СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Практическая работа 4:
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
10 вариант.
Задача.Планирование эксперимента для описания зависимости пока зателя стойкости концевых фрез от геометрических параметров.Рассмотрим пример применения планирования эксперимента. Поставим задачу описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от заднего угла х1, переднего угла х2, ширины ленточки х3. В качестве математической модели принимаем не полную кубическую функцию
М{у} = 0+ 1x1+ 2x2+ 3 x3+ 4 x1x2+ 5 x1x3+ 6 x2x3+ 7x1x2x3. (5)
Для получения оценок коэффициентов этого уравнения можно использовать полный факторный эксперимент типа 23. Выберем основные уровни факторов, близкие к применяемым в практике, а интервалы варьирования — исходя из реальных пределов ко лебаний значений факторов (табл. 2). Эксперименты выпол няем в соответствии с матрицей планирования (см. табл.1).
Условия испытаний.Испытывали концевые фрезы диаметром 22 мм, изготовленные из стали Р18. Фрезы были заточены так,
Таблица 2
Уровни факторов и интервалы варьирования
|
Уровни факторов
|
Обозначение
|
а°
|
а°
|
f в мм
|
|
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
|
Основной
|
0
|
15
|
16
|
0,06
|
|
Интервал варьирования
|
xi
|
4
|
6
|
0,03
|
|
|
|
|
|
|
|
Верхний
|
+ 1
|
19
|
22
|
0,09
|
|
Нижний
|
— 1
|
11
|
10
|
0,03
|
чтобы получить комбинации значений параметров, указанные в строках матрицы плана эксперимента. В каждой точке фактор ного пространства опыт повторялся по 3 раза, поэтому для каждой строки плана изготовляли по 3 фрезы. Порядок испытаний фрез рандомизирован с помощью таблицы случайных чисел. Резуль таты испытаний (стойкость фрез в минутах) приведены в табл. 3 столбцы 2—4.
Таблица 3
Результаты испытаний концевых фрез 22 мм
|
Точки плана
|
y1
|
y2
|
y3
|
|
sv2
|
|
2
|
|
1
|
39,46
|
41,15
|
28,81
|
36,47
|
44,76
|
34,3
|
4,71
|
|
2
|
41,74
|
31,06
|
31,42
|
34,74
|
36,78
|
35,8
|
1,12
|
|
3
|
37,14
|
48,48
|
38,15
|
41,26
|
39,39
|
38,3
|
8,76
|
|
4
|
29,14
|
46,44
|
30,85
|
35,48
|
90,88
|
32,1
|
11,42
|
|
5
|
26,11
|
40,06
|
42,42
|
36,20
|
77,70
|
38,5
|
5,29
|
|
6
|
41,11
|
39,35
|
42,30
|
40,92
|
2,20
|
40,7
|
0,05
|
|
7
|
46,61
|
44,00
|
34,18
|
41,60
|
42,96
|
43,4
|
3,24
|
|
8
|
40,00
|
37,18
|
46,21
|
41,13
|
21,34
|
42,4
|
1,62
|
|
|
|
|
|
y=38,48; sv2=356,1; 36,21
|
Решение.Рассчитаем коэффициенты уравнения для нашего примера (см. табл. 3).
.
Аналогично рассчитываются значения b2, b3. Расчет b0 вы полняется по тому же правилу:
Таким образом, значение b0 равно среднему значению пара метра оптимизации . Итак получаем: b0 = 38,48; b1 =-3,28, b2 = 2,01, b3 = — 7,64; b12= 0,65; b13= — 0,65, b23 = 0,39, b123 = —0,5.
Уравнение в преобразованных переменных хiбудет:
.
Для получения уравнения в натуральных значениях факторов надо вместо хi подставить в полученное уравнение их значения со гласно формуле преобразования (4):
.
Для нашего примера из табл.3 имеем, чтоТогда, согласно уравнению (8):
Пользуясь табл.3 найдем по критерию Кохрена
,
По соответствующей таблице в работе [11] находим для fmax =2, fзнам — N степеней свободы и уровня значимости 5%. Кри тическое значение GKP = 0,61. Гипотеза об однородности диспер сий принимается, если, как в нашем случае, экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает табличного значения.
В нашем случае значимость коэффициентов модели:
Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибки опыта и числа опытов. Теперь рассчитаем значения tl-критерия по формуле
.
Получаем:
Критическое значение tKPнаходится по таблице работы [11] при n(r— 1) = 16 степенях свободы и заданном уровне значи мости = 5%. В нашем случае tKP> = 1,74. Если ti>tKP , то гипотеза отвергается и коэффициент bi признается значимым. В противном случае bi считается статистически незначимым, т. е.i= 0. В нашем случае такими незначимыми коэффициентами являются b12, b13, b23, b123. Теперь можно построить довери тельный интервал длиной 2bi, где
Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше половины длины доверительного интервала. Ортогональное пла нирование позволяет определять доверительные границы для каждого из коэффициентов регрессии в отдельности, если какой- либо из коэффициентов окажется незначимым, он может быть отброшен без пересчета всех остальных. После этого математи ческая модель объекта составляется в виде уравнения связи вы ходного параметра у и переменных xi, включающего только зна чимые коэффициенты. Для нашего примера получаем
.
Чтобы получить модель в натуральных переменных, надо в уравнение подставить выражения xi из формулы преобра зования.
Получаем
Статистическая незначимость коэффициента bi может быть обусловлена следующими причинами:
- уровень базового режима xi0 близок к точке частного эк стремума по переменной xl, т. е. ;
- шаг варьирования xi выбран малым;
- данная переменная (произведение переменных) не имеет функциональной связи с выходным параметром ;
- велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправ ляемых и неконтролируемых переменных.
Если имеет место первая или третья причина, значение фак тора стабилизируется на определенном уровне, во втором случае увеличивают интервал варьирования. Если имеет место четвертая причина, следует принять меры к уменьшению ошибки экспери мента.
В нашем случае незначимость коэффициентов, оценивающих взаимодействие (b12; b13; b23; b123), вызвана, вероятно, отсут ствием этих эффектов. В качестве величины, характеризующей вклад коэффициентов регрессии в уравнение, иногда используют множественный коэффициент корреляции R:
Где (см. табл.3); (табл.4).Таблица 4
Расчет (yv-y)2
|
№точки
v
|
|
-
|
(-)2
|
|
1
|
36,47
|
2,12
|
4,49
|
|
2
|
34,74
|
7,33
|
53,73
|
|
3
|
41,26
|
2,34
|
5,48
|
|
4
|
35,48
|
8,62
|
74,30
|
|
5
|
36,20
|
—10,35
|
107,12
|
|
6
|
40,92
|
3,14
|
9,86
|
|
7
|
41,60
|
—8,44
|
71,23
|
|
8
|
41,13
|
—1,22
|
1,49
|
|
У =
|
38,48
|
|
=327,7
|
Проведем оценку адекватности в нашем примере, пользуясь данными расчетной табл.3;
Так как в нашем случае s2ад<s2{y} (35,2 <44,50), то адекватность модели очевидна без расчета критерия Фишера. Если быв нашем случае оказались значимыми также и все коэффициенты при взаимодействиях и, следовательно, число коэффициентов модели было бы т=8, то тогда не оставалось бы ни одной сте пени свободы для оценки адекватности. Тогда можно было бы прибегнуть к использованию условия b0 — 0—>и таким образом оценить значимость коэффициентов при членах второго порядка, а именно:
Эта величина меньше, чем ошибка эксперимента, из чего следует, что квадратичные эффекты пренебрежимо малы и поэтому линейную модель можно считать адекватной.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА