Случайные величины

Тема 3. Случайные величины.

Случайные величины и законы распределения вероятностей.
Числовые характеристики случайных величин.
Модели законов распределения вероятностей, наиболее часто распространенные в практике статистических исследований.
1. Биномиальное распределение.
2. Распределение Пуассона.
3. Геометрическое распределение.
4. Гипергеометрическое распределение.
5. Равномерное распределение.
6. Нормальное распределение.
7. Показательное распределение.

3.1. Случайные величины и законы распределения вероятностей.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения хi, а вторая – значения pi:

X	х1	х2	…	хn
P	p1	p2	…	pn

где .

Пример 1. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Дискретная случайная величина Х (число отказов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: х1=0 (ни один из элементов устройства не отказал), х2=1 (отказал один элемент), х3=2 (отказали два элемента) и х4=3 (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы друг от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, n=3, p=0,1(следовательно, q=1-0,1=0,9),получим:

;

; .

(Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1)

Напишем искомый закон распределения Х:

Х	0	1	2	3
Р	0,729	0,243	0,027	0,001

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически с помощью многоугольника распределения. Для чего в прямоугольной системе координат строят точки М1(х1;р1), М2(х2;р2), …, Мn(хn;рn) (хi – возможные значения Х, рi – соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан также аналитически (в виде формулы):

P(X= хi) = (хi)

или с помощью функции распределения.

Функцией распределения (интегральной функцией) называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=Р(Х х).

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]: 0 F(x) 1.

Доказательство. Доказательство вытекает из определения, так как функция распределения есть вероятность.

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция:

F(x2) F(x1), если x2 x1.

Доказательство. Пусть x2 x1. Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее x2, можно разделить на следующие два несовместных события: 1) Х примет значение, меньшее x1, с вероятностью P(X < x1); 2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству , с вероятностью .

По теореме сложения имеем

Отсюда или

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то или

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Р(а Х b)=F(b) – F(a).

Доказательство.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, например х1, равна нулю:

Р(Х=х1)= 0.

Доказательство. Пусть a = x1, b = x1 + x. Тогда Устремим x к нулю. Так как Х – непрерывная случайная величина, то функция F(x) непрерывна. В силу непрерывности F(x) в точке х1 разность также стремится к нулю. Значит Р(Х=х1)= 0.

Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а; b), то

F(x)=0 при x a; F(x)=1 при x b.

Доказательство. Пусть х1 a. Тогда событие Х<x1 невозможно и его вероятность равна 0.

Пусть х2 b. Тогда событие Х<x2 достоверно и его вероятность равна 1.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	5	8
Р	0,3	0,5	0,2

Найти функцию распределения F(x).

Решение. 1. Если х 1, то F(x)=0. Действительно, значений, меньших числа 1, величина Х не принимает. Следовательно, при х 1 функция F(x)=Р(Х х)=0.

2. Если 1 х 5, то F(x)=0,3. Действительно, Х может принять значение 1 с вероятностью 0,3.

3. Если 5 х 8, то F(x)=0,8. Действительно, Х может принять значение 1 с вероятностью 0,3 и значение 5 с вероятностью 0,5; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,3+0,5=0,8.

4. Если х 8, то F(x)=1. Действительно, событие Х 8 достоверно и вероятность его равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (дифференциальной функцией) называют первую производную от функции распределения:

f(x)=F(x).

Пример 3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Найти плотность распределения f(x).

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), определяется равенством

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т.е. f(x)0.

Доказательство. Функция распределения – неубывающая функция, следовательно, ее производная неотрицательная функция.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - до равен единице.

Доказательство. Данное событие является достоверным.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то .

Пример 4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(x).

Решение. Используем формулу

Если х 0, то f(x)=0, следовательно, .

Если 0 х /2, то

Если х /2, то .

Итак, искомая функция распределения

3.2. Числовые характеристики случайных величин.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(X)=х1р1+х2р2+ …+ хnрn.

Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Пример 5. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х	1	5	8
Р	0,3	0,5	0,2

Решение. М(Х)=10,3+50,5+80,2=4,4.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством , где f(x) – плотность распределения случайной величины Х. Предполагается, что интервал сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а; b), то

Пример 6. Найти математическое ожидание случайной величины Х, заданной функцией распределения

Решение. Найдем плотность распределения величины Х

Найдем математическое ожидание:

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

М(С) =С.

Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. Значит М(С) = С1 = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=СМ(Х).

Доказательство. Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную величину СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х; вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х.

М(СХ) = Сх1р1 + Сх2р2 +…+ Схnрn = C(х1р1 + х2р2 +…+ хnрn) = СМ(Х)

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(ХУ) = М(Х)М(У).

Доказательство. Пусть независимые случайные величины Х и У заданы своими законами распределения вероятностей:

Х	х1	х2		Y	у1	у2
Р	р1	р2		G	g1	g2

Тогда закон распределения случайной величины ХY будет иметь вид:

XY	x1y1	x2y1	x1y2	x2y2
p	p1g1	p2g1	p1g2	p2g2

М(ХУ) = x1y1 p1g1 + x2y1 p2g1 + x1y2 p1g2 + x2y2 p2g2 = y1g1 (x1p1 + x2p2) + y2g2 (x1p1 + +x2p2) = (x1p1 + x2p2) (y1g1 + y2g2) = M(X) M(Y).

Следствие. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х1Х2…Хn) = M(X1)M(X2)…M(Xn).

Доказательство. М(Х1Х2…Хn) = М(Х1(Х2…Хn)) = M(X1)M(X2…Xn) =…= .M(X1) M(X2) … M(Xn).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х + У) = М(Х) + М(У).

Х	х1	х2		Y	у1	у2
Р	р1	р2		G	g1	g2

Тогда закон распределения случайной величины Х+Y будет иметь вид:

X+Y	x1+y1	x1+y2	x2+y1	x2+y2
p	p11	p12	p21	p22

М(X+Y) = (x1+y1) p11 +( x1+y2) p12 + (x2+y1) p21 + (x2+y2) p22 = x1 (p11+ p12) + x2 (p21+p22) + y1(p11+ p21) + y2 (p12+p22).

Докажем, что p11+p12=p1. Событие, состоящее в том, что Х примет значение x1, влечет за собой событие, которое состоит в том, что Х+У примет значение x1+y1 или x1+y2, и обратно. Отсюда и следует, что p11+p12=p1ю Аналогично доказываются равенства p21+p22=p2, p11+p21=q1 и p12+p22=q2.

Отсюда М(X+Y) = x1 p1 + x2p2 + y1q1 + y2q2 = M(X)+M(Y).

Следствие. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х1+Х2+…+Хn) = M(X1)+M(X2)+…+M(Xn).

Доказательство. М(А1 +А2 +… +Аn) = М(А1 +(А2 +… +Аn))= М(А1)+М(А2 +… + Аn) = М(А1)+М(А2 +(A3+ … + Аn)) = М(А1)+М(А2) + М(A3+ … + Аn) = … = М(А1)+М(А2)+…+М(Аn).