Основной принцип МНК: Сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной
Министерство образования и науки рф
филиал федерального Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
профессионального образования
Уфимского государственного нефтяного
технического университета в г.октябрьском
Кафедра ИТМЕН
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
по дисциплине “Математические методы обработки результатов экспериментов”
|
Выполнил: студент группы БГРз 12-10
|
Кирюков Е. М.
|
|
Проверил:
|
Усман Ф.К.
|
ОКТЯБРЬСКИЙ 2014
Практическая работа №2
Метод наименьших квадратов
Основной принцип МНК: Сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.
Условие задачи :
Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1955 г. С этой целью по 14-ти странам были получены данные по нескольким факторам, влияющим на продолжительность жизни, (таблица 1).
Таблица 1
|
Название страны
|
y
|
x1
|
x2
|
|
Мозамбик
|
47
|
3
|
2,6
|
|
Бурунди
|
49
|
2,3
|
2,6
|
|
Чад
|
48
|
2,6
|
2,5
|
|
Непал
|
55
|
4,3
|
2,5
|
|
Буркина -Фасо
|
49
|
2,9
|
2,8
|
|
Мадагаскар
|
52
|
2,4
|
3,1
|
|
Бангладеш
|
58
|
5,1
|
1,6
|
|
Гаити
|
57
|
3,4
|
2
|
|
Мали
|
50
|
2
|
2,9
|
|
Нигерия
|
53
|
4,5
|
2,9
|
|
Кения
|
58
|
5,1
|
2,7
|
|
Того
|
56
|
4,2
|
3
|
|
Индия
|
62
|
5,2
|
1,8
|
Решение:
- Изучим влияние фактора х1 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни по методу наименьших квадратов.
Для определения формы функциональной зависимости между переменными у и х1 построим диаграмму рассеяния.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от фактора х1 (т.е. у будет расти с ростом х1). Наиболее подходящая форма функциональной зависимости — линейная.
Требуется найти уравнение прямой y=ax+b, наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Для этого составим и решим систему уравнений:
Построим таблицу 2 с данными для решения системы уравнений.
Таблица 2
|
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
|
xi
|
3
|
2,3
|
2,6
|
4,3
|
2,9
|
2,4
|
5,1
|
3,4
|
2
|
4,5
|
5,1
|
4,2
|
5,2
|
6,5
|
53,5
|
|
yi
|
47
|
49
|
48
|
55
|
49
|
52
|
58
|
57
|
50
|
53
|
58
|
56
|
62
|
50
|
744
|
|
xi2
|
9
|
5,29
|
6,76
|
18,49
|
8,41
|
5,76
|
26,01
|
11,56
|
4
|
20,25
|
26,01
|
17,64
|
27,04
|
42,25
|
228,47
|
|
xiyi
|
141
|
112,7
|
124,8
|
236,5
|
142,1
|
124,8
|
295,8
|
193,8
|
100
|
238,5
|
295,8
|
235,2
|
322,4
|
325
|
2888,4
|
Получим и решим систему уравнений:
228,47a + 53.5 b = 2888,4
53.5a + 14b=744
228,47a + 53.5 b = 2888,4
6.287b= 288.828
a=1,883864062
b=45,94381
Итак, а=1,883864062 b=45,94381
Таким образом y = 1,8838x+45,94381
Следовательно, при увеличении показателя фактора х1 на единицу при прочих равных условиях средняя ожидаемая продолжительность жизни в среднем увеличивается на 1,8838 единиц.
Графически такая зависимость имеет вид:
- Изучим влияние фактора х2 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни по методу наименьших квадратов.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств (т.е. у будет уменьшаться с ростом х2). Наиболее подходящая форма функциональной зависимости — линейная.
Требуется найти уравнение прямой y=ax+b, наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Для этого составим и решим систему уравнений:
Построим таблицу с данными для решения системы уравнений.
Таблица 3
|
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
|
xi
|
2,6
|
2,6
|
2,5
|
2,5
|
2,8
|
3,1
|
1,6
|
2
|
2,9
|
2,9
|
2,7
|
3
|
1,8
|
2,9
|
35,9
|
|
yi
|
47
|
49
|
48
|
55
|
49
|
52
|
58
|
57
|
50
|
53
|
58
|
56
|
62
|
50
|
744
|
|
xi2
|
6,76
|
6,76
|
6,25
|
6,25
|
7,84
|
9,61
|
2,56
|
4
|
8,41
|
8,41
|
7,29
|
9
|
3,24
|
8,41
|
94,79
|
|
xiyi
|
122,2
|
127,4
|
120
|
137,5
|
137,2
|
161,2
|
92,8
|
114
|
145
|
153,7
|
156,6
|
168
|
111,6
|
145
|
1892,2
|
Получим и решим систему уравнений:
94,79 a + 35.9b = 1892.2
35.9 a + 14 b = 744
94,79 a + 35.9b = 1892.2
94.79a +35.9 b = 1892.2
94,79 a + 35.9b = 1892.2
-1.06545b = -722501
a= - 5.7202
b= 67.811
Итак, а= - 5.7202 b= 67.811
Таким образом y= - 5.7202x + 67.811
Следовательно, при увеличении фактора х2 на единицу при прочих равных условиях ожидаемая продолжительность жизни в среднем уменьшается на 5,7202 единиц.
Графически зависимость имеет вид:
- Рассмотрим влияние факторов х1 и х2 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни.
На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от стоимости фактора х1 и о негативной зависимости продолжительности жизни от фактора х 2(т.е. у будет расти с ростом х1 и у будет убывать с ростом х2 ). Форма функциональной зависимости — линейная.
В целом необходимо определить параметры двухфакторной эконометрической модели- y=ах1+bx2+c ,наилучшим образом согласующейся с опытными точками.
Оценим параметры линейной двухфакторной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему уравнений:
Собранные данные представлены в таблице 4:
Таблица 4
|
n
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
|
xi1
|
3
|
2,3
|
2,6
|
4,3
|
2,9
|
2,4
|
5,1
|
3,4
|
2
|
4,5
|
5,1
|
4,2
|
5,2
|
6,5
|
53,5
|
|
xi2
|
2,6
|
2,6
|
2,5
|
2,5
|
2,8
|
3,1
|
1,6
|
2
|
2,9
|
2,9
|
2,7
|
3
|
1,8
|
2,9
|
35,9
|
|
yi
|
47
|
49
|
48
|
55
|
49
|
52
|
58
|
57
|
50
|
53
|
58
|
56
|
62
|
50
|
744
|
|
xi1 xi2
|
7,8
|
5,98
|
6,5
|
10,75
|
8,12
|
7,44
|
8,16
|
6,8
|
5,8
|
13,05
|
13,77
|
12,6
|
9,36
|
18,85
|
134,98
|
|
xi12
|
9
|
5,29
|
6,76
|
18,49
|
8,41
|
5,76
|
26,01
|
11,56
|
4
|
20,25
|
26,01
|
17,64
|
27,04
|
42,25
|
228,47
|
|
xi22
|
6,76
|
6,76
|
6,25
|
6,25
|
7,84
|
9,61
|
2,56
|
4
|
8,41
|
8,41
|
7,29
|
9
|
3,24
|
8,41
|
94,79
|
|
yi xi1
|
141
|
112,7
|
124,8
|
236,5
|
142,1
|
124,8
|
295,8
|
193,8
|
100
|
238,5
|
295,8
|
235,2
|
322,4
|
325
|
2888,4
|
|
yi xi2
|
122,2
|
127,4
|
120
|
137,5
|
137,2
|
161,2
|
92,8
|
114
|
145
|
153,7
|
156,6
|
168
|
111,6
|
145
|
1892,2
|
Получим систему уравнений:
228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
134.98a + 94.79b + 35.9c = 1892.2
53.5a + 35.9b + 14c = 744
228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
25.464b -7.2651c = - 314,377700
-18.33b -6.2865c = -288,827664
228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4
25.464b -7.2651c = - 314,377700
1,46811c = 86,859049
228.47a + 134.98b + 53.5*59,16393 = 2888.4
25.464b -7.2651*59,16393 = - 314,377700
c = 59,16393
228.47a + 134.98*(-4,53409) + 53.5*59,16393 = 2888.4
b = -4,53409
c = 59,16393
a = 1,4668944
b = -4,53409
c = 59,16393
Итак, а = 1,4668944 b = -4,53409 c= -59,16393
Таким образом y= 1,4668944x1 - 4,53409 x2 - 59,16393
Вывод: Данная функциональная зависимость позволяет примерно прогнозировать зависимость средней продолжительности жизни от нескольких факторов (х1 и х2)
Коэффициент a= 1,4668944 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния фактора х1 на единицу средняя продолжительность жизни увеличится в среднем на 1,4668944 единиц.
Коэффициент b= -4,53409 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния фактора х2 на единицу средняя продолжительность жизни уменьшится в на 4,53409 единиц.
Пример:
МНК может применяться и в повседневной жизни. в медицине он служит показателем зависимости артериального давления человека от окружающих параметров, то есть от тех же самых факторов. В зависимости от температуры, влажности воздуха, атмосферного давления и времени суток состояние человека может изменяться. Все данные заносятся в таблицы, подобные тем, что представлены выше в соответствии с изменяющимися факторами. Проанализировав данные наблюдатель может проследить за тенденцией изменения здоровья и понять, что именно влияет на человека.
PAGE \* MERGEFORMAT1
Основной принцип МНК: Сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной