Процессы распространения мощного ЛИ в дисперсных средах

Контрольная работа

Содержание

1. Самофокусировка луча оптического лазера

2. Формирование и удержание плазмы

Литература

1. Самофокусировка луча оптического лазера

Анализ процессов самофокусировки можно начать с первых работ по определению условий, при которых электромагнитный луч создает себе диэлектрический волновод и распространяется, не дифрагируя. Это может иметь место в материалах, диэлектрическая проницаемость которых возрастает с увеличением ЭП, но в отсутствие ЭМВ эти материалы должны быть совершенно однородными. Такое самозахватывание колебаний в диэлектрическом волноводе может возникнуть в интенсивном световом поле ЛИ и привести к наблюдаемым оптическим и физическим эффектам [157, 158].

В первом приближении описание подобного процесса можно получить, рассматривая дифракцию цилиндрического светового луча, однородного по интенсивности, в материалах, зависимость коэффициента преломления которых от поля запишется в виде

n = n0 + n2E2 + …. (1)

Если диаметр луча D, то можно ожидать, что из-за дифракции луч будет обладать расходимостью . Однако если вносимый членом n2E2 вклад в диэлектрическую проницаемость внутри луча настолько велик, что угол полного внутреннего отражения на границе луча превышает , то расширение луча вследствие дифракции не должно наблюдаться. Тогда при выполняется соотношение

, (2)

где Р полная мощность луча. Это простое приближение показывает, что если мощность луча превосходит определенный критический уровень, то луч любого произвольного диаметра может захватываться и не будет расширяться, а критический уровень при этом уменьшается с 2. В обычных диэлектрических материалах постоянные n2 таковы, что критическая мощность захвата будет порядка 1 10 МВт для видимого света это уровень мощности, достижимый в обычных лазерных лучах. На радиочастотах из-за большей длины волны критическая мощность в подобных веществах в настоящее время недоступна.

Нелинейный коэффициент n2 может быть связан с высокочас-тотным эффектом Керра, т.е. с ориентацией молекул, с электрострикцией, или с нелинейностями, обусловленными электронной поляризуемостью того типа, который отвечает за генерацию волн третьей гармоники в оптических материалах. В случае жидкостей первые два эффекта дают одинаковый вклад, а третий много меньше, как видно из табл. 1.

Таблица 1

Материал	n21013 (керр-эффект)	n21013 (электрострик-ция)	P (электрострик- ция), МВт
	А	Б
Сероуглерод	180	18	18	0,2
Бензол	49		13	0,25
Вода		0,13	2	1
Воздух (1 атм)			0,041	80
Воздух (100 атм)			4,1	0,8
Стекло (тяжелый силикатный флинт)			0,9	4
Кальцит			0,8	4
Сапфир			0,2	20

Здесь (n = n0 + n2E2), где E в электростатических единицах

В твердых телах, где молекулярные вращения заморожены, преобладающее значение имеет электрострикция.

Каждый эффект обладает присущими ему релаксационными свойствами, но здесь будем рассматривать преимущественно установившиеся условия, где эти свойства не важны (подобная аппроксимация годится для многих реальных случаев).

Следует отметить, что с точки зрения геометрической оптики нелинейные диэлектрические свойства вещества позволяют фокусировать свет не в точку, а скорее в линию. Рассмотрим прохождение плоской волны через линзу, которая должна была бы свести ее в точку. Луч из пучка, первоначально распространявшегося под углом к оси, будет в предположении, что n = n0 + n2E2, идти не по прямой линии, а по гиперболе:

, (3)

где Р мощность, r расстояние луча от оси, a z измеряется вдоль оси линзы от точки обычного фокуса, где r = 0. При выводе этого выражения предполагалось, что на траекторию луча не влияют члены более высокого, чем первый, порядка по Р. Таким образом, фокусирующийся луч никогда не достигнет фокуса, но асимптотически приближается к оси. Однако, если диаметр луча составит величину порядка нескольких длин волн, приближение геометрической оптики не будет более справедливым, что потребует учесть волновые свойства.

Волновое уравнение, учитывающее нелинейность среды, имеет вид

(4)

где = 0 + 2E2. Рассмотрим его решение в виде

= t(x, y)cos(kzz t).

Это выражение будем называть стационарным решением, поскольку в любой точке поле постоянно, если не считать регулярных колебаний с оптической частотой .

Теперь предположим, что изменение нелинейных диэлектрических свойств происходит много медленнее, чем изменение поля с оптической частотой; это может быть справедливым для электрострикции и некоторых видов эффекта Керра, но не для электронной поляризации, ответственной за генерацию оптических гармоник. В таких допущениях Е2 можно усреднить по времени, и выражение (4) перепишется в виде

, (5)

где и .

Если зависит только от у и поляризация линейная, то

. (6)

Представив лазерный луч плоским при нулевой толщине по оси у, можем принять граничными условиями при и при y = 0, тогда исключаются периодические решения и Г2> 0. Механическим аналогом этой системы (6) является частица в потенциальном ящике с двумя стенками. Из рассмотрения этой аналогии следует, что существует единственное неосциллирующее решение, а именно , где Г должно равняться . Отметим, что при заданном размере луча (~ 1/Г) необходимое для самозахвата поле внутри луча должно достигать величины Et(0). Более интересным, хотя несколько более сложным, является случай цилиндрического луча. В этом случае (предполагая круговую поляризацию) выражение (4) принимает вид

, (7)

где , , .

Отсюда видно, что стационарное решение, умноженное на , отвечает лучу с любой произвольной величиной поперечного сечения. Уравнение (7) не имеет простого аналитического решения, а полученное численным интегрированием показано на рис. 1.

Рис. 1. Численное интегрирование уравнения (7)

Критическая мощность захвата в случае цилиндрического луча выражается следующим образом:

, (8)

где .

Численное интегрирование выражения (8) дает для критической мощности величину , которая как раз равна величине, полученной из простого уравнения (2) для больших мощностей луча. Это интегрирование позволяет также оценить b в зависимости от E(0) и, следовательно, дает

Мощность зависит от диаметра луча только через nэфф, однако эта зависимость важна лишь для лучей, диаметры которых порядка нескольких длин волн. Это обстоятельство вместе с другими нелинейностями в диэлектрических материалах, не учитывавшимися в принятом приближении, приведет к тому, что на практике диаметр захваченного луча будет зависеть от мощности.

Динамика луча и ее вариации в диэлектрических материалах еще недостаточно понятны. Здесь появляются вопросы формирования захвата, проблемы возмущений, по отношению к которым захваченный цилиндрический луч устойчив, и проблемы поведения луча при мощности, существенно превышающей критическую. Для того чтобы произошло захватывание, продолжительность интенсивного лазерного импульса (108 с) должна обеспечить изменение диэлектрической постоянной. Для электрострикционных эффектов требуется время, соизмеримое с прохождением звуком расстояния порядка диаметра луча, или 109 с (для нити диаметром в несколько длин волн). Время действия для эффектов Керра (связанны с молекулярным вращением) порядка 1011 с, и оно явно не зависит от диаметра луча.

За время реакции диэлектрического материала его релаксационные свойства будут оказывать важное влияние на динамику поведения светового луча. Для инициирования очень небольшого «захваченного» луча очевидным процессом оказывается самофокусировка лазерного луча в прозрачном веществе, так как в геометрическом приближении стационарным решением оказывается не фокальная точка, как показано выше, а тонкий аксиальный луч. Если налицо широкий луч, мощность которого значительно выше пороговой, то он, вероятно, разбивается на несколько лучей пороговой мощности; однако в случае плоского луча постоянной частоты оказывается, что это решение не всегда имеет место, а в случае более сложных форм луча ситуация не ясна.

Видимо, может существовать слабая модуляция рассмотренных выше стационарных лучей, если она быстра по сравнению со временем реакции нелинейности среды. Так как луч, будучи захваченным, образует волновод с характеристиками, стимулирующими его собственное распространение, то, как можно показать, будет распространяться любая слабая волна более высокой, но не более низкой частоты. Диэлектрические свойства волновода в первом приближении не возмущаются слабым полем, пока частота биений между этим полем и первоначальной волной слишком высока и реакция среды не успевает за ней. Если она достаточно мала, то волновод обладает модулированной диэлектрической постоянной и решение для двух одновременно распространяющихся волн гораздо более сложно.

Очевидно, что две волны со слишком высокой (по сравнению с реакцией диэлектрических свойств) разностью частот захватываются более устойчиво, чем волна постоянной частоты. Причина заключается в том, что возрастание диэлектрической постоянной волновода (вызванное одной из волн, участвующей в его создании), относительно мало подвергается влиянию со стороны второй волны, и наоборот.

В табл. 1 приведены величины n2, для эффекта Керра и электрострикции, а также рассчитанная критическая мощность для одной только электрострикции. Для керр-эффекта n2 = 2J/3, где J высокочастотная постоянная Керра, обусловленная молекулярным вращением. Для электрострикции n2 = 2/(16n0B), где = d/d, плотность и В модуль объемного сжатия. Критическая мощность захвата рассчитана только для процесса электрострикции. Отчасти это происходит потому, что приведенная выше теория строго справедлива лишь для круговой поляризации луча, при которой молекулярное вращение могло бы внести только частичный вклад. Однако в случае плоскополяризованного луча керр-эффект полностью участвовал бы в создании n2, как и электрострикция; тогда пороговые мощности для обоих эффектов были бы сравнимы.

Наиболее удивительным в настоящее время свидетельством наличия захваченного оптического луча являются крайне тонкие, длинные структуры точек ионизации или разрушений, которые иногда появляются в оптических материалах при фокусировке в них интенсивных световых лучей. Впервые о них сообщил Хершер [159] как о тонких нитях разрушения в стекле и других материалах; их легко продемонстрировать, сфокусировав луч рубинового лазера мощностью больше нескольких МВт в стекле хорошего оптического качества. Обычно (хотя и не всегда) вблизи фокальной точки возникает разрушение, а позади нее длинная прямая нить из небольших пузырьков и разрушений вдоль оси линзы, сопровождаемая ионизацией. Эта нить может быть длиной в несколько сантиметров и в то же время диаметром всего в несколько длин волн. Ее диаметр в некоторых случаях на два порядка меньше, чем диаметр фокуса, в приближении линейной оптики [159].

Без захвата и возрастания показателя преломления очень трудно объяснить наличие такого длинного прямого пути прохождения концентрированной световой энергии, поскольку его диаметр, не превосходя всего лишь нескольких длин волн, предполагает быстрое дифракционное расширение. Если в качестве источника разрушения принять какую-либо акустическую или ударную волну, то за время лазерного импульса она прошла бы расстояние 103 см и должна была бы обладать такой высокой частотой, что сильно затухала бы.

Если лазерный луч захватывается в нить наблюдаемого малого диаметра, то напряженность поля должна быть порядка 108 В/см, а обусловленное нелинейностями изменение показателя преломления порядка единицы. Легко, следовательно, видеть, что в нити могут иметь место важные оптические, механические и связанные с электрическим полем эффекты. Низкие уровни мощности, при которых теоретически может возникнуть самофокусировка в жидкостях, указывают на связь с этим явлением некоторых необычных характеристик вынужденного комбинационного рассеяния в жидкостях.

Самозахват оптических ЭМВ, обусловленный нелинейным увеличением коэффициента преломления, рассмотренный выше [157, 160, 161], не учитывал случая, когда эффект самофокусировки, обусловленный нелинейным увеличением коэффициента преломления, не компенсируется дифракцией. При этом интенсивность некоторой части луча возрастает с расстоянием в направлении распространения световой волны. Определим длину самофокусировки путем численного решения нелинейного волнового уравнения [162] и покажем, что такое определение достаточно корректно.

Длиной самофокусировки называют расстояние, на котором интенсивность в самосфокусированной области луча стремится стать аномально большой. Другие нелинейные оптические эффекты будут, вероятно, ограничивать процесс фокусировки в мощных лучах и могут формировать участки луча с большой интенсивностью в нити.

Самофокусировка должна играть значительную роль в процессах вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) и других нелинейных эффектах [157]. В самосфокусированном луче ВКР-усиление должно быть аномально большим. Аномальное ВКР-усиление рассматривалось в литературе [163 – 165], где отмечалась одна важная особенность для возникновения аномального усиления необходимо, чтобы луч в жидкости прошел некоторое расстояние. Предположим, что это расстояние и есть та самая длина самофокусировки, о которой говорилось выше, и проведем расчеты, позволяющие несколько прояснить проблему аномального усиления. Результаты экспериментов подтверждают это предположение [166, 167].

За основу примем волновое уравнение (4) из работы [157]

, (9)

где 0 и 2 действительные величины и 2Е2 << 1. Предположим, что вдоль оси z распространяется линейно поляризованная волна частоты , так что

, (10)

где k = 00,5/c, экспонента exp(ikz iwt) характеризует распространение волны, а Е медленно меняющаяся амплитуда. Подставляя это выражение в уравнение (9) и пренебрегая членами, содержащими третью гармонику, получаем

, (11)

где 2 = 32/4. Заметим, что n = n2E2 = 0,52E2/n0 (изменение показателя преломления, обусловленное отсутствием осцилляции, как определили это выражение Мэйкер и Терхьюн [168]).

Пренебрегая членом, содержащим вторую производную от Е по z, ввиду его малости, можем записать:

. (12)

Отметим, что если в луче поперечных градиентов нет, то уравнение (12) имеет простое решение

; (13)

другими словами, нелинейность вносит фазовые искажения, пропор-циональные интенсивности, а фазовая скорость уменьшается с увеличением интенсивности. Таким образом, поверхность постоянной фазы обращена вогнутостью в направлении распространения луча. Поэтому по принципу Гюйгенса световые лучи должны стремиться к области наибольшей интенсивности, и интенсивность центральной зоны должна возрастать.

Используем это решение для отыскания характерной длины самофокусировки. Предположим, что поперечные вторые производные от Е' в уравнении (12) зависят от расстояния по оси z через поперечное изменение интенсивности в показателе экспоненты выражения (13). Это, в свою очередь, приводит к заметному изменению поля вдоль оси, когда

, (14)

где а характеристический поперечный радиус кривизны входного луча и Еm пиковая величина поля. Длина самофокусировки отыскивается в предположении, что во входном сечении луча фаза везде постоянна. Поскольку в уравнении (12) вторая производная по z не учтена, следует ожидать, что полученное решение будет справедливым, пока диаметр канала не уменьшится до нескольких длин волн.

Воспользовавшись данными работы [168], получаем, что для CS2 n2 (0,2 – 1,5)1011 ед. СГСЕ. Для луча мощностью 1 МВт и диаметром 2 мм длина фокусировки в CS2 будет составлять 40 100 см. Весьма вероятно, что на частоте рубинового лазера нелинейность n2 во многих жидкостях обусловлена близостью к двухфотонному резонансу с учетом колебательных состояний молекул.

Приравнивая zфокус дифракционной длине, мы получаем приближенное значение пороговой мощности для самозахвата цилиндрического луча (считая а равным радиусу луча):

Pкр = (1,22)2c/512n2. (15)

Поскольку n2 = 0,5n2, эта мощность равна 0,25 величины пороговой мощности, определенной в работе [157]. После поправки на дифракцию получаем чистую длину самофокусировки

, (16)

где Eкр = 1,22/[8a(n0n2)0,5].

Чтобы подтвердить эти соображения, уравнение (12) решалось численно для цилиндрического луча, при этом для удобства расчетов уравнение (12) записывалось в следующей безразмерной форме:

, (17)

где r* = r/a, z* = 0,5z/ka2 и E* = kaE(2/0)0,5, а звездочкой отмечены безразмерные величины. При этом в безразмерной форме

и .

Решаем уравнение (17) методом конечных разностей, или сеток, описанным Хармусом [169], видоизменяя его для учета нелинейности, предполагая, что на входе луча фаза постоянна, а профиль интенсивности описывается гауссовой кривой. Результаты численных решений приведены на рис. 2 (теоретическое распределение интенсивности луча I* по радиусу r* для z* = 0,353/E*m (для сравнения пунктиром показан профиль первоначальной интенсивности (z*= 0), имеющий, по предположению, гауссову форму)) и 3 (теоретическая зависимость интенсивности центральной области луча I* от расстояния в направлении распространения z* (в единицах 1/E*m)). Величина Еm выбрана достаточно большой для того, чтобы длина фокусировки была невелика. Обнаружилось, что мощность луча с точностью, по крайней мере, до пятого десятичного знака не зависит от z*, а ширина луча на уровне половины максимальной интенсивности изменяется (в первом приближении) обратно пропорционально центральной интенсивности.

Отметим, что приведенная на рис. 3 кривая с большой точностью описывается формулой

, (18)

где . Находим, что z0* = 0,366/Em*(0), в то время как из выражений (14) и (16) z*фокус= 0,353/Em*(0) и z*чист= 0,368/Em*(0) соответственно.

Рис. 2. Теоретическое распреде- Рис. 3. Теоретическая зависи-

ление интенсивности луча I* по мость интенсивности центральной

радиусу r* области луча I* от расстояния

в направлении распространения z*

В работе [170] получено уравнение, эквивалентное выражению (12), в форме

(19)

и ,

где , а знак перпендикуляра в индексе обозначает поперечные производные. Воспользуемся этими равенствами для получения уравнения, описывающего возрастания интенсивности в центре луча (r = =0). Пренебрегая изменением фазы из-за дифракции (т.е. zчист zфокус), можно уравнение для центральной области луча записать в виде

, . (20)

Принимая приближенно

(т.е. считая, что квадрат радиуса кривизны обратно пропорционален интенсивности, что разумно основывается на сохранении мощности), получаем уравнение

, (21)

которое в безразмерной форме имеет (18) своим решением, если

Полученные выражения справедливы для однородного луча (т.е. луча, поперечный радиус кривизны которого вблизи максимума порядка поперечного радиуса), при этом длина самофокусировки лучей, кривизна которых больше кривизны этого луча, будет меньше, чем длина фокусировки луча такого радиуса. Можно показать, что влияние других мод [161 165] также будет уменьшать длину самофокусировки.

Определим коэффициенты электрострикции и постоянные эффекта Керра из данных по показателям преломления, диэлектрических постоянных, изотермических сжимаемостей и эффекту Керра в постоянном поле и оценим их относительную роль в самофокусировке излучения лазера с модулированной добротностью.

Изменение показателя преломления через колебания плотности и поляризуемости и p зададим соотношением КлаузиусаМозотти

. (22)

В присутствии светового поля величина подчиняется волновому уравнению акустики с учетом внешней силы

. (23)

Здесь s = (1/0)0,5 скорость звука, изотермическая сжимаемость, Г затухание звука и

Так как при оптических частотах не может следовать за внешней силой, рассмотрим только низкочастотные компоненты . Для монохроматического поля находим, что

(n) = 0,5KI2, (24)

где K = 2/8n0 коэффициент электрострикции.

Вычисленные коэффициенты электрострикции Кр, константы высокочастотного эффекта Керра Ка и эффекта Керра в постоянном поле, (К1)пост для различных жидкостей на длине волны D-линии Na приведены в табл. 2.

Таблица 2

Жидкости	Кp 107	Ка 108	(K1)пост 108
Четыреххлористый углерод	1,21	0,67	0,74
Сероуглерод	2,53	32,6	32,26
Гексан	1,06	0,45	0,45
Циклогексан	1,06	0,78	0,74
m-Ксилен	1,20	7,59	8,58
Бензол	1,33	5,73	5,93
Толуол	1,25	6,55	7,53
Хлорбензол	1,20	9,93	91
Бромбензол	1,50	14,35	91
Нитробензол	0,92	26,4	2560
Анилин	1,00	3,22	12,3
Хлороформ	1,03	1,70	33,2
Ацетон	0,75	1,03	163
Метиловый спирт	0,58	0,17	9,7
Этиловый спирт	0,66	0,21	7,68
Бутиловый спирт	0,64	0,41	36,5

Предположим, что изменение поляризуемости связано всецело с изменением ориентации анизотропных молекул. Пусть f(, , ) функция распределения ориентации, где углы , и определяют ориентацию отдельной молекулы. Изменение поляризуемости можно рассчитать по теории Ланжевена [171].

Имеем

. (25)

Здесь рн наведенный дипольный момент, а f = f – f0 подчиняется уравнению

, ,

где 4a3/kT время релаксации, а размер молекул, коэффициент вязкости, С константа нормировки и U потенциальная энергия анизотропной молекулы в поле Е.

Опять-таки, поскольку f не успевает изменяться с оптической частотой, нужно принимать во внимание только его низкочастотную часть. В первом приближении для линейно-поляризованного монохроматического поля находим

, (26)

а для круговой поляризации

, (27)

где высокочастотная постоянная Керра, e диэлектрическая постоянная, а I1 задается соотношением Дебая:

причем постоянный дипольный момент молекулы. Величина (K1)пост есть часть константы эффекта Керра в постоянном поле, связанная только с наведенным дипольным моментом и всегда положительная. Для неполярных молекул Кa (К1)пост.

При вычислении этих постоянных n0 взято из International Critical Tables, а b и из Handbook of Chemistry and Physics. Значения физических констант брались по возможности при температуре 20 °С.

Для полярных молекул с большим постоянная высокочастотного эффекта Керра может быть по абсолютной величине значительно меньшей, чем в постоянном поле. В таблице приведены высокочастотные постоянные Керра для различных жидкостей, полученные при использовании величин (K1)пост, рассчитанных Раманом и Кришнаном [171]. Для сравнения даны также константы эффекта Керра в постоянном поле.

Можно показать, что для импульса длительностью i, полученного от лазера с модулированной добротностью, при t << и соотношение (27) справедливо, но (n)p теперь пропорционально величине I1(r, t)2, которая зависит от времени. Для большинства жидкостей это справедливо, так как t << 1010 с. Изменение плотности не может, однако, следовать за гигантским импульсом. Предположив, что распределение интенсивности ЛИ по сечению пучка и во времени имеет вид

t для t i,

I1(r, t)2 = A exp(p2r2) (28)

t + 2L для t i,

можно, пренебрегая членом 2() в уравнении (23), получить грубую оценку изменения плотности. Это хорошее приближение для случая p < 100 и r < 1/p. В результате получаем общее (с учетом высокочастотного эффекта Керра) изменение показателя преломления

для t i, (29)

(30)

для t i .

Соотношение (30) показывает, что при t = i отношение (n)/(n)p составляет около 102 К/Кa, для s = 1,5105 см/с, i = 2108с и p = 30 см1. В дальнейшем это отношение становится больше.

Увеличение показателя преломления с увеличением интенсивности ЛИ в жидкости приводит к самофокусировке луча. Эксперименты [172 174] показывают, что сильнее всего самофокусировка проявляется в CS2, затем (по мере уменьшения эффекта) в нитробензоле, бромбензоле, толуоле, бензоле, хлороформе, CCl4, гексане и метиловом спирте. Как показывает таблица, величины высокочастотных постоянных Керра этих жидкостей расположены точно в том же порядке. Мы видели также, что эффект самофокусировки в этих жидкостях сильно уменьшается при использовании поляризованного по кругу излучения. Это заставляет нас предположить, что самофокусировка обусловлена высокочастотным эффектом Керра. Однако в жидкостях с небольшими постоянными Керра электрострикция может оказаться существенной. Используя соотношения (30), можно вычислить, что в CCl4 при t = i отношение (n)/(n)p 0,4. Коэффициенты электрострикции обладают сильной положительной температурной зависимостью, в то время как высокочастотные постоянные Керра обладают слабой отрицательной температурной зависимостью. Действительно, температурные измерения показывают, что во всех жидкостях с большими высокочастотными постоянными Керра с увеличением температуры эффект самофокусировки уменьшается, а в CCl4 и гексане увеличивается. Высокочастотным эффектом Керра объясняется также спектральное расширение в вынужденном комбинационном рассеянии, когда ЛИ имеет две или более мод, разделенных промежутком 1 см1. Однако электрострикция должна слабо влиять на спектральное расширение, так как составляющие Ар на частотах биений лазерных мод крайне малы [175].

2. Формирование и удержание плазмы

Создание плазмы гигантским лазерным импульсом

Вычисления показывают, что лазерный импульс, передающий мощность порядка 1010 Вт жидкой или твердой частичке с размерами порядка 102 см, будет создавать горячую плазму с температурой порядка нескольких сотен эВ. В значительной степени температура плазмы падает за счет ее быстрого расширения и охлаждения, что превращает большую часть подводимой энергии в энергию направленного расширения; она может доходить до нескольких кэВ на ион. Если расширяющаяся плазма захватывается магнитным полем и ее упорядоченное движение превращается в случайное, то процесс можно использовать как способ заполнения термоядерных устройств горячей плазмой.

Одна из основных проблем управляемого термоядерного синтеза заполнение различных устройств высокотемпературной плазмой с низкой плотностью. В одном из методов предлагается испарять маленькую частичку вещества сильным лазерным импульсом малой длительности. В работе [176, 177] проведены вычисления, которые указывают, что такой подход возможен. Рассмотрим дальнейшие вычисления в связи с этой возможностью, которые были проведены в работе [177].

Типичная плазма, образованная таким способом, будет содержать от 1010 до 1019 электронов и ядер с энергиями от сотен эВ до нескольких кэВ на частицу. Чтобы получить такую плазму, требуется лазерный импульс мощностью порядка 109 1012 Вт в течение нескольких наносекунд, что достижимо в настоящее время.

Требования к общей энергии и необходимой мощности

Если временно пренебречь излучением, то энергия, требуемая для получения Ni ионов и Ne электронов каждый с энергией е, равна

W = е(Ni + Ne) , (31)

или если измерять W в джоулях, а е в электронвольтах, то

W = 1,610–19е(Ni + Ne).

Таким образом, для е = 1 кэВ и Ni + Ne 1017 требуется 16 Дж. Потребуем, таким образом, энергию в диапазоне от 1 до 103 Дж. Если материал первоначально находился в жидкой или твердой форме (типичная с плотностями порядка 51022 атом/см3), а частичка имела объем от 2107 до 2104 см3 (это будет соответствовать линейным размерам частички от 6103 до 6102 см) и предположить, что ядра являются протонами и имеют энергию 1 кэВ, то их скорость равна 4107 см/с. Отметим, что меньшая частичка удваивает свои размеры примерно за 1010 с, в то время как для большей требуется 109 с. Как было показано выше, плазма, расширяясь, быстро становится прозрачной, и поэтому для эффективной передачи энергии она должна возникать примерно в течение этого времени. Маленькая частичка, для которой нужен 1 Дж, чтобы достичь желаемой энергии, потребует мощность 1010 Вт, в то время как для большей частички, требующей 103 Дж, необходимо 1012 Вт. Меньшие энергии, конечно, требуют и меньших мощностей еще и потому, что газ расширяется более медленно.

Проникновение

Чтобы импульс света проник в плазменный сгусток, плазменная частота должна быть ниже частоты света. Частота, испускаемая рубиновым лазером, равна 4,351014 Гц. Плазменная частота определяется [178, 179] выражением

p = 8,9103ne0,5, (32)

где ne – плотность электронов.

Приравняв эти частоты, получим ne = 2,41021 электронсм3. Это несколько меньше, чем плотность электронов в твердом теле или жидкости (электронная плотность в жидком водороде 41022 см3). Таким образом, если вблизи 10 эВ достигается высокая степень ионизации, плазма будет отражать свет. Но как только объем увеличится в 10 раз или около того (это потребует около 108 с для водорода при 10 эВ), свет будет опять проникать в сгусток. Стоит плазменной частоте упасть ниже частоты света, и часть света, проникающая в сгусток, быстро возрастает. Если предположить, что сгусток имеет резкую границу и луч падает нормально к ней, то часть, проникающая в сгусток, дается выражением

, (33)

где np и n частоты плазмы и света. Для n = l,05np эта формула дает f = =0,7. Если граница сгустка диффузна в масштабе длины волны света (l=6,9105 см), проникновение даже более эффективно. Если же свет ударяет по сгустку косо, проникновение затруднено. Оно возможно, если только

(34)

где k|| параллельная поверхности составляющая волнового вектора. Если падение происходит под углом 45°, критическая плотность уменьшается в 2 раза.

Поглощение

Чтобы свет нагрел сгусток, он должен быть поглощен прежде, чем пройдет насквозь. Основной процесс поглощения для полностью ионизованной плазмы связан с электрон-ионными столкновениями, т.е. сопротивлением индуцированным токам (этот процесс иначе называется «тормозным поглощением» и является обратным по отношению к тормозному излучению электронов при рассеянии ионами). Обратная величина длины поглощения за счет таких столкновений для волн частоты n есть

(35)

(kT – в эВ, = Т/ррмин). Здесь Z и ni заряд и плотность ионов; q0, me, nе заряд, масса и плотность электронов; с скорость света; uT тепловая скорость электронов; pмин минимальный параметр столкновения для столкновения электрона с ионом (pмин равен большей из величин Zq02/kT или h(mekT)1/2). Если n равна np, то есть спитцеровская величина [178, 179].

Член (1 – p2/)0,5 важен только при n np, и поэтому полагаем его равным единице. В любом случае этот член только увеличивает К. Для водорода при 1 кэВ, ne = 2,41021 см3, n = 4,351014 Гц и ln = 10 находим К = 40 см-1. Таким образом, свет будет поглощен в сгустке размером 2,5102 см.

Излучение

Излучение из плазмы есть излучение черного тела на тех частотах, для которых длина поглощения меньше радиуса плазмы, в то время как для частот, на которых длина поглощения велика по сравнению с радиусом, излучение является тормозным. Максимум распределения Планка получается для частоты

. (36)

Для kT = 1 кэВ nmax = 7,21017 Гц, или в 2000 раз больше частоты лазера.

Таким образом, из выражения (35) следует, что плазма прозрачна для этих частот и его излучение в основном тормозное. Для тормозного излучения количество излученной энергии ти из 1 см3 за 1 с определяется выражением [178]

ти = 4,861031Zne2T0,5 Вт/см3, (37)

где Т выражено в кэВ.

Для водорода при 1 кэВ и плотности 2,41021 см3 эта формула дает

eти= 2,81012 Вт/см3. (38)

Объем в 104 см3, содержащий 2,41017 протонов, излучает мощность 2,8108 Вт, которая мала по сравнению с оценочной требуемой мощностью ~ 1010 Вт. Для материалов с большим Z тормозное излучение значительнее. Вычисляя излучение на основе тормозного механизма, не принято во внимание излучение связанных электронов и рекомбинационное. Эти процессы становятся более важными с ростом Z, но остаются незначительными для Z, меньших или равных 3 4 при температурах плазмы в сотни эВ. Для температур ниже 100 эВ даже излучением черного тела можно пренебречь.

Время термализации для ионов и электронов определяется [178, 179] соотношением

, , (39)

где Т выражено в кэВ, А атомный вес. Для водорода при плотностях 2,41021 см3, при 1 кэВ и ln = 10 находим

tie= 4,41010 с, (40)

т.е. время того же порядка, что и длительность нагрева. При более низкой температуре tie короче, так что оказывается, что вплоть до этой температуры (~ 1 кэВ) электроны и ионы остаются в тепловом равновесии. Если попытаться нагреть плазму до более высокой температуры, то электроны нагреются, а ионы нет. Если иметь лазер большей частоты, так чтобы можно было нагревать при более высоких плотностях, то равновесие может установиться при более высоких температурах.

Теплопроводность и перенос энергии

Основной процесс выравнивания температуры в плазме это электронная теплопроводность. Так как сгусток прозрачен для испускаемого им излучения, то оно приводит к потерям энергии, но не к тепловой проводимости. Уравнение для диффузии тепла [178] можно написать в виде

, (41)

где kе – коэффициент электронной теплопроводности, равный

эрг/(градсмс).

Здесь Т выражено в кэВ, а теплоемкость

эрг/(см3град).

Из этого уравнения, полагая ln = 10, находим расстояние l, на которое тепло продиффундирует за время t:

. (42)

Для водорода с плотностью 2,41021 см3 при температуре 1 кэВ

l2 = 3,05105t. (43)

Для t = 109 с l = 1,75102 см, т.е. того же порядка, что и радиус плазмы. Более низкие температуры и более высокие Z и плотности уменьшают l.

В начальных стадиях импульса на поверхности плазмы может получиться сильный локальный нагрев. Так как коэффициент поглощения сильно зависит от температуры, такие области быстро станут прозрачными и свет будет проникать глубже в плазму. Расширение поверхностного слоя также уменьшает коэффициент поглощения. К тому же в плазме благодаря высокой локальной температуре и давлению образуются ударные волны. Эти ударные волны весьма эффективно участвуют как в переносе энергии из горячих точек, так и в нагревании плазмы, через которую они проходят, обеспечивая таким образом другой способ выравнивания температуры. Составляющие этих процессов зависят от того, как сгусток освещен (однородно по всей поверхности или локально), и общий анализ их достаточно сложен. Поскольку наша цель состоит лишь в том, чтобы показать возможность использования этого метода для образования плазмы, мы не будем делать здесь такого анализа. Вместо этого мы просто предполагаем, что сгусток нагревается однородно. К концу времени поглощения это будет разумное приближение, так как в это время свет проникает во всю плазму и электронная теплопроводность довольно большая.

Очевидно, что требуется более детальный анализ температурного профиля внутри плазмы, однако здесь будем предполагать, что весь сгусток находится при одинаковой температуре.

Расширение и охлаждение плазмы

Для температур выше 100 эВ и плотностей порядка 1021 см3 от атомов любого материала с малыми Z (Z 5), по существу, полностью оторваны все электроны, так как тепловая энергия при этом порядка энергии связи даже для наиболее сильно связанных электронов. Вследствие этого плазма ведет себя как идеальный газ из электронов и ионов и, как уже указывалось, быстро расширяется. Аппроксимируя этот процесс, как это сделано в работе [176], предполагая однородными плотность и температуру и приравнивая работу, совершаемую давлением, увеличению кинетической энергии, связанной с радиальным расширением, получим

или , (44)

где Р давление, а некая эффективная средняя общая масса плазмы. Если предположить, что плотность плазмы однородна и скорость увеличивается линейно от центра к периферии, то , где M действительная масса.

Давление

, (45)

где Ni и Ne общее число ионов и электронов, содержащихся в сгустке. Окончательно температура определяется из уравнения сохранения энергии

(46)

где Vw скорость, с которой лазер подает энергию в вещество. Левая часть уравнения представляет собой скорость изменения тепловой энергии плазмы, в то время как первый член в правой части есть скорость, с которой энергия идет на расширение. Здесь не учтено излучение, хотя его без особых трудностей можно вычислить из Vw. Если предположить, что Vw = const и начальная скорость расширения равна нулю, то эти уравнения после интегрирования дают

, (47)

, (48)

где r0 начальный радиус плазмы и mi масса иона.

Для достаточно больших времен, таких, что Vwtз/Nimi >> r02, можно аппроксимировать эти выражения следующим образом:

, (49)

. (50)

Для малых времен, когда расширение незначительно, имеем

. (51)

Сравнение уравнений (50) и (51) показывает, что для больших времен 0,75 энергии идет на расширение и 0,25 на нагревание плазмы.

Расширяясь, плазма быстро становится прозрачной для лазерного света, так как из уравнения (35) следует, что коэффициент К пропорционален . Определим время, за которое плазма становится прозрачной, приравнивая Kr единице. При этом найдем зависимость от входной мощности, начальной электронной плотности и радиуса сгустка, используя равенства (49), (50) и соотношения

, , , . (52)

Подстановка выражений в Kr = 1 дает

. (53)

Полагая n = 4,351014, mi = 1,661024А, ln = 10, уравнение (53) можем переписать в виде

, (54)

где r0 выражено в см, a Vw в Вт. Разрешая (54) относительно t, находим

, с. (55)

Энергия, передаваемая одной частице, равна

, (56)

где ee1 выражено в эВ, Vw в Вт.

Для дейтерия с начальным радиусом 1,5102 см и Vw = 1010 Вт оказывается t = 91010 с, ee1 = 1,0 кэВ.

Результаты более точных вычислений для дейтериевого и литиевого сгустков показаны на рис. 4 8 (кривая 1 температура, кривая 2 энергия расширения на ион, кривая 3 радиус плазменного сгустка, а на этой кривой буквой П обозначен момент, когда плазма становится прозрачной).

Результаты в основном находятся в хорошем соответствии с приближенными формулами (49), (50), (55) и (56), хотя радиус этих сгустков увеличивается приблизительно в 2 раза, прежде чем они становятся прозрачными. Приближения, используемые при получении этих уравнений, теряют силу для сгустков, которые столь малы, что становятся прозрачными до заметного расширения.

В случае очень маленьких сгустков нельзя увеличить энергию на частицу, уменьшая размеры сгустка, что следует из (56).

Рис. 4. Нагревание и расширение сгустка водородной плазмы (начальный радиус сгустка 0,015 см, общее число атомов в сгустке 2,21011, мощность лазерного импульса 1010 Bт)

Рис. 5 Нагревание и расширение Рис. 6. Нагревание и расшире-

сгустка дейтериевой плазмы ние сгустка литиевой плазмы

(начальный радиус 0,01 см;

число электронов в сгустке 1016)

Рис. 7. Нагревание и расширение Рис. 8. Нагревание и расшире-

сгустка литиевой плазмы ние сгустка литиевой плазмы

(начальный радиус 0,02 см; число (начальный радиус 0,01 см,

электронов в сгустке 81016) число электронов в сгустке

1016, ионов 3,331015)

Если плазма нагревается столь быстро, что расширение несущественно, то можно оценить достижимую температуру, полагая Kr0=1. Из уравнения (46) получаем

, (57)

где kT выражено в эВ. Для Z = l, n0 = 2,41021, n = 4,351014 и r0 = 102 см получаем температуру 525 эВ. Конечно, температуру можно несколько повысить по сравнению с этим значением, поскольку нагрев продолжается, но сильно превысить это значение температуры будет трудно, так как коэффициент поглощения быстро падает и скоро станет существенным расширением плазмы.

Расширение после нагревания и захват плазмы

После того как плазма становится прозрачной, она продолжает быстро расширяться и в результате охлаждается. Предположив, что поступление энергии прекращается после того, как достигнута прозрачность, находим, решая (44) (46), определяющие расширение величины:

, (58)

, (59)

где , и радиус, температура и радиальная скорость плазмы в момент, когда она становится прозрачной.

Откуда следует, что температура плазмы быстро падает с расширением и что за время увеличения радиуса в 10 раз температура падает до нескольких эВ, при этом вся энергия переходит в энергию радиального расширения.

Теперь следует проверить, не рекомбинирует ли плазма? При этих плотностях основной механизм рекомбинации это рекомбинация в тройных соударениях: двух электронов и одного иона. Теория такой рекомбинации для водорода была разработана Хинновом и Хиршбергом [180] и уточнена в [181, 182], где получено несколько большее значение численного коэффициента. Согласно первой из работ, скорость рекомбинации dne/dt определяется выражением (kT выражено в эВ)

. (60)

Характерное время рекомбинации (в секунду) равно

. (61)

Подставив (58) и (52) в (61), получим

, (62)

где индекс 1 относится к состоянию плазмы на тот момент, когда она становится прозрачной. Это время должно быть сравнимо со временем, требующимся для удвоения радиуса плазмы:

, (63)

где ех скорость расширения. Приравнивая эти времена, получаем

. (64)

При kT1 = 300 эВ, ne1 = 51020, r1 = 2,5102, ех = 3107 (энергия расширения 1 кэВ для дейтронов, примерно соответствующая величине, даваемой рис. 5) уравнение (64) дает r = 0,4 см. Таким образом, радиус увеличился примерно в 20 раз, плотность уменьшилась в 8000 раз и температура упала до 0,75 эВ.

Энергия ионизации при рекомбинации трех частиц возвращается плазме, что поддерживает температуру и предотвращает дальнейшую рекомбинацию [183]. Падение температуры должно было бы почти остановиться в этой точке. Предполагая, что температура остается постоянной, причем рекомбинация как раз обеспечивает работу расширения, получаем

, (65)

, (66)

где индекс 2 относится к состоянию в момент начала рекомбинации, a A энергия ионизации атомов. Из (66) следует, что если kT2 << A, то даже при сравнительно большом отношении (r/r2) отношение DN/N мало, т.е. можно пренебречь рекомбинацией. Конечно, охлаждение за счет излучения будет увеличивать скорость рекомбинации. Непосредственной радиационной рекомбинацией можно пренебречь, так как ее поперечное сечение мало. Однако излучение из высоких возбужденных состояний, образованных рекомбинацией трех частиц, может оказаться значительным. С другой стороны, рекомбинация уменьшается, если лазер продолжает действовать в течение расширения, так как сгусток никогда не становится полностью прозрачным, и даже небольшое увеличение температуры по сравнению со значением, использованным выше, сильно снижает скорость рекомбинации. Наконец, если пытаться захватить плазму магнитным полем (см. ниже), то установившиеся в плазме токи будут поддерживать достаточно высокую температуру электронов, что может предотвратить рекомбинацию, однако последнее еще нуждается в дополнительном детальном исследовании.

Если направленное движение расширения превратить в хаотическое, то плазма опять приобретет высокую температуру. Один из методов получения этого позволить двум расширяющимся сгусткам плазмы столкнуться друг с другом. Так как ионы приобретут большую часть энергии, в результате получится плазма с высокой ионной и низкой электронной температурами.

Можно предложить ряд способов удержания плазмы в магнитном поле. Расширение плазмы в конечном счете прекращается за счет тормозящего действия внешнего МП. Создание полости объемом V в МП с магнитной индукцией В требует энергии

W = B2V/8 . (67)

Если В выражено в кГс, V в см3, W в Дж, то

. (68)

В поле B = 10 кГс для поглощения 1 Дж энергии требуется объем 2,5 см3. Максимальный объем, до которого плазма может расшириться, получается приравниванием W энергии плазмы. Очевидно, при В 10 кГс и W порядка нескольких Дж этот объем равен примерно 10 см3.

Когда плазма расширяется против МП, в ней устанавливаются поверхностные токи. Энергия, требующаяся для поддержания этих токов, затухающих за счет омических потерь, обеспечивается радиальным расширением. Таким образом, энергия направленного расширения может быть опять обращена в тепло. Дальнейшее расширение такой плазмы против МП подвержено сильным неустойчивостям РэлеяТейлора, которые могут вызвать турбулентность и эффективную термализацию плазмы. С другой стороны, турбулентность может привести к растеканию плазмы поперек силовых линий. Требуются эксперименты с различными конфигурациями поля, чтобы определить, насколько эффективно может быть захвачена плазма.

Таким образом, оказывается, что лазерные импульсы мощностью порядка 1010 Вт и длительностью несколько нс, испаряя маленькую частичку материала, создают плазму с энергиями частиц порядка кэВ, которая позволяет проводить уникальные исследования, такие как:

взаимодействие быстро расширяющейся плазмы с МП (для определения возможности захвата плазмы турбулентностью и движением ее поперек МП). Если плазма может быть захвачена, то этот способ годится для заполнения термоядерных устройств. Можно также промоделировать взаимодействие сверхновых звезд с межзвездным МП и, вероятно, солнечные вспышки и их взаимодействие с МП Земли;

поведение бесстолкновительных ударных волн. Если сталкиваются два расширяющихся сгустка плазмы, то легко удовлетворить условиям установления бесстолкновительной ударной волны. Другая возможность выпустить сгусток в плазму с низкой плотностью, которая расширяясь может действовать как источник интенсивной ударной волны в этой плазме;

рекомбинация в расширяющемся сгустке, что может дать определенную информацию об этом процессе в плотной плазме. Такая рекомбинация может также обеспечить способ получения энергичных нейтральных частиц;

процессы взаимодействия электромагнитного излучения с плотной плазмой (его поглощения, рассеяния, генерации гармоник).

Создание высокотемпературной плазмы

Рассмотрим возможность создания плотной высокотемпературной плазмы путем нагревания лазерным импульсом плазмы, удерживаемой МП. В течение времени нагревания должны поддерживаться высокие плотности ионов (> 1017 см3).

Чтобы получить условия, необходимые для термоядерного реактора с полезным выходом мощности, использующим изотоп водорода, требуются энергии лазера свыше 104 Дж за одно прохождение излучения через плазму и магнитные поля более 108 Гс при условии, что плазма образуется из водородного шарика в вакууме. Напряженность МП вычисляется в предположении, что бомовская диффузия будет самым сильным механизмом потерь в плазме. Если плазма образуется в газе, то требуется энергия свыше 1011 Дж при мощности более 1018 Вт.

Создание ультрафиолетовых лазеров высокой мощности сделает ненужным использование сильных МП при условии, что будут получены достаточно короткие лазерные импульсы. В этом случае нет разницы между результатами, полученными для вакуумной модели и модели с газовым заполнением. В каждом случае требуется энергия лазера > 106 Дж при мощности > 1015 Вт. Вакуумная модель с сильным МП отвечает этим требованиям уже при частотах рубинового лазера. В работах [184 - 187] показана возможность получения плотного ионизованного газа с помощью сфокусированных лазерных лучей. Опыты С. Рэмсдена и П. Сэвича [188] и С. Рэмсдена и В. Дэвиса [189] пояснили отдельные процессы образования такой плазмы. Н.Г. Басов и О.Н. Крохин [190] и Дж. Даусон [176] рассмотрели возможность образования горячей плотной плазмы из капельки жидкого дейтерия на основе использования лазера в условиях свободного расширения плазмы.

Используя результаты указанных работ, исследуем возможность получения контролируемой термоядерной реакции с помощью сфокусированного лазерного луча. Предположим, что для достижения высоких температур плазму нужно удерживать МП.

Задавая условие протекания термоядерной реакции

(Время удержания, с) (Плотность плазмы, см3) 1014,

можно определить максимально достижимую температуру для выбранных значений энергии лазера и напряженности МП. Любые несовершенства в лазере вызовут необходимость увеличить время удержания плазмы по сравнению со временем, определяющимся заданным выше условием. Будем полагать, что заряд иона равен единице это эквивалентно предположению, что используется изотоп водорода.

Мы начинаем с холодной (106 K), почти полностью ионизованной плазмы, которая предполагается образованной начальной частью лазерного импульса или другими способами. Рассмотрим сначала механизм, с помощью которого плазма может быть нагрета до 105 109 K, а затем исследуем конкуренцию нагревания с различными механизмами диссипации при конечной равновесной температуре. Этот анализ приводит к ограничению величин интересующих нас параметров при рассмотрении возможности термоядерного синтеза в плазме.

Механизм нагревания

Рассмотрим нагревание плазмы за счет поглощения (являющегося процессом, обратным тормозному излучению), для которого коэффициент поглощения [178]

При hn << kT и e << 1 поглощенная часть падающего излучения

(69)

где ni плотность ионов и электронов, h постоянная Планка, Т температура, частота падающего излучения ( = 4,31014 Гц для рубинового лазера) и d (см) линейный размер плазмы.

Для эффективного нагревания плазмы должно быть как можно больше. Это условие ограничивает практическое использование лазера для нагревания плазмы областями более высокой плотности. При температурах, представляющих интерес для термоядерных реакций, приближение (69) всегда справедливо для плотностей, удовлетворяющих дополнительному условию > p, т.е. необходимо выполнение условия , чтобы ЛИ не отражалось плазмой.

Если нет никаких тепловых потерь и при условии, что ni остается, по существу, постоянным в течение лазерного импульса, то вся поглощенная энергия идет на нагревание плазмы до температуры Tt

, (70)

где W энергия (в эрг), излучаемая лазером. Энергией ионизации пренебрегаем, так как она дает изменение температуры в 2 раза при 105 К и на 0,2 % при 108 К. Если Tt вычислять интегрированием, учитывая, что поглощение меняется с изменением температуры, то величина Tt получается на 45 % выше, чем даваемая уравнением (70).

Излучение поглощает электроны, и для выравнивания ионной и электронной температур существенно, чтобы время перераспределения энергии между электроном и ионом eq было меньше, чем время нагревания или время удержания :

. (71)

Механизмы охлаждения излучением

Тормозное излучение. Полная мощность тормозного излучения плазмы [178]

эрг/с . (72)

Объединяя уравнения (69) и (72), получаем баланс между нагревом и охлаждением, откуда определяем равновесную температуру Тв при условии, что единственным источником тепловых потерь является тормозное излучение:

. (73)

Циклотронное излучение

Если к системе приложено МП, то в плазме возникнет циклотронное излучение с частотой nc = 2,8106 B. Независимо от того, является ли плазма оптически толстой на этой частоте, мощность излучения не превысит мощности излучения черного тела на всех частотах вплоть до циклотронной:

эрг/с.

Таким образом, мы получаем равновесную температуру Те в случае, когда единственным источником тепловых потерь является циклотронное излучение:

(74)

Эти вычисления не учитывают потери за счет излучения на более высоких гармониках циклотронной частоты. Если продолжить вычисления и включить излучение черного тела до десятой гармоники циклотронной частоты, то мощность потерь возрастет в 1000 раз. Тем не менее, учитывая ограничения, накладываемые другими рассмотренными здесь процессами, условия циклотронного излучения не являются самыми сильными. Более того, потери за счет циклотронного излучения могут быть значительно снижены применением отражающих стенок, так как основная частота, первая и вторая гармоники будут лежать в видимой и в близких инфракрасной и ультрафиолетовой областях.

Излучение черного тела

Чтобы тело излучало как абсолютно черное, необходимо ; отсюда излучение будет планковским вплоть до частот b, таких, что .

Мощность потерь за счет излучения черного тела дается выражением

(75)

где отсюда , и поскольку излучение черного тела не должно налагать более сильных ограничений на температуру плазмы, чем потери на тормозное излучение, потребуем

или . (76)

Условие (76) всегда выполняется в плазме, представляющей интерес для термоядерных реакций.

Этого результата следовало ожидать, так как в приведенных выше вычислениях просто оцениваются потери на излучение черного тела в области спектра, в которой самопоглощение в плазме препятствует тормозному излучению. Из законов излучения черного тела и тормозного излучения в этой области следует, что потери на излучение черного тела меньше, чем потери на тормозное излучение в этой же области.

Потери за счет теплопроводности

Теперь рассмотрим случай, когда лазерный луч фокусируется больше в газе, чем на мишени. В этом случае плазма будет окружена холодным газом.

Если МП нет, плазма будет расширяться с некоторой диссипацией энергии и уменьшением эффективности нагревания лазерным лучом (). Даже если приложено сильное МП, атомы соседнего с плазмой холодного газа будут нагреваться за счет столкновений с ионами и электронами горячей плазмы, так что плазма будет все расширяться, но при этом ni будет оставаться примерно постоянным. В этом случае (для Kvd << 1) основные потери тепла центром плазмы (А точка максимальной температуры) будут происходить за счет теплопроводности на границе плазмы.

Профиль сфокусированного луча лазера представлен на рис. 9, а. Плазма будет образовываться в фокусе и затем расширяться до радиуса > d/2 (рис. 9, б). Однако, так как область интенсивного ЛИ ограничена в основном сферой радиусом d/2, можно довольно правдоподобно описать этот случай моделью, в которой сфера (радиусом d/2) полностью ионизованной плазмы (с плотностью ni) с поверхностной температурой T0 << Tмакс облучается лазерным лучом с плотностью потока Ps. Предполагая условия установившимися, вычислим температуру в центре плазмы.

а б

Рис. 9. Профиль сфокусированного луча: а действительное соотношение лазерного луча и плазмы; б вид решения уравнения (77)

Для плотностей ионов и потока соответственно ni и Ps количество тепла на единицу объема, поглощаемого за счет процесса, обратного тормозному излучению, составит

Коэффициент теплопроводности полностью ионизованной плазмы при этих условиях (см. [178, 179])

Приравнивая теплопроводность и поглощение в сферической оболочке, получаем

т.е. . (77)

Из приведенных выше рассуждений следуют граничные условия для (77)

, и Т = 0, .

Решение представлено на рис. 9, б,

где (78)

Теплопроводность можно уменьшить удерживающим МП, но теплопроводность вдоль силовых линий (существенная часть) не изменится.

В этих упрощенных оценках плазма предполагалась оптически тонкой. Возможно, сильное поглощение происходит около холодной поверхности плазмы (при более низких температурах вынужденная эмиссия незначительна, поэтому поглощение более заметно). Приближенные оценки показывают, что для лазерных энергий, значительно превышающих 1 Дж, этим эффектом можно пренебречь. Однако из рис. 10 ясно, что потери за счет теплопроводности серьезно препятствуют достижению условий, необходимых для термоядерных реакций.

Удержание плазмы

При температурах 105 108 K тепловые скорости ионов составляют 106 108 см/с. Таким образом, если нет никакого удержания, мы можем ожидать, что ионы плазмы вылетят из области нагревания (d 10-2 см) за время лазерного импульса (10 нс). Расширение плазмы имеет несколько важных последствий: более низкая ионная плотность уменьшает эффективность нагревания () и большая часть энергии, которая еще поглощается плазмой, рассеивается в процессах расширения и диффузии.

Рис. 10. Ограничения температур как функции ni или (ni = 1014) для различных механизмов (номера относятся к уравнениям)

Для того чтобы МП удержало плазму в течение лазерного импульса, должны выполняться следующие условия:

магнитное давление должно превышать кинетическое давление плазмы ;

диффузия плазмы из области нагрева должна быть малой. Точная природа процесса диффузии неясна. Здесь мы рассматриваем наиболее быстрый из предполагаемых процессов диффузии бомовскую диффузию, средняя скорость которой дается выражением (см. [178])

Тогда верхний предел температуры определяется условием

, (79)

а условие для магнитного давления в этом случае

. (80)

Частотная зависимость

Нагревание плазмы лазером зависит от частоты излучения. Интересно рассмотреть частотную зависимость нагревания, чтобы выяснить, коротковолновые или длинноволновые лазеры более пригодны для получения высокотемпературной плазмы.

Из уравнения (70) и условия > p (лазерная частота не должна быть меньше плазменной) ясно, что предельная температура Tc для данной величины d2 есть константа при условии, что используется максимально возможная плотность. Требование максимальной плотности устанавливает нижнюю границу длин волн порядка 700 ангстрем (считая плотность твердого тела ~ 1023 см3). Хотя W/d2 при этом должно иметь ту же величину, что и для нижних частот, более высокая плотность, которую можно использовать, уменьшает требуемое время удержания примерно до 109 с. Тогда можно будет получить термоядерные реакции без магнитного поля при условии, что d 0,1 см. Ограничения теплопроводности требуют W0 > 106 Дж на одно прохождение излучения.

Отметим, что ограничения, налагаемые на температуру, ионную плотность, энергию лазера, размеры плазмы и МП [уравнения (69) (80)], были использованы для определения величин различных параметров, требуемых для получения данной температуры в диапазоне 105 109 K и величины 1014 для произведения плотности ионов на время удержания (условие термоядерного синтеза). Результаты показаны на рис. 10.

С точки зрения термоядерного синтеза, даже если пренебречь теплопроводностью (рассматривая изолированный образец первоначально твердого дейтерия), ограничения энергии поглощения и бомовской диффузии требуют энергий лазера свыше 104 Дж и МП более 108 Гс. Эти результаты применимы к установившейся плазме, в которой наиболее важным механизмом роста является бомовская диффузия.

Комбинация лазера и МП может быть хорошим источником плотной высокотемпературной плазмы. Однако вычисление теплопроводности показывает, что температура 106 K и выше, может быть получена только в газе с очень высоким давлением или путем нагревания водородного шарика в вакууме.

Определение температуры плазмы

Как показано выше, высокотемпературную плазму можно получить, воздействуя сфокусированным гигантским лазерным импульсом на твердый образец. Для углеродной мишени сообщалось [191] об ионах с энергией ~ 400 эВ. Исследуя резкую границу расширяющейся углеродной плазмы, можно получить максимальную энергию ионов 1,1 кэВ при энергиях лазера, примерно в 5 раз больших, чем в [191], но тогда следует еще показать, что из такого рода исследований можно определить среднюю температуру плазмы.

Используя рубиновый лазер (длиной 16 см, добротность которого модулировалась с помощью вращающейся призмы или просветляющегося раствора), была получена выходная мощность до 30 МВт. Световой луч фокусировался линзой с фокусным расстоянием 5 см на твердую углеродную мишень, находящуюся в вакуумной камере (106 мм рт.ст). Небольшая часть расширяющейся плазмы выделялась диафрагмой (6106 рад), а после прохождения расстояния 12 см плазма собиралась цилиндром Фарадея. По пути плазменный пучок пересекал электрическое поле (~100 В/см), приложенное перпендикулярно направлению движения пучка плазмы (рис. 11).

Рис. 11. Схема экспериментальной установки

С помощью этого поля из плазмы вытягиваются электроны, так как их энергия расширения мала по сравнению с энергией ионов (этот метод применим только для частиц в малом интервале энергий вблизи максимальной, так как пространственные заряды, образованные большим числом электронов, будут уменьшать действие приложенного электрического поля).

Время между лазерным импульсом и появлением ионов на детекторе дает максимальную скорость плазмы и можно предположить, что скорость постоянна почти на всем пути. При фокусировке лазерного импульса мощностью 30 МВт и с энергией 1 Дж на углеродную мишень было измерено время пролета, которое составило 0,9 мкс, что соответствует максимальной скорости 1,3107 см/с. Для лазерного импульса в 10 МВт и 0,5 Дж было получено время пролета 1,4 мкс, которое соответствует скорости 0,85107 см/с. Интересно заметить, что быстрое нарастание и высота ионного импульса на детекторе указывают на довольно резкую границу появляющейся плазмы. Принято считать, что для лазерного импульса мощностью 30 МВт более 1014 ионов (предполагается изотропное расширение) имеют энергии от 1,0 до 1,1 кэВ.

Среднюю температуру первоначальной плазмы можно оценить, исходя из данных по скорости, следуя рассмотрениям, выполненным в работе [192]. Расширяющаяся плазма характеризуется максимальной скоростью rмакс и эффективной массой М, которая равна 3/5 действительной массы Nimi (mi масса атома, Ni число ионов в плазме). Предположим, что скорости расширения частиц в плазме пропорциональны их расстоянию от центра и что плотность однородна по всему объему (в фиксированное время). Тогда максимальная скорость (скорость частиц на границе плазмы) связана с энергией , сообщенной плазме от светового импульса, следующим соотношением:

(81)

(излучение или другие потери включены в ; r1 и Т1 радиус и температура в конце процесса нагревания (~ 30 нс)). Если r >> r1 (r1 порядка 1 мм), энергия существует только в форме энергии расширения, при этом получаем

Величину 0,5Mr2макс можно положить равной тепловой энергии , если допустить, что на ранней стадии расширения почти вся кинетическая энергия существует в форме тепловой энергии. При таких условиях для температуры получаем

; Ne = ZNi. (82)

Используя измеренные данные rмакс для углеродной плазмы и предполагая, что у ионов углерода в среднем отсутствуют только электроны внешней оболочки (т.е. Z = 4), получаем температуру плазмы T 106 K (для лазера мощностью 30 МВт). Эта величина должна быть верхним пределом с учетом сделанных приближений [193].

Литература

НИУ БелГУ ; гл. ред. Л.Я. Дятченко: Научные ведомости Белгородского государственного университета. - Белгород: НИУ БелГУ, 2010

Новосадов Б.К.: Методы математической физики молекулярных систем. - М.: ЛИБРОКОМ, 2010

П.А. Бохан и др. ; ред. С.А. Тюрина: Оптическое и лазерно-химическое разделение изотопов в атомарных парах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Пергамент М.И.: Методы исследований в экспериментальной физике. - Долгопрудный: Интеллект, 2010

Ремизов А.Н.: Медицинская и биологическая физика. - М.: Дрофа, 2010

Ремизов А.Н.: Сборник задач по медицинской и биологической физике. - М.: Дрофа, 2010

Садовский М.В.: Диаграмматика. - М. ; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" ; Ижевский, 2010

Самойленко П.И.: Теория и методика обучения физике. - М.: Дрофа, 2010

Смирнов Б.М.: Свойства газоразрядной плазмы. - СПб.: СПбГПУ, 2010

Сычёв В.В.: Дифференциальные уравнения термодинамики. - М.: МЭИ, 2010

Томсон У.: Трактат по натуральной философии. - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

Трофимова Т.И.: Курс физики. - М.: Академия, 2010

Трофимова Т.И.: Курс физики: задачи и решения. - М.: Академия, 2010

Тучин В.В.: Лазеры и волоконная оптика в биомедицинских исследованиях. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010

Херлах Д.: Метастабильные материалы из переохлажденных расплавов. - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

: Академик Лев Андреевич Арцимович . - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

: Научные ведомости Белгородского государственного университета. - Белгород: БелГУ, 2009

: Нобелевские лекции по физике. - М. ; Ижевск: НИЦ "Институт компьютерных исследований", 2009

[под общ. ред. М.М. Криштала ; рец.: А.М. Глезер, В.С. Кондратенко] ; Криштал М.М. и др.: Сканирующая электронная микроскопия и рентгеноспектральный микроанализ в примерах практического применения. - М.: ТЕХНОСФЕРА, 2009

Абрахманова А.Х.: Элементы волновой оптики. - М.: КДУ, 2009

Абрикосов А.А.: Основы теории металлов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Агишев Р.Р.: Лидарный мониторинг атмосферы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Алифанов О.М.: Обратные задачи в исследовании сложного теплообмена. - М.: Янус-К, 2009

Беляков А.Н.: Курс лабораторных работ по микроскопическим методам анализа. - Белгород: БелГУ, 2009

Биттенкорт Ж.А.: Основы физики плазмы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Блохинцев Д.И.: Избранные труды. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Бобылёв Ю.В.: Нелинейные явления при электромагнитных взаимодействиях электронных пучков с плазмой. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

PAGE \* MERGEFORMAT1

Процессы распространения мощного ЛИ в дисперсных средах