Методика работы с сюжетной задачей в курсе алгебры

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Алтайский государственный педагогический университет»

ФГБОУ ВО «АлтГПУ»

Кафедра алгебры и методики обучения математике

Курсовая работа

по теме

«Методика работы с сюжетной задачей в курсе алгебры»

Выполнила: студентка

группы з321м

Савушкина Мария Владимировна

_____________________________

(подпись)

Научный руководитель:

Доктор педагогических наук,

профессор Брейтигам Э. К.

____________________________

(подпись)

Дата защиты: ______________

Оценка: ___________________

Барнаул, 2015

Содержание:

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Глава 1. Научно методические основы организации обучения решению текстовых задач в основной школе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

  1. Понятие текстовой задачи. Роль и место текстовых задач в курсе алгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
    1. Типология сюжетных задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
    2. Этапы обучения и методы решения текстовых задач. . . . . . .10

Вывод по Главе 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Глава 2. Методика работы с сюжетной задачей на конкретных примерах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1. Краткий обзор текстовых задач в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой для 7- 9 классов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

2.2. Примеры сюжетных задач для решения в учебниках алгебры 7-9 классов Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Вывод по Главе 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Введение

Текстовые задачи - один из основных разделов школьного курса математики, прежде всего потому, что это единственная тема школьного курса, иллюстрирующая приложение математических методов. В курсе физики учащиеся тоже сталкиваются с задачами, но там систематическое решение начинается в 9 классе, в то время как в курсе математики задачи решают, начиная с начальной школы. Еще одним отличием является то, что в курсе физики строятся математические модели физических процессов, а в курсе математики строятся математические модели бытовых задач.

Так же текстовые задачи имеют большую роль не только в математическом образовании, но и в общем психологическом и личностном развитии учащихся. Ведь полноценное достижение целей математического образования возможно лишь с помощью решения системы учебных задач.

Например:

  • овладение конкретным математическим материалом, необходимым в практической деятельности человека, которое достигается обучением математике через решение задач;
  • формирование представлений об идеях и методах математики как способах познания окружающего мира, которое достигается составлением математической модели ситуации, описанной на естественном языке;
  • развитие посредством математики определенного стиля мышления, которое достигается составлением математической модели ситуации описанной на естественном языке, а также при непосредственном решение;
  • воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, которое достигается при решении задач.

Задача, в которой зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называется текстовой.

Если в текстовой задаче речь идет о реальных объектах, процессах, связях и отношениях, то задача называется сюжетной. Реальные процессы – это движение, работа, покупки, смеси, сплавы и т.д.

Цель работы состоит в изучении методики обучению сюжетных задач в курсе алгебры в основной школе.

Объектом исследования является процесс обучения математике в 7 – 9 классах.

Предмет: методика обучения решению сюжетных задач в курсе алгебры 7 - 9 классов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

  • Изучить учебно-методическую литературу по данной теме.
  • Определить роль и место сюжетных задач в курсе алгебры.
  • Выявить типологию сюжетных задач.
  • Проанализировать этапы обучения и методы решения сюжетных задач.
  • Рассмотреть методику работы над сюжетной задачей в курсе алгебры 7 - 9 классов на примере конкретных задач.

Курсовая работа включает в себя введение, две главы, заключение, список используемой литературы.

В первой главе приводятся методические основы организации обучения решению сюжетных задач. Глава состоит из трех параграфов. В первом рассматривается понятие текстовой задачи и роль и место текстовых задач в курсе алгебры. Во втором параграфе рассматривается типология текстовых задач. В третьем параграфе рассматриваются этапы и методы решения текстовых задач.

Во второй главе рассматривается методика работы с сюжетными задачами на конкретных примерах. Глава состоит из двух параграфов: краткого обзора сюжетных задач в учебниках алгебры Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой для 7 – 9 классов и системы сюжетных задач для решения в этих же учебниках.

Глава 1. Научно методические основы организации обучения решению сюжетных задач в основной школе

  1. 1. Понятие сюжетной задачи. Роль и место сюжетных задач в курсе алгебры.

текстовая задача алгебра школа

Понятие «задача» (от греч. Problema) является одним из важнейших понятий в психолого-педагогических, естественно-метематических и методических науках. Значительный вклад в развитие методического обеспечения по введению данного понятия внесли Н.Г. Алексеев, Г.А. Балл, Л.Л. Гурова, В.В. Давыдов, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, Л.М. Фридман, А.А. Столяр, П.М. Эрдниев и др. Однако на сегодняшний день нет единого подхода к определению термина «сюжетная задача».

При определении понятия «сюжетная задача» в методической литературе особое внимание уделяется тому аспекту понятия «задача», который определяет задачу как множество, состоящее из взаимосвязанных через некоторые свойства и отношения элементов. Однако и в этом случае можно говорить об отсутствии единого подхода к определению рассматриваемого понятия.

Приведем некоторые из них:

  1. Математическая задача – это связный рассказ, в который введены значения некоторых величин, и предлагается отыскать другие известные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии (А.А Свечников).
  2. Под сюжетной задачей понимают задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характеристик или значений (Л.П. Фридман).
  3. Задача подразумевает такую жизненную ситуацию, которая связана с числами и требует выполнения арифметических действий над ними. (М.А. Бантова)
  4. Текстовой задачей называется описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значения других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий (Т.Е. Демидова, А.П. Тонких).
  5. Сюжетной задачей называется требование найти (установить, определить!) какие-нибудь характеристики некоторого объекта по известным другим его характеристикам (Л.П. Фридман).
  6. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (И.Н Моро).
  7. Задача представляет собой непустое множество элементов, на котором определено заранее данное отношение (О.Б. Епишева, В.И. Крупич).

Таким образом, в современной методической литературе под сюжетной задачей понимают:

1. Текст, в котором обрисована некая житейская ситуация (А.В. Белошистая, А.А. Свечников, А.А. Столяр, В.А. Дрозд)

2. Математическую задачу, в которой описан некоторый жизненный сюжет (Л.П. Фридман).

3. Жизненную ситуацию (Т.Е. Демидова, А.П. Тонких, Л.П. Стойлова, А.М. Пышкало, М.А. Бантова).

4. Систему данных и искомых (Г.Т. Зайцев [24])

5. Требование (И.И. Ильясов, И.Н. Моро, Л.П. Фридман).

6. Непустое множество элементов (О.Б. Епишева, В.И. Крупич, Ю.М. Колягин).

В данной работе будем придерживаться определения сюжетной задачи, данного Л. М. Фридманом:

сюжетные задачи - это задачи, в которых описан некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) с целью нахождения определенных количественных характеристик или значений.

Любая сюжетная задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требование задачи – это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.

Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на её вопрос).

Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия:

решением задачи называют результат, т.е. ответ на требование задачи;

решением задачи называют процесс нахождения этот результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения до окончания решения;

решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

В истории использования задач в обучении математике можно выделить следующие этапы:

  1. изучение математики с целью обучения решению задач;
  2. обучение математике, сопровождаемое решением задач;
  3. обучение математике через решение задач.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и сами задачи. Если ранее требование задачи выражалось словами: «найти», «построить»; «вычислить», «доказать», то теперь - «объяснить», «выбрать из различных способов решения оптимальный», «выделить все эвристики, используемые при решении задачи», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д. Среди функций задач важное место занимает функция управления математической деятельностью школьника и, в частности, его развитием. Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления, является решение задач.

Вообще, чтобы научиться решать задачи, надо их решать, причем решать различные задачи и по-разному (то есть разными способами), анализировать решения, сравнивать, находить преимущества и недостатки в каждом конкретном случае. Но, в то же время, умение решать задачи не находится в прямой зависимости от числа решенных задач, поэтому в психолого-педагогических и методических исследованиях отдается предпочтение приемам формирования общих подходов к задаче как к объекту изучения, ее анализу и поиску ее решений.

  1. 2. Типология сюжетных задач

В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы сюжетных задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т.п. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (т. е. разделить на группы по выбранному основанию):

  • по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;
  • по соответствию числа данных и искомых;
  • по фабуле задачи;
  • по способам решения и др.

Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.

Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, неопределенные и переопределенные задачи. Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет.

Определенные задачи — это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.

Задачи с альтернативным условием — это задачи, в ходе решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов условия, а ответ находится после того, как все эти возможности будут исследованы.

Неопределенные задачи — задачи, в которых условий недостаточно для получения однозначного ответа.

Переопределенные задачи — задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.

Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы текстовых задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т.п. Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задач бывает порой очень разнообразной.

  1. 3. Этапы обучения и методы решения текстовых задач

Процесс обучения решению математических текстовых задач в общеобразовательной школе можно условно разбить на следующие этапы:

  1. Пропедевтический этап 1-4 классы
  2. Эмпирический этап 5-6 классы
  3. Систематический этап 7-9 классы
  4. Творческий этап 10-11 классы.
  • Пропедевтический этап.

На пропедевтическом этапе к концу 3, 4-го класса ученики должны иметь представление:

  • об отличительных признаках текстовой математической задачи;
  • о различных способах оформления краткой записи задачи;
  • о различных способах оформления решения задачи;
  • о рациональном и нерациональном способах решения задачи;
  • об алгебраическом методе решении задачи;
  • о возможности классификации задач по сходству их математического смысла.

Знать:

  • составляющие элементы задач - условие, вопрос, данные, искомое.

Уметь:

  • определить является ли текст задачей;
  • выделить элементы задачи;
  • дополнить текст недостающими элементами, превратив его в задачу;
  • установить соответствие задач, данных в разной формулировке, заменить сложную формулировку более простой;
  • проанализировать текст задачи, начиная с вопроса, установить количество действий, необходимых для её решения, порядок действий и сами действия;
  • записать решение задачи по действиям с вопросами или пояснениями, а также сложным выражением.
  • Эмпирический этап

Решение текстовых задач традиционно является одним из основных видов учебной деятельности в 5-6 классах. На этом этапе у школьников развиваются логическое мышление, элементарные навыки абстрагирования, математическое моделирование.

К концу 6 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

  • задачи, требующие понимания смысла отношений «больше на …(в…)», «меньше на…(в…)», а также задачи на известные учащимся зависимости между величинами (скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью товара и другие),
  • задачи, решаемые алгебраическим методом,
  • задачи с использованием метода пропорций,
  • три вида задач на проценты: находить несколько процентов от какой-либо величины; находить число, если известно несколько его процентов; находить, сколько процентов одно число составляет от другого.
  • Систематический этап

К концу 9 класса ученики должны уметь решать следующие задачи, предусмотренные программой:

  • задачи «на части, смеси, проценты»;
  • задачи на движение:
  • задачи на встречное движение двух тел;
  • задачи на движение двух тел в одном направлении (движение начинается одновременно из разных пунктов, движение начинается в разное время из одного пункта);
  • задачи на движение двух тел в противоположных направлениях;
  • задачи на движение по реке.
  • задачи, связанных с различными процессами (работа, наполнение бассейнов и другие), с использованием арифметического метода, алгебраического метода, а также некоторых специальных методов, например, геометрического.
  • Творческий этап

Высшая ступень продуктивного мышления – творческое мышление. Существуют показатели, по которым судят о творческом мышлении. К ним относятся оригинальность мысли, возможность получения ответов, быстрота возникновения необычных ассоциативных связей; «восприимчивость» к проблеме, её непривычное решение; беглость мысли как количество ассоциаций, идей, возникающих в единицу времени в соответствии с некоторым требованием; способность найти новые, непривычные функции ответа или его части. В творческом мышлении появляется способность к постановке проблем, чувствительность к недостаткам в имеющихся знаниях, возможность построения гипотез об отсутствующих элементах этих знаний и

тому подобное.

Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что продуктивное мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков.

Методы решения сюжетных задач в основной школе:

  • Арифметический метод

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи.

  • Алгебраический метод

Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении задач (всех или по крайней мере достаточно широкого круга). Его отличие от арифметического метода прежде всего состоит в введении неизвестной величины и её специального обозначения.

  • Графический метод решения текстовых задач.

Большинство алгебраических задач можно решить с помощью разных графиков, схем, диаграмм. Геометрический метод решения задач базируется на основных понятиях планиметрии (точка, отрезок, длина, площадь, треугольник, прямоугольник и другие), а также свойствах плоских фигур и графиков элементарных функций. Математическая модель в этом случае представляет собой либо диаграмму, либо график.

Диаграмма – это чертёж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравнимых величин. Она служит не только для изображения величин, но и для показа соотношений между ними.

График – это множество точек (обычно некоторая линия, реже – конечное множество), координатной плоскости. График используется для изображения связи между двумя величинами, из которых одна является аргументом, а другая – функцией. Каждое значение аргумента является абсциссой некоторой точки графика, а соответствующее значение функции – ординатой той же точки. Для решения конкретной задачи используется один или несколько графиков на одном чертеже.

Решение задач геометрическим методом осуществляется двумя приёмами: конструктивным (чисто графическим) и вычислительным (графико – вычислительным). В каждом из них используется различные способы решения задач.

  • Нестандартные способы решения текстовых задач:
  • переформулировка задачи.
  • «лишние» неизвестные.
  • использование делимости
  • решение задач в общем виде.

Рассмотрим более подробно алгебраический метод решения задач.

При алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.

Составление уравнения отличается от арифметического метода не только введением буквенных обозначений неизвестной величины, но и установление зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки формул, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и чаще неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции «X», позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи.

В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

• осмысление текста задачи и анализ её содержания;

• осуществление поиска решения и составление плана решения;

• реализация плана решения;

• анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи (иногда говорят краткой модели) текста задачи.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации, причем в качестве такой модели может служить формула, уравнение, система уравнений, график и т. п.

Третий этап работы с задачей предполагает исследование построенной математической модели, интерпретацию результата исследования математической модели в заданную ситуацию, запись ответа.

На четвертом этапе работы с задачей можно предложить другие варианты решения.

Пример.

Из двух пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью первый турист прибывает в В через 1 ч З6 мин., а второй в А – через 2 ч З0 мин после встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

Решение задачи:

1 этап. Осмысление текста задачи.

• О каком процессе идет речь в задаче? – О равномерном прямолинейном движении навстречу друг другу.

• Какие величины характеризуют этот процесс? – v, t, S.

• Как они связаны между собой? – S = vt.

Выполним краткую запись условия задачи в виде чертежа:

А

V1

2 км

С V2

В

t1 = 2,5 ч

t2 = 1,6 ч

S - ?

• Что требуется определить в задаче? – Расстояние АВ и скорости туристов.

• Какие данные задачи помогут нам это сделать? – АВ = АС + СВ, АВ >СВ на 2км. По условию задачи расстояние СВ первый турист пройдёт за 1,6 часа, а расстояние СА – второй за 2,5 часа.

2 этап. Осуществление поиска решения и составление плана.

Естественно,

Проверка

расстояние СВ принять за х (км),

8 км

тогда расстояние АС = (х+2) (км),

10 км

скорость 1-го туриста = х /1,6 (км/ч),

5 км/ч

скорость 2-го туриста = (х+2)/2,5 (км/ч),

4 км/ч

время 1-го туриста до встречи = (х+2)·1,6/х (ч),

2 ч

время 2-го туриста до встречи = 2,5х/ (х+2) (ч).

2 ч

Так как до встречи оба туриста находились в пути одно и то же время, то это и является основанием для составления уравнения, таким образом математической моделью ситуации является уравнение: 1,6(х +2)/х = 2,5 х/(х+2), х 0, х -2.

3 этап. Реализация плана решения – исследование построенной модели.

После преобразований данное уравнение примет вид: (х+2)2 1,6 = 2,5 х2; или 9х2 – 64х – 64 = 0, откуда х1= 8, х2= – 8/9. Интерпретация результата: х2 не удовлетворяет условию задачи, так как расстояние не может быть отрицательным. СВ = 8 км; АС = 10 км; АВ = 18 км; v1 = 8/1,6; v1 = 5км/ч; v2 = 10/2,5; v2 = 4 км/ч.

4 этап. Анализ найденного решения, поиск других способов решения.

Прежде всего, необходимо сделать проверку. Проверка делается либо по условию задачи, либо задача решается другим способом, либо составлением новой задачи. Проверка по условию задачи показана выше. Рассмотрим один из вариантов составления новой задачи:

Из двух пунктов, расстояние между которыми 18км навстречу друг другу выходят два туриста. Скорость 1-го – 5 км/ч, скорость 2-го – 4км/ч. Сколько времени потребуется каждому туристу, чтобы преодолеть расстояние после встречи, если первый до встречи прошел на 2км больше?

1) 18 - 2 = 16 (км) – прошли бы оба туриста, если бы до встречи их путь был одинаковым (как у 2-го);

2) 16 : 2 = 8 (км) – прошел второй до встречи;

3) 18 - 8 = 10 (км) – прошел первый до встречи;

4) 8 : 5 = 1,6 (ч) – время 1-го после встречи;

5) 10 : 4 = 2,5 (ч) – время 2-го после встречи.

Вывод по первой главе.

Роль задач при обучении математики чрезвычайно велика. В процессе обучения математике они имеют большое и многостороннее значение. Они могут служить многим конкретным целям обучения, выполнять разнообразные дидактические функции.

Предварение изучения математической теории постановкой задач предоставляет учителю благоприятные возможности для использования на уроках элементов проблемного обучения. Такие задачи могут служить не только средством введения новых понятий и методов, обоснования полезности изучения программного материала. Их использование обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, учить учеников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению существенных свойств математических объектов, формирует интерес к предмету.

Глава 2. Методика работы с сюжетной задачей на конкретных примерах.

2.1. Краткий обзор текстовых задач в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой для 7- 9 классов.

Рассмотрим в данном параграфе, какое место занимают текстовые задачи в учебниках Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой для 7- 9 классов.

Учебники Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой входят в федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях, на 2014/2015 учебный год.

  • Алгебра 7 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Сюжетные задачи встречаются в темах «Выражения с переменными», «Решение задач с помощью уравнений», «Произведение многочленов», «Разложение разности квадратов на многочленов», «Решение задач с помощью систем уравнений»

По планированию на темы: «Решение задач с помощью уравнений» и «Решение задач с помощью систем уравнений» отводится по 2 часа. В теме «Решение задач с помощью уравнений» приводится два примера решения задач, и 17 задач в качестве упражнений, задачи приблизительно одного уровня сложности. Решение всех задач сводится к решению линейного уравнения. В теме «Решение задач с помощью систем уравнений» приводиться 2 разобранные задачи и 21 задача в качестве упражнений, все задачи приблизительно одного уровня сложности. Все задачи решаются с помощью системы из 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

  • Алгебра 8 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

В данном учебнике сюжетные задачи встречаются в темах: «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», «Решение задач с помощью квадратных уравнений», «Решение задач с помощью рациональных уравнений», «Решение неравенств с одной переменной», «Вычисления с приближенными данными на калькуляторе».

По планированию на темы: «Решение задач с помощью квадратных уравнений», «Решение задач с помощью рациональных уравнений» отводится 2 и 3 часа соответственно. В теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений» приводиться два примера решения задач и 13 задач приблизительно одного уровня сложности в качестве упражнений. Задачи решаются с помощью составления квадратного уравнения. В теме «Решение задач с помощью рациональных уравнений» приводится один пример решения задачи и 14 задач в качестве упражнений, все задачи приблизительно одного уровня сложности. Задачи, приведенные в этой главе, решаются с помощью дробно-рациональных уравнений.

  • Алгебра 9 Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.

В данном учебнике сюжетные задачи встречаются в темах: «Квадратный трехчлен и его корни», «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени»

По планированию на тему: «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени» отводится 4 часа. В ней приводится один пример решения задачи и 18 задач в качестве упражнений, все задачи приблизительно одного уровня сложности. Решение задач сводиться к решению системы из 2 уравнений 2-ой степени с 2-мя неизвестными.

2.2. Примеры сюжетных задач для решения в учебниках алгебры 7-9 классов Ю. Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой

Тема «Решение задач с помощью линейных уравнений» (7 класс)

Умение применять уравнения является очень важным, но надо стремиться формировать его с опорой на умение рассуждать, ставить вопросы, отвечать на них, проверять правильность полученного ответа, то есть на умения, полученные при работе с арифметическими методами решения задач.

№165, стр. 31

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Прочтите условие задачи №165, стр. 31.

I этап. Осмысление текста задачи.

О каком процессе идет речь?

Какие величины характеризуют этот процесс?

Как связаны между собой эти величины?

Как находится скорость при движении по течению реки?

Как находится скорость при движении против течения реки?

Выполним краткую запись условия в виде чертежа.

Учащиеся читают условие:

За 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Учащиеся отвечают на вопросы:

Движение по реке по и против течения.

Скорость теплохода vт, скорость течения v0, время, расстояние.

S = vt

К собственной скорости прибавляется скорость течения.

От собственной скорости отнимается скорость течения.

Один ученик чертит на доске, остальные в тетрадях:

v1=vт+v0 t1 = 9 ч

t2 = 11ч v2=vт - v0

А

В

v0 =2 км/ч

S

Что требуется определить в задаче?

Какие данные задачи помогут нам это сделать?

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана.

Какую величину примем за неизвестную?

Чему будет равна скорость движения теплохода по течению реки, чему – против течения?

Какое расстояние проходит теплоход по течению и против течения?

Так как теплоход проходит одно и то же расстояние в обе стороны, то это и является основанием для составления уравнения.

III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели.

Решим полученное уравнение.

Чему равна собственная скорость теплохода?

Исследование в данной задаче не нужно.

IV этап. Анализ найденного решения.

Выполним проверку.

Является ли данный способ решения задачи рациональным?

Запишем ответ задачи.

Собственную скорость теплохода.

АВ = S = v1t1 = v2t2. По условию задачи, теплоход проходит одно и то же расстояние по течению за 9 часов, а против течения – за 11 часов.

Собственную скорость теплохода.

Записывают в тетради:

Пусть собственная скорость теплохода х км/ч. Тогда скорость теплохода по течению составит (х + 2) км/ч, а против течения – (х -2) км/ч.

Отвечают: Одно и то же.

Записывают:

По условию задачи, за 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Получаем уравнение:

(х + 2)*9 = (х – 2)*11.

Записывают в тетрадях и на доске решение уравнения:

9х + 18 = 11х – 22,

9х – 11х = -22 -18,

-2х = -40,

х = 20.

Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч.

Подставляют в уравнение полученное значение:

(20+2)*9 = (20-2)*11,

22*9 = 18*11,

198 = 198.

Да.

Записывают:

Ответ: собственная скорость теплохода равна 20 км/ч.

Тема «Решение задач с помощью систем уравнений» (7 класс).

Если применять уравнения учащиеся учатся с 5-6-го класса (иногда и с начальной школы), то первый опыт применения систем уравнений они получают только в 7-м классе. С этого времени у них формируется стереотипное представление об этом приеме решения задач: надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними.

На первых порах с помощью системы учащиеся решают задачи, которые можно решить и без системы, поэтому они могут давать не тот способ решения, на который рассчитывает учитель. Не надо отказываться от таких решений, а надо использовать их для сопоставления двух способов решения задачи — это помогает глубже понять каждый из них.

№1178, стр. 194

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Прочтите условие задачи № 1178 на стр. 194.

I этап. Осмысление текста задачи.

О каком процессе идет речь?

Какие величины характеризуют этот процесс?

Как связаны между собой эти величины?

Как находится скорость при движении по течению реки?

Как находится скорость при движении против течения реки?

Что требуется определить в задаче?

Какие данные задачи помогут нам это сделать?

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана.

Сколько величин неизвестно?

Какую величину примем за х?

Тогда что примем за у?

Чему тогда равна скорость движения лодки по течению и против течения?

Так как лодка проходит одно и то же расстояние в обе стороны, то это и является основанием для составления первого уравнения.

Что еще известно о движении лодки по течению реки?

Это будет основанием для составления второго уравнения.

Что необходимо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?

III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели.

Решим полученную систему.

Какая величина принята за у?

Тогда чему будет равна собственная скорость лодки, выраженная через х?

IV этап. Анализ найденного решения.

Выполним проверку.

Является ли данный способ решения задачи рациональным?

Запишем ответ задачи.

Читают условие:

Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь за 5 часов. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 часа?

Отвечают на вопросы:

Движение по реке по и против течения.

Скорость лодки vл, скорость течения v0, время, расстояние.

S = vt

К собственной скорости прибавляется скорость течения.

От собственной скорости отнимается скорость течения.

Собственную скорость лодки.

АВ = S = v1t1 = v2t2. По условию задачи, теплоход проходит одно и то же расстояние по течению за 4 часов, а против течения – за 5 часов. Также известно, что 70 км по течению лодка проходит за 3,5 часа.

Две: собственная скорость лодки и скорость течения реки.

Собственную скорость лодки.

Скорость течения реки.

Записывают в тетради:

Пусть собственная скорость лодки - х км/ч, а скорость течения – у км/ч. Тогда скорость теплохода по течению составит (х + у) км/ч, а против течения – (х -у) км/ч.

По условию задачи, за 4 часа по течению реки лодка проходит тот же путь, что за 5 часов против течения. Получаем первое уравнение:

(х + у)*4 = (х – у)*5

По условию задачи, лодка проходит 70 км по течению реки за 3,5 часа.

Получаем второе уравнение:

(х + у)*3,5 = 70

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения х и у, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:

(х + у)*4 = (х – у)*5

(х + у)*3,5 = 70

Записывают в тетради и не доске решение системы:

(х + у)*4 = (х – у)*5

х + у = 20

(х + у)*4 = (х – у)*5

х = 20 - у

(20 – у + у)*4 = (20 – у – у)*5

80 = (20 – 2у)*5

80 = 100 – 10у

10у = 100 – 80

10у = 20

у = 2

Скорость течения. Следовательно, скорость течения равна 2 км/ч.

х = 20 – 2

х = 18

Собственная скорость лодки равна 18 км/ч.

Подставляют в систему уравнений полученные значения переменных:

(18 + 2)*4 = (18 – 2)*5

(18 +2)*3,5 = 70

80 = 80

70 = 70

Да, является.

Записывают ответ:

Ответ: собственная скорость лодки равна 18 км/ч.

Тема «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений» (8 класс).

Задачи, приводящие к решению дробных рациональных уравнений, - это задачи, в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения. Чаще всего это задачи на движение и на работу. Удобно решать такие задачи с помощью таблиц, составленных по условию.

№612, стр. 131.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Прочтите условие задачи №612 на стр. 131.

I этап. Осмысление текста задачи.

О каком процессе идет речь?

Какие величины характеризуют этот процесс?

Как связаны между собой эти величины?

Как находится скорость при движении по течению реки?

Как находится скорость при движении против течения реки?

Что требуется определить в задаче?

Выполним краткую запись условия в виде таблицы.

Читают условие задачи:

Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По течению реки она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?

Отвечают на вопросы:

Движение по реке по и против течения.

Скорость лодки vл, скорость течения v0, время, расстояние.

S = v*t

t = S/v

К собственной скорости прибавляется скорость течения.

От собственной скорости отнимается скорость течения.

Скорость течения реки. Примем ее за х.

Чертят и заполняют таблицу:

Скорость

расстояние

время

По течению

(15 + х) км/ч

35

t1=35/(15 + х)

Против течения

(15 – х) км/ч

25

t2=25/(15 – х)

t1= t2

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана.

С помощью таблицы выведем соотношение, данное в задаче.

Так как лодка тратит одно и то же время в обе стороны, то это и является основанием для составления уравнения. Запишем его.

III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели.

Решим полученное дробное рациональное уравнение.

Удовлетворяет ли найденное значение условию задачи?

Не обращает ли это значение в нуль знаменатель полученного уравнения?

Значит, чему равна скорость течения реки?

IV этап. Анализ найденного решения.

Выполним проверку.

Запишем ответ.

Записывают уравнение:

35/(15 + х) = 25/(15 – х)

Записывают в тетрадях решение уравнения:

35(15–х)/(15+х)(15–х) =

= 25(15+х)/(15+х)(15-х)

35(15-х) = 25(15+х)

525-35х = 375+25х

-35х-25х = 375-525

-60х = -150

х = 2,5

Да, удовлетворяет.

Нет.

Скорость течения равна 2,5 км/ч.

Подставляют в уравнение полученное значение:

35/(15+2,5) = 25/(15-2,5)

35/17,5 = 25/12,5

2 = 2

Записывают ответ:

Ответ: скорость течения равна 2,5 км/ч.

Тема «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени» (9 класс)

В данной теме также встречаются сюжетные задачи на движение и работу. Решение задач сводится к решению систем уравнений второй степени с двумя неизвестными. Рассмотрим задачу на работу.

№ 280, стр. 75.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Причтите условие задачи №280 на стр. 75.

I этап. Осмысление текста задачи.

О каком процессе идет речь?

Какие величины характеризуют этот процесс?

Как связаны между собой эти величины?

Если не задан объем работы, то за что мы его принимаем?

Что требуется определить в задаче?

Какие данные задачи помогут нам это сделать?

II этап. Осуществление поиска решения и составление плана.

Сколько величин неизвестно?

Какую величину примем за х?

Тогда что примем за у?

Так как время I комбайнера меньше времени II комбайнера на 24 ч, то это и является основанием для составления первого уравнения.

Какую часть поля уберет первый комбайнер за 1 час? А второй?

Так как комбайнеры, работая вместе, уберут весь урожай (т. е. выполнят всю работу) за 35 часов, то это и является основанием для составления второго уравнения.

Что необходимо сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?

III этап. Реализация плана решения, исследование построеной модели.

Решим полученную систему.

Оба ли полученные значения подходят к условию задачи?

Что мы нашли?

Что еще нам нужно найти?

Как найти у?

IV этап. Анализ найденного решения.

Выполним проверку.

Запишем ответ.

Читают условие задачи:

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 часа быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Отвечают на вопросы.

О выполнении определенного объема работы.

Объем работы, производительность труда, время.

Производительность = работа/время.

За 1.

Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай.

Время первого комбайнера на 24 ч меньше времени второго комбайнера.

А если они будут работать вместе, то справятся за 35 часов.

Две: время I комбайнера (t1) и время II комбайнера (t2).

t1.

t2.

Записывают в тетрадях:

Пусть I комбайнер, работая отдельно, выполнит работу за х часов, а второй – за у часов.

Тогда х + 24 = у.

1/х.

1/у.

Работая отдельно, I комбайнер уберет за 1 час 1/х часть поля, а второй – 1/у часть поля. Работая совместно, они затратят 35 часов на уборку всего поля. Получаем уравнение:

35(1/х + 1/у) = 1

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения х и у, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:

х + 24 = у

35(1/х + 1/у) = 1

Записывают в тетрадях решение системы уравнений:

у = х +24

35/х + 35/(х +24) = 1;

35(х +24) + 35х - х(х+24) = 0

35х + 840 + 35х – х2 – 24х = 0

х2 – 46х – 840 = 0

D = (-46)2 -4*1*(-840) = 5476

D = 74; -74

x1 = (46 + 74)/2 = 60;

x2 = (46 – 74)/2 = - 14.

Нет. Мы ищем время, оно не может быть величиной отрицательной. Значит, х = -14 не является решением задачи.

Мы нашли х - время, которое затратит первый комбайнер, работая отдельно.

Время, которое затратит второй комбайнер, - у.

Подставим в первое уравнение системы х = 60:

60 + 24 = 84.

Подставляют найденные значения переменных в систему уравнений:

60 + 24 = 84

35 (1/60 +1/84) = 1

84 = 84

(245 + 175)/420 = 1

84 = 84

1 = 1

Записывают ответ:

Ответ: первый комбайнер затратит 60 часов, второй – 84 часа.

Вывод по второй главе:

Система сюжетных задач, предложенная в учебниках алгебры 7 – 9 классов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой, достаточно разнообразна.

Алгебраический метод решения сюжетных задач является универсальным. С помощью составления уравнения или системы уравнений можно практически решить любую сюжетную задачу.

Чтобы решать задачу алгебраически, необходимо, кроме умений переводить отношения между величинами на язык формул и записывать зависимости между величинами с помощью формул имеющихся процессов, уметь выполнять еще два действия: выбирать неизвестную величину, через которую выражать другие величины и выбирать условие, на основе которого составляется уравнение (система уравнений). При этом, составленная модель зависит как от выбора неизвестных, так и от выбора условия составления уравнения.

Заключение.

Результаты данной курсовой работы:

  • изучена учебно-методическая литература по данной теме;
  • определены роль и место сюжетных задач в курсе алгебры в основной школе;
  • выявлена типология сюжетных задач.
  • проанализированы этапы обучения и методы решения сюжетных задач;
  • рассмотрена методика работы над сюжетной задачей в курсе алгебры 7 - 9 классов на примере конкретных задач из учебников Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой под редакцией С. А. Теляковского.

Список литературы

1. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред С. А. Теляковского. – 12 изд. – М. : Просвещение, 2003.

2. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред С. А. Теляковского. – 11 изд. – М. : Просвещение, 2003.

3. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред С. А. Теляковского. – 12 изд. – М. : Просвещение, 2004.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ. – мат. Спец. /А. Я. Блох, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др.; Сост. В. И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987.

5. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи: Пособие для учащихся VII – VIII кл. – М.: Просвещение, 1980.

6. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи: пособие для учащихся. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984.

Интернет – источник:

1. http://vestnik.yspu.org/releases/uchenue_praktikam/27_3/

Шарова О. П. Сюжетные задачи в обучении математике.

Методика работы с сюжетной задачей в курсе алгебры