ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Реферат
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Содержание
Введение
Пространство элементарных событий и вероятность
Геометрическая вероятность
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Полная вероятность и формула Байеса
Литература
Введение
В повседневной жизни часто высказываются суждения, выражаемые словами "возможно", "вероятно", "очень вероятно" и т.д. Для оценки этих понятий можно использовать числовую характеристику степени возможности появления какого-либо события в строго определенных, многократно повторяющихся условиях, которая получила название математической вероятности. Это понятие лежит в основе целого класса закономерностей, носящих название статистических и отражающих особый вид связей между явлениями, характерными для массовых процессов.
Вероятность представляет собой базовое понятие теории вероятностей - математической науки, предметом исследований которой является изучение свойств вероятностей событий, удовлетворяющих некоторым простым соотношениям и позволяющих по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных некоторым образом с первыми.
Также как и другие разделы математики теория вероятностей началась с необходимости ответов на практические вопросы, например, как часто может встретиться то или иное событие в длинной серии испытаний. Впервые такие вопросы, как это не покажется странным, возникли у игроков в азартные игры.
Вероятно, первой книгой по теории вероятностей была ”Книга об игре в кости” (“De Ludo Aleae”) Д. Кардано, написанная в Италии в середине XVI в., но опубликованная почти 100 лет спустя. Отголоски этого сохраняются и поныне, что видно из примеров и задач, приводимых во всех руководствах по теории вероятностей, в том числе и в нашем. Оказывается и такая малопочтенная область человеческой деятельности как азартные игры может привести пытливых людей к постановке вопросов, имеющих не только грубо утилитарное, но и научное значение.
И хотя сегодня теория вероятностей имеет такое же отношение к азартным играм, как геометрия к измерению площадей при земляных работах, некоторые ее понятия становятся интуитивно понятными, если иллюстрируются примерами из таких игр, которые или известны большинству читающих, или становятся таковыми при минимальных разъяснениях.
Размышления о случайном известны с древнейших времен, однако численные оценки вероятностей упоминаются в письменных источниках, начиная с XVI в. Многие историки математики относят рождение теории вероятностей, как науки, к 1654 г., когда независимо друг от друга знаменитые французские математики Б.Паскаль и П.Ферма опубликовали решение задачи о разделе ставки, известной с раннего средневековья. Для простейшего случая двух игроков суть ее сводится к следующему. Два игрока играют в игру, в которой их шансы победить одинаковы. Они договариваются, что тот, кто первым выиграет шесть партий, получит весь приз. Предположим, что в силу внешних обстоятельств игра прекращается до того, как один из игроков выиграл приз (например, один выиграл 5, а второй 3 партии). Как справедливо следует разделить приз? Известными математиками предлагались разные ответы: и 5:3, и 2:1 и т.д. Однако правильный ответ в этом конкретном случае гласит, что справедливым является раздел в отношении 7:1. (Естественно, что Б.Паскаль и П.Ферма, а вслед за ними и голландец Х.Гюйгенс нашли решение в общем виде для разного числа игроков и разного числа выигранных ими партий).
Итак, исторически первые строгие определения вероятности были даны в работах Б.Паскаля, П.Ферма, голландца Х.Гюйгенса, швейцарца Я.Бернулли, а свое завершение первоначальное классическое определение вероятности получило в начале прошлого века в трудах выдающегося французского математика П.Лапласа.
Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине XIX столетия. К этому же времени (1846 г.) относится и появление на русском языке книги В.Я.Буняковского "Основания математической теории вероятностей", терминология которой практически неизменной сохраняется в отечественной специальной литературе до настоящего времени. К концу прошлого и началу нашего века относится целый ряд выдающихся работ блестящих русских математиков Чебышева П.Л., Ляпунова А.М., Маркова А.А., после которых во всем мире теорию вероятностей стали называть "русской наукой".
Эти традиции были продолжены русскими советскими математиками, среди которых по праву первое место должно быть отдано А.Н.Колмогорову, построившему аксиоматическое обоснование теории вероятностей. Именно его работа "Основные понятия теории вероятностей" (1933 г.) знаменует новый исторический этап в развитии этой науки.
Сейчас трудно назвать область человеческого знания - от физики до теории стихосложения, - в которой в большей или меньшей мере не использовались бы методы теории вероятностей. Причем в ряде областей, таких , например, как популяционная генетика, теория вероятностей имеет самостоятельное значение в качестве математического аппарата, в других же служит для разработки методов обработки и анализа экспериментальных данных.
Чтобы придать теории вероятностей точный смысл, необходимо строго определить основные понятия, к рассмотрению которых мы и переходим.
Пространство элементарных событий и вероятность
Пространство элементарных событий удобно представлять через результаты экспериментов, где под экспериментом понимается процедура, с помощью которой эти результаты наблюдаются. Во время эксперимента - реального или мыслимого - реализуется некоторый комплекс условий, создаваемый искусственно или осуществляющийся независимо от воли экспериментатора. Эксперимент задан, если заданы его условия и определены события, наступление или ненаступление которых следует наблюдать.
Эксперименты естественным образом делятся на два класса. В случае, если результаты экспериментов заранее предсказуемы , исходя из естественнонаучных законов, мы имеем дело с классом детерминированных экспериментов. Другой класс - случайных или вероятностных экспериментов - характеризуется тем, что при выполнении одних и тех же условий возможно наступление исключающих друг друга событий. И именно теоретическое изучение таких экспериментов и составляет основное содержание теории вероятностей.
Например, известный французский естествоиспытатель Ж.Бюффон проделал 4040 раз эксперимент, связанный с подбрасыванием монеты, при этом 2048 раз выпал "герб". В аналогичных экспериментах, проделанных одним из основателей биометрии К.Пирсоном 12 и 24 тысячи раз (!), выпадение "герба" было зафиксировано соответственно 6019 и 12012 раз. (С использованием достаточно простой компьютерной программы каждый желающий может проделать такие эксперименты за считанные секунды и сравнить полученные таким образом результаты с классическими). Именно такие эксперименты при всей их кажущейся простоте и "приземленности" позволили сформулировать и проверить решения ряда задач, стимулировавших появление теории вероятностей.
Приведем еще несколько примеров возможных случайных экспериментов.
Растение, полученное при перекрестном опылении двух сортов, наследует по каждому признаку гены обоих родителей. Можно утверждать, что в каждом семени в зависимости от доминантности (проявлении во внешних признаках) или рецессивности (непроявлении в этих признаках) родительских сортов реализуется одна из трех комбинаций: доминантный-доминантный, доминантный-рецессивный, рецессивный-рецессивный. Заранее предсказать, как гены скомбинированны в конкретном семени, невозможно. Следовательно, такой опыт можно рассматривать как случайный эксперимент.
Участники международной встречи говорят на четырех языках. Причем есть такие, которые владеют только родным языком, но есть и такие, которые говорят на двух и трех иностранных языках. Если в лифте встречаются два участника этой встречи, то смогут ли они обойтись без переводчика, если надумают пообщаться друг с другом? Здесь мы также имеем дело со случайным экспериментом.
Итак, событие - результат эксперимента, его исход. Если исход только один, то мы имеем дело с элементарным событием. Рассмотрим множество всех событий S, наблюдаемых в случайном эксперименте.
Определение. Достоверным называется такое событие, которое обязательно произойдет в эксперименте.
Пример. Выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости.
Определение. Невозможным называется такое событие, которое не может произойти в эксперименте.
Пример. Выпадение 7 очков при бросании игральной кости.
Определение. Случайным называется такое событие, которое может произойти в эксперименте, а может и не произойти.
Пример. Выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании игральной кости.
Определение. Противоположными (A и ) называются пара событий, для которых справедливо, что A наступает, когда не наступает , и наоборот.
Пример. Если A выпадение четного числа {2,4,6} при бросании игральной кости, то - выпадение нечетного числа {1,3,5}.
Некоторые события могут быть представлены в виде комбинаций элементарных событий. Наиболее простые комбинации, к которым может быть сведено большинство других, это сумма и произведение событий.
Определение. События A и B называются несовместными, если появление в результате эксперимента события A исключает появление события B.
Определение. События называются попарно несовместными (или просто несовместными), если появление каждого из них исключает появление каждого из остальных.
Пример. Выпадение конкретного числа очков при бросании игральной кости исключает выпадение любого другого числа очков.
Определение. Несколько событий образуют полную группу тогда и только тогда, когда их сумма есть достоверное событие.
Пример. При бросаниях игральной кости происходят три следующих события: A={1,2}; B={2,3,4}; C={4,5,6}, образующие полную группу событий, так как A+B+C={1,2,3,4,5,6} - есть событие достоверное .
Другими словами, в результате эксперимента произойдет непременно хотя бы одно из этих событий.
Теперь рассмотрим проблему построения правил количественного измерения неопределенности появления случайных событий и их комбинаций.
Множество всех элементарных событий будем обозначать через S. Тогда каждой точке этого множества можно поставить в соответствие некоторое число, которое называется вероятностью элементарного события и обозначается . Эти вероятности должны быть неотрицательными и удовлетворять условию
(1)
где сумма распространяется на все точки пространства элементарных событий S.
Если теперь произошло событие E, заключающееся в том, что наступает одно из благоприятствующих E элементарных событий или , или или ..., или то по определению
(2)
В частном случае, когда
(3)
Это соотношение часто называют классическим определением вероятности. В соответствии с формулой (3) вероятность события E равна отношению числа k благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов. Это отношение заключено в пределах .
Следует обратить особое внимание на то, что формула (3) справедлива только в случае с равновозможными исходами. Пренебрежение этим требованием приводило к ошибкам при решении простых вероятностных задач даже таких знаменитых математиков, как Г.Лейбниц и Ж.Даламбер. Речь идет о задачах, связанных с бросанием правильной игральной кости и обычной монеты.
Если бросается правильная игральная кость, то любая из граней 1,2,3,4,5 или 6 имеет одинаковые шансы оказаться наверху. Если бросаются две кости, то сумма очков на двух гранях, оказавшихся наверху, заключена между 2 и 12. Суммы 9 и 10 из чисел от 1 до 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6=4+5, а 10=4+6=5+5. Если бросаются три кости, то и сумма в 9 очков, и сумма в 10 очков получаются шестью разными способами. Почему же тогда, как показали многочисленные эксперименты, сумма 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда три?
Эти результаты можно объяснить следующим образом. В случае двух костей сумму равную девяти можно получить следующим образом: 9=6+3=3+6=4+5=5+4, т.е. девятка "выбрасывается" четырьмя различными способами. Десятка же при бросании двух костей получается только тремя способами: 10=4+6=6+4=5+5. Таким образом, шансы "выбросить" 9 выше, чем 10 (4/36 - для 9, против 3/36 - для 10). Если продолжить рассмотрение этой задачи для случая с тремя костями, то результат получается противоположный: 9 можно "выбросить" 25 способами, а 10 - 26 способами.
Кажущийся парадокс связан с тем, что события, связанные с выпадением значений на гранях игральных костей для получения сумм в 9 и 10, не равновозможны.
Другой хрестоматийный пример - ошибка Ж. Даламбера, попавшая даже во французскую энциклопедию, также связанная с неучетом порядка выпадения разных сторон монеты при проведении экспериментов. Ответ Ж. Даламбера на вопрос о вероятности выпадения "герба" (Г) хотя бы один раз при двух бросаниях монеты, гласил - 2/3. Вероятно, он считал, что при двух бросаниях монеты возможны три следующих исхода: Г-Г, Г-"решетка"(Р), Р-Р и среди них только последний является неблагоприятным. На самом же деле для того, чтобы исходы были равновозможными необходимо учитывать, что помимо исхода Г-Р, возможен и исход Р-Г. С учетом этого искомая вероятность равна 3/4.
(Заметим в скобках, что ошибаются и знаменитые математики. Это утешает простых смертных, но не избавляет от необходимости повышенного внимания к определениям при решении даже простых вероятностных задач.)
Другое, частотное определение вероятности может быть получено из следующих рассуждений. Пусть в случайном эксперименте реализуется событие B. Выполним эксперимент многократно (N раз) и подсчитаем сколько раз событие B произошло. Обозначим это число через . Отношение называют относительной частотой появления события B в N испытаниях. Было постулировано, что существует константа p(B), около которой группируются относительные частоты , вычисленные по различным сериям экспериментов. Эта величина и служит в качестве вероятности события B. И хотя доказать справедливость принятой гипотезы невозможно, практика показывает, что такой подход приемлем.
На рис. 1 приведены результаты имитационного моделирования бросания монеты и подсчета доли выпадения герба при N бросаниях. Видно, что по мере увеличения N вычисленные значения частоты выпадения герба стабилизируются вокруг значения 0,5, которое и может быть принято в качестве вероятности выпадения герба при случайном бросании правильной монеты.
Наконец, существует и третий аксиоматический подход к определению вероятностей, введенный А.Н.Колмогоровым. Следует сразу оговориться, что если классическое и частотное определения вероятности интуитивно понятны, то строгое аксиоматическое обоснование теории вероятностей требует более основательной математической подготовки, чем предполагается у читателя этой книги, поэтому ограничимся лишь словесными формулировками следующих основных аксиом.
1. Вероятность есть действительное число, заключенное между нулем и единицей
2. Вероятность достоверного события, т.е. события , появляющегося при каждом эксперименте, равна 1.
3. Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий
P(A+B)=P(A)+P(B).
Геометрическая вероятность
В предыдущем параграфе при оценке вероятности рассматривались возможные эксперименты, в которых реализуется конечное множество событий. Однако существует большое количество задач, для которых такое предположение не является справедливым. Например, в некоторой точке C телефонного кабеля AB длиной L произошел обрыв, а нас интересует вероятность того, что точка обрыва будет удалена от точки A на расстояние не меньшее l (l<L). Или, на плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны a и b см (b>a). На эту плоскость наудачу бросается круг диаметром d см () и необходимо определить вероятность, что ни одна из линий не будет пересечена.
При решении таких и аналогичных задач предполагается что множество реализуемых событий имеет некоторую геометрическую форму, а конкретное событие соответствует точке заданной части фигуры. Тогда вероятность такого события определяется как отношение эвклидовой длины (площади, объема) части фигуры, которой оно - это событие принадлежит, к длине (площади, объему) всей фигуры.
Рассмотрим несколько примеров.
Студент и студентка договариваются о встрече на заданном промежутке времени T. Тот, кто приходит первым ожидает другого в течение времени t<T, а затем уходит. Какова вероятность встречи?
В качества множества элементарных событий рассмотрим квадрат, состоящий из точек где x и y - время прихода его и ее. Благоприятствующие исходы образуют точки, для которых (рис.2), т.е. точки квадрата между прямыми y=x-t, y=x+t. Площадь получающейся фигуры равна , а площадь всего квадрата - Отсюда искомая вероятность равна
Другой пример - это знаменитая задача Ж.Бюффона.
На плоскости проведено семейство параллельных прямых. Расстояние между соседними прямыми равно l. На эту плоскость наудачу бросается отрезок длины l. Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?
На рис. 3 а через y обозначено расстояние от правого конца отрезка до ближайшей слева прямой. Через обозначим угол между отрезком и лучом, параллельным прямым семейства, начало которого совпадает с правым концом отрезка. Очевидно, что и . Для того, чтобы отрезок пересекал хотя бы одну из прямых семейства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: или . Используя представление о брошенном наудачу отрезке, мы имеем в виду, что произвольная точка () наудачу брошена на прямоугольник (рис.3 б). На этом рисунке заштрихована фигура, координаты которой удовлетворяют неравенству . Площадь этой фигуры, деленная на площадь всего прямоугольника и будет равна искомой вероятности. Площадь прямоугольника , а площадь заштрихованной фигуры
.
Отсюда искомая вероятность равна
Использованный подход может быть естественно обобщен на произвольное расстояние между параллельными прямыми и произвольную длину бросаемого отрезка. Кроме того, как следует из приведенной формулы, если воспользоваться имитационным моделированием, можно приближенно оценить числовое значение . Для этого необходимо сымитировать условия задачи и, проведя несколько сот “бросаний” оценить значение p (как отношение числа случаев, когда отрезок пересечет некоторую прямую к общему числу экспериментов), а затем вычислить .
Оперирование с геометрическими вероятностями требует, как впрочем и для всех вероятностных задач, строгого определения условий, определяющих искомую вероятность. В противном случае возможны такие ситуации как в известном парадоксе Ж.Бертрана, суть которого состоит в следующем.
Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Нужно найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Оказывается, что разные представления о том, что есть такое “случайный выбор” приводят к разным результатам. Рассмотрим три возможных подхода. Еще два предлагаются для самостоятельного решения.
В круге, ограниченном данной окружностью случайно (равномерно) выбирается точка. Эта точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны нашего правильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга вписанного в треугольник (рис.4 а). Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга и, следовательно, площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Исходя из определения геометрической вероятности, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4. Это и есть ответ.
Возможен, однако, и другой подход. С учетом соображений симметрии можно считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой будет одна из вершин вписанного правильного треугольника (рис. 4 б). Второй конец хорды выбирается на окружности случайно с равномерным распределением. В этом случае хорда будет длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. С другой стороны, вершины правильного вписанного треугольника делят окружность на три равные дуги, так что искомая вероятность будет равной 1/3.
Еще один вариант выглядит следующим образом. Выберем точку случайным образом равномерно на радиусе окружности и возмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и проходит через выбранную точку (4 в). Тогда случайная хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если выбранная точка лежит на той половине радиуса, которая ближе к центру. Соображения симметрии показывают, что неважно какой радиус выбран для построения. Во всех случаях искомая вероятность равна 1/2.
В заключение еще раз обратим внимание, что неоднозначность понятия “равномерный случайный выбор” приводит к разным значениям искомой вероятности.
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Прежде, чем приступить к формулировке и доказательству соответствующих теорем, проиллюстрируем графически несколько определений для множества элементарных событий S. Использование графиков позволит наглядно убедится в справедливости формально получаемых результатов.
С любой парой событий и можно связать два новых события, определяемых условиями: “имеют место илиили” и “имеют место ии”. Эти события обозначают, так как это принято в теории множеств, или (+) и или () . Первое из этих событий содержит все точки, за исключением тех, которые не принадлежат ни, ни(рис.5 а), а второе - все точки общие событиями(рис.5 б).
Разность событий - (рис.5 в) - событие, которое наступает при одновременном наступлении и ненаступлении , и может быть записано, как .
А теперь рассмотрим теперь несколько теорем, с помощью которых по вероятностям одних случайных событий можно вычислять вероятности других случайных событий.
Теорема 1 (сложения вероятностей). Каковы бы ни были события и и каково бы ни было пространство элементарных событий S, вероятность объединения (суммы) равна
(4)
Доказательство. Все множество элементарных событий для которого определены события и , может быть разделено на 4 группы точек в соответствии с тем, относятся ли эти точки к обоим событиям и, только к одному из них, или ни к одному. Если все множество точек пространства элементарных событий обозначить через n, а через - число точек в каждой из указанных выше групп, т.е. будет соответствовать событию то
Если теперь эти вероятности подставить в (4), то мы получим тождество, что и доказывает сформулированную теорему.
Если события и несовместны, так что , то получается соотношение, принятое в качестве одной из аксиом при аксиоматическом обосновании теории вероятности, о котором уже говорилось выше, а именно, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е.
(5)
В обеих приведенных формулировках теорема сложения вероятностей допускает естественное обобщение на случай r событий. Для случая попарно несовместных событий это обобщение очевидно. Общая же формула для вероятности суммы r произвольных случайных событий будет выведена ниже.
Приведенное выше доказательство теоремы сложения вероятностей является вполне строгим и им можно было бы ограничиться. Однако, в порядке исключения, мы хотим привести два других доказательства, чтобы продемонстрировать многообразие подходов, возможных даже при решении относительно несложных задач, связанных с доказательством теоретических положений.
Итак, пусть события и не являются несовместными, т.е. событие содержит элементарные события из множества S (рис.6). Как видно из приведенного рисунка области событий и можно разбить на части и , а также и, причем область содержит общие для и элементарные события. Из этого следует, что событие + можно рассматривать как сумму трех попарно несовместных событий и вследствие этого
(6)
Перепишем это равенство в следующем виде:
. (7)
Так как события и, а также и несовместны, то, используя равенство (5), имеем соответственно:
и (8)
. (9)
Подставляя два последних соотношения в (7), получаем выражение, фигурирующее в теореме сложения вероятностей:
.
Еще одно доказательство этой теоремы может быть получено с использованием приведенных в конце предыдущего параграфа основных аксиом теории вероятностей. Так как события и несовместны (см. рис. 6) то из аксиомы 3 следует, что
. (10)
В свою очередь, событие + может быть представлено, как объединение двух несовместных событий и , откуда следует (с учетом 10 и аксиомы 3)
,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим гипотетический пример использования теоремы сложения вероятностей. Пусть мы имеем в хромосоме некоторый локус с двумя генами A и a. Если организм несет два одинаковых гена в локусе, он называется гомозиготным. Если для организма вероятности быть чистым доминантом, т.е. нести пару AA, или чистым рецессивом, т.е. нести в одном локусе пару генов aa, равны соответственно 1/2 и 1/4, то в силу несовместности у одного организма комбинаций AA и aa в одном локусе вероятность того, что организм гомозиготен, равна 1/2+1/4=3/4.
Другой пример. Два стрелка независимо друг от друга производят по выстрелу (события и)по движущейся мишени. Из предыдущих наблюдений известно, что первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7 , а второй - с вероятностью 0,6. Какова вероятность обнаружить, хотя бы одну пробоину в мишени. Так как события и независимы, то искомая вероятность
Условная вероятность. Предположим, что события и могут появиться при осуществлении некоторого эксперимента. Нас интересует вероятность события , если известно, что осуществилось событие . Будем обозначать эту вероятность как (читается: “условная вероятность события при условии, что произошло событие ” или более коротко: “вероятность события при условии ”).
Если есть информация, что событие осуществилось, необходимо рассматривать не все пространство элементарных исходов, а только совокупность элементарных событий , соответствующих . Каждому элементарному событию поставим в соответствие некоторое неотрицательное число , назовем его условной вероятностью и потребуем, чтобы имело место равенство
(11)
Суммирование должно осуществляться по всем элементарным событиям из .
Если определить условную вероятность элементарного событий при условии как
, (12)
то несложно убедиться, что приведенное равенство (11) будет выполняться. В самом деле
Итак, чтобы вычислить условную вероятность , надо воспользоваться формулой (12) и просуммировать условные вероятности всех тех элементарных событий , которые принадлежат и одновременно. Имеем
(13)
Из этой формулы естественным образом может быть получено несколько соотношений, полезных при решении задач.
Во-первых,
(14)
которое легко распространить на случай трех событий ,,:
, (15)
если выполняются условия:
Обобщение на n событий будет приведено ниже (формула 19).
Другое соотношение
(16)
То, что это соотношение имеет место, доказывается прямым методом, который использовался при доказательстве теоремы сложения вероятностей и предлагается в качестве упражнения. Для доказательства необходимо потребовать, чтобы события и были несовместны в рассматриваемом пространстве элементарных событий, а не являлось невозможным событием.
Рассмотрим пример на использование понятия условной вероятности. На каждой из 6 карточек написано по одной букве, из которых складывается слово “карета”. Карточки перемешиваются и затем выкладываются по одной. Какова вероятность, что в порядке поступления букв образуется слово “ракета”?
Так как букв 6, то вероятность выложить первой букву “р” (событие ) равна 1/6. После этого у нас остается пять карточек и с учетом того, что букв “а” две =2/5. Исходя из таких же соображений, вероятности остальных букв будут соответственно 1/4, 1/3, 1/2, 1, а искомая вероятность - .
(Убедиться в справедливости полученного результата можно с помощью очень несложного имитационного эксперимента.)
Рассмотрим еще один пример. Пусть есть потомок двух гибридов и известно, что он несет доминантный признак. Событие состоит в том, что потомок - гибрид, событие - в том, что он рецессив. Так как нам известно, что потомок несет доминантный признак, то события и несовместны. Предположим, что интерес представляет вероятность того, что потомок - гибрид, если он несет доминантный признак. Известно, что при скрещивании двух гибридов вероятность того, что потомок будет гибридом или чистым доминантом, равна соответственно 1/2 и 1/4. Вероятность того, что потомок будет чистым рецессивом равна 1/4. Следовательно,
Если за событие считать, что потомок чистый доминант, то
Используя введенное понятие условной вероятности можно сформулировать вторую основную теорему теории вероятностей - теорему умножения.
Теорема 2. Каковы бы ни были события и и каково бы ни было пространство элементарных исходов S, вероятность произведения равна
(17)
Доказательство. Условием для справедливости теоремы является необходимость того, чтобы и не были бы невозможными событиями для данного S. Только в этом случае условные вероятности, входящие в (17) имеют смысл.
Все множество элементарных событий, для которого определены события и , как и в случае теоремы о сложении вероятностей, может быть разделено на 4 группы точек в соответствии с тем, относятся ли эти точки к обоим событиям и, только к одному из них, или ни к одному. Если все множество точек пространства элементарных событий обозначить через n, а через - число точек в каждой из указанных выше групп, т.е. будет соответствовать событию
то
(18)
(Для вычисления вероятности мы воспользовались формулой 13).
Если теперь подставить (18) в (17), то получим тождество, что и доказывает теорему.
Эта теорема легко обобщается на случай оценки вероятности произведения n событий. Имеет место формула
(19)
Выше, рассматривая представления об условных вероятностях, мы привели соотношение (16) и предложили в качестве упражнения доказать его справедливость путем прямых вероятностных расчетов. Теперь, с использованием теоремы умножения можно предложить совсем другой, более тонкий подход .
В самом деле, - достоверное событие; отсюда вытекает, что эквивалентно произведению ()=+. Так как и несовместны , то - невозможное событие и, следовательно, эквивалентно , а значит
.
Применяя теорему умножения к вероятности в правой части этого равенства, получим
откуда и следует (16).
При использовании теорем сложения и умножения вероятностей очень важно обращать особое внимание на множество элементарных событий, к которым относятся упоминаемые в этих теоремах вероятности. Иногда об этом забывают и в результате возникают так называемые ”парадоксы”. Приведем искусственный пример.
Пусть очень строгий экзаменатор составил билеты с двумя вопросами так, что вероятность не ответить на первый () из них равна , а не ответить на второй () равна . Необходимо оценить вероятность того, что “неуд” будет получен за неудовлетворительный ответ на или .
На первый взгляд событие “не ответить на или на” есть сумма двух событий: “не ответить на ” и “не ответить на ”. После того, как студент не ответил на один вопрос, экзамен прекращается, и, следовательно, оба этих события несовместны. Тогда на основании теоремы сложения вероятностей получается парадоксальный результат :
(Студент, изучающий теорию вероятностей, в этом случае на экзамен не пойдет, поскольку неудовлетворительный итог более чем достоверен!)
На самом деле все обстоит не так плохо, и если задуматься над пространствами элементарных событий, то этот “парадокс” сразу исчезает. В самом деле, и относятся к разным пространствам элементарных событий, которые мы обозначим через и . Пространство может слагаться из попыток, когда студент достаточно хорошо подготовлен только по одной части курса, находящей свое отражение в вопросах , и ответ на является его единственной целью. К этому же пространству относятся попытки сначала ответить на , а потом уже на ( а вдруг повезет, чем черт не шутит!). Аналогично пространство элементарных событий может слагаться из попыток ответить только на , если этот раздел усвоен лучше, или из ответов на , а уже затем на .
Отсюда видно, что пространства элементарных исходов и различаются между собой и использовать теорему сложения к вероятностям и нельзя. Более того, в той постановке задачи, которая была приведена выше, пространство элементарных исходов для не определено однозначно. Можно предположить, что относится к , совпадающему с и состоящему в том, что студент сначала отвечает на , и если ответ удовлетворителен, то переходит к . При таком предположении - условная вероятность неудовлетворительного ответа на второй вопрос, если известно, что на первый вопрос студент ответил. Тогда
(ответ на оба вопроса/=
=0,6+0,7-0,6 0,7=0,88.
Но можно себе представить, что относится к другому множеству элементарных событий , когда студент заранее решает, что будет отвечать только на один вопрос, а на какой именно определяет подбрасыванием монеты: выпадает “герб” - отвечает на первый, выпадает “решетка” - на второй. В этом случае нетрудно видеть, что
.
Этот пример, также как и пример, приведенный в параграфе о геометрических вероятностях, показывает, что правильное и строгое определение пространства элементарных событий является принципиальным моментов при расчете вероятностей сложных событий.
Полная вероятность и формула Байеса
Прежде, чем привести формальный вывод формулы полной вероятности, рассмотрим две задачи, ставшие почти “классическими”.
Слепой старец без поводыря вышел из пункта А в пункт В (рис.7). Какова вероятность того, что он достигнет конечного пункта? Так как предполагается, что старец случайным образом выходит на ту или иную дорогу, то вероятность попасть в каждый из промежуточных пунктов С, Д, Е одинакова и равна 1/3. Однако из этих пунктов он попадет в конечный пункт В уже с разными вероятностями. Для пункта С эта вероятность - 1/3, т.к. из него ведут три дороги, для Д - вероятность равна 1/2, для Е - 1. Таким образом, общая вероятность для слепого старца попасть из пункта А в пункт В (именно эта вероятность и есть полная вероятность) равна
=
Другая задача. В группе студентов-старшекурсников 4 отличника, 13 хорошо успевающих и 8 слабых студентов. Результаты предшествующих экзаменационных сессий показали, что отличники на экзаменах получают только отличные оценки (потому они и отличники); “хорошисты”, как правило, в девяти случаях из десяти получают отличные или хорошие оценки; наконец, слабые студенты в одном случае из пяти получают хорошие оценки, а в оставшихся четырех с равной вероятностью получают удовлетворительные и неудовлетворительные оценки.
Для сдачи экзамена наугад выбирается один студент. Найти вероятность события А, что студент получит хорошую или отличную оценку.
Итак, если студент - отличник, то с вероятностью единица он получает отличную или хорошую оценку, а вероятность, что именно такой студент будет выбран равна 4/25. Если студент успевает хорошо, то с вероятностью 9/10 он получает хорошую или отличную оценку, а вероятность, что он будет выбран наугад составляет 13/25. Наконец, выбираемый с вероятностью 8/25 слабый студент получает хорошую оценку с вероятностью 1/5. Так как выбор экзаменующегося студента осуществляется случайно и независимо, то
p(A)=
Теперь после получения интуитивно понятных результатов, формальным образом введем понятие полной вероятности.
Пусть мы имеем полную группу попарно несовместных событий . Это означает, что . Если теперь событие А реализуется вместе с одним из событий , то
. (21)
Это и есть формула полной вероятности, используемая при решении широкого круга задач.
Те же условия, что и для формулы полной вероятности, были использованы для формулирования так называемой теоремы гипотез или формулы Байеса. (Сразу отметим, что сам Томас Байес - английский математик XVIII века - формулу эту не выводил. Она названа так в знак признания его работ по теории вероятностей.)
Итак, до проведения экспериментов или наблюдений есть какие-то гипотезы, выражаемые численно в виде вероятностей некоторых событий. После проведения экспериментов, как правило, приходится проводить переоценку первоначальных гипотез и для этого необходимо иметь соответствующую формулу, чтобы указанную процедуру проводить строго однозначно.
Пусть попарно несовместные события образуют полную группу событий, т.е.
Рассмотрим некоторое событие А в том же пространстве элементарных событий, что и .
Определение. Вероятность осуществления события (гипотезы) , вычисленная безотносительно к событию А, называется априорной вероятностью.
Определение. Условная вероятность выполнения события (гипотезы) , вычисленная в предположении, что событие А осуществилось, называется апостериорной вероятностью.
Так как события попарно несовместны и образуют полную группу, то
.
Используя результат теоремы об умножении вероятностей (формула 17), имеем
. (22)
Вычислим теперь условную вероятность события , если известно, что событие А реализовалось. По формуле условной вероятности (13) имеем
(23)
Это и есть формула Байеса, которую иногда называют формулой переоценки гипотез в тех случаях, когда события рассматривают как гипотезы.
Рассмотрим два примера использования этой формулы.
Пусть при сдаче экзамена положительная оценка ставится с вероятностью 0,95 , если студент подготовлен достаточно хорошо, и с вероятностью 0,05 , если он не подготовлен. Другими словами, событие заключается в том, что студент подготовлен к экзамену удовлетворительно, - “подготовлен неудовлетворительно”, A - “положительная оценка”, т.е. и = 0,05. Таким образом, в 5% случаев неподготовленный студент будет получать положительную отметку и в 5% случаев подготовленный студент будет получать неудовлетворительную оценку. Пусть теперь имеется поток, в котором доля студентов хорошо подготовленных составляет 0,8 , и соответственно, доля неподготовленных - 0,2. Возникает вопрос, как на основании априорной информации определить вероятность того, что получивший хорошую оценку студент действительно был хорошо подготовлен.
По формуле Байеса имеем
Таким образом, если пользоваться априорными условными вероятностями, то можно ожидать, что неправильная оценка знаний на экзамене будет почти исключена: в длинной серии экзаменов не более двух человек из ста, будучи плохо подготовленными, смогут получить хорошую оценку.
Условия следующей задачи имеют отношения к проблеме медицинской диагностики, хотя точно такой же подход может быть использован для решения аналогичных диагностических задач в любой области науки и техники.
Итак, предполагается, что диагностический тест ракового заболевания дает положительную реакцию с вероятностью 0,95 , если у обследуемого действительно есть рак, и с вероятностью 0,05, если у обследуемого этого заболевания нет. Запишем это более формально: событие - “обследуемый болен раком”, событие - “обследуемый не болен раком”, A - “положительная реакция”, Следовательно, при использовании этого теста не более 5% действительно больных будут отнесены к здоровым и не более 5% здоровых ошибочно будут причислены к больным. Пусть теперь с использованием этого теста обследуется группа, в которой каждый индивидуум имеет вероятность быть больным равную 0,001, т.е. и = 0,999. Зададимся вопросом, какова вероятность того, что индивидуум из этой группы, имеющий положительную реакцию на тест, в действительности болен раком?
Используя формулу Байеса, имеем
Таким образом, из обследуемых в этой группе и имеющих положительную реакцию на тест меньше 2% в действительности больны раком.
В заключение этой главы рассмотрим пример, связанный с вероятностными расчетами для ситуации, которая могла бы возникнуть реально.
Попытки использовать вероятностные методы для моделирования ситуаций, возникающих на практике, наталкиваются на специфические трудности. Во-первых, ни одна реальная задача не связана с таким математическим понятием как множество элементарных событий, которое определяет результат решения. Поэтому прежде, чем приступить к решению задачи вероятностными методами, необходимо сформулировать ее в соответствующих понятиях. Собственно к этому и сводится построение математической модели реальной ситуации. Существует много способов построения моделей, и их адекватность может быть проверена или эмпирическим путем или, что бывает значительно чаще, базироваться на интуитивном представлении о соответствии модели реальному механизму изучаемого явления. При этом следует отдавать себе отчет в том, что полученное решение соответствует использованной нами модели, но совсем не обязательно будет соответствовать реальной ситуации, для которой эта модель построена. И только в том случае, если формальные или интуитивные представления, положенные в основу модели адекватны исследуемому процессу или явлению, следует ожидать удовлетворительного совпадения “выходов” модели и “выходов” реальной системы.
Вторая трудность при решении практически важных задач состоит в том, что реальные проблемы чрезвычайно сложны и попытки их адекватного отражения в математической модели приводят зачастую к непреодолимым математическим сложностям, так что приходится пересматривать модель, жертвуя ее адекватности ради возможности получить решение за приемлемое время и с приемлемыми затратами сил и средств.
Эти соображения следует иметь в виду, оценивая приводимые в этом и других разделах задачи, имеющие отношение к реальности.
Пусть мы проверяем новый измерительный комплекс для проведения физико-химического анализа проб почв, состоящий из двух узлов: измерительного (первого) и регистрирующего (второго). Вероятности безотказной работы за время t (надежность работы) известны из паспортных данных фирмы-изготовителя и равны соответственно Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени t выяснилось, что прибор неисправен. Возможны три предположения (гипотезы):
={неисправен только первый узел};
={неисправен только второй узел};
={неисправны оба узла}.
Вообще-то, до начала испытаний существовала еще одна гипотеза ={исправны оба узла}, но так как прибор все-таки отказал, то эта гипотеза исключается.
Для локализации неисправности прибор тестируется с помощью трех независимых тестов: в результате чего оказывается, что первые два теста дали положительный результат, а третий - отрицательный, т.е. реализовалось событие B={++-}, где плюсом обозначены положительные результаты тестов, а минусом - отрицательный результат. Известны также условные вероятности положительного результата тестов при гипотезах . Эти вероятности обозначаются как , где i - номер теста, j-номер гипотезы. Имеем:
.
Необходимо определить наиболее вероятное из возможных состояний прибора.
Прежде всего необходимо оценить априорные вероятности каждой из трех гипотез, используя известные вероятности безотказной работы каждого из узлов. Обозначая через вероятность неисправности i-го узла, имеем:
Эти значения получены с учетом условия, что узлы прибора отказывают независимо друг от друга.
Так как, в конечном счете, прибор отказал, то будем считать, что реализовалось некоторое событие , вероятность которого
Тогда в соответствии с формулой Байеса
апостериорные вероятности гипотез будут равны соответственно
На следующем этапе для учета результатов тестирования эти вероятности могут использоваться уже как априорные, и с их использованием необходимо вычислить условные вероятности события B при тех же гипотезах. Имеем
И в этом случае при расчетах использовано условие о том, что результаты тестирования независимы.
Вторично применяя формулу Байеса получим:
Из этих результатов следует, что наиболее вероятное состояние прибора соответствует второй гипотезе - “отказал только второй узел”. В этом случае целесообразно начинать ремонтные работы именно со второго узла, так как вероятность выхода из строя именно этого узла более чем в два раза превышает вероятность выхода из строя первого.
Литература
1. Андронов, А.М.; Копытов, Е.А.; Гринглаз, Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика; СПб: Питер - Москва, 2004. - 461 c.
2. Битнер Г. Г. Теория вероятностей; Феникс - Москва, 2012. - 336 c.
3. Большакова Л. В. Теория вероятностей для экономистов; Финансы и статистика - Москва, 2009. - 208 c.
4. Боровков А. А. Теория вероятностей; Либроком - Москва, 2009. - 656 c.
5. Боровков А.А. Теория вероятностей; Мир - Москва, 1986. - 395 c.
6. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения; Высшая школа - Москва, 2010. - 480 c.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей; Высшая школа - Москва, 1976. - 616 c.
8. Глиненко В. И. Теория вероятностей; Государственное учебно-педагогическое издательство - Москва, 1986. - 138 c.
9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика; Наука - Москва, 1980. - 541 c.
10. Горлач Б. А. Теория вероятностей и математическая статистика; Лань - Москва, 2013. - 320 c.
11. Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика; Юрайт - Москва, 2013. - 480 c.
12. Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. Математика XIX века (том 1): математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей; СПб. [и др.] : Питер - Москва, 1978. - 246 c.
13. Кочетков Е. С., Смерчинская С. О. Теория вероятностей в задачах и упражнениях; Форум - Москва, 2008. - 480 c.
14. Крупин В. Г., Туганбаев А. А. Теория вероятностей; Факториал Пресс - Москва, 2006. - 128 c.
15. Левкович В. Л. Теория вероятностей; Издательство Академии наук БССР - Москва, 2007. - 104 c.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ