Основы теории вероятностей

Тема 2. Основы теории вероятностей

Испытание, событие. Классификация событий.
Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности.
Теоремы сложения вероятностей.
Теоремы умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.
Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса. Формула Пуассона.

2.1. Испытание, событие. Классификация событий.

Определим испытание (опыт) как процесс, включающий определенный комплекс условий, который приводит к одному из нескольких исходов. Единичный, отдельный исход эксперимента (испытания) называется элементарным событием. Набор всех элементарных событий – пространство (множество) событий.

События (наблюдаемые явления) можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные.

Достоверное событие – это событие, которое в результате данного испытания (т.е. при выполнении определенного комплекса условий) обязательно произойдет.

Невозможное событие – это событие, которое в результате данного испытания (т.е. при выполнении определенного комплекса условий) не может произойти.

Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате данного испытания.

Пример 1. В урне находятся 5 красных и 3 синих шара. Наугад вынимаем один шар. Событие А – “Извлечен цветной шар” является достоверным; событие В – “Извлечен белый шар” – невозможным; событие С – “Извлечен синий шар” случайным событием.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называют совместными, если появление одного из них не исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 2. При подбрасывании симметричной монеты события А – “появление герба” и В - “появление цифры” являются несовместными.

События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными.

Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий. Другими словами, появления хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

2.2. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности.

Классическое определение вероятности.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов (т.е. образующих полную группу).

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А;

n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Пример 3. В урне 10 одинаковых по размеру и весу шаров, из которых 3 белых и 7 черных. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?

Решение. Событие А – “Извлеченный шар оказался белым”. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 3 благоприятствуют событию А. Используя классическое определение вероятности, получаем

Из определения вероятности вытекают её свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события U равна единице.

Доказательство. Если событие достоверное, то все исходы являются благоприятствующими данному событию. Значит,

Свойство 2. Вероятность невозможного события V равна нулю

Доказательство. Если событие невозможное, то ни один из элементарных исходов не является благоприятствующим данному событию. Значит,

Свойство 3. Вероятность случайного события A есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательство. Число благоприятствующих данному событию исходов удовлетворяет отношению . Значит,

или

Ограниченность классического определения вероятности:

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике же очень часто возникает необходимость вычислить вероятность события при испытаниях, число возможных исходов которых бесконечно.
Классическое определение вероятности предполагает, что элементарные события являются равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображения симметрии. Однако на практике задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, встречаются редко.

Статистическое определение вероятности.

Для преодоления второго ограничения классического определения вероятности вводится статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний m, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний n.

В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

В отличие от вероятности, которая вычисляется до опыта (априорная), относительная частота вычисляется после опыта (апостериорная).

Для существования статистической вероятности события А требуется:

возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;
устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Относительная частота обладает свойством устойчивости: в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления события.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

Пример 4. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.

Решение. Так как в данном случае m=8, n=500, то находим

Геометрическое определение вероятности.

Для преодоления первого ограничения классического определения вероятности вводится геометрическое определение вероятности (вероятности попадания точки в область).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Она может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

Пример 5. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться в течение часа. Любой из них, придя, ждет 15 минут другого, а затем уходит. Найти вероятность того, что студенты встретятся.

Решение. Пусть х – время прихода первого студента, а у – время прихода второго студента. Тогда по условию задачи и . Этот квадрат со стороной равной 1 есть множество всех равновозможных исходов.

Найдет множество всех исходов, благоприятствующих событию А – «Встреча состоится». Предположим, что сначала придет первый студент. Тогда он встретится со вторым при условии, что разница во времени их прихода меньше или равна одной четвертой: . Аналогично в случае прихода сначала второго студента имеем . Построим полученные фигуры.

Пусть тело v составляет часть тела V. В тело V наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке тела V, вероятность попадания брошенной точки в тело v пропорциональна объему этих тел и не зависит ни от ее расположения относительно V, ни от формы v. В этих предположениях вероятность попадания точки в тело v определяется равенством

2.3. Теоремы сложения вероятностей.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример 6. Стрелок стреляет по мишени. А – “попадание в мишень при первом выстреле”; В – “попадание в мишень при втором выстреле”, тогда А+В – “попадание в мишень при первом выстреле, или при втором выстреле, или при двух выстрелах”.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – число исходов, благоприятствующих событию А; m2 – число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2.

Следовательно,

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А1 +А2 +… +Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).