РОЛЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ В УПРАВЛЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИМИ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
Реферат
РОЛЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ В УПРАВЛЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИМИ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ПОНЯТИЕ ОПЕРАТОРА КАК ОБЩЕЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие теории и практики управления в последний период в значительной степени связано с переходом к решению задач управления все более сложными объектами (технологические процессы и линии, производственные объединения, биологические и медицинские системы, экологические, экономические, организационные и др.). Реальные объекты этого класса являются стохастическими, нелинейными, нестационарными, многомерными и многосвязными и обладают рядом других «неудобных» с точки зрения организации процесса управления свойств. Создание эффективных систем автоматического управления такими объектами возможно только на базе современных быстродействующих управляющих вычислительных машин. Особенно перспективны для этой цели разветвленные серии микропроцессорных машин.
Важнейшей задачей современной теории и практики управления является построение модели объекта управления, т. е. формализация закономерностей функционирования объекта. На основе этой модели определяются структура и параметры системы управления, закон управления, выбираются технические средства реализации системы. Велика роль модели не только при создании системы управления, но и при изучении закономерностей функционирования естественных и искусственных объектов и процессов. Это в первую очередь связано с ростом роли моделирования при изучении сложных явлений и объектов в различных областях науки, техники, производства.
Одним из эффективных методов построения модели сложного объекта является идентификация. Появление этого раздела теории управления диктовалось потребностями практики. Предшествующий этому времени период характеризовался интенсивным развитием кибернетики и широким использованием ее результатов при создании реальных систем управления. Для построения моделей используются методы, основанные на таких разделах математики, как теория вероятностей и математическая статистика, математическая логика, функциональный анализ, вычислительная математика и др.
Появление идентификации в начале 60-х годов было связано с острой необходимостью разработки методов построения информационных моделей объектов управления. Отсутствие таких моделей сдерживало процесс автоматизации этих объектов, построения систем прямого цифрового управления и других видов систем, использующих ЭВМ в контуре управления. Необходимость разработки новых методов построения моделей диктовалась практическими потребностями в создании систем управления сложными объектами, осуществляющих оптимальное в заданном смысле управление этими объектами, что могло быть обеспечено только путем применения быстродействующих управляющих вычислительных машин. Однако объекты оказались неподготовленными к внедрению оптимального управления на основе вычислительной техники из-за отсутствия их математического описания, их моделей.
Широкое развитие работ по формализации и построению моделей во многих областях науки, техники, производства преследует две основные цели. Первая из них связана со значительным ростом возможностей изучения сложных явлений, процессов, объектов при помощи моделирования, для чего необходима символическая модель, т. е. формализация, математическое описание исследуемого явления, процесса или объекта. Построение математической модели является первым этапом моделирования.
Естественно, что степень\полноты модели, ее соответствие реальному объекту зависят от целей, для которых эта модель используется. Модели первого типа имеют в основном гносеологический характер, от них требуется высокая степень «физичности», их построение тесно связано с методами той конкретной области знаний, для которой они строятся. Модели второго типа, иногда называемые информационными, в основном должны соответствовать целям управления; они могут давать формальное описание, устанавливающее связь между входными и выходными переменными, непосредственно не связанную с «физикой» объекта. Приведенное деление условно, но оно удобно и связано с целями построения модели и моделирования. В первом случае модель связана с процессом познания, с исследованием, с открытием закономерностей, присущих конкретным явлениям и процессам. Во втором случае модель используется для обеспечения заданных значений выходных переменных по информации, полученной с объекта в процессе его функционирования. Здесь модель является неотъемлемой частью системы управления и может рассматриваться как составляющая самого объекта, поскольку объект и система управления представляют собой единое целое.
Не меньшее значение имеют модели, используемые непосредственно в системах управления. Создание таких моделей является второй целью расширения работ по построению моделей объектов управления. В этом случае для управления используются адаптивные системы с идентификатором в цепи обратной связи (АСИ). Устройство, или программа вычислительного комплекса, осуществляющее построение модели и ее периодическое уточнение, называется идентификатором. Построение модели осуществляется по входным и выходным переменным, полученным непосредственно с объекта управления в условиях его функционирования.
По-видимому, одно из важнейших направлений в области идентификации и управления связано с адаптивными системами, содержащими в контуре управления идентификатор – АСИ. Эти системы дают возможность автоматизировать трудоемкий процесс решения задачи идентификации, обеспечить оперативное уточнение характеристик объекта в процессе функционирования объекта, перейти к созданию серийных, типовых систем управления объектами различной физической природы.
Современный этап характеризуется как углублением работ по построению моделей, так и охватом все более широкого круга явлений и процессов. Построение модели можно определить как процесс формализации изучаемого явления (процесса, объекта) с целью описания при помощи какого-либо языка основных закономерностей, присущих этому явлению.
ПОНЯТИЕ ОПЕРАТОРА КАК ОБЩЕЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ
В предыдущем параграфе уже указывалось, что свойства объекта могут быть описаны различными способами. Поскольку мы ограничились здесь рассмотрением задач построения моделей с целью решения задач управления, то в дальнейшем будут применены методы описания, используемые в теории управления, т. е. математическое описание объекта.
Под моделью объекта (математической моделью или математическим описанием объекта управления) будем понимать правило преобразования воздействия на объект X в реакцию объекта Y (рис. 2).
Рис. 1-2. Схема объекта, описываемого функцией f(x).
В простейшем случае модель объекта-оригинала может быть представлена в виде функциональной зависимости между скалярными переменными воздействия X и реакция Y в виде
(1)
В более сложном случае ограничиться моделью (1) не представляется возможным, например, в случае, когда реакция Y зависит от воздействия, которое является функцией X(t). Тогда реакция Y представляет собой функционал, т. е. представляется как закон преобразования функции X(t) в число Y и модель объекта-оригинала может быть представлена в виде (рис. 3)
y=F[x(t)], (2)
где F – закон преобразования, которому нужно подвергнуть функцию X(t), чтобы получить переменную Y.
Рис. 3. Схема объекта, описываемого функционалом F.
Еще более общим является случай, когда и воздействие, и реакция объекта представляют собой функции одного и того же или разных аргументов. Правило преобразования одной функции в другую называют оператором. Оператор представляет собой совокупность математических или логических операций, устанавливающих соответствие между двумя функциями. В этом случае, когда воздействие представляет собой функцию X(s), а реакция – функцию Y(t), модель объекта представляется в виде уравнения (рис. 4)
Рис. 4. Схема объекта, описываемого оператором At.
y(t) = A{x(s), t} или y(t) = At x(s). (3)
В качестве примеров операторов можно указать оператор дифференцирования
(4)
или оператор интегрирования
. (5)
Укажем, что. оператор A называется линейным, если для него выполняется принцип суперпозиции, т. е.
(6)
при любых n, c1, ..., сn и x1(t), ..., xn(t).
Из приведенных представлений видно, что наиболее общим является представление (3), когда оператор представляет собой общую характеристику динамического объекта. При математическом описании динамического объекта как воздействие, так и реакция объекта представляются в виде функций, а характеристики объекта – в виде оператора. Таким образом, под моделью объекта-оригинала в общем случае будем понимать оператор, которым этот объект описывается. В частных случаях модель объекта может быть представлена уравнениями (2) или (1). В дальнейшем при решении задач идентификации мы будем искать описание объекта в виде (1) – (3).
Для линейных одномерных объектов зависимость между реакцией Y(t) и воздействием X(t) может быть задана три помощи:
дифференциального уравнения
; (7)
импульсной переходной (весовой) функции g(t, s)
; (8)
частотной характеристики Ф(t, j)
, (9)
где X(j) – преобразование Лапласа сигнала x(t), т. е.
.
Преобразование Лапласа от х только в этой формуле обозначено буквой X.
В дальнейшем мы будем обозначать большой буквой случайную функцию X, а маленькими–детерминированные функции и, в частности, конкретные реализации случайных функций X.
Эти представления одномерных линейных объектов эквивалентны, и каждое из них является исчерпывающим описанием динамических свойств объектов.
Конкретное выражение оператора At для стационарных одномерных линейных объектов, для которых реакция Y(t) не зависит от момента начала действия возмущения X(t), зависит только от интервала времени между началом действия X(t) и данным моментом и также может быть задано эквивалентными соотношениями (7) – (9), которые в этом случае примут вид:
описания с помощью дифференциального уравнения
; (10)
описания с помощью импульсной переходной функции
, (11)
где согласно условию физической реализуемости системы g()=0 при <0;
описания с помощью частотной характеристики
, (12)
Частотная характеристика линейной стационарной системы связана с ее передаточной функцией Ф(р); последняя может быть получена по частотной характеристике путем замены j на р. Передаточная функция Ф(р) связана с весовой функцией g() преобразованием Лапласа
; (13)
. (14)
Передаточная функция объекта, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением (10), является дробно-рациональной функцией вида
. (15)
В дальнейшем при решении задачи идентификации линейных динамических объектов мы будем определять одну из приведенных характеристик.
При математическом описании объекта с помощью уравнений (1) –(3) предполагается, что возмущение X(t) и реакция Y(t) представляют собой детерминированные сигналы и, кроме того, сам объект также является детерминированным, т. е, между X(t) и Y(t) существует однозначная функциональная зависимость. В практических случаях часто эти условия не выполняются, возмущения X(t) и реакции Y(t) являются случайными, а объект или исследуемый процесс являются стохастическими. В этом случае математическое описание объекта должно быть стохастическим, т. е. сигналы X(t) и Y(t) рассматриваются как случайные функции неслучайных аргументов t и природа оператора At также случайна.
В случае детерминированного безынерционного объекта, когда возмущение и реакция могут рассматриваться как случайные величины X и Y соответственно, математическая модель, описывающая объект, дается в виде условного математического ожидания Y относительно X, т. е. вместо уравнения. (1) объект описывается уравнением в виде
, (16)
где – условное математическое ожидание Y относительно х, a f1 – неслучайный закон преобразования. Например, для усилительного элемента, на входе которого действует случайная величина X, конкретное выражение (16) будет иметь вид:
; (17)
для квадратора
; (18)
В (17) и (18) коэффициенты k и а являются постоянными, неслучайными величинами.
Для детерминированных динамических объектов вместо (3), если Y(t) и X(s) являются случайными функциями, модель объекта представляется в виде условного математического ожидания Y(t) относительно всей совокупности значений воздействия X(s) для всех значений s в области Т, т. е.
для непрерывного объекта
; (19)
в дискретном случае при разбиении области Т на n подобластей
. (20)
Тогда для линейной модели объекта, представленной весовой функцией, уравнение (8) примет вид:
, (21)
для стационарной линейной модели уравнение (11) перепишется следующим образом:
, (22)
а в дискретном случае
(23)
Для детерминированных объектов функции g(t,s), g() и коэффициенты аi являются неслучайными.
Для стохастических объектов оператор At является случайным, т. е. например, коэффициенты линейного дифференциального уравнения (7) или (10), весовые функции в уравнениях (8) и (11) и т. д. являются случайными. Например, в случае безынерционного объекта коэффициенты в уравнениях (17) и (18) для стохастических объектов также являются случайными.
Из приведенных определений намечаются различные подходы к описанию объектов: детерминированный, когда воздействие, объект и реакция представляются детерминированными, и стохастический, когда воздействие, объект и реакция представляются случайными. При этом следует заметить, что и случае, когда хотя бы одна из трех характеристик X(t), At или Y(t) представляет собой случайную функцию, построение модели может быть осуществлено только вероятностными методами.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Приведем здесь некоторые постановки задачи идентификации в зависимости от априорной информации и класса объектов. При этом мы будем исходить из статической постановки задачи идентификации, считая, что воздействие (входная переменная) X(t) и реакция (выходная переменная) Y(t) представляют собой случайные функции или случайные величины. Это связано не с удобством такого рассмотрения, а, как мы увидим ниже, вытекает из того, что природа этих переменных случайная и сам идентифицируемый объект также является случайным.
Рис. 5. Схема процесса идентификации.
Пусть для одномерного объекта, характеристикой которого является оператор At [см. рис. 5 и уравнение (3)], могут быть измерены случайные функции входа X(t) и выхода Y(t). Тогда задача идентификации сводится к определению оператора At по результатам измерения входной и выходной случайных функций. Точнее, ставится задача определения не самого оператора Аи а его оценки At*. Например, оценка коэффициентов в дифференциальных уравнениях (7) или (10), оценка весовой функции в (8) или (11), частотной характеристики в (9) или (12) по результатам измерений X(t) и Y(t). Оценка оператора At* используется в качестве характеристики неизвестного оператора At. Разумно потребовать близость оценки оператора At* к истинному значению оператора At в смысле некоторого критерия, т. е. должно быть выполнено требование близости случайных функций Y*(t) – выхода модели [Л. 161]
y*(t)=At*x(s) (24)
к случайной функции Y(t), являющейся выходной переменной объекта.
Для решения задачи вводится функция . которая зависит от Y(t) и Y*(t) и не зависит от оператора At.
Выбор этой функции зависит от принятого критерия оптимальности. Функция обычно называется функцией потерь. Для решения поставленной задачи на математическое ожидание этой функции накладывается требование минимума
, (25)
и в этом смысле понимается близость оценки At* к истинному значению оператора At. Математическое ожидание от функции потерь обычно называют средним риском, а критерий оптимальности (25) – критерием минимума среднего риска [Л. 205]. Соотношение (25) будет выполнено, если потребовать минимум математического ожидания функции при заданной реализации случайной функции x(s), т. е.
. (26)
Условие минимума соотношения (25) имеет вид:
. (27)
При идентификации объектов управления в большинстве практических случаев ищется оптимальный оператор по критерию минимума среднего квадрата ошибки, т. е. принимают:
. (28)
Тогда из условия (26) получим следующее уравнение для определения оптимальной в смысле минимума среднего квадрата ошибки оценки оператора At:
. (1 -29)
Из уравнения (29) видно, что оператор условного математического ожидания, т. е. регрессия выходной переменной Y(t) относительно входной X(t), дает оптимальный в смысле критерия (28) оператор объекта в классе всех возможных операторов.
Если ограничиться линейным описанием объекта, т. е. оптимальный оператор искать в классе линейных операторов, то из (29) путем умножения на входную случайную функцию получим:
.
Применение операции математического ожидания к обеим частям последнего равенства дает:
(30)
Поскольку A*t ищется в классе линейных операторов, то оператор математического ожидания М коммутативен с оператором A*t при самых общих предположениях. Тогда из (30) получим следующее уравнение для определения оптимальной оценки оператора At в классе линейных, операторов по критерию минимума среднего квадрата ошибки:
. (31)
Если, не ограничивая общности, предположить, что математические ожидания случайных функций входа X(t) и выхода Y(t) равны нулю, т. е. M{X(t)}=0 и M{Y(t)}=0, то (31) может быть записано в виде
(32)
или весовая функция g(t, s) объекта определяется из следующего интегрального уравнения:
, (33)
где Kxx(s, v) – автокорреляционная функция случайной функции X(t); Kyx(t, v) – взаимная корреляционная функция случайных функций Y(t) и X(t); Т – интервал времени наблюдения.
Таким образом, оптимальная оценка весовой функции по критерию минимума среднего квадрата ошибки определена соотношениями (32) или (33) для модели линейного объекта, описываемого уравнением (7).
В частном случае, когда случайные функции Y(t) и X(t) являются стационарными и стационарно связанными, оптимальная оценка оператора определяется из уравнения
, (1-34)
а весовая функция (при бесконечном интервале наблюдения) из интегрального уравнения Винера – Хопфа
(35)
Модель объекта в этом случае дается уравнением (11). Общей характеристикой многомерного объекта является оператор At, устанавливающий соответствие между векторными случайными функциями Y(t) и X(s). По результатам измерения X(s) и Y(t) определяется оценка A*t оператора At. При этом накладывается требование близости оценки A*t истинному значению At в смысле какого-либо критерия, т. е. должно быть выполнено требование близости векторной случайной функции на выходе модели Y*(t)
(36)
к векторной выходной переменной объекта Y(t) (рис. 6).
Рис. 6. Схема идентификации многомерного объекта.
Для определения оптимального оператора по критерию минимума среднего квадрата ошибки в этом случае функция потерь принимает вид:
, (37)
где веса i определяются значимостью каждой из выходных переменных yi(t), (i = 1, 2, ..., m).
Для выполнения условия (36) достаточно, чтобы
, (38)
т. е. достаточно минимума математического ожидания функции при фиксированных реализациях случайных функций x1(t), ..., xn(t).
Оптимальную оценку оператора At по критерию минимума среднего квадрата ошибки получим из множественной регрессии рассматриваемой выходной переменной Yi(t) относительно всей совокупности входных переменных X1(s), ..., Xn(s) для всех аргументов s в области Т:
. (39)
Соотношение (39) дает возможность получить наилучшую в смысле минимума среднего квадрата ошибки оценку оператора At для любого числа входных пе ременных в классе всех возможных операторов.
Если ограничиться классом линейных операторов, то для определения оптимальных оценок At по критерию минимума среднего квадрата ошибки получим из (39) систему уравнений, включающих автокорреляционные и взаимные корреляционные функции рассматриваемых переменных. Для весовых функций система уравнений примет вид:
(40)
где – автокорреляционные, а и – взаимные корреляционные функции соответствующих входных и выходных переменных. Из (40) можно получить си стему уравнений для случая, когда Y(t) и X1(s), ..., Xn(s) являются стационарными и стационарно связанными случайными функциями (см. гл. 3).
Рассмотренная задача идентификации может быть обобщена на объекты с распределенными параметрами. Пусть на входе объекта действует векторная случайная функция X(s) [X1(s), ..., Xi(s), ..., Xn(s)], состояние объекта характеризуется векторным случайным полем , а на выходе объекта имеем векторную случайную функцию Y(t) [Y1(t), ..., Yj(t), ..., Ym(t)].
Литература
Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 2005
Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования.— 2-е изд., перераб. и доп. Киев, Издательство Выща школа Головное издательство, 2014
Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.
Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 64 с. - ISBN 5-9221-0534-5.
Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В. А. Бесекерского. - M.: Наука, 2013.
f(x)
X
Y
F[x(t)]
X(t)
At x(s)
X(s)
y(t)
At
At*
X(s)
y(t)
y*(t)
At
X1(s)
y1(t)
y*(t)
At*
y(t)
ym(t)
y*1(t)
y*m(t)
Xn(s)
РОЛЬ ИДЕНТИФИКАЦИИ В УПРАВЛЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИМИ И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ