ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Контрольная работа
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Содержание
1. Корпускулярно-волновой дуализм и принцип Гейзенберга
2 Уравнение Шрёдингера
3. Функции распределения
4. Методы возмущений
5. Свободные электроны в твердых телах и функция плотности состояний
6. Теорема Блоха
7. Электроны в твердых телах
8. Электроны в энергетических зонах
9. Фононы
Литература
1. Корпускулярно-волновой дуализм и принцип Гейзенберга
В классической физике обычно оперируют двумя типами объектов, а именно с частицами (точечных малых масс) и волнами (электромагнитных или световых волн, поведение которых описывается уравнениями Максвелла). Однако при описании очень малых объектов (атомов) оба предложенных выше варианта оказываются несостоятельными, и необходимо пользоваться понятиями квантовой механики, в основе которой лежит представление о дуальности «волна - частица». Например, при описании взаимодействия света с веществом очень удобно рассматривать свет не в виде волн, а в качестве частиц определенного типа (фотонов). С другой стороны, электроны (которые всегда рассматривались в качестве частиц) внутри твердых тел с нанометровыми размерами ведут себя подобно волнам.
При изучении обычных оптических явлений (интерференции и дифракции) исходят из представления о световых волнах длиной и частотой , связанных соотношением , где — скорость света (обычно в вакууме). Планк предположил (для объяснения кривой излучения черного тела), что свет может излучаться или поглощаться лишь в виде некоторых «порций» энергии, получивших название квантов или фотонов. Энергия фотона равна
, (1)
где - постоянная Планка, - угловая частота.
В соответствии с предложенным Эйнштейном объяснением, электроны испускаются с поверхности вещества, если падающие на поверхность фотоны обладают достаточной энергией. Очевидно, что энергия падающих фотонов должна быть выше энергетического барьера, удерживающего электроны внутри твердого тела. Эйнштейн также показал, что фотон с импульсом обладает энергией , связанной с импульсом соотношением
(2)
где - скорость света. Следует помнить, что фотоны двигаются со скоростью света, а их масса покоя равна нулю.
Действительно, каждой частице с импульсом можно сопоставить волну с длиной
(3)
Это уравнение можно переписать в виде
(4)
где - так называемое волновое число.
Еще один, чрезвычайно важный квантово-механический закон был открыт в 1927 г., когда Гейзенберг сформулировал так называемый принцип неопределенности, в соответствии с которым в любом эксперименте произведение ошибок измерения импульса частицы и ее координаты всегда должно превышать , т. е.
(5)
(разумеется, такие же соотношения справедливы и для измерений по остальным координатам, и их можно выписать для произведений и ).
Надо отметить, что принцип неопределенности является фундаментальным свойством природы, а вовсе не связан с конкретными типами приборов, при помощи которых экспериментатор пытается одновременно измерить величины их. В другой формулировке этот принцип устанавливает связь между ошибками измерений энергии частицы Е и временным промежутком , требуемым для измерения:
(6)
2 Уравнение Шрёдингера
Дуальность «волна - частица» очень удобно описывать волновой функцией , которая не только является непрерывной, но и имеет непрерывные производные. Такая волновая функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка (уравнение Шрёдингера).
. (7)
Черезобозначен оператор:
,
а обозначает потенциальную энергию, которая в общем случае является функцией координат (и, возможно, времени). Хотя сама функция не имеет физического смысла, ее произведение на собственное комплексное сопряжение представляет реальную величину, а именно вероятность обнаружения частицы в элементе объема :
(8)
Если потенциальная энергия не зависит от времени, то можно искать решение уравнения (7) в виде
(9)
Подставляя (9) в (7) и используя соотношение Е =, получим независящее от времени уравнение Шрёдингера
(10)
для независящей от времени волновой функции .
Уравнение Шрёдингера решается точно лишь для нескольких систем, простейшей из которых является электрон с энергией и массой . В этом случае имеем , вследствие чего уравнение (7) легко преображается
, (11)
где
. (12)
Таким образом, движение свободного электрона описывается некоторой волной, которая (в соответствии с идеей де Бройля) обладает энергией и импульсом, связанными соотношениями
. (13)
В общем случае предполагается, что электрон движется по одной из осей координат (например, вдоль оси слева направо), вследствие чего коэффициент в уравнении (11) можно считать равным нулю. При этом волновое уравнение для свободного электрона приобретает простой вид
(14)
Еще одним примером точного решения уравнения Шрёдингера может служить описание атома водорода с кулоновским потенциалом взаимодействия (т. е. при потенциале U, обратно пропорциональном расстоянию между протоном и электроном, ~ ). Решая уравнение Шрёдингера при этих условиях, легко получить известное выражение для энергетических уровней электрона
, n=1, 2, 3… (15)
где через обозначена приведенная масса системы протон-электрон.
Эта математическая модель атома водорода очень широко применяется в физике твердого тела, например, для описания поведения примесей или экситонов в полупроводниках. Используемые при этом уравнения очень похожи на (15), хотя получаемые значения энергии значительно ниже из-за того, что диэлектрическая постоянная для кристаллов значительно выше соответствующего значения для вакуума (значение диэлектрической постоянной в кремнии составляет около 12 ).
Часто в физике твердого тела используется модель гармонического осциллятора. Надо сказать, что модель гармонического осциллятора пригодна для описания практически любой системы, в которой происходят колебания с малыми отклонениями от равновесного состояния. Разрешенные при этом уровни энергии могут быть получены из уравнения Шрёдингера и имеют вид
. n=1, 2, 3,…. (16)
Точное решение уравнения Шрёдингера может быть получено еще для одного широко используемого в теории потенциала, а именно прямоугольной потенциальной ямы с бесконечной глубиной, соответствующей «плоскому» потенциалу шириной с бесконечно нарастающим потенциалом на границе. Такой потенциал представляет собой очень хорошее приближение для описания так называемых модулированно-легированных квантовых ям, которые являются основными структурами в транзисторах и лазерах, действие которых основано на квантовых ямах.
3. Функции распределения
Рассмотрим наиболее часто используемые функции распределения для частиц разных типов (например, электронов, фотонов и т. п.). Обычно все виды частиц разделяют на две большие группы. Электроны и другие частицы, обладающие нецелочисленным спином, обычно называют фермионами. Поведение таких частиц определяется принципом исключения Паули и статистикой Ферми - Дирака, к другому классу относят так называемые бозоны, т. е. частицы с нулевым (или вообще целочисленным) спином, которые подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна.
В равновесном состоянии среднее число фермионов, занимающих некое состояние с энергией , описывается функцией распределения Ферми - Дирака , имеющей вид
, (17)
и, определяющей вероятность заполнения данного состояния. Энергия называется энергией Ферми или уровнем Ферми в полупроводниках. Из уравнения (17) следует, что при значение функции примерно равно 0,5.
На рис. 1 представлена функция распределения Ферми - Дирака при нескольких значениях температуры .
Рис. 1.
Легко заметить, что при значения всех кривых действительно совпадают с 0,5. При функция превращается в известную из математики ступенчатую функцию, что соответствует полному заполнению всех состояний с энергией ниже , и отсутствию частиц в любых состояниях с энергией выше . Для всех температур переход от 1 к 0 при осуществляется в относительно узком диапазоне энергий, ширина которого составляет примерно .
Системы бозонов описываются функцией распределения Бозе - Эйнштейна , имеющей вид
, (18)
где привлекает внимание отрицательный знак при единице в знаменателе, в отличие от положительного знака для . Это различие имеет важное значение, поскольку при предельном переходе Е > 0 значение функции становится бесконечно большим, вследствие чего бозоны (например, атомы 4Не) при снижении температуры претерпевают так называемую бозеконденсацию, при которой все атомы «конденсируются» в основном состоянии. В противоположность этому фермионы стремятся отделиться друг от друга, поскольку в каждом энергетическом состоянии может находиться лишь одна такая частица.
Можно легко заметить, что при высоких (по сравнению с ) энергиях, разница между выражениями (17) и (18) практически исчезает вследствие незначительности роли единицы в знаменателе, в результате чего обе функции распределения переходят в классическое распределение Больцмана. Таким образом, например, функция распределения электронов в полупроводнике при » может быть записана в виде
(19)
Следует отметить, что при энергиях, значительно превышающих , оба квантовых распределения превращаются в единую функцию распределения, известную из классической физики.
4. Методы возмущений
Выше было рассмотрено несколько важных квантово-механических систем (типа гармонического осциллятора), для которых может быть получено точное решение уравнения Шрёдингера. Однако для большинства интересных с физической точки зрения потенциалов точное решение получить нельзя, поэтому были разработаны разнообразные приближенные методы, важнейшим из которых является метод возмущений. Его применяют в тех случаях, когда гамильтониан H рассматриваемой системы лишь незначительно отличается от гамильтониана некоторой системы, собственные функции которой известны совершенно точно. В этом случае можно положить
(20)
где вспомогательный член называется возмущенным гамильтонианом.
Задача состоит в нахождении собственных значений и собственных функций гамильтониана H,
т. е. решении уравнения
(21)
при условии, что уравнение
(22)
может быть решено точно, т. е. для него могут быть получены точные собственные значения и собственные функции . Неизвестные функции представляют в виде суперпозиции из полного набора невозмущенных волновых функций, т. е. в форме
(23)
В нулевом приближении имеем , часто вполне достаточным оказывается нахождение приближения первого порядка, т. е. набора
(24)
в который входят только волновые функции приближения нулевого порядка.
В большинстве случаев невозмущенный гамильтониан представляет собой симметричную функцию, а возмущенный гамильтониан Н' обладает какой-либо специфической симметрией (четной или нечетной). При четной симметрии Н' все матричные элементы, соответствующие состояниям с противоположной четностью, будут равны нулю, и наоборот - при нечетной симметрии гамильтониана Н' будут автоматически равны нулю все матричные элементы для состояний с одинаковой четностью. Эти результаты являются прямой аналогией правил отбора в спектроскопии.
До сих пор рассматривалась теория возмущений применительно к стационарным, т. е. независящим от времени состояниям. Для возмущений, зависящих от времени, полагают, что одно из начальных состояний подвергается воздействию внешних сил, зависящих от времени (например, на атом может влиять падающая волна света). Далее, как и раньше, можно предположить, что возмущающий член гамильтониана H'(t) является малым. В рамках такого предположения собственные значения и собственные функции для зависящего от времени уравнения Шрёдингера ищут в виде (7)
(25)
ля чего можно вновь выразить через суперпозицию невозмущенных волновых функций , а затем искать последующие приближения по стандартному методу.
Очень часто в задачах этого типа сталкиваются с необходимостью вычислить вероятность перехода из некоторого начального состояния в группу конечных состояний с очень близкими энергиями. В таких случаях удобно описывать конечные состояния функцией плотности состояний . В этом случае скорость перехода описывается уравнением
, (26)
которое часто называют правилом Ферми или «золотым правилом» квантовой механики. Смысл этого правила заключается в том, что скорость перехода из ординарного состояния в группу конечных состояний к представляет собой произведение коэффициента на функцию плотности конечных состояний и квадрат матричного элемента, связывающего начальное и конечное состояния.
Особый интерес представляет случай, когда внешнее возмущение вызывается силой, меняющейся по гармоническому закону, т. е. когда
(27)
где H'(t) соответствует, например, возмущающему электромагнитному полю. В этой ситуации переходы из одних состояний в другие становятся избирательными, т. е. значительно более вероятными для квантов с энергией , поскольку они значительно легче поглощаются (резонансное поглощение) или излучаются (стимулированное излучение) рассматриваемой системой.
5. Свободные электроны в твердых телах и функция плотности состояний
Модель для объяснения поведения электронов в твердых телах (особенно в металлах) основана на предположении, что валентные электроны атомов могут свободно двигаться во всем объеме вещества. Считается, что свободные электроны могут рассматриваться в качестве своеобразного газа, заполняющего образец вещества, и что все свободные электроны находятся под воздействием постоянного электрического потенциала, за исключением поверхностей твердого тела, где действует энергетический барьер с высотой Н, не позволяющий электронам покидать объем образца. С квантово-механической точки зрения модель сводится к поведению частиц (в данном случае фермионов) в трехмерной прямоугольной потенциальной яме.
Поскольку в модели потенциальная энергия внутри ямы не изменяется, можно решить для электронов зависящее от времени уравнение Шрёдингера, подставив в него для упрощения потенциал V = 0. Ранее было показано, что решением являются волновые функции, описывающие плоские волны с формой:
(28)
где трехмерная амплитуда волновой функции равна (V- объем потенциальной ямы или ящика). Это позволяет нормировать волновые функции естественным образом, т. е. так, чтобы полная вероятность обнаружения электрона в объеме V равнялась 1. Записав это условие в виде
(29)
получаем для амплитуды
Для дальнейшего рассмотрения и использования полученных решений необходимо определить для рассматриваемой задачи граничные условия. В физике твердого тела чаще всего рассматриваются и применяются два следующих типа граничных условий. Проще всего выглядят фиксированные граничные условия, когда волновая функция электронов обращается на границе в нуль, что соответствует невозможности для электрона покинуть пределы квантовой ямы (предполагается, что энергетический барьер на границе тела имеет бесконечную высоту). Такие условия приводят к нахождению решения в виде стоячих волн. Другим распространенным типом граничных условий выступают так называемые периодические граничные условия, при использовании которых получают для электрона решения в виде бегущих волн (это удобнее при изучении поведения электронов в твердых телах). Эти условия предполагают только, что волновые функции имеют одинаковое значение на всей границе тела. Рассмотрим, ситуацию, когда отдельный электрон двигается внутри куба с длиной ребра L. Периодические граничные условия в этом случае записываются в виде системы уравнений:
(30)
Налагая эти граничные условия на определенную уравнением (28) волновую функцию, получаем уравнения
, (31)
и соответствующие им разрешенные значения для чисел в виде
(32)
где
Такое квантование значений волновых векторов (32) влечет за собой и соответствующее квантование энергетических состояний:
(33)
где по-прежнему должны выполняться условия
Выше отмечалось, что каждому набору квантовых чисел () соответствует некоторое состояние электрона, волновое число и энергия которого определяются уравнениями (32) и (33) соответственно. В идеале желательно получить все значения энергий и все волновые функции состояний электрона в твердом теле, однако для практических целей вполне достаточно определить функцию плотности состояний , определенную выше. Как уже известно, важнейшие свойства электронных систем в твердых телах (включая электрические и транспортные характеристики) могут быть легко определены с использованием этой функции.
Каждое электронное состояние определяется набором квантовых чисел (), причем, в соответствии с принципом исключения Паули, в каждом из таких состояний могут находиться лишь два электрона, различающиеся спином (направленный вверх и направленный вниз). Энергия электрона пропорциональна , вследствие чего точки, соответствующие такому значению энергии в показанной на рис. 2 обратной решетке (k-пространстве) при всех возможных комбинациях , должны располагаться в узком слое сферы с радиусом .
С другой стороны, разность между двумя последовательными значениями каждой из компонент (i = х, у, z) всегда составляет величину , вследствие чего каждое из разрешенных состояний с набором к () будет занимать в k-пространстве объем:
, (34)
где V - объем кристалла.
Таким образом, полное число электронных состояний в промежутке значений () описываемого k-пространства (рис. 2) равно
, (35)
где коэффициент 2 возникает из-за необходимости учесть спин электронов.
Поскольку из уравнения (33) следует Е = Е(k), мы можем сразу выписать функцию распределения плотности состояний системы:
. (36)
Рис. 2
В соответствии со сказанным выше, функция р(Е) пропорциональна квадратному корню из значения энергии.
Умножив р(Е) на функцию (17), соответствующую вероятности заполнения состояния, мы получим функцию распределения электронов по энергии в окончательном виде (рис. 3).
Очевидно, что при 0 К заняты лишь все состояния до , а при Т > О К некоторые из электронов начинают заполнять уровни выше Е.
Рис. 3.
6. Теорема Блоха
Теорема Блоха относится к волновым функциям электронов внутри кристалла и построена на предположении, что кулоновский потенциал в твердых телах носит периодический характер, т. е. потенциальная энергия для электронов внутри кристалла имеет вид
(37)
где через обозначен вектор произвольной трансляции (пространственного переноса) вдоль кристаллографической решетки, т. е. (- единичные векторы (орты) кристаллической решетки.
Теорема Блоха говорит, что волновая функция электронов в кристалле , определенная уравнением Шрёдингера, может быть представлена в виде произведения плоской волны на некоторую функцию (г), периодичность которой совпадает с периодичностью описываемой кристаллической решетки, т. е.
, (38)
где
. (39)
Электронные волновые функции в виде (38) называют функциями Блоха. Надо сказать, что сами функции Блоха не являются периодическими функциями, так как другой, входящий в это произведение член, описывает плоскую волну.Можно показать, что периодичностью решетки обладает лишь функция плотности вероятности .
Еще одним интересным свойством волновых функций, связанных с теоремой Блоха, является соотношение
, (40)
которое может быть сразу получено из уравнений (38) и (39).
7. Электроны в твердых телах
Рассмотренная в ранее модель свободных электронов в твердых телах очень широко и эффективно используется при описании многих электрических характеристик металлов, однако она все же слишком проста для описания более сложных свойств твердых тел (например, электронных или оптических характеристик полупроводников). Естественным развитием этой теории стала модель почти свободных электронов, используемая в основном для описания кристаллов, поскольку в ней предполагается, что внутри твердого тела электроны двигаются под воздействием периодического потенциала, как показано на рис. 4 для одномерного случая.
Рис. 4.
На рис. 4, а представлено изменение внутреннего потенциала вдоль линии, соединяющей ядра атомов, объединенных в трехмерный кристалл, где значения кулоновского потенциала стремятся в точках, соответствующих положению ядер. Разумеется, большая часть электронов в кристалле двигается в других условиях или под некоторым углом к кристаллографическим направлениям. Например, для движения между двумя плоскостями, образованными заряженными атомами, потенциал имеет вид на рис. 4, б.
Наличие периодичности в строении кристаллов приводит к тому, что разрешенные значения энергии для электронов также образуют некоторые области (или зоны), в то время как целые диапазоны значений оказываются для них запрещенными. В модели почти свободных электронов периодический потенциал рассматривается в качестве малого возмущения к гамильтониану, соответствующему свободному движению электронов. Эта простая модель позволяет получать очень важные качественные закономерности для описываемых систем. Приведем основные результаты этой модели. Прежде всего, по-прежнему вследствие периодичности решетки волновая функция электрона должна иметь вид функции Блоха
, (41)
где функции {r) связаны с этой периодичностью (для простоты приведенная формула относится к одномерной системе с постоянной решетки а).
Поскольку периодический потенциал внутри кристалла рассматривается в качестве возмущения, то можно использовать описанную выше ранее квантово-механическую теорию возмущений. Применяя используемый в теории возмущений математический аппарат, получим, что разрывы в значениях энергии соответствуют значениям
, n=1, 2…… (42)
причем ширина разрыва (энергетическая щель или запрещенная зона) пропорциональна коэффициентам |К|2 разложения потенциала в ряд Фурье, т. е.
. (43)
Энергетические щели или запрещенные зоны для одномерной модели показаны на рис. 5.
Рисунок представляет собой образец широко используемого представления в так называeмой схеме расширенных зон, в которой проявляется подобие получаемых зон параболам для свободного электрона, за исключением значений к, определяемых решениями уравнения (42), при которых и возникают запрещенные зоны. На рис. 6, а приводится представление в схеме так называемых приведенных зон, которое вытекает из периодичности волновой функции в обратном пространстве. Это представление является наиболее распространенным, и оно может быть получено из рис. 5 переносом вдоль оси к на величины, кратные .
Рис. 5.
Рис. 6.
Описанная выше модель почти свободных электронов очевидно неприменима к описанию диэлектриков (т. е. изоляторов) типа алмаза и т. п. Для таких систем разработано приближение сильной связи, когда (в отличие от модели почти свободных электронов) сразу предполагается, что основную долю общей энергии создает потенциальная энергия электронов в атоме, т. е. предполагается что волновые функции электронов даже двух соседних атомов перекрываются незначительно.
Приближение сильной связи является достаточно эффективным для расчета движения электронов в непроводящих веществах или на внутренних электронных оболочках металлических атомов.
В методе предполагается, что с самого начала известны электронные волновые функции , где через Rn обозначен главный вектор трансляции рассматриваемой кристаллической решетки. Затем предполагается, что электронная волновая функция в кристалле представляет собой линейную комбинацию атомных орбиталей, т. е.
, (44)
где суммирование ведется по всем точкам решетки. Такая волновая функция должна удовлетворять условиям теоремы Блоха и, следовательно, коэффициенты Сn должны иметь вид , из чего следует
(45)
где N - число атомов в решетке, а коэффициент N 1/2, как легко показать, вводится для нормировки.
Использование приближения сильной связи предполагает, что реальный потенциал V(r), воздействующий на электрон в твердом теле, очень близок к потенциалу V0(r), создаваемому изолированным атомом, вследствие чего гамильтониан для электрона в кристалле может быть записан в виде
(46)
Можно показать, что решение так называемой «возмущенной задачи» для гамильтониана (46) с волновыми функциями вида (45) может быть записано в виде
(47)
где суммирование ведется по всем ближайшим состояниям. Коэффициенты и в уравнении (47) представляют собой так называемые интегралы перекрытия, которые часто используются в качестве подгоночных параметров.
8. Электроны в энергетических зонах
Известно, что волновая функция свободного электрона представляет собой плоскую бегущую волну, что соответствует просто движению свободной частицы с точно определенным импульсом р = hk. Из принципа неопределенности Гейзенберга сразу следует, что волна, определяемая (14), не может содержать информации относительно пространственной локализации электрона. Поэтому при любой попытке описать положение и импульс электрона в кристалле надо пользоваться представлением о волновом пакете. Обычно волновые пакеты формируются линейной суперпозицией плоских бегущих волн (с соответствующими волновыми векторами) в некотором малом интервале около среднего значения k, т. е. полная волновая функция имеет вид
(51)
где в общем случае с учетом рассеяния среды w = w(k). Волновой пакет двигается с групповой скоростью v, определяемой уравнением
(52)
которая в принципе отличается от фазовой скорости
(v = w/k) плоских волн.
Очевидно, что в модели почти свободных электронов, волновая функция электрона, двигающегося внутри трехмерного кристалла, должна разлагаться в ряд Фурье:
(53)
где значения вектора к определяются периодическими граничными условиями. Обобщая уравнение (52) для трехмерного случая, легко получить для групповой скорости выражение
(54)
где функция выражает зависимость межу энергией и импульсом в рассматриваемой энергетической зоне.
Предположим далее, что на электрон внутри кристалла действует некоторая внешняя сила (например, электрическое поле E). В простейшем одномерном случае элементарная работа , производимая при воздействии на электрон с зарядом е поля E за промежуток времени , равна
(55)
что с учетом уравнения (54) может быть переписано в виде
(56)
В трехмерной системе для действующей на электрон силы можно выписать соотношение
(57)
называемое уравнением движения для электрона. Отметим, что оно весьма похоже на формулировку второго закона Ньютона для свободного электрона, если принять, что импульс электрона имеет вид
p=hk (58)
На самом деле момент, определяемый уравнением (58), не может считаться истинным, поскольку рассматриваемый в задаче электрон подвергается воздействию не только внешнего электрического поля, что предполагается при выводе из уравнения (57), но и внутренних кулоновских сил ионов кристаллической решетки. С точки зрения физики это означает, что мы никогда не можем рассматривать полностью изолированный, отдельный электрон внутри кристалла, без учета окружения. Поэтому импульс, определенный уравнением (58), обычно и называют квазиимпульсом (или crystal momentum), а его величина свидетельствует именно о взаимодействии электрона со всеми остальными частицами системы, включая электроны и фононы (см. раздел 8). Смысл уравнения (58) заключается в сохранении энергии и квазиимпульса при всех таких взаимодействиях.
Для того чтобы определить величину, которую, собственно, следует подставить в выражение для массы частицы, мы можем воспользоваться соотношениями между силой и ускорением для предложенной выше ситуации с электроном в кристаллической решетке, на который действует внешнее электрическое поле E. В соответствии с уравнениями (52) и (57), выражение для ускорения в одномерной задаче имеет вид
(59)
из чего можно легко определить эффективную массу электрона в кристалле:
(60)
Отметим, что величина всегда пропорциональна искривленности энергетической зоны («гладкости» зоны в k-пространстве), т. е. меньшей кривизне соответствует большая эффективная масса, а в трехмерном кристалле массе электрона соответствует тензор эффективной массы, имеющий компоненты
(61)
Cледует подчеркнуть, что в кристалле сила и ускорение, вообще говоря, могут не совпадать по направлению. В простейшем случае, когда совпадают все три эффективные массы, соответствующие главным осям тензора в уравнении (61), в результате чего выражение для становится эквивалентным (60) для одномерного кристалла, т. е. представляет собой скаляр. Это произойдет, например, при параболической зависимости Е от к по каждой из осей в k-пространстве, описываемой уравнением
(62)
В этом случае, очевидно, что эквипотенциальные поверхности представляют собой сферы. В соответствии с определением эффективной массы легко убедиться, что для показанной на рис. 7, а зависимости Е от волнового вектора эффективная масса будет описываться кривыми (рис. 7, б).
Рис. 7.
Отметим, что значение положительно на дне энергетической зоны, но отрицательно (кривизна противоположного знака) вблизи границ зоны, когда . Физически это означает, что если электрон приближается к границе зоны (например, слева), то он перестает ускоряться электрическим полем или, говоря иными словами, он начинает отдавать решетке больший импульс, чем получает от внешнего поля. В предельном случае на самой границе зоны (при ) электрон просто отражается по брэгговскому механизму.
В полупроводниках очень часто приходится иметь дело с задачами, связанными с описанием поведения электронов в почти заполненных зонах, когда очень удобно пользоваться понятием «дырка». Для простоты рассмотрим показанную на рис. 8 низшую зону, в которой заполнены все состояния, исключая одно-единственное, соответствующее электрону с волновым вектором kе. Полный волновой вектор kТ такой зоны может быть записан в виде волнового вектора полностью заполненной зоны, из которого вычитается волновой вектор отсутствующего электрона, т. е. в виде
(63)
Рис. 8.
Суммирование в (63) осуществляется по всей зоне, и сумма должна равняться нулю для любого кристалла, обладающего инверсной симметрией, поскольку в этом случае такой же симметрией должна обладать зона в k-пространстве, т. е. каждому занятому состоянию с должен соответствовать вектор , с обратным знаком. Поэтому из уравнения (63) следует
, (64)
и состоянию с отсутствующим электроном в зоне может быть приписана новая частица с названием «дырка», описываемая волновым вектором
(65)
и импульсом
(66)
Поскольку понятие «дырка» вводится для заполненной зоны, в которой отсутствует один электрон, естественно приписать такой дырке положительный заряд. Такая ситуация часто встречается в полупроводниках, когда, например, электрон под воздействием падающего фотона (рис. 8) перескакивает из нижней зоны в более высокую, оставляя свое энергетическое состояние свободным. При повышении энергии фотона могут рождаться дырки с большей энергией, следовательно, энергия дырки возрастает при переходе к более низким состояниям зоны. Кинетическая энергия дырки Eh положительна, и из соотношения Eh = h2k2/2 m*h следует, что ее эффективная масса также положительна.
В теории твердого тела существует понятие «адиабатическое приближение», позволяющее разделить характеристики материала, связанные с электронами (электропроводности и т. п.), от связанных с колебаниями атомов решетки (теплопроводность и т. п.). Рассмотрим механические или звуковые волны, распространяющиеся в объеме твердого тела. При длинах волны X, значительно превышающих постоянную решетки кристалла, среда распространения может считаться упругой, причем необязательно изотропной. Однако при значениях X, сравнимых или меньших, чем размеры кристаллических ячеек, требуется как-то учитывать и особенности кристаллической структуры.
Для описания колебаний атомов решетки обычно используют гармоническое приближение. При этом обычно соседние атомы притягиваются друг к другу, образуя так называемые межатомные связи (например, ковалентные, ионные, силы Ван-дер-Ваальса и т. п.). Однако по мере сближения атомов начинается взаимодействие между входящими в их состав электронами, вследствие чего возникают и значительные силы отталкивания (связанные с принципом исключения Паули), причем эти силы быстро нарастают с уменьшением расстояния между атомами. Одним из наиболее известных и широко используемых потенциалов межатомного взаимодействия является так называемый потенциал Леннарда - Джонса, который имеет минимум при некотором равновесном межатомном расстоянии r, совпадающем с постоянной решетки a. При близких к а значениях г потенциал V(r) очень близок к параболическому (гармоническому) потенциалу, поэтому предполагается, что гармоническое приближение является особо точным в области .
Простейшей моделью для изучения колебаний периодической решетки является линейная одноатомная цепочка, представляющая собой просто цепь связанных атомов массой m, находящихся на равновесном расстоянии a друг от друга, взаимодействие между которыми носит гармонический характер, как показано на рис. 9, а.
Рис. 9.
Обозначив через Uп смещение n-го атома от положения равновесия, мы можем записать для каждого атома цепочки уравнение движения (при гармоническом взаимодействии с двумя ближайшими соседями) в виде
(67)
Решение для предлагаемой системы уравнений мы будем искать в виде бегущих плоских волн с амплитудой А, частотой и волновым вектором k:
(68)
где хп = nа соответствует равновесному положению n-го атома.
Подставляя выражения (68) для смещений Uп, Uп+1 и Uп-1 в уравнения движения (67), можно после несложных алгебраических преобразований [2] получить выражение для частоты
, (69)
которое называют дисперсионным соотношением для колебаний одномерной решетки (соответствующая кривая приведена на рис. 9, б). Одним из важных следствий этого уравнения (которое трудно представить в привычных непрерывных средах) является то, что в цепочке атомов не могут распространяться волны с частотой выше некоторого предельного значения 2 (c/m)1/ Эта частота в уравнении (69) соответствует вектору , т. е. значению = 2а. Ее физический смысл соответствует порогу брэгговского отражения для электронов в периодической структуре, а математически это значение соответствует появлению вместо бегущих волн так называемых стоячих волн, которые не переносят энергию. Этот результат не является неожиданным, поскольку упомянутое условие соответствует нулевой групповой скорости. Из уравнения (69) также сразу следует, что при частота начинает зависеть от k линейно, а групповая скорость совпадает с фазовой скоростью волны, так как обе величины становятся равными . Этот результат тоже является естественным, поскольку при имеем , т. е. длина волны становится значительно больше межатомного расстояния, вследствие чего среда может вновь рассматриваться в качестве непрерывной. В этом случае скорость Vs может считаться аналогом скорости звука в веществе.
Используя такой же подход, как и в случае описания электронов в периодических кристаллах, можно ввести периодические граничные условия для волновых решений, определяемых уравнением (68). Физически введение таких условий соответствует установлению фиксированных связей или ограничивающих сил для первого и последнего атомов в цепочке, с тем чтобы эти атомы двигались одинаково. Получаемые при этом разрешенные значения вектора k имеют вид
n =0, 1, 2, …..N (70)
где параметры L и N относятся к длине цепочки и полному числу атомов соответственно (т. е. L = Na).
Еще одним очень важным следствием дисперсионного соотношения является то, что величина со не меняется при изменении к на значения, кратные , вследствие чего (как и для электронов) можно ограничиться рассмотрением значений к, принадлежащих лишь первой зоне Бриллюэна, т. е.
. (71)
Более сложной является задача о колебаниях решетки, содержащей в каждой из элементарной ячеек больше одного атома. Рассмотрим, например, двухатомную линейную цепочку, показанную на рис. 10, а, каждый узел которой содержит два атома разных видов (с массами М и m, где М > m).
Рис. 10, а
Основное усложнение задачи по сравнению с предыдущей обусловлено тем, что амплитуды колебаний атомов М и m не равны. Обозначив одну из них через A, мы получим для другой величину aА, причем коэффициент а представляет собой в общем виде комплексное число, которое зависит как от соотношения амплитуд, так и от разности фаз.
Такая задача, конечно, не может быть решена простым развитием метода для одноатомной цепочки, а ее решение становится значительно более сложным. Тем не менее, расчеты могут быть проведены в явном виде, так что читатель может найти решение во многих, даже достаточно простых учебниках физики твердого тела.
Для двухатомной линейной цепочки дисперсионное соотношение принимает вид
(72)
показанный на рис. 10, б.
Дисперсионная зависимость в данном случае описывается двумя ветвями (верхней и нижней), соответствующими знакам ± в решениях уравнения (72). Как и для одноатомной цепочки, стоит проанализировать поведение решений при значениях k вблизи центра зоны (k = 0) и на границах ().
Рис. 10,б
При упоминавшийся выше коэффициент а равен 1 для нижней (так называемой акустической ветви) и для верхней (оптической ветви) дисперсионного соотношения. При а = 1 соседние атомы М и m колеблются практически с одинаковой фазой, подобно звуковым волнам в твердых телах при выполнении условия . При колебания атомов разных видов не совпадают по фазе, и верхняя ветвь имеет некую максимальную частоту, равную
(73)
Колебательные моды этой ветви называют оптическими, поскольку соответствующие частоты относятся к инфракрасной области, так что в кристаллах с сильной ионной связью (например, в NaCl) электромагнитным излучением можно возбудить оптические моды, причем фазы движения отрицательных и положительных ионов при этом не совпадают.
Полученные дисперсионные соотношения для одномерных решеток могут быть обобщены и на случай трехмерных кристаллов [4]. Число акустических ветвей в трехмерных решетках равно трем: одна ветвь соответствует продольным колебаниям (при которых положения атомов смещаются вдоль цепочки), а две других - поперечным (когда колебания атомов происходят перпендикулярно направлению распространения волны). Таким образом, в трехмерной структуре возникает одна продольная акустическая ветвь (LA) и две поперечные акустические ветви (ТА), которые часто являются вырожденными. Приведенному выше замечанию относительно направления колебаний атомов следует относиться очень внимательно, так как во многих случаях (когда вектор не совпадает с направлением высокой симметрии кристалла) атомные смещения не являются строго параллельными или перпендикулярными вектору .
Как и в одномерном случае, наличие нескольких атомов в элементарной ячейке (обозначим их число через р) приводит к появлению оптических ветвей, количество которых в общем случае составляет (3p - 3). При р = 2 (например, для галогенидов щелочных металлов) мы получаем три акустические и три оптические ветви, однако необходимо учитывать, что в высокосимметричных направлениях кристалла две поперечные ветви часто имеют вырожденный характер. На рис. 11 схематически показаны дисперсионные соотношения для трехмерных структур.
Отсутствие вырождения служит свидетельством анизотропности кристалла. Кроме этого, обычно (подобно тому, как это происходит с электронами в кристаллах) дисперсионные кривые пересекают границу зоны Бриллюэна под прямым углом, хотя наблюдаются и исключения из этого правила, в случае зон Бриллюэна очень сложной формы.
Рис. 11
9. Фононы
При рассмотрении колебаний решетки мы предполагали до сих пор, что взаимодействие между соседними атомами обусловлено гармоническими упругими силами. Именно при этом допущении были получены уравнения движения атомов типа (67), которое похоже на уравнение для изолированного гармонического осциллятора при смещении Uп:
(74)
Основная разница заключается в том, что правая часть (67) соответствует не просто силе, связанной со смещением атома с номером п, а его взаимодействию с двумя ближайшими атомами, обозначенными номерами (n + 1) и (п - 1). Из классической механики известно, что в этом случае мы можем найти так называемые нормальные координаты системы таких частиц, т. е. найти такую линейную комбинацию Uп, при которой уравнения движения принимают простейший вид (74). Очевидным преимуществом использования нормальных координат выступает то, что в этом случае гамильтониан системы становится диагональным, т. е. может быть записан в виде суммы отдельных или несвязанных гамильтонианов для гармонических осцилляторов.
Выполнив преобразования, необходимые для перехода к нормальным координатам, легко сформулировать задачу с квантово-механической точки зрения. Действительно, в результате разложения общего гамильтониана на сумму несвязанных отдельных гамильтонианов, можно легко описать каждое квантово-механическое состояние в виде произведения волновых функций гармонических осцилляторов, соответствующих отдельным нормальным модам. Каждая нормальная мода при этом описывается набором собственных частот , соответствующих разрешенным состояниям с энергией Ек:
(75)
Такой подход означает, что каждому состоянию k соответствуют квантов с энергией. Такие кванты энергии, возникающие в результате колебаний решетки, получили название фононов, вследствие чего обычно при возбуждении моды k от к , говорят о рождении фонона с энергией (аналогично можно говорить и о поглощении или гибели фонона). Использование такой терминологии связано с тем, что фононы являются квазичастицами и их полное число может и не сохраняться. Учитывая сказанное, полную энергию колебаний решетки можно записать в виде
(76)
где суммирование ведется по всем акустическим и оптическим ветвям.
Литература
1. Иродов, И. Е. Задачи по общей физике. — СПб. : Лань, 2009. — 416 с.
2. Иродов, И. Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. — М. : Атомиздат, 1976.
3. Киттель, Ч. Берклеевский курс физики : в 5 т. / пер. с англ. ; Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман [и др.] ; под ред. А. И. Шальникова, А. С. Ахматова, А. О. Вайсенберга. — М. : Мир, 1971–1972.
4. Коган, Б. Ю. Сто задач по физике. — М. : Наука, Физматлит, 1986.
5. Сивухин, Д. В. Общий курс физики : в 5 т. — М. : Наука, Физматлит, МФТИ, 1989–2006.
6. Савельев, И. В. Курс общей физики : в 3 т. — СПб. : Лань, 2011.
7. Савельев, И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике. — СПб. : Лань, 2007. — 288 с.
8. Телеснин, Р. В. Молекулярная физика : учеб. пособие. — СПб : Лань,
2009.
9. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике : в 9 т. / пер. с англ. ;
Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс ; под ред. Я. А. Смородинского. — М. : Мир, 1977.
10. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями / пер. с. англ. Р. Фейнман, Р. Лейтон,
М. Сэндс ; под общей ред. А. П. Леванюка. — М. : Мир, 1969.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА