ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ С ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ

Контрольная работа

Содержание

1. Основные характеристики полупроводниковых двумерных структур

2. Прямоугольная потенциальная яма конечной глубины

3. Параболическая и треугольная квантовые ямы

4 Квантовые проволоки

5. Квантовые точки

6. Напряженные слои

7. Влияние напряжений на валентную зону

8. Зонная структура в квантовых ямах

9. Экситонные эффекты в квантовых ямах

Литература

1. Основные характеристики полупроводниковых двумерных структур

Одной из наиболее широко используемых на практике двумерных полупроводниковых структур является трехслойная структура из пленки арсенида галлия нанометровой толщины, окруженной с двух сторон слоями полупроводника, например алюмината арсенида галлия AlxGa1-xAs, с более широкой запрещенной зоной. Например, при (x ~ 0,3) запрещенная зона AlxGa1-xAs близка к 2 эВ, в то время как в GaAs она равна 1,4 эВ. В результате возникает профиль потенциальной энергии, близкий по форме к прямоугольному (рис. 1, а) с высотой барьера 0,4 эВ (для электронов) и 0,2 эВ (для дырок).

В действительности, конечно, потенциальный барьер имеет более сложную форму, поскольку потенциал зависит и от межатомного расстояния, влияющего на волновые функции. Однако для многих случаев можно рассматривать потенциал, усредненный по нескольким межатомным расстояниям (приближение огибающей функции). Как видно из рис. 1, а, из-за наличия стенок ямы движение носителей (и электронов, и дырок) не может происходить вдоль оси z, перпендикулярной яме, однако в двух остальных направлениях (х и у, параллельных плоскости границы раздела) электроны остаются свободными и их движение ничем не ограничено.

Рис. 1. а

Поведение электронов в системах, где их движение ограничено вдоль одной из координатных осей, приводит к известной квантово-механической задаче о движении частицы в так называемом потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. Далее мы рассмотрим эту задачу для случая барьеров конечной высоты на границах раздела. Из квантовой механики известно, что волновые функции и энергетические уровни связанных электронных состояний в такой ситуации (при наличии бесконечного по высоте потенциального барьера) определяются формулами

(1)

(2)

где величина соответствует эффективной массе электрона при движении в данном веществе вдоль оси z, а а - ширина потенциальной ямы. Из уравнения (2) можно сразу получить несколько важных характеристик поведения системы. Прежде всего, ясно, что квантовые эффекты должны особенно сильно проявляться в структурах с малыми значениями а, причем именно в материалах, где эффективная масса электрона является очень малой. Рассматриваемые наноструктуры GaAs очень удобны в этом отношении, так как в этом материале (- масса свободного электрона). Другими словами, квантовые эффекты гораздо легче наблюдать в системах, где высоки значения подвижности электронов или длина их свободного пробега. Кроме этого, столь же ясно, что размерные квантовые эффекты (связанные с электронными переходами между уровнями) гораздо удобнее наблюдать при низких температурах, поскольку средняя тепловая энергия носителей заряда имеет порядок кТ.

Движение электронов в квантовых ямах ограничено лишь в одном направлении (z), а в плоскости (х, у) они остаются свободными и их поведение аналогично наблюдаемому в трехмерных твердых телах. Поэтому можно записать волновую функцию электрона в виде произведения волновых функций по отдельным осям (x, y и z), т. е. в виде

, (3)

где функции x и y должны являться решениями уравнения Шрёдингера для свободного электрона, т. е. описывать бегущую волну. Одновременно третья функция z должна представлять собой решение того же уравнения Шрёдингера, но для частицы в прямоугольной потенциальной яме V(z), т. е. удовлетворять приведенному выше уравнению (1).

С учетом сказанного для полной энергии электронов в потенциальной яме можно выписать соотношение

, (4)

где квазинепрерывные значения kх и ky должны определяться в соответствии с периодическими граничными условиями, как и в случае свободных электронов в объемном твердом теле.

На рис. 1, б схематически показаны дискретные значения Еп для движения электронов вдоль направления z, а на рис. 1, в представлены зависимости Е(р) (напомним, что = hk) для значений в плоскости (рх, ру).

Рис. 1. б, в.

Для каждого фиксированного Еп значения (как функции р) определяют так называемые энергетические подзоны, представленные на рис. 1, в. Особый интерес представляет то, что минимальная энергия электронов E1 отлична от нуля. Этот результат явно противоречит принципам классической механики, но согласуется с законами квантовой механики, так как значение Е1=О нарушало бы принцип неопределенности. Для описываемых систем значение = называют нулевой энергией.

Известно, что многие физические характеристики материалов (такие, как оптическое поглощение, перенос зарядов и т. п.) зависят одновременно и от энергетического спектра, и от вида функции плотности состояний, определяющей концентрацию электронов для каждого конкретного значения энергии.

Ранее мы показали, что для трехмерной электронной системы эта функция имеет параболический вид. В двумерном случае ситуация кардинально изменяется. Следуя методу, использованному для трехмерной задачи, можно показать, что в двумерных системах (рис. 2) разрешенные значения kх,ky имеют периодичность 2/L, где L - размер образца, который без потери общности рассмотрения предполагается квадратным.

Рис. 2.

Число состояний в k-пространстве внутри кругового кольца, заключенного между k и k + dk, равно

а число состояний в k-пространстве на единицу площади составляет

(5)

Если мы хотим вычислить функцию плотности состояний по энергии в подзоне, нам следует определить функцию таким образом, чтобы величина соответствовала числу состояний в диапазоне значений . Плотности состояний по энергиям и волновые векторы обусловлены соотношением

(6)

Следует сразу отметить, что полученная для двумерного случая функция плотности состояний является постоянной, т. е. не зависит от энергии. Покажем, что для двумерных систем полная функция плотности состояний, график которой приведен на рис. 3, является ступенчатой, причем все ступени имеют одинаковую высоту, но располагаются на дискретных значениях Еп, соответствующих решениям уравнения (2).

Действительно, из рис. 1, в можно заключить, что значения энергии

(7)

между 0 и E1 являются запрещенными.

При значениях Е в интервале Е1< Е < Е2 электроны могут располагаться в подзоне, соответствующей п = 1, где функция плотности состояний, Е3 равна .

В интервале между Е2 и электроны могут располагаться одновременно в двух подзонах (соответствующей п = 1 и п = 2), вследствие чего функция плотности состояний

просто удваивается по значению, т. е. становится равной и т.д.

Ступенчатый характер функции п2D(Е) подтверждается прямыми измерениями оптического поглощения. На рис. 3 для наглядности представлена и огибающая, т. е. параболическая кривая для трехмерного случая, демонстрирующая, что разница между двумерными и трехмерными системами значительно сильнее проявляется при малых значениях п.

Относительная доля кинетической энергии зависит от номера подзоны, к которой принадлежит данный электрон, и описывается уравнением (4).

Рис. 3.

. Например, при одном и том же значении энергии в интервале между Е2 и Е3 электроны в подзоне с n = 2 обладают большей энергией в z-направлении (Еz), чем электроны подзоны п = 1 с энергией Е1. Поэтому для движения электронов подзоны с п = 2 в плоскости (рх, ру) остается меньше энергии, чем для подзоны с п = 1. Такое разделение энергии по отдельным «компонентам» (напомним, что энергия является скалярной величиной) является прямым следствием использованного выше упрощенного представления для волновой функции и энергии в уравнениях (3) и (4).

2. Прямоугольная потенциальная яма конечной глубины

Рассматривая выше задачу о поведении электронов и дырок в наноструктуре GaАs, покрытой с двух сторон пленками AlGaAs с более широкой запрещенной зоной, мы получили замкнутую систему решений для волновых функций и энергетических уровней, предполагая, что потенциальные ямы имеют бесконечную глубину. В реальных материалах очевидно, что глубина ямы имеет конечную величину и должна совпадать со значением разрыва Ес зоны проводимости на границе раздела сред GaАs и AlGaAs, которое для рассматриваемой задачи составляет несколько десятых эВ. Однако для практических целей гораздо удобнее воспользоваться полученным решением для ямы бесконечной глубины, но не рассматривать решения, относящиеся к очень глубоким уровням энергии электронов. Это поясняет рис.

Рис. 4

Называя величину V0 глубиной прямоугольной потенциальной ямы, мы подразумеваем, что при энергиях Е < V0 мы имеем так называемые связанные состояния (т. е. электроны, захваченные или удерживаемые в внутри ямы шириной а), а при Е > V0 мы имеем дело с непрерывными делокализованными состояниями, в которых электроны могут свободно двигаться вдоль оси z от до . Так как эта задача обладает инверсной симметрией относительно центра ямы, удобно выбрать эту точку в качестве начала координатной оси z-координат. Понятно, что волновые функции связанных состояний внутри потенциальной ямы при этом должны иметь тот же вид, что и для ямы бесконечной глубины, т. е. соответствующие им решения могут сохранять свою симметричность или несимметричность, выражаясь через те же функции синусов и косинусов. С другой стороны, из квантовой механики известно, что решения для пространства вне потенциальной ямы (полученные из уравнения Шрёдингера при потенциальной энергии Vа) должны представлять собой экспоненциально убывающие функции. Поэтому естественно искать общие решения для волновых функций в виде линейных комбинаций именно таких функций:

(8)

Где внутри потенциальной ямы (9а)

и вне потенциальной ямы (9б)

Отметим, что при выводе уравнения (9) предполагается, что эффективная масса электрона одинакова для потенциальной ямы и за ее пределами. Это приближение является достаточно хорошим по двум причинам. Во-первых, вещества барьера и ямы (GaAs и AlGaAs) с небольшой примесью алюминия) достаточно схожи по своим физическим характеристикам, а во-вторых, вероятность проникновения волновых функций в барьеры для низших связанных состояниях достаточно мала. Рассматривая решения задачи, мы должны учитывать, что функции должны быть непрерывными, вследствие чего все решения уравнений (8) должны совпадать при, причем в приближении одинаковой эффективной массы должны совпадать не только сами функции, но и их производные.

Из этого требования можно получить трансцендентное уравнение, которое может быть легко решено численными методами [1], причем решение приводит к нескольким важным выводам. Например, можно показать, что для одномерной ямы всегда можно найти, по крайней мере, одно связанное состояние, независимо от того, насколько мало значение V0 . Далее, для слабосвязанных состояний коэффициент убывания к в экспоненте уравнения (8) не очень велик, вследствие чего волновые функции, представленные на рис. 4, могут достаточно глубоко проникать в область барьера. С другой стороны, можно показать, что для сильносвязанных состояний глубина проникновения в запрещенную зону очень мала.

3. Параболическая и треугольная квантовые ямы

Модель параболической потенциальной ямы широко используется в физике твердого тела, поскольку она очень часто применяется для описания колебаний атомов в кристаллических решетках, при квантовании которых (в первом приближении гармонического осциллятора) и возникает представление о фотонах. Кроме этого, параболический потенциал часто возникает в задачах, где рассматривается воздействие магнитного поля на двумерные электронные системы, а также колебания электронов при так называемых циклотронных частотах. Более того, квантовые ямы с параболическим потенциалом могут быть получены экспериментально с использованием молекулярно-лучевой эпитаксии (МВЕ). Например, таким методом может быть получена слоистая структура из чередующихся пленок GaAs и AlxGa1-xAs в которой толщина слоев AlGaAs квадратично возрастает с расстоянием, в то время как толщина соответствующих слоев GaAs уменьшается в такой же пропорции.

Известно, что разрешенные энергии в случае наиболее распространенного потенциала одномерного гармонического осциллятора

(10)

(k - постоянная) являются эквидистантными (т. е. отличаются друг от друга на одинаковую величину) и описываются формулой

(11)

где- так называемая собственная угловая частота.

На рис. 5 показана параболическая потенциальная яма и волновые функции для трех первых связанных электронных состояний.

Рис. 5.

Математические волновые функции записываются в виде полиномов Эрмита. Стоит отметить, что, как и в случае прямоугольной ямы, волновые функции симметричны или антисимметричны относительно центра ямы и экспоненциально убывают в запрещенной энергетической зоне. Треугольная потенциальная яма является одним из наиболее часто используемых приближений, поскольку потенциальный профиль поперек квантовых гетеропереходов, таких, как широко известных модулированно-легированных гетеропереходах AlGaAs-GaAs для электронов в GaAs, имеет форму, близкую к треугольной. Из всех гетероструктур эта является наиболее исследованной.

На рис. 6 представлена треугольная потенциальная яма, в которой для простоты считается, что с левой стороны потенциальный барьер является бесконечно высоким, а справа для z > 0 он возрастает по линейному закону, т.е. описывается уравнениями

(12а)

(12б)

где e - заряд электрона; F - однородное электрическое поле. Как и в предыдущих задачах, энергия и волновые функции состояний электронов определяются решениями уравнения Шрёдингера при граничном условии . В этом случае собственные значения определяются известными в математической физике функциями Эйри.

Рис. 6.

Можно показать, что при малых значениях , справедливо соотношение

(13)

Показанные на рис. 6 промежутки между уровнями энергии несколько уменьшаются с ростом п, в противоположность параболическому потенциалу, при котором эти промежутки строго равны друг другу. На рисунке представлены также волновые функции, для которых можно сразу отметить, что с ростом п их периодичность возрастает на половину периода. Кроме того, в отличие от систем с параболическим потенциалом, эти функции не могут быть отнесены ни к симметричным, ни к антисимметричным, поскольку в данном случае нельзя говорить о симметрии относительно центра потенциальной ямы.

4 Квантовые проволоки

Модель двумерного электронного газа, рассмотренная ранее, позволяет легко перейти к описанию одномерного электронного газа, в котором движение электронов ограничено сразу в двух измерениях (х и у), вследствие чего они могут свободно передвигаться только в одном направлении z, которое считается перпендикулярным к плоскости (х,у). С формальной точки зрения такое движение описывается аналогично распространению электромагнитной волны.

(14)

Предположим, что ограничивающий движение потенциал является функцией r = (х,у), т.е. V=V(r) и что к задаче применим метод разделения переменных. Исходя из тех же посылок, можно записать волновые функции в виде

(15)

где последний член в правой части описывает кинетическую энергию движения электрона вдоль оси z, для которого, используя полученный в разделе 2 результат, можно сразу выписать значения разрешенных уровней энергии. В качестве примера вычисления энергии для конкретной системы мы рассмотрим простейший случай двумерного прямоугольного потенциала бесконечной длины с размерами (ах, а), т. е. потенциал вида

(16- 17)

(18)

Другая достаточно легко решаемая в цилиндрических координатах задача связана с рассмотрением проволоки с круглым сечением, когда решения могут быть найдены в виде функций Бесселя. Вообще говоря, в случае квантовых проволок энергетические уровни, соответствующие поперечному движению, описываются двумя квантовыми числами - n1 и п2, соответствующими конкретным значениям Еn1,n2 для дна параболической одномерной подзоны в пространстве kz. Отметим также, что значения уровней Еn1,n2 для электронных состояний возрастают при уменьшении толщины квантовых проволок.

Рассмотрим далее задачу о плотности состояний одномерного электронного газа. Концентрация состояний (в зависимости от энергии) связана с волновым числом соотношением

(19)

где коэффициент 2 вводится для учета двух возможных направлений движения электронов вдоль проволоки . Обобщая рис. 2 на одномерный случай, легко заключить, что плотность состояний в k-пространстве равна . Подставляя это значение в (19) и учитывая, что получим окончательно выражение

(20)

которое очевидно расходится при Е = 0.

Используя введенное ранее представление (2.52) о групповой скорости Vz, можно переписать полученное выражение в форме

, (21)

из которого следует интересный результат, что ток в одномерной системе является постоянным, а его величина пропорциональна скорости и плотности состояний

Из уравнения (20) можно получить также выражение для полной плотности состояний (в пересчете на единицу длины проволоки) в виде

(22)

Функция плотности состояний для одномерной системы представлена на рис. 7, которую можно сравнить с параболической функцией плотности состояний для трехмерной системы. Важнейшее различие состоит в том, что в одномерных системах функция расходится при значениях энергии Еn1,n2 соответствующих дну подзон, что имеет важные следствия для физических характеристик квантовых проволок.

Рис. 7.

5. Квантовые точки.

Квантовые точки часто представляют собой нанокристаллы, обладающие всеми тремя пространственными измерениями в нанометровом масштабе. Хотя сам термин «точка» как бы подразумевает бесконечно малые размеры объекта, реальные квантовые точки могут содержать достаточно большое число атомов (до 104—106), сохраняя при этом наномасштабы во всех трех измерениях (т.е. длина волны де Бройля остаеется соизмеримой со всеми размерами объекта).

Очень часто квантовые точки называют искусственными атомами, поскольку, их энергетические спектры напоминают спектры атомов.

По аналогии с атомами можно определить для квантовых точек энергию ионизации, необходимую для ввода в систему (или удаления из нее) дополнительного электрона. Эта энергия называется энергия зарядки точки. Многие «атомарные» свойства квантовых точек изучаются именно посредством измерения их электрических характеристик.

Следует отметить, что введение или удаление хотя бы одного электрона в квантовую точку может, в отличие от одномерных (1D) или двумерных (2D) систем, весьма существенно изменить электрические характеристики точки, что проявляется в таких известных эффектах, как большие колебания проводимости и эффект кулоновской блокады. Рассмотрим энергетический спектр квантовых точек в простейшем случае, когда ограничивающий потенциал равен нулю внутри некоторого ящика (размерами ах,,аy и аz) и бесконечен вне этого объема. Решением этой широко известной в квантовой механике задачи являются стоячие волны в качестве волновых функций электронов и энергетические уровни вида

(23)

В отличие от одномерных и двумерных систем, энергия в этом случае квантуется полностью (по всем трем измерениям), и, подобно атомарным системам, решения не допускают никаких свободных движений для электронов. Однако стоит отметить, что уровни часто являются вырожденными, например, в тех случаях, когда два или три измерения ящика совпадают по размерам.

Поскольку в квантовых точках движение электронов полностью ограниченно, энергетический спектр должен быть только дискретным, а функция плотности состояний должна (по крайней мере, теоретически) представлять собой набор пиков с бесконечно малой шириной и бесконечной высотой, как показано на рис. 8.

Практически такие пики имеют малую (но конечную) ширину, потому, что электроны не являются абсолютно независимыми, и должны как-то взаимодействовать с фононами и примесными атомами решетки.

Рис. 8.

6. Напряженные слои

Вообще говоря, качество границы раздела между двумя материалами определяется соотношением постоянных их кристаллических решеток. В некоторых случаях, когда эти постоянные очень близки по значению (как, например, в гетеропереходах типа -для которых различия в значениях постоянных решетки не превышают 0,2% во всем диапазоне изменений х), и коэффициенты теплового расширения почти совпадают, возникающие на поверхности контакта напряжения незначительны.

Однако во многих других случаях (рис. 9) гетеропереходы образуются из материалов, постоянные решеток которых отличаются довольно значительно (до 6%) как это имеет место, например, в случае контакта -.

Такие переходы характеризуются значительными механическими напряжениями, в результате чего на поверхностях подложек удается выращивать только очень тонкие пленки, состоящие буквально из нескольких атомарных слоев. Тем не менее такие напряженные слои проявляют целый ряд новых свойств и эффектов, которые уже используются в разнообразных оптоэлектронных приборах, например в лазерах на квантовых ямах и электрооптических модуляторах.

Рис. 9.

На этой основе возникло новое направление, получившее название эпитаксии напряженных слоев. Обычно при эпитаксиальном выращивании постоянная решетки выращиваемого на подложке слоя несколько изменяется, «подстраиваясь» под постоянную решетки подложки, что даже получило специальное название псевдоморфного роста. Возникающие при этом в растущем слое напряжения могут приводить к очень важным физическим эффектам, например, к снятию вырождения тяжелых и легких дырок в валентной зоне материала, к изменению ширины запрещенной зоны и т. д. Причины такого поведения полупроводников очевидны, так как зонная структура твердых тел чрезвычайно чувствительна не только к изменению размеров элементарных ячеек решетки, но и к изменениям их симметрии.

Рассмотрим ситуацию, когда на подложке (с постоянной решетки as) эпитаксиально выращивается слой с иным значением постоянной решетки (aL). Механическое напряжение в растущем слое определяется формулой

(24)

В качестве примера такой системы на рис. 10 показана пленка выращенная на подложке GaAs (в такой системе aL > as).

Рис.10

На рис. 10, а проиллюстрирована ситуация отдельного слоя и подложки. Если эпитаксиальный слой является достаточно тонким, то атомы в нем выстраиваются в соответствии с кристаллическим строением подложки, в результате чего внутри такого слоя возникает сжимающее механическое напряжение вдоль плоскости роста, а межплоскостное расстояние в перпендикулярном направлении (направлении роста) возрастает (рис. 10, б). Наличие искажений в решетке InGaAs приводит к тому, что в системе накапливается упругая энергия, величина которой пропорциональна толщине пленки. Естественно, при достижении некоторого порогового значения (называемого критической толщиной hc) в системе происходит релаксация, в результате чего становится энергетически выгодным рождение дислокаций вблизи границы раздела (10, в). Используя более сложную технику, можно вырастить слои с толщиной больше hc и без дислокаций, естественно, такие структуры являются метастабильными. Поэтому обычно толщина выращиваемых слоев бывает несколько ниже значения hc. Помимо уже упоминавшейся двухслойной системы (на подложке GaAs), в последние годы внимание исследователей все больше привлекает другая перспективная система ( ).

7. Влияние напряжений на валентную зону

Для исследования электронных и оптоэлектронных характеристик многих важных полупроводниковых материалов (например, кремния и соединений lll) очень важно иметь подробную информацию о форме зоны проводимости и валентной зоны в k-пространстве. Для электронов в кристалле можно считать, что состояния в зонах возникают из верхних уровней электронов в атоме. В случае зоны проводимости, поведение электронов также часто может быть описано с использованием непрерывных состояний зон, которые для полупроводников с прямыми оптическими переходами относятся непосредственно к s-типу (используя систему обозначений атомной физики, можно сказать, что волновые функции вида Is описывают связанную с решеткой периодическую часть блоховских функций). Однако в полупроводниках с непрямыми оптическими переходами ситуация выглядит сложнее, и состояния в зонах представляют собой некоторую комбинацию s и состояний. Еще сложнее выглядит ситуация в валентной зоне, где существуют три ветви решений, которые очень близки в области вокруг k = О и возникают из атомных p-состояний. Именно это наблюдается в большинстве важных полупроводников (типа Si, Ge и GaAs), где мы находим вырожденные дырочные состояния k = О, т. е. вблизи потолка валентной зоны. На рис. 11 показаны две зоны, одна из которых имеет большую кривизну (эта зона соответствует легким дыркам), а другая - меньшую кривизну, что соответствует тяжелым дыркам. Кроме того, на рисунке представлена и третья, так называемая отщепленная зона (split-off band), возникающая ниже этих двух зон, возникновение которой обусловлено релятивистскими эффектами при спин-орбитальных взаимодействиях. Очень часто такое расщепление достаточно велико, и отщепленную зону можно не учитывать, поскольку дырки не заполняют соответствующие состояния.

Рис. 11.

Кроме этого, следует учитывать, что вблизи точки Г состояния в зонах легких и тяжелых дырок достаточно хорошо описываются параболической зависимостью от к, поэтому при их описании можно пользоваться представлением об эффективных массах для тяжелых и легких дырок (m*hh и от m*1h соответственно).

Для нахождения зависимости от k в валентной зоне можно воспользоваться формализмом Латтинджера - Кона, предложившими для расчета зонной структуры метод k·р, в которой собственными значения выступают угловые моменты p-состояний. Метод Латтинджера - Кона позволяет выразить зависимость энергии от k в виде следующей формулы:

(25)

где верхний знак - плюс - перед корнем относится к тяжелым, а ниж- ний - минус - к легким дыркам соответственно. Входящие в уравнение безразмерные величины А, В и С связаны с так называемыми параметрами Латтинджера — Кона (1,2 и 3) соотношениями

(26)

Влияние механических напряжений в слое на зонную структуру приобретает особое значение для дырочных валентных зон, что, естественно, вытекает из изменений постоянных кристаллической структуры и связанных с этим изменений симметрии. В результате появляется возможность управления шириной запрещенной зоны и вырождением в точке Г. Смещения энергетических уровней электронов и дырок вследствие механических напряжений вычисляются стандартными методами расчета зонной структуры.

Описываемые эффекты очень четко проявляются в изменении ширины запрещенной зоны и энергетической структуры валентных зон в полупроводникахНа графиках рис. 12 схематически представлена зонная структура слоев, выращенных вдоль оси (001) в отсутствие напряжения и в случае напряжений сжатия или растяжения в плоскости границы раздела.

Рис. 12

Как уже отмечалось, в первую очередь снимается вырождение в точке Г и зоны легких и тяжелых дырок в этой точке расщепляются. При сжимающих напряжениях более высокая валентная зона (зона тяжелых дырок) соответствует большему значению эффективной массы mz (), хотя для движения в плоскости мы должны исходить из меньшего значения этой массы (рис. 12, б).

При растягивающих напряжениях (рис. 12, в), когда постоянная решетки растущего слоя меньше постоянной подложки, мы сталкиваемся с обратным порядком энергетических зон, так как зона легких дырок оказывается при этом выше зоны тяжелых дырок.

Видно, что в этом случае зоны пересекаются при некотором значении k, (- произвольный вектор в плоскости kх, kу), хотя обычно такие состояния просто не достигаются. Таким образом, наличие механических напряжений приводит, помимо анизотропии, к расщеплению уровней на величину, достигающую 0,05 эВ. Напряженные кристаллические структуры находят применения для изменения ширины запрещенной зоны в гетеропереходах (как в случае Si/SiGe, GaP/GaAsP), а также при производстве сине-зеленых лазеров на основе гетероструктур ZnCdSe/ZnSe.

8. Зонная структура в квантовых ямах

Для правильного понимания экспериментальных данных по оптическому поглощению в квантовых ямах нужно хорошо представлять себе строение зонной структуры изучаемых материалов. На рис. 8.2 (в главе 8) показаны спектры поглощения периодической структуры GaAs/AlGaAs с множественными квантовыми ямами (40 периодов) (такие системы обозначают аббревиатурой MQW — multiple quantum wells), ширина барьеров в которой составляет около 7,6 нм [3].

Отметим, что спектры в целом соответствуют ступеням в функции плотности состояний для двумерных полупроводников. На краю каждой ступеньки проявляется резкий максимум, который следует приписать экситонным эффектам. Из рис. 13 также видно, что на границе первого электронного перехода между валентной зоной и зоной проводимости (при n=1) возникает пик при 1,59 эВ, соответствующий тяжелым дыркам (НН) валентной зоны и пик при 1,61 эВ для легких дырок (LH), расположенный ниже пика для тяжелых.

Рис. 13.

Расщепление вырожденного состояния валентной зоны определяется тем, что одномерный потенциал, связанный с квантовыми ямами, нарушает кубическую симметрию кристаллов, в результате чего и снимается вырождение в дырочных зонах GaAs, подобно тому, которое было описано в предыдущем разделе для случая механических напряжений. Расчеты показывают, что наличие потенциала ямы приводит к тому, что состояния для легких дырок смещаются вниз сильнее, чем состояния для тяжелых (рис. 14).

Если в расчетах пренебречь очень малыми членами в разложении для возмущенного гамильтониана, то зоны дырок могут даже пересекаться, после чего зона тяжелых дырок начнет смещаться вниз с большей скоростью.

Рис. 1

Результатом такого пересечения двух зон, обусловленным их различной кривизной, мог бы стать эффект, получивший название обращения массы. Такой эффект не наблюдается, так как более строгие вычисления показывают, что вместо пересечения должен наблюдаться другой эффект, получивший название антикроссинга (антипересечения).

Следует отметить, что зонная структура в квантовых ямах имеет очень сложный вид (особенно в отношении дырок), так что во многих случаях ее можно рассчитать только с применением численных методов. Дополнительные сложности возникают при расчете структур в прямоугольных ямах конечной высоты.

Выше было показано, что квантовые ограничения могут приводить к существенным изменениям энергетического спектра как для легких, так и для тяжелых дырок. Кроме того, положение энергетических уровней в зонах может изменяться под действием сжимающих или растягивающих напряжений. В некоторых случаях зоны легких дырок могут оказаться выше зон тяжелых дырок и даже быть вырожденными. Результатом такого вырождения может стать очень высокая концентрация дырочных состояний, и этот эффект используется в оптоэлектронных модуляторах.

9. Экситонные эффекты в квантовых ямах

В рассматриваемых квантовых системах (квантовые ямы, проволоки и точки), где движение электронов и дырок существенно ограничивается по сравнению с обычными объемными кристаллами, особую важность приобретают экситонные эффекты. Причиной этого является и то, что энергия связи, необходимая для формирования экситона в виде электронно-дырочной пары, в системах с квантовыми ограничениями значительно превышают энергию такой же связи в объеме кристалла. Поэтому экситонные переходы в таких системах могут наблюдаться даже при комнатных температурах, в то время как в объемных структурах для их проявления необходимы очень низкие температуры.

Более высокое значение энергии связи в квантовых системах с ограниченными размерами легко объяснить качественно. Например, в объемном кристалле GaAs энергия образования экситона составляет лишь Ев=4,2 мэВ, а соответствующий боровский радиус достаточно велик (ав -150 А). На рис. 15 показаны две возможные ситуации для экситона в квантовой яме: а) боровский радиус ав намного меньше ширины квантовой ямы (что соответствует объемному кристаллу) и б) боровский радиус намного превышает ширину ямы.

Во втором случае расстояние между электроном и дыркой ограничено шириной ямы, поэтому экситон «сжимается», что, естественно, приводит к усилению кулоновского притяжения. Для двумерного атома водорода можно легко показать, что величина Ев увеличивается примерно в четыре раза по сравнению с трехмерным случаем. Важным следствием увеличения энергии связи является то, что экситоны в квантовых ямах не разрушаются под воздействием очень сильных электрических полей, что используется, например, для создания оптоэлектронных модуляторов.

Более реалистичные (по сравнению с теоретической моделью двумерного атома водорода) численные расчеты позволяют более точно определить энергию связи экситона в зависимости от ширины квантовой ямы.

Рис. 15.

Такая зависимость для квантовой ямы в структуре - GaAs приведена на рис. 16 [5].

В тех случаях, когда ширина ямы много больше боровского радиуса экситона, зависимость практически не отличается от той, которая характерна для объемных кристаллов. Однако затем, по мере уменьшения ширины ямы, экситоны в ней постепенно сжимаются, в результате чего возрастает кулоновское взаимодействие, и при ширине ямы около 3 - 4 нм энергия связи достигает своего максимума, примерно втрое превышающего значение для объемного кристалла.

Когда яма конечной глубины становится слишком узкой, энергия локализации экситона возрастает, в результате чего волновые функции электрона (и в меньшей степени дырки) начинают преодолевать энергетический барьер за счет квантового туннелирования.

Такой процесс уменьшает эффективную локализацию экситона и его энергию связи, которая постепенно понижается до обычного уровня в объеме вещества барьера (в данном случае).

Рис. 16.

Теоретически можно показать, что влияние локализации в ограниченной области на энергию связи экситона в одномерных (1D) и нульмерных (0D) системах (квантовые проволоки и точки соответственно) должны быть значительно большими, чем в рассматриваемых двумерных ямах. Однако технология создания таких структур пока не так развита, как для создания двумерных систем, поэтому эффекты изменения энергии связи экситона в одномерных и двумерных системах для решения технических задач пока не используются. Единственным исключением можно считать лазеры на квантовых точках.

Литература

Брушлинский К.В.: Математические и вычислительные задачи магнитной газодинамики. - М.: БИНОМ, 2009

В.Е. Гершензон и др.: Живая карта. - М.: Прозрачный мир, 2009

В.Ф. Антонов и др.: Физика и биофизика. - М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009

Вирченко Ю.П.: Математические задачи в теории квантовой регистрации электромагнитного излучения. - Белгород: БелГУ, 2009

Галкин В.А.: Анализ математических моделей: системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. - М.: БИНОМ : Лаборатория знаний, 2009

Горобец Б.С.: Круг Ландау и Лифшица. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009

Горобец Б.С.: Круг Ландау. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009

Грибов Л.А.: Колебания молекул. - М.: ЛКИ, 2009

Грин Б.: Ткань космоса. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009

Гусев А.И.: Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Дайсон Ф.: Релятивистская квантовая механика. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009

Датта С.: Квантовый транспорт от атома к транзистору. - М. ; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009

Дубровский В.Г.: Теория формирования эпитаксиальных наноструктур. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Евсеев И.В.: Когерентные переходные процессы в оптике. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Жданов В.М.: Процессы переноса в многокомпонентной плазме. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Желтиков А.М.: Микроструктурированные световоды в оптических технологиях. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Игнатьев В.К.: Твердотельная электроника. - Волгоград: ВолГУ, 2009

Кайе Ф.: Введение в квантовые вычисления. - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2009

Квасников И.А.: Введение в теорию электропроводности и сверхпроводимости. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009

ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ С ПОНИЖЕННОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ