности требуемых давлений будут различны (при одинаковой величине давления в диктующей точке системы). Поскольку вероятность возникновения структуры Si, в которой отсутствует i-ый пассивный элемент, равна Psi и зависит только от параметров этого элемента (диаметр трубопровода, его протяжен ность), то каждая из найденных функций распределения вероятнос ти требуемых давлений на источниках питания для всех структур Si будет реализована с вероятностью Psi , т.е. именно эти вероятности являются весовыми коэффициентами при вычислении общей функции распределения требуемых давлений».
Эта модель является прибли женной с погрешностями, вполне приемлемыми для практических целей. Естественно, что и в нелинейной сети при отключениях от дельных линий, для каждой структуры может быть найдена новая матрица коэффициентов распределения, учитывающая за конов Кирхгофа при математических ожиданиях нагрузок в узлах, но прямой путь расчета такой матрицы при большом числе возможных структур сети чрезвычайно трудоемок, поэтому рассмотрим алгоритм определения приближенных значений коэффициентов распределения нагрузок по ветвям схемы при отклю чении одной из ветвей. Пусть в схеме сети на рис. 1 должна быть отключена ветвь 4, для которой положительное направление пото ка соответствует его движению от узла 1 к узлу 2. При наличии всех ветвей в схеме сети поток по линии 4 равен q1 , а при ее отключении этот поток должен стать равен нулю. Допустим, что линия 4 оставлена в схеме и по ней пропускается расход равный по величине, но обратный по направлению. Для этого в узле 2 необходимо ввести в сеть расход: = + , в узле 1 сде лать, сброс . Используя коэффициенты распределения нагрузок можно записать: - = ( +) + () + ( 3.1. )
bли
- - + = + + ( 3.2. )
Тогда, учитывая, что Q1 = - q4 и Q2 = + q4 имеем
- q4 = - Q2 = Q1 = (C41Q1 + C42Q2 + C43Q3)/1+C41 – C42 = A. ( 3.3. )
Для любой ветви схемы (например - ветви 5) после отклю чения ветви 4 и соответствующего изменения нагрузок в узлах 1 и 2 величина потока может быть записана в виде:
Q5 = C51(Q1+Q1) + C52(Q2-Q2) + C53Q3.
или с учетом ( ): q5 = C51Q1 + C52Q2 + C53Q3 + C51A – C52A ( 3.4.)
Так как при новых, значениях коэффициентов распределения, найденных с учетом отключения линии 4, будем иметь:
q5 = C51Q1 + C52Q2 + C53Q3, ( 3.5 )
то решая совместно ( ) и ( ) получим:
C51 = C51 + ((C51-C52)/1+C41 – C42)*C41
C52 = C52 + ((C51-C52)/1+C41 - C42)*C42 ( 3.6.)
C53 = C53 + ((C51-C52)/1+C41 – C42)* C43
Переходя к матричной форме записи коэффициентов распре деления нагрузок имеем для всех линий сети:
Cij = Cij + (( Cij - Cij )/ (1+COH-COK))* Cij (3.7. )
где Cij - матрица коэффициентов распределения от исходной схемы.
Cij - то же, при отключении линии 0;
Coj - матрица-строка коэффициентов для отключаемой линии 0;
Cih - матрица-столбец коэффициентов для узла, в ко тором начинается
линия 0;
Cik - то же, для узла где кончается линия 0;
Coh - коэффициент на пересечении строки, соответствующей отключаемой
линии 0, и узла, соответствующего началу этой линии;
Cok - то же, но для узла, в котором заканчивается линия 0.
Выражение ( ) полностью действительно только в том случае, когда в сети действует принцип наложения нагрузок ис пользованный в ( ), т.в. на случае линейных сетей [ ]. Для нелинейных трубопроводных сетей требуется экспериментальная проверка допустимости использования уравнения ( ) , достоинство которого заключается в том, что при определении коэф фициентов распределения нагрузок в случае отключения одной из линий сети не требуется никакой дополнительной информации - весь расчет выполняется с использованием только матрицы для полной схемы сети. При этом алгоритм пересчета матрицы: коэффициентов распределения нагрузок для случая нелинейных трубопроводных систем можно модифицировать исходя из того, что указанный пересчет ведется не для уточнения перераспределения (т.е. коррекции функций распределения вероятности потоков и потерь напора), а лишь для расчета функций распределения вероятностей параметров активных источников. В этом случае можно даже при значительных погрешностях расчета потоков на основе ( ) практически полностью ликвидировать погрешность расчета по сравнению с точным потокораспределением. . Для этого необходимо лишь вычислить необходимолишь вычислить не по ( ) , а как среднее значение потерь от диктующего узла до источника используя различные пути на графе сети.
В реальных расчетах нет необходимости выявления всех воз можных путей от базисного узла до диктующей точки сети - доста точно непосредственно по исходному графу сети указать перед началом расчета 3-4 возможных направлений потока. При этом в случае, когда отключаемая ветвь входит в одно из направлений, расчет ведется только по оставшимся в схеме 2-3 путям движения потоков.
Расчеты потокораспределения при поочередном отключении каждой из линий расчетной схемы сети в соответствии с (4.8) были выполнены и для сетей» показанных на рис. 2.1 и рис 2.6. Сравнение результатов этого расчета с данными гидравлических5расчетов и имитационного моделирования приведено в табл. 2,1 и табл. 2.2, анализ которых показывает, что погрешность вычисления математического ожидания потоков не превышает-5%, а погрешность определения коэффициентов вариации потоков состав ляет не более – 10% Окончательный вывод о возможности исполь зования коэффициентов вычисленных по (4.8) можно сделать сравнивая параметры функций распределения потерь напора между базисным узлом и диктующей точкой сети. При этом математическое ожидание ( ) определяется с учетом (2.13),как среднее значение потерь напора, вычисленное по различным направлениям от базисного узла до диктующей точки,) a по (2.14) с использованием . Сравнение и ( ) с данными гидравлического расчета при нагрузках в узлах, равных математические ожиданиям, а также с ( ) определен путем имитационного моделирования, показана в таб лице 2.4 ( ) и таблице 2.5 ( сеть рис. 2.6) . Анализ этих таблиц показывает, что предложенная математическая модель стохастического потокопаспределения оказывается вполне приемлемой и для тех, случаев, когда необходимо определение параметров такого потокораспределения при отключениях различ ных линий расчетной схемы сети.
3.2. Программное обеспечение расчета требуемых характеристик источников питания В этом разделе описана программная реализация разработанной модели по определению стохастического потокораспределения в вет вях сети, в результате изменения ее структуры. Полное описание алгоритма предлагаемого метода дано в пре дыдущем разделе, поэтому ниже рассмотрим лишь его программную реализацию. Блок-схема алгоритма дана на рис. 2.14. Программа имеет название STNAT. Как видно из блок-схемы программа STNAT состоит из основной программы, которая осуществля ет ввод данных и определение значений параметров, а также шести подпрограмм.
1. Подпрограмма СМАТ выполняет аналогичную функцию как в разделе 3.3 и использует те же необходимые подпрограммы.
Рис 2.14. Блок-схема программы STNAT
Подпрограмма COFF1 (C, IOFF, JJ, JK, STLB, STR)
Предназначена для пересчета матрицы С, когда отключается одна ветвь; во всех узлах отборы сохраняются.
С (I) - входная матрица С, куда записывается пересчитанная матрица С, ее размер остается неизменным, строка, соответствую щая отключенной ветви заполняется нулями;
IOFF - номер узлов начала и конца отключенной ветви;
STLB(I), STR(I) - вспомогательные, целые, одномерные массивы длиной М и N;
Требуемых подпрограмм нет.
3. Подпрограмма GММRR аналогична раз. 3.3, подпункта 6.
4. Подпрограмма DISPER аналогична раз. 3.3, пункта 5.
5. Подпрограмма LINEM аналогична раз. 3.3, пункта 3.
6. Подпрограмма COLM аналогична раз. 3.3, пункта 4.
В ы в о д ы
1. Показана целесообразность использования метода Монте-Карло для целей имитационного моделирования потоков отказов пассивных элементов сетей при построении моделей вероятностного потокораспределения.
2. Предложено использовать при изучении вероятностного потокораспределения в инженерных сетях сетевой метод оценки надежности сетей и метод пространства состояний, что позволяет совмещать моделирование случайной структуры сети с оценкой параметров вероятностного потокораспределения на всем интервале имитационного моделирования.
О Б Щ И Е В Ы В О Д Ы
1. Обоснован необходимость разработки математической модели вероятностного потокораспределения в нелинейных трубопроводных сетях и предложена модель, базирующейся на использовании матриц обобщенных параметров сети, дающиеся возможность распределять узловые нагрузки воды, вычисляемых в точке математического ожидания вектора случайных нагрузок сети.
2. Показано, что при синхронных гармонических колебаниях нагрузок узлов в трубопроводных сетей элементы матриц обобщенных параметров сети остаются константами. При реальных колебаниях нагрузок дисперсия элементов указанных матриц невелика, что позволяет рассчитывать два первых центральных моментов функций распределения вероятности потоков в пассивных элементах сетей с погрешностью не более 10%.
3. Разработан алгоритм имитационного моделирования режимов функционирования инженерных сетей. Общий алгоритм моделирования включает квазидетерминированную модель процесса потребления воды в узлах сети и алгоритм моделирования случайной структуры сетей.
4. Алгоритм расчета матрицы обобщенных параметров сети при полной схеме сети и при исключении из неё отдельных пассивных элементов обеспечивает расчет параметров вероятностного потокораспределения при всех возможных вероятностных состояниях окружающей среды инженерных сетей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамов Н.Н. Теория и методика расчета систем подачи и распределения воды. - М.: Стройиздат, 1990. - 288 с.
2. Абрамов Н.Н. Бодоснабдение. - М.: Стройиздат, 1998. - 480с,
3. Абрамов Н.Н. Надежность систем водоснабжения. - М.: Строй издат, 1990. - 231 с.
4. Андрияшев М.М. Расчет водопроводных сетей с учетом коэффициентов часовой неравномерности водопотребления. Водоснабжениеи санитарная техника, 1999, В II, с.7-10.
5. Астахов Ю.Н., Веников В.А., Горский Ю.М., Карасев Д.Д.,Маркович И.М. Электрические системы. Кибернетика электрических систем. - М.: Высшая школа, 1974. - 328 с.
6. Басе Г.М., Владыченко Г.П. и др. Водоснабжение. Технико-экономические расчеты. Киев, Вища школа, 1977. - 152 с.
7. Белан А.Е., Хоружий П.Д. Технико-экономические расчеты водопроводных систем на ЭВМ. - Киев, Вища школа, 1979. - 192 с.
8. Белозеров Н.П., Луговский М.В. Расчет систем водоснабжения с применением вычислительной техники. - М.: Колос, 1973.- 248 с. 9. . Брамеллер А. и др. Слабозаполненные матрицы: Анализэлектроэнергетических систем. Пер. с англ. - М.: Энергия, 1979,- 192 с.
10. Бусленко Н.П., Голенко Д.И., Соболь И.М., Страгович В.Г.Шредер Ю.А. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). -М.: Физматгиз, 1962.
11. Бокс Дж., Дженкинс Г.Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 2. - М.: Мир, 1974, 200 с.
12. Веников В.А., Жуков Л.А., Поспелов Г.Е. Электрические системы. Режимы работы электрических систем и сетей. - М.: Высш.школа, 1975. - 344 с.
13. Веников В.А., Горушкин В.И., Маркович И.М., Мельников Н.А., Федоров Д.А. Электрические системы. Электрические расчеты, программирование и оптимизация режимов. - М.: Высш.школа, 1973,-320 с.
14.. Н.У Бахрамов. «Имитационное моделирование водопотребления в инженерных сетях» . Материалы научно-методической конференции по итогам года. 2008-2009. 2с.
15. Н.У. Бахрамов. «Математическое моделирование трубопроводной сети со случайным процессом потребления воды» Материалы научно-методической конференции по итогам года. 2009-2010.2с.
PAGE \* MERGEFORMAT 4
Моделирование вероятностного распределения расходов в водопроводных сетях