СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ

Контрольная работа

Содержание

1. Введение

2. Регуляризация квантового поля

3. Регуляризация Паули – Вилларса, космологический член

4. Закон тяготения в искривленном пространстве-времени

5. Уравнение состояния космического вакуума

6. Эволюция Вселенной в эпоху после рекомбинации

7. Определения космологических терминов

7.1. Красное смещение z

7.2. Постоянная Хаббла

7.3. Критическая плотность Вселенной

7.4. Космологические параметры

8. Уравнения Эйнштейна для Вселенной

9. Заключение

Список литературы

1. Введение

Одним из последних достижений наблюдательной астрономии является доказательство ускоренного расширения Вселенной в эпоху, близкую к нашей [1, 2]. Это ускорение есть следствие того, что преобладающей формой материи во Вселенной в нашу эпоху является космический вакуум. Понятие “космический вакуум “ объединяет общий вакуум всех полей материи, как входящих в состав стандартной модели квантовой теории поля [3, 4], так и не включенных в нее по различным причинам. Точная структура единого физического поля материи в настоящее время неизвестна. Однако, его вакуум должен иметь строго определенный онтологический статус в наблюдаемой Вселенной. Простейшей формой космического вакуума является поле, соответствующее космологическому члену в уравнениях Эйнштейна [5]. Проследим за его происхождением как вида материи, возникающего из вакуума квантового поля.

2. Регуляризация квантового поля

Рассмотрим свободное невзаимодействующее квантовое поле, помещенное в плоское пространство-время. В простейшем случае это поле можно моделировать совокупностью линейных гармонических осцилляторов, помещенных в каждую точку пространства. Тогда энергия поля есть сумма энергий осцилляторов со всевозможными частотами k:

, (1)

где nk = 1, 2, … числа заполнения состояний, k = kc частоты осцилляторов, k собственные числа оператора импульса, принадлежащие непрерывному спектру, c– скорость света. В дальнейшем удобно использовать рациональную систему
единиц h = c = 1.

Из (1) следует, что энергия вакуума квантового поля в этой модели бесконечна:

(2)

Для получения, вместо нефизического бесконечно большого значения энергии (2), конечного выражения необходимо провести в квантовой теории поля (КТП) существует процедура вычитания бесконечностей, называемая иначе регуляризацией. Таким образом, построение модели квантового поля предполагает указание процедуры регуляризации и (насколько это возможно) придание этой процедуре физического и геометрического смысла.

Усложним модель. Пусть основное состояние поля, представляющего собой среду из совокупности линейных гармонических осцилляторов всевозможных частот, есть вакуум со сложной структурой, вариантами которой могут быть, например, набор фундаментальных "а" полей с очень большими массами Ma (регуляризация Паули – Вилларса).

Структура вакуума может быть геометрической: с нецелой составляющей размерности пространства N = 4 + при 0 (размерная регуляризация); скрытой в бесконечно малом предельном расстоянии между двумя движущимися материальными точками (регуляризация геодезической раздвижкой точек).

Возможны и другие подходы к регуляризации вакуумных бесконечностей в квантовой теории поля. Строгой и последовательной модели квантового поля (включая процедуру вычитания бесконечностей) сегодня не существует. В этой незавершенности теории скрывается возможность ее дальнейшего развития вплоть до отказа от фундаментальной идеи корпускулярно-волнового дуализма и замены квантовой динамики частиц динамикой струн [7].

3. Регуляризация Паули – Вилларса, космологический член

Рассмотрим простейшую реализацию идеи квантового поля на примере массивного нейтрального скалярного поля. Лагранжиан этой теории:

, (3)

где i = 0, 1, 2, 3, а лагранжиан полей Паули-Вилларса ( PW):

. (4)

Как известно, поле имеет бесконечное число степеней свободы. Учет вкладов от всех степеней свободы и приводит к расходимостям в выражении [1] для энергии E. Для практического осуществления процедуры регуляризации удобно перейти к импульсному представлению для переменных поля, вводя вместо полей в формулах [3,4] их фурье - компоненты . Как будет показано ниже, после такого перехода выражение для энергии будет содержать только 3 типа расходимостей : вида . Эти расходимости имеют место в ультрафиолетовой (коротковолновой) части спектра и поэтому называются ультрафиолетовыми. То есть, переход к импульсному представлению удобен тем, что степени свободы поля объединяются в 3 разные группы (по числу типов расходимостей). Как подчеркивалось ранее, физического смысла расходящиеся выражения для энергии поля не имеют. Для придания им конечного вида и используется процедура регуляризации, в частности регуляризация Паули-Вилларса (PW). При выполнении этой математической процедуры, число вспомогательных PW – полей выбирается равным числу типов расходимостей в полевом операторе , который ставится в соответствие энергии поля E. То есть, индекс а должен пробегать значения а=1,2,3. Устранение ультрафиолетовых расходимостей и переход к конечным выражениям для тензора энергии-импульса достигается с помощью алгебраических

соотношений, накладываемых на массы полей

(5)

Переход от бесконечно больших величин к конечным достигается при условии стремления массы PW- полей к бесконечности:

, (6)

когда масса квантов PW-полей столь велика, что вероятность их рождения из вакуума подавлена.

Выполним процедуру регуляризации непосредственно для тензора энергии-импульса (ТЭИ) поля:

, (7)

соответствующего лагранжиану (3) [6]. Введем новый положительный параметр , который, как окажется, определяет физический смысл выполняемой регуляризации:

. (8)

Тогда, среднее значение энергии поля в вакуумном состоянии |О> есть

(9)

Переходя к фурье-представлению по k, можно записать вакуумное значение энергии поля (3) в виде

(10)

Собственные значения k оператора импульса поля принадлежат непрерывному спектру, поэтому в (10) можно перейти от суммирования к интегрированию стандартным способом [8,13], заменяя суммирование интегрированием по импульсной переменной k. При этом число состояний в импульсном пространстве в интервале между k и k+dk есть

(11)

Выпишем первое слагаемое в выражении (10) в явном виде:

, (12)

где интеграл, очевидно, расходится на верхнем пределе. Поэтому ограничим верхний предел интегрирования некоторым нефизическим значением импульса k0, которое в дальнейшем устраняется из теории. После взятия табличного интеграла (12) и разложения его в степенной ряд по параметру получим:

. (13)

С учетом условий регуляризации (5) и (6) энергия поля в вакуумном состоянии приводится к виду

, (14)

В силу однородности и изотропии плоского четырехмерного пространства – времени, это выражение легко ковариантно обобщается с помощью шарового тензора Кронекера :

. (15)

Положительно определенная постоянная величина представляет собой энергию физического поля, равномерно распределенную во всем физическом пространстве. Именно тензор энергии – импульса вида (15), называемый космологическим членом, был введен Эйнштейном в уравнениях общей теории относительности (ОТО) из интуитивных соображений [5], что позволило ему завершить построение простейшего варианта классической ( неквантовой )

теории гравитационного поля. Введенная таким образом постояннаяимеет физический смысл новой – второй гравитационной постоянной. Первая постоянная тяготения в теории Эйнштейна численно пропорциональна постоянной тяготения Ньютона G (=8G).

4. Закон тяготения в искривленном пространстве-времени

Квантовые поля материи обладают энергией, а следовательно, искривляют пространство-время. Это искривление четырехмерного пространства-времени на межгалактических расстояниях проявляется как его расширение, вследствие чего все объекты метагалактики разбегаются друг от друга. Их разбегание приводит к допплеровскому красному смещению спектральных линий галактик, квазаров и других далеких внегалактических объектов, что характеризуется количественно параметром “красное смещение” ( длина волны света в спектре внегалактических источников).

Искривленное материей пространство-время может быть описано уравнениями Эйнштейна. Закон тяготения Эйнштейна при значении величины можно трактовать [9] как закон упругости для пространства-времени:

, (16)

где ТЭИ материи является аналогом силы, действующей с их стороны на пространство-время. Постоянная тяготения Эйнштейна является аналогом модуля упругости для искривленного четырехмерного пространства. Тензор кривизны Эйнштейна , составленный из тензора Риччи и его свертки R , аналог деформации четырехмерного пространства под действием “силы” .

Полный тензор энергии-импульса поля и материи есть сумма:

(17)

среднего по вакууму от ТЭИ квантовых полей и ТЭИ классической материи, заполняющей пространство - время. Очевидно, что первое слагаемое в правой части (17) расходится и нуждается в регуляризации, аналогично (7). После снятия регуляризации соответствующий первому слагаемому в (17) лагранжиан классического гравитационного поля принимает вид [10]:

(18)

где ,

новая неэйнштейновская постоянная, модифицирующая законы гравитации в сильных полях тяготения.

Постоянные и имеют сходный физический смысл модулей упругости искривленного физического пространства, и в нерелятивистском приближении теории тяготения соответствуют силам притяжения между материальными телами. По этой причине, в выражении (18) они стереотипно записываются в знаменатель. Физический же смысл аддитивной постоянной - совершенно иной.

Как будет показано ниже, в законе тяготения она отвечает за отталкивание между материальными телами, то есть приводит к антигравитации.

Если кривизны пространства-времени достаточно малы, что заведомо выполняется на поздних этапах эволюции Вселенной, последнее слагаемое в (18) может быть отброшено, а уравнения теории гравитации примут вид уравнений Эйнштейна с -членом:

. (19)

Отметим, что материя, описываемая - членом, появляется в результате регуляризации из вакуума квантового поля! Интегральный вклад в величину дает вакуум всех полей, объединенных в единое физическое поле. Величина постоянной должна зависеть от внутренней структуры этого вакуума, вплоть до дефектов в этой структуре. Этот общий вакуум всех квантовых полей и объединяется в астрономии термином “космический вакуум“.

5. Уравнение состояния космического вакуума

Космический вакуум представляет собой общий вакуум всех квантовых полей заполняющих Вселенную. Структура этого вакуума, (как и уравнения единой теории поля) на сегодняшний день неизвестны. Однако, опираясь на проделанные в п.3 расчеты и соотношение (15), можно ожидать, что ТЭИ космического вакуума имеет вид уже использованный в формулах (18), (19)

. (20)

Сравним (20) с ТЭИ материи, представляющей собой термодинамическую сплошную среду

, (21)

где ui - 4-скорость материи. Тензор (21) строится для материи, обладающей плотностью энергии покоя и шаровым тензором потока импульса в собственной системе отсчета ui = (1, 0, 0, 0) (именно в этой системе отсчета справедлив трехмерный закон Паскаля для давления сплошной среды, то есть греческие индексы пробегают здесь значения ). Поэтому в собственной системе отсчета тензор (21) диагонален:

. (22)

Сравнивая (22) с пространственной частью (20)

(23)

видим, что пространственные компоненты этих тензоров имеют противоположные знаки и, следовательно, уравнение состояния вакуумной материи имеет вид

, (24)

то есть, давление вакуумной материи всегда отрицательно! (сила давления направлена в противоположном направлении от выделенной в среде пробной площадки). Это означает, что при расширении среды данный вид материи постоянно рождается из вакуума. Вот почему возникает, так называемый, “инфляционный” режим расширения, соответствующий быстрому взрывному рождению материи.

Из (19) и (23) следует, что гравитация (искривление пространства-времени) в ОТО создается не только энергией, но и потоком импульса. В частности, с помощью уравнений Эйнштейна для гравитационного поля (19) можно показать [11], что ускоренное движение материи Вселенной определяется энергией и давлением в комбинации + 3p. В силу того, что p < 0, а , однородно разлитая в пространстве вакуумная среда вызывает ускоренное движение материи в направлении, противоположном действию сил гравитации, то есть антигравитирует. Таким образом, космический вакуум создает антигравитацию!

Уравнение состояния космического вакуума может быть обобщено. Действительно, допустима реализация основного состояния вакуума не в виде сплошной среды, а в виде некоторого конденсата, представляющего собой классическое силовое поле. Это поле должно иметь одну поляризацию, как и вакуумная материя Эйнштейна, и динамику во времени. Указанным простейшим требованиям удовлетворяет скалярное поле с самодействием, лагранжиан которого имеет вид:

. (25)

Потенциал самодействия V() может быть задан так, чтобы на поздних стадиях эволюции Вселенной, когда вакуум играет доминирующую роль, вакуумная материя имела уравнение состояние вида [12]:

p = w . (26)

Общие требования, предъявляемые к полю (25), фиксируют множитель w в интервале

1 < w<0 (27)

Материя, описываемая выражениями (25) – (27), называется “темной энергией” или “квинтэссенцией”, а также имеет отрицательное давление, и антигравитирует, как и вакуумная материя Эйнштейна.

Получим кинематический закон расширения для среды с уравнением состояния (26). При медленном адиабатическом расширении (например, при расширении Вселенной) эта среда является бездиссипативной, а связь между энергией V, объемом среды V и давлением p дается термодинамическим тождеством [13]

, (28)

откуда вытекает, что

(29)

где 0 - плотность энергии материи в наше время. Линейный масштаб системы в этом выражении произволен, поэтому результат

интегрирования может быть записан в виде

. (30)

где - масштабный фактор (радиус Вселенной ) в наше время.

6. Эволюция Вселенной в эпоху после рекомбинации

Эта эпоха эволюции наступает после того, как температура среды падает ниже 1 эВ, причем с момента “Большого Взрыва” проходит время tр 1013 с. На данном этапе вещество Вселенной состоит из следующих подсистем:

1) космический вакуум с уравнением состояния . Причем далее для простоты будем полагать w = 1, считая космический вакуум -материей Эйнштейна. Как следует из (30), плотность энергии этой материи в процессе эволюции не меняется:

; (31)

2) пылевидное вещество с уравнением состояния p = 0, представляющее собой, во-первых, “темную материю“ с плотностью энергии , в состав которой могут входить тяжелые нейтральные частицы калибровочных теорий поля (нейтралино и нейтрино разных сортов), объекты типа Юпитера, “черные дыры”. А во-вторых, яркая светящаяся материя, состоящая из барионов, с плотностью энергии , так что полная плотность энергии .

Для пылевидного вещества с p = 0 из (30) следует кинематический закон эволю ции плотности энергии

, (32)

где плотность энергии пылевидной материи в сегодняшней Вселенной

7. Определения космологических терминов

7.1. Красное смещение z

В спектральных линиях метагалактических объектов длина волны и частота однозначно связаны со временем расширения Вселенной t и ее радиусом (масштабным фактором а). Функциональная связь между этими величинами имеет [14] вид:

(33)

Так, согласно современным космологическим моделям Вселенной, моменту рекомбинации излучения по космологической шкале, как упоминалось, соответствуют время от начала расширения tp 1013 с и красное смещение z ~ 1400. Современному состоянию Вселенной соответствуют z = 0 и время от момента начала расширения 1017 c.

7.2. Постоянная Хаббла .

Постоянная Хаббла [14, 15] характеризует логарифмическую скорость расширения Вселенной в нашу эпоху:

100 (км/сМпс) (34)

где = 0,7 0,1.

7.3. Критическая плотность Вселенной

При рассмотрении эволюции Вселенной важную роль играет постоянная, называемая ее критической плотностью:

с2 (г/см3), (35)

где с – скорость света в см/с.

7.4. Космологические параметры {a}.

Для дальнейшего рассмотрения моделей эволюции удобно ввести отношения плотностей энергии разных видов материи в наше время к критической плотности

(36)

где постоянная трехмерной кривизны модели Вселенной n = 1, 0 , 1 для закрытой, плоской, открытой моделей Вселенной, соответственно. Физический смысл этих параметров - доля безразмерной кривизны четырехмерного пространства, связанная с данным видом материи, причем - доля трехмерной кривизны пространства в четырехмерной кривизне.

По определению, космологические параметры связаны друг с другом соотношением

. (37)

В последнее время, удалось более точно измерить параметры {a} при наблюдении сверхновых звезд в далеких галактиках, реликтового излучения и инфракрасных галактик[15]:

(38)

8. Уравнения Эйнштейна для Вселенной

Уравнения Эйнштейна, описывающие эволюцию Вселенной, могут быть выписаны для ее масштабного фактора a(t) в терминах определений раздела 7. Однако, полезно получить их из качественных соображений, следуя [16].

Рассмотрим шар радиуса a, содержащий материю массы M, и найдем ускорение элемента единичной массы на поверхности шара, который движется под действием сил притяжения со стороны материи, заполняющей шар и имеющей плотность

так как в ОТО Эйнштейна гравитируют и энергия, и давление. Ввиду того, что давление материи (см. раздел 6), а плотность энергии и давление вакуума равны, соответственно,

, (39)

уравнения движения единицы массы вещества на выделенной поверхности под действием притяжения имеют вид:

. (40)

После подстановки (39) в (40) и разделения в правой части слагаемых разной физической природы получим

. (41)

Таким образом, с учетом (41) в уравнениях движения появляются силы отталкивания со стороны вакуума (который антигравитирует), подобные силам, действующим между кварками в нуклоне [11]. Из закона тяготения Ньютона (41) получим закон сохранения энергии. Для этого домножим его на , что дает

(42)

где масса Вселенной радиуса а.

Интегрируя (42) по времени t, получим

(43)

Последнее уравнение можно записать в виде закона сохранения энергии

(44)

где E= const -полная энергия системы,

Первое слагаемое правой части (44) имеет физический смысл кинетической энергии единицы массы вещества. Второе слагаемое правой части имеет смысл потенциальной энергии единицы массы вещества в потенциальном поле, создаваемом Вселенной

(45)

Полная энергия движения E может быть положительна, отрицательна или равна нулю. В ОТО выясняется, что энергия (44)

численно пропорциональна постоянной n кривизны трехмерного пространства модели: E = -n/2. Перепишем с учетом сказанного уравнение (44) в виде:

. (46)

Для плоской трехмерной модели Вселенной (n = 0) это уравнение интегрируется аналитически (при n 0 возможен его качественный анализ [11]):

Так как астрономические наблюдения показывают, что наша Вселенная с высокой степенью точности является плоской [15] , (то есть Е=0, n=0), получим решение уравнения (46) в этом важном случае. Введем вспомогательную переменную и

возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения (46). В результате, получим соотношение

(47)

После интегрирования (47) по времени в пределах от до и по

в пределах от 1 до получим его интеграл в виде

(48)

где значения времени и масштабного фактора Вселенной сегодня.

Свяжем значения постоянной Хаббла и возраст Вселенной друг с другом с помощью стандартного соотношения

(49)

Вычисляя значение табличного интеграла в правой части (48), с учетом равенства (49) получаем

, (50)

Исследуем асимптотическое поведение (50).

Для и получим инфляционное решение Де Ситтера, описывающее экспоненциально раздувающуюся Вселенную:

. (51)

При и решение для плоской Вселенной Фридмана, состоящей из вещества:

. (52)

Из (50) получаются выражения для скорости и ускорения Вселенной в процессе расширения:

(53)

(54)

Скорость расширения Вселенной (53) всегда положительна, тогда как ускорение (54) меняет знак, причем само расширение делится на две стадии. На первой стадии расширения Вселенная замедляется

при (z 0,7)

На второй стадии расширения Вселенная ускоряется:

(z 0,7).

Эволюцию Вселенной, подчиняющейся этим законам, иллюстрирует рис. 1.

Рисунок 1. Зависимость отношения масштабных факторов от времени эволюции для фридмановской модели расширяющейся Вселенной с плоским трехмерным пространством (n = 0). После некоторого момента времени t расширение Вселенной ускоряется.

9. Заключение

Из выражения для асимптотики решения (51) следует, что при t Вселенная экспоненциально раздувается, а ее кривизна при этом не равна нулю. Так, например, компонента тензора кривизны Эйнштейна . Это означает, что эволюция Вселенной во времени протекает между двумя потенциальными барьерами –сингулярностью, созданной “Большим Взрывом” и потенциальным барьером, созданным космическим вакуумом. Поэтому, действующие в лабораторных масштабах симметрии такие, например, как пуанкарэ-инвариантность, характерная для плоского пространства-времени, в масштабах Вселенной являются приближенными и должны нарушаться [14]. Нарушение симметрии плоского пространства-времени приводит к отсутствию асимптотических |in>, |out> состояний для квантовых полей материи в процессах рассеяния и может привести к появлению связанных с этим феноменом новых наблюдательных эффектов в физике космических лучей и астрофизике [17-19].

Список литературы.

В.Л.Гинзбург // УФН, 2002, т. 172, № 2, с. 213.
А.Д.Чернин // УФН, 2001, т. 171, № 11, с.1153
Г.Кейн // Современная физика элементарных частиц. М. Мир, 2010.
Г.М.Верешков // Структура, физическое содержание и проблемы стандартной модели, Труды второй Баксанской Молодежной Школы Экспериментальной и Теоретической Физики, т.2., Приэльбрусье, Кабардино-Балкария 18-24 апреля 2001г. , Нальчик,2002.
А.Эйнштейн // Собрание научных трудов. Т.1, М. Наука, 1965.
Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков // Квантовые поля, М. Наука, 1980.
М.Каку // Введение в теорию суперструн. М. Мир, 2009.
В.Б.Берестецкий, Е.М.Лифшиц, Л.П.Питаевский // Квантовая Электродинамика.М.Наука,1980.
А.Д.Сахаров // ДАН СССР, 1967,т.177, с. 70.; Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков // Теория тяготения и эволюция звезд, М. Наука 1971.
Г.М.Верешков, Ю.С.Гришкан и др. // ЖЭТФ, 1981 т. 80, с. 1665.
V.Sahni, A.A.Starobinsky // Int. J. Mod. Phys.2010, v.9, p.373.
J.Weller, A.Albrecht // astro-ph/ 0106079.
Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц // Статистическая физика, ч.I, М., Наука, 1976.
С.Вейнберг // Гравитация и космология. М. Мир. 1975.
X.Wang, M.Tegmark, M.Zaldiaga // astro-ph 0105091; G.Efstatiou et al. // astro-ph /0109152.
Я.Б.Зельдович, И.Д.Новиков // Строение и эволюция Вселенной, М. Наука,1975.
S.Coleman, S.L.Glashow // Phys. Rev. D., 2009, v. 59, 116008.
G.Amelino-Kamelia, T.Piran // Phys.Rev. D., 2001 ,v.64., 036005.
Е.Г.Вертоградова, Ю.С.Гришкан, В.Б.Петков // Письма в Астрон. Ж. 2003, т. 29, с.1.

СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ