АЛ ХОРАЗМИЙ ВА УНИНГ ИЛМИЙ МЕРОСИ
ЎЗБЕКИСТОН РЕСПУБЛИКАСИ
ОЛИЙ ВА ЎРТА МАХСУС ТАЪЛИМ ВАЗИРЛИГИ
АЛИШЕР НАВОИЙ НОМИДАГИ
САМАРАНД ДАВЛАТ УНИВЕРСИТЕТИ
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТИ
МАВЗУ : АЛ ХОРАЗМИЙ ВА УНИНГ ИЛМИЙ МЕРОСИ
Гуру: 3-03
Бажарди: Пўлатов Ойбек
Текширди: Остонов .
Самаранд - 2013
Режа:
1.Ал-Хоразмий яшаган давр ва унинг илмий фаолияти.
2. Ал-Хоразмийнинг аёти ва ижоди.
3. Ал-Хоразмий алгебра фани асосчиси.
4.Хоразмийнинг арифметика ва алгебра ривожига исса ўшган асарлари мазмуни.
5.Ал-Хоразмий асарлари рўйхати.
1. Ал-Хоразмий яшаган давр ва унинг илмий фаолияти
VII асрнинг биринчи ярмида, Муаммад (с.а.в.) пайамбар вафотидан сўнг, араблар Арабистон ярими оролидан аввалдан яшаб келганликлари учун уни бутунлай ўзларига аратдилар ва бир неча ўн йилликлар давомида катта давлатни туздилар. Улар Эрон подшолигининг бутун удудини - Форс ўлтиидан Кавказгача-Озарбайжон, Арманистон, Грузия, Сурия, Миср, Шимолий Африкани эгалладилар. Улар Гибралтар орали Испанияни ам эгалладилар. Сўнгра араблар франклар ироллигига ужум уюштирдилар. Арабларнинг Европа бўйлаб юриши 732 йилда тўхтатилди, бу Пуатье жангида содир бўлди ва улар малубиятга учрадилар.
Осиё бўйлаб араблар Хитойгача етиб боришди ва 751 йилда Таласдаги жангда хитой ўшинларига катта зарба бердилар. Шарий Эрон ва Афонистонни эгаллаб, араблар Шимолий-арбий индистонга бостириб кирдилар. Шундай илиб, VII ва VIII аср биринчи ярмида улкан давлат -пойтахти Дамашда бўлган Араб халифалиги вужудга келди. Атлантика ироларидан индистон ва Хитойгача бўлган араб халифалиги удрати жўш урган даврдаги Рим империясидан ам катта уддудни ўз ичига олган эди.
Араб истилоси бўйсунган халлар орасида тил ва араблар дини -исломнинг таралишига асос бўлди. Бир ватнинг ўзида Араб халифалиги удудида грек олимлари келиши муносабати билан Яин ва Ўрта Шара кириб келган антик анъанага ва бўйсунган халлар илмий ютуларига атор давлатларга бўлиниб кетсада, уларда илм тили бўлиб олган араб тили саланиб олди.
IX-XII асрларда араб тилли мамлакатларда фан гуллаб яшнади. Халифалик пойтахти бўлган Бадод улкан илмий марказга айланди. Бу ерда Платон, Аристотел, Евклид, Архимед, Птолемей асарларини таржима илиб ва шарлаш билпан шуулланувчи таржимонлар ва котиблар, олимлар фаолият кўрсатар эди. Иш фаат бировларнинг ишларидан нусха олишдан иборат бўлмай, улар бу тадиотларни давом эттирдилар ва янги ишларни бажардилар, обсерваториялар урдилар, асбоблар ясадилар, мустаил кузатишлар олиб бордилар. Математик масалар учун материални эса Шар савдогарларининг кенг ривожланган савдо-сотии берар эди. Узо сайёатлар эса астрономия ва география ривожланишига, унармандчиликнинг ривожланишига, тажрибавий фаннинг ривожланишига катта таъсир кўрсатди.
786 йилдан 809 йилгача укмронлик илган Хорун ал-Рашид табиий фанлар ва математика фанлари ривожланишига омийлик илди. Унинг даврида Бадодда катта кутубхона очилиб, ар бир машур киши ўз атрофига машур шоирлар, олимлар, уръони Каримни билувчиларни тўплашга аракат илар эди. Улар анчалик кўп бўлса унинг обрўси ва шурати ошар эди. Катта шаарларда мачитлар ошида олий мусулмон мактаблари-мадрасалар урилди.
Хорун ал-Рашиднинг ўли халиф ал-Маъмун олимларни ўзига хос академияга- Донишмандлар уйи деб аталган илмий масканга йиди. Бунда яхши жиозланган расадхона бор эди. изии шундаки, Византия императори билан тинчлик шартномасига ал-Маъмун талаби билан унга кўпгина грек ўлёзмаларни бериш ам киритилган эди. Улар орасида арабларга Птолемейнинг "Буюк математик бунёдкорлик" асари ам тушди ва у араб тилига тажима илинди. Араб таржималари орали Ўрта аср Европаси кафедралари Героннинг "Механикаси", Филонинг "Пневматика"си, Аристотел, Птолемей, Архимед ишлари билан танишганлар.
Донишмандлик уйида ишлаган олимлардиан бири Ал-Хоразмий эди. Ал-Хоразмийнинг математика ва астрономиядаги хизматлари шундай беиёски, унинг номи Ўрта аср Европасида алгоритмус математик атамасига айланди. Ал-Хоразмий биринчи бўлиб, синуслар жадвалини берган эди, тангенс киритилди, унинг астрономия бўйича жадвалидан кейинчалик Шар ва Европа олимлари кенг фойдаланганлар. Олимга катта шурат келтирган унинг математик асарлари исобланади. Унинг арифметик рисоласи Европани инд позицион системаси нол, араб раамлари, бутун сонлар ва касрлар устида амаллар билан таништирди.
Ал-Хоразмий алгебраик рисоласида иккита махсус амал киритган. Биринчиси-тўлдириш-манфий сонни тенгламанинг бир томонидан иккинчисига ўтказиш бўлиб, ундан ал-жабрдан алгебра сўзи келиб чиди.
Иккинчи амал - вал –муобала - тенгламанинг иккала исмларида тенг адларни исартириш исобланади.
Ал-Хоразмий рисолалари математика бўйича араб тилидан лотин тилига Европада таржима илинган биринчи асарлардан эди, XVI асргача алгебра алгебра ва муобала санъати деб аталган эди. Шар математикларидан мерос бўлган чизили ва квадрат тенгламалар аидаги таълимот Европада алгебра ривожланиши учун асос бўлди. Ал-Хоразмий механика билан ам шуулланган. Бу фанга унинг «Фанлар китоби» бир боби баишланган. Бу китобда машиналар тавсифи ва уларни ишлатиш бўйича тавсиялар берилган бўлиб, арбий машина ва пневматик асбобларга баишланган бўлим ам мавжуд бўлган.
Маълумки Ал-Хоразмий квадрат тенгламалар назарияси билан шуулланган. У тенгламани ечган. Сиз ам ечиб кўринг ва унинг ечимини ал-Хоразмий бажарган амаллар билан таослаб кўринг: «Квадратлар ва сонлар илдизларга тенг. оида. Илдизлар сонини иккига бўл, 5 осил бўлади. Буни унинг тенгига кўпайтир. 25 бўлади. Ундан 21 ни айир, 4 олади. Ундан квадрат илдиз чиар, 2 бўлади. Буни 5 дан айир, 3 осил бўлади. Бу сен излаган илдиз бўлади. Бу илдизни илдизлар сони ярмига ўш, 7 бўлади. Бу ам илдиз"
2.Ал-Хоразмийнинг аёти ва ижоди
Марказий Осиёлик математик олимлар орасида энг машурларидан бири Абу Абдулло Муаммад Ибн Мусо ал-Хоразмий (783-850). Юорида зикр этилган Бадоддаги Донишмандлик уйида математика билан шуулланди. Унинг математика бўйича ёзган рисолалари: «Китоб ал-жабр вал муобала», «инд исоби аида исача китоб», «Астрономик жадваллар», «Китобул-суратул-арз». «инд исоби аида исача китоб» асари Eвропада инд позицион системасининг таралишида муим роль ўнади. «Китоб ал-жабр вал- муобала» асарида алгебра мустаил фан сифатида (математиканинг бир бўлими) биринчи бўлиб ўрганиб чиилди. Бу рисола икки исмдан иборат бўлиб, биринчи исмида алгебраик мидорлар устида амалларни исоблаш бажариш оидалари, биринчи ва иккинчи даражали тенгламалар кўриб чиилган. оидалар ва ечимлар сўз билан баён этилган. Номаълум илдиз ёки буюм деб номаълумнинг квадрати - квадрат деб аталган. Квадрат тенгламалар геометрик усулда ечилган. Иккинчи исмда эса геометрик масалалар баён этилган. Унда 3 ва 10 сонларининг бир-бирига яинлиги амда бундан ташари, 3,1416 каби ийматлари келтирилган. Бy асар лотин тилига XII асрда таржима илинган ва кўп ватлар давомида Европа мамлакатларида математика бўйича асосий ўлланма бўлиб келди. Ал-Хоразмийнинг номи дастлаб математика оламига инд исоб системасига асосланган арифметика муаллифи сифатида танилган бўлса, сўнгра атъий оидалар асосида бажариладиган ар андай исоб системасининг умумий номи (алгоритм) сифатида машурдир. Ал-Хоразмийнинг номи билан Ойнинг кўринмас томонидаги кратер аталади.
2003 йилда Абу Абдулло Муаммад ибн Мусо ал-Хоразмий ал-Мажусий таваллудининг 1220 йиллиги нишонланди
3. Ал-Хоразмий алгебра асосчиси сифатида
Алгебра фан сифатида тенгламалар ечиш масаласи билан боли равишда ривожланади. адимда мисрликлар, вавилонликлар ва индлар алгебранинг дастлабки элементларига эга бўлганлар: улар тенгламани масала шартлари бўйича туза олиш ва улардан баъзиларини еча олганлар. Аслида, улар али мидорларни арф билан белгилашларни ва умумий формулаларни туза олмаганлар.
«Алгебра» сўзи биринчи марта IX асрда яшаган ватандошимиз буюк математик ва мунажжим Муаммад ибн Мусо Ал-Хоразмий ишларида учрайди. Ал-Хоразмий асли Хоразмдан бўлиб ёшлигидан фан ва илмга изиувчан бўлган, кейинчалик математика ва астрономия соасида катта илмий кашфиётлар очган.
Ал-Хоразмий алгебраик тенгламаларни тузиш ва очишга баишланган «исоб ал-жабр вал муобала» асарини ёзган. Ал-жабр сўзидан алгебра сўзи пайдо бўлган. Унинг номи алгебра фани пайдо
бўлишига олиб келди ва унда али символик белгилашлар йў эди ва барчаси сўзлар билан ёзилган эди.
«Ал-жабр» ва «вал муобала» атамалари ўнг ва чап томонларида мусбат адлар бўлган тенгламага келтиришга имкон берувчи энг оддий ва асосий усулларни билдиради. Ал-жабр - амали (сўзма-сўз-таослаш, иёслаш) тенгламанинг чап ва ўнг исмларида ўхшаш адларни ихчамлашдан иборат ва тенгламани улай кўринишга келтириш масадга эга.
Алгебра учун катта илмий юту – бу кўриш ва ёзиш учун улай арфий белгилашларнинг киритилишидир. озирги замон арфий белгилашларнинг киритилишидир. озирги замон арфий белгилашлар секин-аста яратилган. ХI асрда араб математиги ал-Кархий баъзи алгебраик мидорлар учун махсус белгилар киритган, номаълумни махсус белги билан ифодалаган.
Биринчи даражали тенгламаларга Ал-Хоразмий ам катта эътибор берган, бундай тенгламаларни ечиш учун ўзининг «Ал-жабр» ва «вал муобала» усулини ўллаган. Бу усулнинг моиятини мисолда араймиз.
тенглама берилган бўлсин. «Ал-жабр» амалини бажариб
ни оламиз. «Вал-муобала» амалини ўллаб эса
га эга бўламиз, бундан
XIII асрда европалик математикларда биринчи даражали тенгламаларнинг назарияси Ўрта Осиёлик математиклардаги каби олатда бўлган эди. Масалан, италъян математиги ўзининг «Абак тўрисидаги китоб» (1202) асарида Ал-Хоразмий каби биринчи даражали тенгламаларни ечиш учун оидаларни беради, яъни моиятдан «тиклаш» усулини ўллайди.
Биринчи даражали тенгламаларни ечишнинг кейинги ривожи белгилашларни яхшилаш ва озирги замон кўринишига келтириш йўналишида борди.
Квадрат тенгламалар назариясини ал-Хоразмий кенг равишда ишлаб чиди ва квадрат тенгламаларнинг олти турини текширди:
; ; ;;;.
Бу тенгламаларнинг ар бири учун сўзлар билан (у арфий белгилашлардан фойдаланмаган) ал-Хоразмий унинг махсус ечиш оидасини баён этган.
Европада квадрат тенгламалар ечиш умумий назариясини яратиш учун аракат V-асрда Виет томонидан илинган эди. Бу назария кейинчалик Жирар томонидан охирига етказилди.
Машур ўзбек олими, математик, астроном ва табиатшунос Ўзбекистоннинг Хоразм областидан бўлиб, фан тарихида алоида ўрин тутади. Хоразмийнинг айниса, математика ва астрономия фанлари соасидаги ишлари бу фанларнинг тараиётида катта роль ўйнади. Хоразмий ўзининг математика ва астрономия соасида ёзган асарлари билан умуман фан хазинасига салмоли исса ўшган олимдир.
Хоразмийнинг бешта асари: арифметика, алгебра, астрономия, география ва календар соасидаги тўпламлари бизгача етиб келган. Хоразмийнинг бу асарлари, айниса, унинг арифметика ва алгебра соасида яратган асарлари математика тарихида алоида ўрин эгаллайди. Бу асарлар орали инсониятнинг жуда кўп авлодлари математика фанининг бу бўлимларини ўргандилар, ўнлаб олимлар бу асарларга шарлар ёздилар ва турли тилларга таржима илдилар. Хоразмий ўз асарлари билан ўрта асрларда ва ундан кейинги асрларда катта шурат озонди. Унинг ал-Хоразмий номи кейинчалик «алгорифм" сўзига айланиб олдики, бу сўз озирги ватда маълум исоблаш методи маъносини англатади.
Хоразмий алгебра фанидан биринчи бўлиб яратган асари билан алгебра фанига асос солди ва унинг асосий тушунчалари, мазмуни ва оидаларини белгилаб берди. Алгебрадан ёзилган бу асар Европада ам катта шурат озониб, француз математиги Виет (1540-1603) замонасигача алгебрадан асосий дарслик китоби бўлиб келди.
Хоразмийнинг алгебрадан ёзган асари 1145 йилда инглиз Роберт томонидан, 1114-1187 йилларда яшаган итальян Герардо томонидан лотин тилига таржима илинган. Бу асарнинг арабча ўлёзмаси (1342 йилда ёзилган) Оксфорд университети кутубхонасида саланмода, у «Китоб ал-мухтасар фи исоб ал-жабр ва ал-муобала», яъни «Ал-жабр ва ал-муобала исоби аида исача китоб». Бу асар уч бўлимдан иборат бўлиб: 1- бўлими алгебра масалаларига баишланган, 2- бўлимида геометрияга, ўлчашга доир масалалар, алгебранинг баъзи бир татбилари баён этилган. 3-бўлими мерос бўлиш исоблашларига баишланган. Бу китоб, асосан, 1- ва 2-даражали тенгламаларни «ал-жабр ва ал-муобала» методи билан ечишга баишланади. Бу метод шундан иборат: «ал-жабр» сўзи туразиш маъносида бўлиб, каби тенгламаларни ечиш учун чап томондаги айирилувчини (7 ни) ташлаб, ўнг томонда шу айрилувчини туразишдир. Агар тенгламанинг бир томонида ёки иккала томонида айрилувчи бўлса, битта камаювчининг ўзини олдириш учун айирилувчини ташлаб, бунга тенг мидорни иккинчи томонига ўшиш «ал-жабр» дейилади. Шу «ал-жабр» сўзининг ўзгара боришидан озирги «алгебра» сўзи келиб чиан. «Ал-муобала» сўзи эса каби тенгламаларни ечиш учун иккала томондан ни айириш маъносини билдиради. Агар тенгламанинг иккала томонида бир хил жинслар, яъни ўхшаш адлар бўлса, иккала томондан умумийсини (мисолимизда ни) ташлаш «ал-муобала», яъни олганларни тенглаштириш дейилади. Бy китобда шу икки усулдан фойдаланиб, 1-даражали тенгламаларнинг ечилиши кўрсатилган ва бунга уйидагича таъриф берилган: тенгламаларни ечиш учун ишлатиладиган амаллар «ал-жабр ва ал- муобала» деб айтилади, Хоразмийнинг бу асарида еч андай формулалар ва символлар бўлмай, балки тенгламалар ва уларнинг ечилиши сўз билан баён этилган. У даврларда боша олимларнинг асарларн ам шундай ёзилган. Бунда номаълум «шай» («нарса»), унинг квадрати «мол» («бойлик») деб аталган. Номаълум, баъзан илдиз («жазр») деб ам аталган. оидалар эса айрим мисоллар орали баён этилган, мидорлар баъзан чизилар орали ифодаланган.
Китобнинг 1-исмида алгебраик ифодаларни ўшиш, айириш вз кўпайтириш оидалари берилган. Алгебраик ифодалар кўпадлардан иборат бўлиб, унда номаълум, унинг квадрати ва квадрат илдизи атнашади. Бундан кейин 2-даражали тенгламалар ва уларни ечиш методлари, уларнинг геометрик тасвири, квадрат тенгламаларга келтириладиган масалалар ечиш баён этилади. Берилган ар андай шаклдаги тенгламани ечиш учун энг олдин бу тенгламани «жабр ва муобала» амалларини татби этиш билан уйидаги тенгламалардан бири шаклига (яъни адлари ўшилувчилардан иборат тенгламага) келтириб, ундан сўнг осил бўлган содда тенглама маълум оидалар ёрдами билан ечилади.
- Битта квадрат илдизга тенг (масалан ).
- Битта квадрат сонга тенг (),
- Илдизлар сонга тенг ().
- Битта квадрат ва илдизлар сонга тенг ().
5. Битта квадрат ва сон илдизларга тенг ().
6. Илдизлар ва сон битта квадратга тенг ()
озирги ватда алгебра буларнинг аммасини арфлар ёрдами билан битта умумий тенглама шаклида ифодалайди. Бунда а, b, с нинг ноль, мусбат ва манфий ийматларга эга бўлишига араб, юоридаги хусусий олдаги тенгламаларни осил илиш мумкин. Шуни айтиш керакки, алгебрада мидорларни арфлар билан ифодалаш усули, яъни символика фаат XVI асрнинг охирида Европада ўлланила бошланди.
Юоридаги тенгламалардан бирини, масалан: ни ечиш усулини кўрсатамиз
Бу тенглама шундай сўзлар билан баён этилади: «Нарсанинг квадратига йигирма бир ўшилса, у ўша квадрат илдизнинг ўн бараварига тенг бўлади». Бу тенгламанинг илдизларини топиш учун уйидагича оида берилади:
«Илдизлар саноини иккига бўлинг: беш сони чиади. Бу сонни ўз-ўзига кўпайтиринг, кўпайтма йигирма беш бўлади, ундан йигирма бир сонини айиринг, олди тўрт бўлади. Бундан илдиз чиаринг, бу икки бўлади. Бу илдизни, илдизлар саноининг ярмидан, яъни бешдан айиринг, олди уч бўлади. Мана шу- изланган квадратнинг илдизи бўлади".
озирги белгилашларга асосан бу жумлалар маъносини
формула билан ифодалаш мумкин.
«Ёки сен, бу илдиз иккини, илдизлар саноининг ярми — бешга ўшишинг мумкин, бу йиинди 7 бўлади».
(яъни бўлади). «Бу изланган квадратнинг илдизи бўлади, квадратнинг ўзи эса 49 бўлади. ачонки сен шу олга тўри келадиган мисол учратсанг, аввал уни ечишни ўшиш орали синаб кўргин ва бу масадга олиб келмаса, у ватда шубасиз, айириш масадга олиб келади, чунки бу олда ам ўшиш ва ам айиришни татби этиш мумкин»; ам ўшиш ва ам айириш боша оллар учун, татби этилмайди, чунки у ватда манфий илдиз ам олинадики, бу олни Хоразмий мумкин бўлмаган ол деб арайди.
Умумий олдаги тенглама учун Хоразмий иккита мусбат илдиз ё битта илдиз, ё илдизлар бўлмаслигини анилайди, яъни бу тенгламанинг илдизларини топиш учун юоридаги оида татби этилса бўлади:
Бу олда Хоразмий, бўлганда иккита мусбат илдиз бўлишини, бўлганда, бу масалани ечиш мумкин змас, ва бўлганда квадратнинг илдизи илдизлар саноининг ярмига тенг, яъни бўлади деб ёзади.
Бундан кейин, Хоразмий иккинчи даражали тенгламалар ечилишини баён этишда геометрик методга мурожаат илади. Машур грек геометри Евклид ўзининг «Асослар» асарида алгебраик ифодаларни, улар орасидаги амалларни кесмалар орали изолаган, яъни, геометрик алгебра дан фойдаланган эди. Хоразмий эса Евклид фойдаланган шакллардан эмас, балки боша шакллардан фойдаланиб, 2-даражали тенгламаларни ал этишни ўз геометрик методлари билан изолайди. Масалан: , ёки умумий олда
шаклдаги тенгламани ечишни уйидагича изолайди. 1-шаклда кўрсатилгандек, квадратни олиб, уни билан белгилайди. Бу квадратнинг ар бир томонига баландлиги бўлган тўри- тўртбурчаклар ясайди: бу шаклнинг олган бурчакларида квадратлар ясалса уларнинг томонлари дан бўлиб, амма квадрат юзларининг йииндиси 25 ни ташкил этади.
Шундай илиб, осил илинган катта квадратнинг 10 томони
х га тенг бўлиб, бунинг квадрати йииндидан, ёки дан иборат, яъни катта квадратнинг томони 8 бўлади. Демак, , бундан . Демак, номаълум х ни бундай ифодалаш мумкин:
ёки
Бундан:
Агар бу формула тенглама учун татби этилса
ёки бўлади
Хоразмий бундай тенгламани, яна боша бир («Гномон» деб атаган) шакл оралн тушунтиради: бунда квадрат, яъни олинади, иккита баландлиги 5 ra тенг тўри тўртбурчак ясалади. Бу шаклни квадратга тўлдириш учун томони 5 бўлган квадрат олади. Катта квадратнинг юзи - 8 га тенг 8 та квадратнинг юзи бўлади.
Юорида айтилганидек, Хоразмий квадрат тенгламаларни ечишда осил бўладиган манфий илдизларни олмайди. Шуни айд этиш керакки, Хоразмий асарларида сон тушунчаси, грек математикларига араганда анча кенг миёсда ўлланилади, яъни унинг асарларида иррационал сонлар тушунчаси ам бор.
Шундай илиб, озирги белгилашларга асосан шаклида ёзиладиган квадрат тенгламанинг илдизларини топиш формуласи:
биринчи марта Хоразмий асарларида учрайди. Бунда у бўлган олда, масаланинг ечилиши мумкин эмас деб ёзади.
Хоразмнй алгебраик асарининг II бўлими геометрияга баишланган бўлиб, бунда шаклларни ўлчаш оидалари ва алгебранинг баъзи бир геометрик масалаларга татбии кўрсатилади.
Хоразмий учбурчаклар, тўртбурчаклар ва айланани кўриб чиади. У, учбурчакларни тўри бурчакли, ўткир бурчакли ва ўтмас бурчаклиларга бўлиб, бу олларни анилаш масадида учбурчак катта томонининг квадрати билан олган икки томони квадратлари йииндиси орасидаги муносабатдан фойдаланди.
Хоразмий Пифагор теоремасини хусусий олда тенг ёнли учбурчак учун исботлади. Тўртбурчакларнинг беш хил шаклда бўлишини ёзди. Ромбнинг юзи унинг диагоналлари ёки бир диагонали ва бир томони орали ифодаланиши мумкинлигини ёзди.
Бу асарда тенг томонли учбурчакнинг юзи, тенг ёнли учбурчакка ички чизилган квадрат томонини анилаш ва томонлари 13, 14, 15 бўлган ўткир бурчакли учбурчак юзини анилаш каби масалалар бор. Бу масалаларнинг берилиши ва уларнинг ечилишида грек ва инд математикларининг таъсири борлиги кўринади.
1. Грек геометри Герон тенг ёнли учбурчакка ички чизилган квадрат томонини учбурчакларнинг ўхшашлигидан фойдаланиб бундай топганди:
. Бунда .
Учбурчак МСN билан учбурчак АВС нинг ўхшашлигидан
бўлади, бундан:
Хоразмий эса бу масалани уйидагича ал илди: учбурчакнинг юзи унинг ичида осил бўлган тўртта юза йииндисига тенг, яъни:
га келтирди. Бундан ёки ни осил иламиз.
2. Томонлари ВС 13, АВ 14, АС 15 бўлган ўткир бурчакли учбурчак юзини Хоразмий уйидагича топди: Пифагор теоремасига асосан:
ва
Демак: . Бундан: ва . У ватда
ва .
Учбурчакнинг юзи
Хоразмий сонининг ийматларидан, боша 62832 :20000
ийматини ам кўрсатиб, бу ийматларнинг тарибий эканлигини утиради. Мунтазам кўпбурчакнинг юзини, унга ички чизилган доира диаметри ярми билан периметрининг ярмига кўпайтмаси орали анилайди. Доиранинг юзини топиш учун уйидаги ифодаларни беради: доира юзи , диаметри ва доира айланасининг узунлиги l бўлса:
ва
бунда деб исобланган.
Хоразмий доира сегментининг юзини топиш учун уйидаги оидаларни беради :
Агар сегмент юзи , ёйи , ватар узунлиги , диаметр , сегмент баландлигини деб белгиласак, ярим доирадан кичик сегмент учун
ва ярим доирадан катта сегмент учун S
бунда шаклида аниланади.
Хоразмий ўзининг бу асарида, жисмларнинг ажмларини топиш учун ам оидалар берди. Тўри призма, цилиндр, пирамида, конус ажмларини анилайди. Берилган асослари квадратлардан иборат ва баландлиги маълум бўлган кесик пирамиданинг ажми аниланади.
Юорида баён этилган масалаларни ўз ичига олган геометрик бўлим, турмуш этиёжларни ўташга боли кўп масалаларни ал этишда кишиларга катта ёрдам берган. Бу асардан ўлланма сифатида фойдаланганлар.
Хоразмийнинг боша бир имматбао асари - «Арифметика» фаат математика тарихида эмас, балки умуман фан ва маданият тарихида ам жуда катта аамиятга эгадир. Бy китоб орали ўнли позицион сано системаси яин ва Ўрта Шар мамлакатларига, Европага тарала бошлаган. Бу сано системаси ўша даврда укм сураётган, арфли сано системаси ва рим сано системасига нисбатан жуда мукаммаллашган бўлиб, турмуш этиёжлари учун тез орада абул илина бошлаган прогрессив сано системаси эди. Хоразмийнинг бу асари асосида жуда кўп китоблар ёзилди, буларда Хоразмийнинг позицион сано системасини татби этишдан иборат прогрессив идеялари давом эттирилди, Хоразмийнинг бу асари унинг «ал-жабр ва ал-муобала исоби аида исача китоб" асаридан кейин ёзилган бўлиб, унинг оригинал нусхаси озиргача топилмаган. Бу асарнинг лотинча таржимаси (XIV аср ўлёзмаси) Кембриж университетида саланмода.
Хоразмий ўзининг арифметикасида индларнинг тўиз раам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ва ноль ёрдами, яъни ўнли позицион система билан исталган соннинг осон ва исача ифодаланишини баён этиш масадида эканлигини ёзади. Шунингдек, бу китобда арифметикага доир масалаларни- сонларни кўпайтириш ва бўлиш, ўшиш ва айиришни бу система орали жуда осонлик билан бажариш мумкинлиги айд илинади. Хоразмий аввал сонларнинг позицион системасини тушунтиради, сўнгра бутун сонлар ва каср сонлар устида амаллар бажариш оидаларини ва, ниоят, квадрат илдиз чиариш оидаларини баён этади. Европада бунгача рим раамлари ишлатилар эдики, бу раамлар ўзининг мураккаблиги билан ноулай эди. Шарда эса раамларни сўзлар ёки арфлар билан ифодалардилар, VIII асрнинг 70-йилларидан инд раамлари астрономик жадваллар билан бир аторда Бадод ва боша Шар мамлакатларига кира бошлади. Ярим асрдан кейин эса ўнлик позицион система боша халларга маълум бўла бошлади.
Бy соада машур олим Хоразмийнинг жаон фани ва маданияти олдида буюк хизмати шуки, боша халлар индларнинг ўнлик позицион системаси билан унинг асарлари орали танишдилар. Хоразмийнинг бу асари ХII асрда Иоганн Севильский томонидан лотин тилига таржима илинди. Мана шу асрдан бошлаб ўнлик позицион система Европа халларига тарала бошлайди.
Хоразмийнинг арифметикаси математика тарихида- сано системаси тарихида — умуман, фан ва маданият соасида янги давр очди. Хоразмий Бадод шарида бир неча йиллар бўлиб, ундаги обсерваторияда кузатишлар олиб борди. IX асрнинг 20-йилларида у,,Зиж" («астрономик жадваллар") ни тузиб чиди. Булар араб тилидан лотин тилига таржима илиниб, икки асрдан орти давр ичида турмуш этиёжлари учун фойдаланилди. Хоразмийнинг бу асари оригинал нусхада бизгача етиб келмаган. 1007 йили испаниялик Маслам ал-Мажрити бу жадвалларни айта ишлаб чиади. Мана шу Зижнинг 1126 йилда ёзилган лотин тилига таржимаси озиргача саланган. «Зиж» асарининг бу айта ишланган нусхаси узо ват давомида Шарда ва арбда астрономия фанидан асосий ўлланма исобланиб келди. Хоразмий «Астролябия» («Астурлоб») ва «уёш соати» аида ам асарлар ёзган.
Хоразмий ани астрономик жадваллар тузиш билан бир аторда Бадод обсерваториясида олиб бориладиган турли астрономик ва географик кузатишларда актив иштирок этди. Бу соада Хоразмий Ўрта Осиёлик машур астроном ва математиклардан Муаммад ибн Касир, ал-Фароний, Амад Марвозий ва бошалар билан иш олиб борди.
Хоразмий меридиан ёйи узунлигини исоблаш ишларига ам рабарлик илди, ўлчаш ишлари Тадмор (Дамашдан шимол томонда) билан ар-Рак удудлари орасида олиб борилган.
Меридиан ёйини исоблашда ўша замон учун ани ийматлар топилган. Хоразмий рабарлигида меридианнинг бир градусли ёйи узунлигини айта-айта ўлчаш воситасида 111 815 м эканлиги топилганки, бу меридиан градуси ёйииинг аиий узунлигидан фаат 977 м фар илади.
4. Хоразмийнинг арифметика ва алгебра ривожига исса ўшган асарлари мазмуни
Хоразмийнинг арифметика ва алгебраик асарлари математика тарихида янги даврни - ўрта асрлар даври математикаси даврини бошлаб берди. Бу математиканинг кейинги асрлардаги ривожланишига беиёс зўр таъсир кўрсатди.
Ўзининг «Алгоризми инд исоби аида» арифметик асарида Хоразмий араб тилида биринчи бўлиб ўнли позицион исоблаш системасини ва унга асосланган амалларнинг баёнини келтиради. Бу рисоланинг Кембриж университети кутубхонасида саланадиган лотинча ўлёзмаси Dixit Algorizmi" яъни "Алгоризми деди" ибораси билан бошланади. Хоразмий рисоласи мазкур ўлёзманинг 102а -106 б-бетларини ўз ичига олади ва касрларни кўпайтириш мисолида амал охригача етмасдан рисола тугайди. А.П.Юшкевич тадиотича, рисоланинг асли арабча номи «Китоб ал-жамъ ват-тафри би исоб ал-инд»
( «инд исоби бўйича ўшиш ва айириш китоби» бўлиши керак. Бундан кўринадики, Хоразмий асар номида фаат икки арифметик амални кўрсатган, чунки у кўпайтирш ва ва бўлиш амалларини ам шу икки амалга келтиришини назарда тутиб, шундай араган бўлиши, этимол. Хоразмий рисола аввалида амду санодан сўнг 9 та арф, яъни раам ёрдамида индларнинг исоблаш усулини баён этмочи эканлигини ва бу арфлар ёрдамида ар андай сонни осонлик билан исагина ифода илиш мумкинлиги ва улар устида амалларни баён этмочи эканлигини айтади. Лотинча ўлёзмада инд раамлари ёзилмаган, улар ўрни бўш олдирилган. Фаат гоо 1, 2, 3, 5 учун инд раамлари ва ноль учун айлана шакли ёзилган. Хоразмий бу асарида ўзидан олдинги математик асарлардан фойдаланганлиги ам сезилади.
Сонларни инд раамлари билан ўнли позицион системада ёзилишини 0 га ўхшаш кичик доирачани ишлатилиши аида муфассал сўзлагандан сўнг Хоразмий катта сонларни айтишни ўргатади ва бунда фаат бирлар, ўнлар, юзлар ва мингларнинг номларидан фойдаланади. Мисол тариасида, 1180 073 051 492 863 сонининг ўилишини кўрсатади, у бундай ўилади: мингта минг минг минг минг беш марта ва юз минг минг минг минг тўрт марта ва саксон минг минг минг минг тўрт марта ва етмиш минг минг минг уч марта ва уч минг минг минг уч марта ва эллик бир минг минг икки марта ва тўрт юз минг ва тўсон икки минг ва саккиз юз олтмиш уч. Сонларнинг бундай ноулай ўилиши Шарда ам, Европада ам узо муддат саланиб, ўнли позицион система узил-кесил алаба илгандагина йўолади.
Бундан кейин Хоразмий инд усулига кўра арифметик амалларни муафассал баён илишга ўтади ва ўшиш, айириш амалларидан бошлайди. Бу амалларда доирача, яъни нолнинг ролига катта аамият беради. Хоразмий бу ада бундай дейди: «Агар еч нарса олмаса, мартаба бўш олмаслиги учун доирача ўйиб ўй, лекин у ерда уни эгалловчи доирача турсин, чунки агарда у ер бўш бўлиб олса, мартабалар камайиб олади ва иккинчини биринчи ўрнида абул илиниб олади ва шу билан сен ўз сонингда янглишиб оласан».
Хоразмий икки бараварлаш ва иккилаш, яъни яримлаш амалларига ам аамият беради. У иккилаш амалини бажаришда адимги бобил математик анъаналарига ам таянганлиги сезилади. Унинг «бирни иккилайсан, яъни иккита яримга ажратасан, шунда унинг битта ярми бирни ташкил илувчи олтмишнинг ўттиз исмини ташкил илади» деган иборалари бунинг ёрин далилидир.
Бундан кейин у бутун сонларни бири-бирига кўпайтиришга ўтади. Бунинг учун у 9 ни 9 гача кўпайтириш жадвалини ёддан билиш кераклигини айтади. Хоразмий келтирган сонларни кўпайтиришда кўпайтувчини кўпайтирилувчининг тагига жойлаштирилиб, бунда уйи мартабаси кўпайтирилувчининг юори мартабаси тагида ёзилиши кераклигини айтади. Бўлишда " бўлиш кўпайтишга ўхшашдир, лекин унга тескари, чунки бўлишда биз айирамиз, кўпайтишда эса ўшамиз".
Хоразмий каср сонлар устидаги амалларни ам араб ўтади.Унда касрларнинг аталишидаги араб тилига хос хусусият саланган. У аввал олтмишлик касрлар билан амал тутади ва бундай касрларни индларга нисбат беради. Лекин аслида бундай касрлар бобилликларга мансуб бўлиб, у Бобилдан Искандария (Мисрга) ўтган.
Хоразмий олтмишлик касрлар тушунчасини киритишда бирни олтмиш бўлакдан иборат деб араб, бунинг ар бир исмини даиа, бунинг олтмишдан бир исми сония, бунинг олтмишдан бирини солиса ва .к. дейилишини айтади. Бундай касрларни кўпайтиришда кўпайтманинг мартабасини анилаш оидасини айтади.
Хоразмий рисоласининг арабча нусхаси саланмагани учун у фойдаланган раамларпнинг шакли аида олимлар бир тугал фикрга келмаганлар. Кембрижда саланадиган лотинча нухасида учратиладиган 1,2,3,5 ва 0 нинг шакллари ам Хоразмийда раамларнинг шакли аида ани хулосага келишга имкон бермайди.
Хоразмийнинг алгебраик рисоласи унинг арифметик рисоласидан аввал ёзилган. Олимнинг арифметик рисоласида алгебрасини эслаши бунга далил бўла олади. Рисоланинг нусхаси 1342 йили ва Оксфорд университети Бодлеян кутубхонасида саланадиган арабча нусхаси 34 варани ташкил илади. Рисола уч исмдан иборат: 1) алгебраик исм (1б-15 а-бетлар); охирида бир кичик бўлим-савдо муомаласидаги боб келтирилади; 2) геометрик исм-алгебраик усул ўллаб ўлчашлар аида (15а-18б-бетлар); 3) васиятлар аидаги исм. Хоразмий уни алоида ном билан "Васиятлар китоби" деб атаган (18 б-34 а-бетлар). Хоразмий рисолада еч андай белгилашларни келтирмайди ва мавзуни бутунлай сўз билан баён этади ва шакллар келтиради.
Хоразмий рисола бошида амду-санодан кейин бу китобни ёзишдан масади нима эканлигини уйидаги сўзлар билан айтади: "Мен арифметиканинг одий ва мураккааб масалаларинии ўз ичига олувчи "Алжабр ва алмуобала исоби аида исача китоби" ни таклиф илдим, чунки мерос тасим илишда, васиятнома тузишда, мол тасимлашда ва адлия ишларида, савдода ва ар андай битимларда ва шунингдек, ер ўлчашда, каналлар ўтказишда, геометрияда ва боша шунга ўхшаш турлича ишларда кишилар учун бу зарурдир".
Хоразмий асосий алгебраик мавзуга ўтишдан олдин аввал ўнлик позицион исоблаш системаси, унинг улайлик ва афзаллиги аида исача тўхталиб ўтади.
Унинг айтишича алгебрада уч хил сонлар билан иш кўрилади: илдиз (жизр), ёки нарса (шай), квадрат (мол) ва оддий сон ёки дирам пул бирлиги. Илдиз ўз-ўзини кўпайтириладиган мидор, квадрат эса илдизни ўзига кўпайтиришдан осил бўлган катталикдир. Хоразмий кўрадиган тенгламалар мана шу уч мидор орасидаги муносабатлардир. У аввал рисолада кўриладиган 6 та чизили ва квадрат тенгламанинг синфларини келтиради. Бундан кейин конкрет мисоллар билан боша ар андай тенгламалар рисола моиятидаги асосий амаллар - алжабр ва алмуобала амаллари ёрдамида олти каноник кўринишга келтирилиши кўрсатилади.
Тенгламаларнинг аввалги уч кўринишини Хоразмий конкрет мисолларда озаки ечади. Булар квадрат илдизларга тенг, квадратлар сонларга тенг, илдизлар сонга тенг.
Хоразмий 6 та каноник кўринишдаги тенгламаларни ечиш усулини муафассал баён илгандан сўнг алгебраик ифодалар устида бажариладиган асосий амаллар баёнига ўтади. Бу бўлимда каби иккиад ва бирадларни кўпайтириш,
каби йиинди ва айирмаларнинг ўхшаш адларини ихчамлаш ёки каби кўпайтувчиларни квадрат илдиз остига киртиш ёки уларни каби квадрат илдиз остидан чиариш, каби илдизларни кўпайтириш ва .к. амалларни кўради. ўшиш ва айириш амалларини Хоразмий кесмалар мисолида кўрсатиб у бир жинслилик бўлишини талаб илади.
Хоразмий иррационаллик тушунчасинин ишллатган бўлса ам, иррационал мидорлар билан кўп иш кўрмайди. У келтирган тенгламаларнинг деярли барчасининг коэффициентлари рационал ва кўпинча бутун ечимларга эгадир. Иррационал ечимга эга бўлган тенгламалар саноли бўлиб, улар кўринишга мансубдир ва фаат биргина тўли квадрат тенглама , яъни кўрсатилган бўлиб, унинг ечими келтирилмаган.
Алгебраик исоб аидаги бошланич маълумотлардан келтирилган боблардан кейин юорида кўрилган 6 та каноник кўринишдаги тенгламалар учун сонли мисоллар келтирилади. Булардан тўрттасида 10 ни турли шартларга кўра икки исмга ажратиш масаласи кўрилади. У тенгламаларнинг аввалги учтаси мана булардир:
, яъни
, яъни
, яъни .
Кейинги бобда ар хил масалалар кўрилади. Бу масалалар системаларни ечишга баишланган бўлиб, уларнинг биринчи тенгламаларида яна олдинги бобнинг шарти, яъни айтарилади, уларнинг иккинчи тенгламалари ушбу кўринишларга эгадир
Хоразмий иккинчи номаълумни киритмаган бўлса ам ва исмлар билан, яъни нарса ва нарсасиз ўн билан иш кўради. Хоразмий келтирган масалалар орасида одамлар сони х аниланиши керак бўлган масала диатга сазовордир: унинг шартини тенглама билан ифодалаш мумкин. ар хил масалалар бобидан кейин рисоланинг геометрик бўлими келади. Хоразмий алгебрасининг бу бўлимида юза ўлчаш, оидалари ва учбурчакларга доир масалаларга геометриянинг татбии келтирилган. Айрим оидалар, таъриф ва исботлар билан, ёки исача тушунтириш билан келтирилган.
Хоразмий ясси шакллардан учбурчак, тўртбурчак ва доира билан иш кўради. У уч хил учбурчакни (бурчагига кўра) арайди. Уларни анилаш учун катта томонининг квадрати билан олган икки томонлари квадратлари йииндиси орасидаги тегишли тенглик ёки тенгсизликни келтиради. Пифагор теоремасини Хоразмий хусусий ол тенг ёнли учбурчак учун исботлади. Хоразмийда тўртбурчаклар беш хил турдан иборат: квадрат, тўри тўртбурчак, ромблар, ромбоид, яъни параллелограмм ва турли томонли тўртбурчаклар. Ромбнинг юзаси диагонал ва бир томони бўйича аниланади. Ихтиёрий тўртбурчакнинг юзаси эса уни диагонали билан учбурчакларга ажратилиб исобланади.
Хоразмий келтирган масалаларнинг айримлари Героннинг масалаларига мос келиб, атто улардаги сон мидорлари ам улар билан бир хил. Масалан, томони 10 га тенг томонли учбурчак юзасини анилаш, асоси 12 ва ён томони 10 бўлган тенг ёнли учбурчак ичига квадрат ясаш, томонлари 13, 14, 15 бўлган ўткир бурчакли учбурчак юзасини анилаш.
Хоразмий тўри призма, цилиндр, пирамида, конус амда баландлиги ва асослари маълум квадратдан иборат кесик пирамиданинг ажмларини топиш оидаларини ам келтиради. Бу кейинги ажмни у иккита тўли пирамида ажмларининг айирмаси деб арайди ва аввал уларнинг баландликларини анилайди.
Бу ерда Герон асарларига ёндошган адабиётлар билан инд геометрик назариялари билан таниш эканлиги сезилади. Геометрик исм жуда кичик бўлсада, ўша давр унармандлари учун зарур бўлган жуда зарур маълумотларни ўз ичига олган амда содда ва равон тил билан баён этилган эди.
Хоразмий алгебрасининг васиятномаларига баишланган учинчи бўлимидаги масалаларнинг деярлди барчаси чизили тенгламалар билан ифодаланади. Бу бўлимда келтирилган атор масалаларда анимас ва кўпинча биржинсли тенгламалар билан иш кўрилади.
У ўз алгебрасида андай манбаларга асосланганлиги маълум эмас. Унинг арифметикаси индлардан олинганлиги ани, лекин алгебраси атор хусусиятлари билан ажралиб туради. Хоразмий алгебрасида квадрат тенгламалар ечимини ёки алгебраик мидорлар устидаги амалларни геометрик асослаш муим ўрин тутади, лекин инд алгебрасида бундай ол бутунлай учратилмайди. Хоразмий индлардан фарли равишда манфий сонларни ам, символикани ам ишлатмайди. Ундан ташари, Хоразмий алгебраси тенгламалар илдизлари учун геометрик ясашлар мавжудлиги билан юнон алгебрасига яин бўлсада, умуман баён этилиш усули бўйича Евклиднинг "Негизлари" дан жиддий фар илади. Фаат, 2-китоби 2 жумласидаги шакли билан аиий ўхшашлик бўлиб, уларнинг иккиси ам икки сон йииндиси квадрати формуласининг геометрик ифодасидан иборат.
Хоразмий алгебрасининг фан тарихидаги роли ниоятда улкандир. Алгебрада у бошлаб берган йўналишни кейинги давр математиклари давом эттириб, юори пооналарга кўтардилар. Умар айём Хоразмийдан кейин у бошлаб берган алгебрадаги йўналишни давом эттириб геометрик алгебра усулини шар алгебрасига киритади ва тенгламаларнинг Хоразмийдан тўларо синфини келтиради. Хоразмий каноник кўринишлар 6 та бўлган бўлса, у кубик тенгламалар исобига 25 тага етказади. Жамшид Коший эса ўзининг 1427 йилда ёзилган "Мифто ал-исоб" номли асарида бу усулни янада такомиллаштириди. Шу билан бирга Коший ижодида Хоразмий бошлаб берган Шар алгебраси ва умуман, математикаси ўзининг юори поонасига кўтарилади.
5. Ал-Хоразмий асарларининг рўйхати:
1."Алгоритми инд исоби аида". Арабча нусхалари саланмаган. XIV асрда кўчирилган ва Кембриж университетида саланадиган лотинча нусхаси мавхуд. Бунга асос бўлган лотинча таржимани XII асрда Кремоналик Герардо ёки Аделард Бат бажарган. Уни Б.Бонкомпаньи ва К.Фогель томонидан нашр этилган.Ўзбек тилида Хоразмий танланган асарларида 1983 йилда эълон илинган.
2." Ал-китоб ал-мухтасар фи исоб ал-жабр вал муобала" Арабча нусхаси Оксфорд университетинг Бодлеян кутубхонасида саланади.(№ Hunt 214,p.1-34). Бу ўлёзма 1342 йили кўчирилган. Унинг арабча нусхаси инглизча таржимаси билан Ф.Розен томонидан 1831 йили нашр этилган. Рисоланинг яна иккита арабча нусхаси мавжуд. Иккита лотинча таржимасининг нусхалари мавжуд.
3."Зижи ал-Хоразмий" арабча нусхада саланмаган. Асарнинг 1007 йили араб астрономи Маслама ал-Мажритий айта ишланган нусхасидан XII асрда Аделард Бат Бат бажарган лотинча таржиманинг нусхалари мавжуд Бу нусхалар Оксфорд университети Бодлеян кутубхонасида саланади.
4."Астурлоб ёрдамида азимутни анилаш" Ягона рабчав ўлёзмаси Истанбулда Аё Сўфиё куьтухонасида 4830/13 раамли инвентарь бўлиб саланади.Русча таржиасми бор.
5."Мармар соат аида китоб" (Китоб ар -руама" Аё Суфиё кутубхонасида 4830 (231-235 варалар) хижрий 620 йили кўчирилган) раам билан саланади. Русча таржимаси бор.
6."Китоб ат-тарих"(" Тарих китоби") Бу асрдан парчаларни Ибн ан-Надим, ал-Маъсудий, ат-Табарий ва амза ал-Исфахоний келирадилар.
7."Яудийлар эралари ва байрамлари аида рисола"(Рисола фиистихрож таърих ал-йауд ва аъёдиим) тавимга таалули.
8."Сурати-л-арз китоби. (Китоб сурати-л-ард)-Хоразмий "Географияси" исобланади.
10."Астурлоблар билан амал тутиш аида". Бу рисоланиннг матни Берлиндаги соби Прусс кутубхонасида 5093 раам билан саланадиган аноним рисола ўлёзмасига таркибига кирган. И.Франк унинг немисча таржиасини нашр этган.
11."уёш соатлари аида китоб".
12."Астрономик санъатга киришлар китоби".
13."ўшиш ва айиришлар аида китоб".
ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР
1. М. А а д о в а. Ўрта Осиёлик олимларнинг математикага доир ишлари. «Ўитувчи», Т., 1984.
2. М. Я. В ы г о д с к и й. Арифметика и алгебра в древнем мире. «Наука», М., 1967.
3. С. С. Д е м и д о в. У истоков современной алгебры. «Знание», М., 1971.
4. Э. К о л ь м а н. История математики в древности, «Физ- матгиз», М., 1961.
5. С. Х. С и р а ж и д и н о в. Хорезми-выдающийся математик и астроном средневековья. «Просвещение», М;, 1983.
6. Д. Я. С т р о й к. Краткий очерк истории математики. М., Гл. ред. физ-мат.лит., «Наука», 1990.
7. А. Ф. Ф а й з у л л а е в. Научное творчество Мухаммад ал-Хорезми. «Фан», Т., 1983.
8. П. Г. Б у л г а к о в и др. Мухаммед ал-Хорезми. «Наука», М., 1983.
9. Г. Г. Ц е й т е н. История математики в древности в средние века. М.:Гостехоргиздат, 1932.
Математика тарихи интернет сайтларида
1.www.mathedu.ru/
2. www.hist-math.narod.ru
3.www.ivan.vmegete.ru/?p=1156
4.www.gumer.info/bibliotek_Buks/Science/.../index.php
5.www.websib.ru/noos/math/metod.php
6.www.sites.google.com/site/artyomiantonoff/istoria-matematiki
7.www.mathsun.ru/
PAGE 3
АЛ ХОРАЗМИЙ ВА УНИНГ ИЛМИЙ МЕРОСИ