ИМПУЛЬСНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Контрольная работа

Содержание

1. Непрерывные и дискретные переменные

2. Примеры импульсных и цифровых систем

3. Уравнения импульсной системы

4. Определение уравнений дискретных систем по передаточной функции приведенной непрерывной части

5. Решение уравнений дискретных систем

6. Устойчивость дискретных систем

7. Условия конечной длительности переходных процессов дискретных систем

8. Астатизм дискретных систем

Литература

1. Непрерывные и дискретные переменные

Наряду с непрерывными переменными , которые определены во все моменты времени , существуют импульсные и дискретные переменные , представляющие собой последовательность импульсов. Эта последовательность связана с источником информации или с некоторой непрерывной переменной лишь в отдельные моменты времени. Во все остальные моменты времени указанная связь отсутствует.

В связи с этим импульсные переменные часто называют модулированными сигналами, имея в виду, что существует некоторый генератор несущего сигнала ГНС (рис. 1,а), т.е. импульсов с постоянными амплитудой, длительностью и частотой следования (рис. 1,б). Этот несущий сигнал поступает в модулятор (Мод), который изменяет один или несколько параметров несущего сигнала (амплитуду, длительность или интервал следования) в соответствии с изменением исходной информационной переменной . На выходе модулятора и формируется импульсная переменная .

а б

Рис. 1

Обычно импульсные переменные представляют собой импульсы, следующие через определенные промежутки времени. Как правило, они являются результатом модуляции непрерывных переменных.

В системах управления используется модуляция следующих ви-

дов: амплитудно-импульсная (), широтно-импульсная () и времяимпульсная () модуляция.

Рассмотрим эти виды модуляции подробнее.

Амплитудно-импульсная модуляция. В этом случае амплитуда импульсов переменной определяется выражением

где – амплитуда импульса, – коэффициент передачи модулятора, – информационная (модулирующая) переменная. Остальные параметры импульсов: длительность и интервал следования k-го импульса по отношению к k–1-му импульсу, т.е. величина , .

Двойные скобки, здесь и далее, обозначают операцию взятия целой части.

Широтно-импульсная модуляция. Здесь переменной является длительность импульса, т.е.

где – коэффициент передачи модулятора. При этом , .

Времяимпульсная модуляция. В этом случае переменной является задержка импульсов по отношению к моментам времени , т.е.

где – коэффициент передачи модулятора. При этом , .

Преобразование непрерывной переменной в импульсную с помощью указанных видов модуляции показано на рис. 2. Отметим также, что является линейным, а и нелинейными преобразованиями.

Дискретные переменные представляют собой последовательность «дискрет» (мгновенных значений некоторой функции) и также являются результатом квантования по времени непрерывных переменных, т.е.

, . (1)

Здесь – решетчатая функция (последовательность -импульсов различной площади) [5].

Выражение (1) описывает процесс квантования по времени непрерывной переменной . Квантование по времени также является линейным преобразованием. Его можно рассматривать как амплитудно-импульсную модуляцию.

Рис. 2

В выражении (1) верхний предел суммы можно заменить на бесконечность, так как функция при всех равна нулю по определению -функции. Поэтому

. (2)

Определение. Непрерывным элементом системы называется элемент, у которого входная и выходная переменные, а также переменные состояния являются непрерывными функциями времени.

Определение. Импульсным элементом называется элемент, у которого входная или выходная переменные являются импульсными.

Определение. Дискретным элементом называется элемент, у которого какая-либо из переменных является дискретной или решетчатой функцией, т.е. представляет собой последовательность -импульсов с изменяющейся площадью. Эти -импульсы часто называют «дискретами».

Определение. Если динамическая система содержит хотя бы один импульсный или дискретный элемент, то она называется импульсной или дискретной. Дискретные системы, в которых имеются дискретные или импульсные переменные, представленные цифровыми кодами, называются цифровыми системами.

Наличие импульсных элементов в системах управления обусловлено либо принципом действия этих систем, либо импульсные элементы вводятся в непрерывную систему с целью получения определенных преимуществ. Например, для того чтобы один и тот же регулятор мог в разные моменты времени поочерёдно управлять различными объектами.

2. Примеры импульсных и цифровых систем

Радиолокационный дальномер. Дальномер используется для измерения расстояния до различных движущихся объектов. Функциональная схема радиолокационного дальномера изображена на рис. 3. Здесь обозначено – антенна; – приемопередатчик; – инвертор; – схемы И, – генератор стробирующих импульсов, – времяимпульсный модулятор [25].

Приемопередатчик периодически формирует и через антенну излучает в пространство зондирующие радиоимпульсы (ЗИ). Он же принимает отраженные радиоимпульсы и формирует их огибающую (ОИ). Генератор стробирующих импульсов () формирует стробирующий импульс (СИ), который запаздывает по отношению к зондирующему на время, пропорциональное напряжению на выходе интегратора.

Поэтому, если на схему сравнения, образованную инвертором 1, двумя схемами и инвертирующим сумматором, стробирующий импульс приходит раньше отраженного ОИ, то под действием импульса со схемы напряжение на интеграторе уменьшается на величину, которая будет меньше, чем та, на которую увеличится под действием импульса, поступающего со схемы .

Если же стробирующий импульс приходит позже отраженного сигнала, то напряжение на интеграторе уменьшается под действием сигнала с на большую величину, чем оно увеличится под действием сигнала с .

Рис. 3

И только в том случае, когда запаздывание стробирующего импульса равно запаздыванию отраженного, напряжение на интеграторе остается неизменным после прихода импульсов с и с . Поэтому в этом установившемся режиме напряжение на интеграторе будет прямо пропорционально дальности до цели.

Совокупность блоков , , , образует импульсный элемент (ИЭ). Можно считать, что этот ИЭ формирует прямоугольные импульсы, амплитуда которых пропорциональна отклонению , т.е. разности между действительной дальностью d до цели и измеренной дальностью, которая равна .

Рис. 4

Поэтому структурную схему радиолокационного дальномера можно представить, как показано на рис. 4, где обозначено – отклонение, – коэффициент пропорциональности; – непрерывная часть рассмотренного радиолокационного дальномера, состоящая из инвертирующего сумматора, интегратора и не показанных на схеме дополнительных устройств.

Как видно, дальномер представляет собою замкнутую импульсную систему, выходная переменная которой в установившемся режиме пропорциональна дальности d до цели.

Система регулирования температуры с импульсным измерителем отклонения. Данная система [25] предназначена для регулирования температуры в камере, снабженной нагревателем (Н) и резистивным датчиком температуры (). В этой системе (рис. 5) импульсным элементом является измеритель отклонения (рассогласования) (). На него с электрического моста поступает непрерывная переменная , пропорциональная отклонению температуры в камере от заданного значения, а его выходная переменная является последовательностью импульсов постоянной длительности и переменной амплитуды.

Частота следования импульсов определяется частотой вращения кулачка 2, а длительность импульсов – временем прижатия стрелки 4 к потенциометру с помощью «падающей дужки» 3. Амплитуда импульсов зависит от угла отклонения рамки магнитоэлектрического прибора . Этот угол пропорционален напряжению . Остальные элементы являются обычными непрерывными элементами. Они образуют непрерывную часть () рассматриваемой системы, структурная схема которой приведена на рис. 6.

Рис. 5

Отметим, что в данную систему импульсный элемент введен искусственно с целью расширения возможностей регулирующей части. Данная система может работать и без импульсного элемента, если напряжение с моста подать непосредственно на вход усилителя У. Однако в этом случае двигатель М будет все время находиться под напряжением, что приведет к большим потерям энергии. Кроме того, потребуются дополнительные корректирующие устройства, позволяющие снизить быстродействие электрической части системы, соотнеся его с большой инерционностью нагревательной камеры.

Рис. 6

Система с ЦВМ. В настоящее время всё более широко применяются системы с цифровыми управляющими машинами (). Схема такой системы приведена на рис. 7. Необходимыми устройствами системы с являются аналого-цифровые () и цифро-аналоговые () преобразователи. осуществляет преобразование непрерывных переменных в последовательность цифровых кодов, поступающих затем в УВМ. С другой стороны, последовательность кодов управляющего воздействия, вычисленных УВМ, преобразуется ЦАП в непрерывное управляющее воздействие , которое поступает через исполнительные устройства на объект управления.

, кроме квантования по времени, осуществляет и квантование по уровню. Величина кванта по уровню определяется числом разрядов . В настоящее время имеют 8 – 10 разрядов и выше, поэтому на первой стадии анализа цифровых систем квантованием по уровню обычно пренебрегают.

Кроме того, и АЦП, и ЦАП, и УВМ требуют некоторого времени для обработки поступающих переменных, поэтому цифровые элементы всегда вносят некоторое запаздывание по времени. Если запаздывание мало по сравнению с периодом следования импульсов (менее 0,1Т), то им обычно пренебрегают. Если же запаздывание соизмеримо с периодом Т, то его необходимо учитывать при исследовании цифровых систем.

Рис. 7

Как видно из приведенных выше примеров, в большинстве случаев структурную схему импульсной системы в разомкнутом состоянии можно представить, как показано на рис. 8.

3. Уравнения импульсной системы

С помощью структурной схемы, приведенной на рис. 8, можно получить различные уравнения импульсной системы, используя уравнения импульсного элемента и непрерывной части, представлен-

ные в той или иной форме.

Предположим, формирует прямоугольные импульсы длительностью с различной амплитудой. График его выходного сигнала для этого случая приведен на рис. 9.

Рис. 8

Аналитически зависимость, представленную на рис. 9, можно описать следующими выражениями:

(3)

где – коэффициент передачи .

Рис. 9

Предположим, что непрерывная часть () (см. рис. 8) задана своими уравнениями в переменных состояния

, (4)

. (5)

Обратим внимание, что в импульсных системах всегда отсутствует прямая связь между входной переменной непрерывной части и её выходной переменной . Поэтому в уравнении (5) отсутствует переменная .

Кроме того, в импульсных системах (см. рис. 8) связь между входной переменной и выходной непрерывной переменной является нелинейной. Поэтому чаще всего здесь рассматривается связь между дискретными значениями управления , дискретными значениями выходной переменной и соответствующими значениями переменных состояния НЧ.

Для вывода уравнений импульсной системы (см. рис. 8) воспользуемся формулой Коши. На основе уравнения (4) можно записать равенство

. (6)

Положим в (6) , , и проведём замену переменных. В результате будем иметь

В соответствии с уравнениями (3) импульсного элемента величина на интервале от до равна нулю, а в интервале от до равна . Поэтому

Отсюда следует равенство

. (7)

Здесь обозначено . Выражения (7) и (5) можно записать следующим образом:

, (8)

, (9)

где

. (10)

Если матрица является неособенной, т.е. , то интеграл в (10) можно взять в символьной форме. В результате получим

. (11)

Если же матрица является особенной, т.е. , то интеграл в (10) необходимо вычислять путем интегрирования каждого элемента подынтегральной матрицы в отдельности.

Выражения (8), (9) являются разностными уравнениями импульсной системы в разомкнутом состоянии. Эти уравнения связывают лишь дискретные значения переменных состояния с дискретными же значениями входной переменной и выходной переменной рассматриваемой системы (см. рис. 8). Можно ввести в эти уравнения и первые разности, т. е. величины – убывающую разность, или же – восходящую разность.

Для вывода уравнений замкнутой системы, структурная схема которой показана на рис. 10, необходимо в уравнении (8) заменить на и учесть, что .