Формула Рэлея-Джинса
Формула Рэлея-Джинса. В рассмотренной выше полости кубической формы с идеально отражающими стенками тепловое излучение как электромагнитное поле может существовать только в виде суперпозиции прямых и отраженных волн, то есть в виде стоячих электромагнитных волн, имеющих узлы на стенках полости.
Направим оси декартовой системы координат вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер кубической полости (рис. 1.8) и обозначим через , и - единичные орты вдоль соответствующих осей координат. Тогда для волны, распространяющейся строго вдоль оси , условие образования стоячей волны требует, чтобы
то есть на длине между отражающими стенками должно укладываться целое число длин полуволн. Так как для такой волны волновой вектор , где , то условие образования стоячей волны в направлении оси можно записать и как условие на волновое число:
Аналогичные рассуждения для волн, распространяющихся вдоль осей и , позволяют сформулировать общий вывод о том, что для стоячей волны, являющейся суперпозицией прямых и отраженных волн, распространяющихся в кубической полости в произвольном направлении, задаваемом волновым вектором
,
должны выполняться условия
Здесь , и - целочисленные параметры, принимающие независимо друг от друга значения 0, 1, 2 и т.д.
Условия (1.20) можно записать как условие на волновые числа волн в полости
Так как , то равновесное тепловое излучение в рассматриваемой кубической полости можно рассматривать как совокупность стоячих электромагнитных волн различных частот, значения которых определяются соотношением
Каждой тройке целых неотрицательных чисел соответствует одна стоячая волна. Общее число таких стоячих волн бесконечно велико.
Определим число стоячих электромагнитных волн в полости с частотами, которые не превышают заданного значения . Для этого рассмотрим дискретное трехмерное пространство (рис. 1.9), в котором каждая точка с целочисленными неотрицательными координатами , и соответствует отдельной стоячей электромагнитной волне в полости с равновесным тепловым излучением. Эти точки разбивают пространство на ячейки единичного объема.
Представим теперь условие (1.22) в виде уравнения сферической поверхности в пространстве .
Здесь - радиус сферы.
Теперь число стоячих волн в полости, частоты которых не превосходят значения , можно определить, подсчитав число изображающих точек из положительного октанта пространства , попавших в шар, радиуса . Так как с каждой точкой в пространстве связана ячейка единичного объема, то объем 1/8 части шара радиуса и определяет искомое число точек (стоячих волн). Поэтому
Здесь - объем полости, в которой заключено рассматриваемое равновесное тепловое излучение.
Следует учесть, что электромагнитные волны - поперечные волны, и в каждом направлении в полости в общем случае могут распространяться две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поэтому число стоячих волн с частотой, не превышающей заданного значения , следует определить как
Дифференцируя (1.25) по частоте, найдем число стоячих волн в полости, попадающих в интервал частот от до :
Если теперь через обозначить среднюю энергию стоячей электромагнитной волны частоты , то по определению спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения имеем
.
Отсюда, с учетом (1.26), находим что
Развивая теорию теплового излучения, Д.Рэлей (1900 г.) и Д.Джинс (1905 г.) предложили рассмотреть каждую стоячую электромагнитную волну как объект с двумя степенями свободы, одна из которых - электрическая, а другая - магнитная.
Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы системы приходится в среднем энергия, равная , где Дж/К - постоянная Больцмана. Поэтому для равновесного теплового излучения при температуре на каждую стоячую электромагнитную волну частоты приходится в среднем энергия
В этом случае из (1.27) получаем
С помощью соотношений (1.17) полученную формулу для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения можно преобразовать к формуле Рэлея-Джинса для испускательной способности абсолютно черного тела:
Формула Рэлея-Джинса достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными об излучении абсолютно черного тела в области малых частот или больших длин волн и резко расходится с опытом для больших частот или малых длин волн излучения. Кроме того, интегрируя (1.29) и (1.30) по всем частотам, мы получаем бесконечные значения для интегральной плотности энергии равновесного теплового излучения и для энергетической светимости абсолютно черного тела . Действительно
.
Отсюда следует, что классическая теория теплового излучения приходит к выводу о том, что при конечных значениях энергии излучения равновесие между веществом и излучением невозможно. Этот вывод противоречит опыту.
Такой противоречивый результат, содержащийся в формуле Рэлея-Джинса, вывод которой с точки зрения классической теории не вызывал сомнений, П.С.Эренфест назвал "ультрафиолетовой катастрофой".
Формула Рэлея-Джинса