Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
Лекция №13
по дисциплине “Теория распределение информации»
Наименование темы: Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
1.Интеграция на основе обслуживания в порядке поступления
2.Интеграция с абсолютным приоритетом
1.Интеграция на основе обслуживания в порядке поступления
При этой стратегии обслуживания контроллер, показанный на рис. 1, назначает канал (временной слот) любому пользователю при его появлении независимо от класса нагрузки. При отсутствии свободного канала запросы на соединение блокируются, а пакеты помещаются в буфер. Найдем точное решение задачи определения характеристик качества обслуживания интегральной сети с такой стратегией интеграции. Приемлемая сложность задачи получается для простейшего случая разделения ресурса в виде одного N=1 канала. Однако, несмотря на простоту случая, он позволяет проследить все важнейшие особенности рассматриваемого способа объединения. Для более общего случая с большим числом каналов N будут приведены приближенные формулы.
Рис. 1 Модель с непрерывным временем; интеграция нагрузки с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
Построим диаграмму переходов состояний системы массового обслуживания, соответствующей рассматриваемой задаче. СМО имеет двумерную структуру пространства состояний (См. рис.2). Обозначим стационарные вероятности нахождения системы в каждом из состояний pij . Верхний ярус состояний i=1 соответствует случаю занятости канала заявкой первого класса, а нижний ярус i=0 описывает состояния без наличия заявки первого класса. Значение j определяет число заявок второго класса, находящихся в системе. Переходы между состояниями в точности соответствуют возможным процессам в системе. Так при занятости канала заявкой первого класса, его освобождение происходит с интенсивностью 1 в состояние, определяемое числом заявок второго класса, находящихся на обслуживании. Поступление новой заявки второго класса производит переход в состояние с j+1 с интенсивностью 2, а ее обслуживание производит переход в состояние с j-1 с интенсивностью 2, но только в случае отсутствия заявки первого класса (i=0).
Рис. 2 Диаграмма состояний интегральной схемы; обслуживание в порядке поступления; N=1 канал.
Выпишем уравнения баланса для всех состояний.
Обозначая как обычно 1=1/1, 2=2/2 и используя уравнения (1) и (2) можно получить выражения для вероятностей состояний
где - коэффициент, определяющий соотношение между длительностью заявок первого и второго класса.
Для определения вероятностей при i=0 воспользуемся методом производящих функций. Определим производящую функцию
.
Умножим правую и левую часть уравнения (2) на zj и, суммируя по всем j, начиная с единицы, можно получить следующее алгебраическое уравнение для функции комплексной переменной – производящей функции
При выводе этих уравнений использовались следующие вспомогательные соотношения
В уравнении для G0(z) в правой и левой части может быть выделен сомножитель (z-1). После сокращения на него можно записать выражение для производящей функции
.
Единственным неизвестным остается вероятность в нулевой точке. Воспользуемся условием нормировки и свойством производящей функции
Теперь мы можем найти характеристики качества обслуживания. Вероятность блокировки заявок первого класса равна вероятности 1-p00.
.
В качестве подтверждения правдоподобности полученного соотношения найдем значение вероятности блокировки при отсутствии заявок второго класса, т.е. при
Это в точности значение вероятности блокировки системы с одним сервером, получаемое при расчете по В - формуле Эрланга.
Теперь найдем среднее значение задержки нагрузки второго класса. Сначала найдем среднее число пакетов в системе, а затем воспользуемся формулой Литтла.
Заметим, что первое слагаемое описывает задержку в системе M/M/1, а второе слагаемое определяет увеличение числа пакетов в очереди за счет состязаний за доступ к каналу с заявками первого класса. Условие равновесия для нагрузки второго класса не зависит от нагрузки первого класса и состоит в выполнении неравенства 2<1.
Воспользовавшись формулой Литтла, найдем нормированную задержку заявок второго класса
.
Обычно при интеграции заявки первого класса - телефонные разговоры имеют существенно большую длительность, чем длительности пакетов. При этом >>1. Как видно из полученной формулы, задержка пакетов сильно возрастает по сравнению с чисто пакетной сетью. Интересно как изменится ситуация при достаточно большом числе каналов. Случай с N>1 был проанализирован и позволил предложить приближенную формулу для расчета вероятности блокировки для нагрузки первого класса в виде
Это известная формула Эрланга. Соотношение точно при =1 и может быть применено для других значений в силу слабой зависимости вероятности блокировки от ее величины.
Рассмотрим пример. Пусть 1/1=100c ,1/2=10 мс. Тогда =10000. Пусть нагрузки таковы, что 1=0.1, 2=0.4. Тогда PB=0.45 т.е. весьма значительна. В то же время задержка для пакетов 2M<T>=1.7+990=991.7 что существенно превышает задержку без учета влияния «разговорной» нагрузки. Фактическое время задержки составит 9.9 с вместо 1.7 мс для соответствующей системы M/M/1 когда пакеты поступали бы в отдельный канал.
Как показывает анализ, стратегия интеграции нагрузки в порядке поступления запросов не обеспечивает приемлемого регулирования характеристик качества обслуживания.
Другим способом интеграции является стратегия абсолютного приоритета заявок первого класса.
2.Интеграция с абсолютным приоритетом
В этом случае заявки первого класса, безусловно, снимают с обслуживания заявки второго класса при поступлении. Очевидно, что при этом вероятность блокировки для заявок первого класса никак не зависит от нагрузки второго класса и определяется только числом каналов и нагрузкой первого класса. Вероятность блокировки определяется В - формулой Эрланга
.
Определить среднее значение времени задержки для нагрузки второго класса удается аналитически только для случая N=1. Вероятность блокировки для этого случая равна
.
Нетрудно видеть, что это значение меньше, чем для вероятности блокировки в сети с интеграцией обслуживания в порядке поступления, в силу того, что отсутствует влияние заявок второго класса. Найдем теперь, какова будет задержка обслуживания для таких заявок. Построим снова диаграмму переходов состояний для модели системы с такой дисциплиной обслуживания классов заявок. Пространство состояний системы также как и в предыдущем случае будет двумерным, а структура переходов еще более сложной. На рис.3 приведена диаграмма состояний для интегральной сети с абсолютным приоритетом заявок первого класса. Основным отличием диаграммы переходов является наличие переходов из состояний нижнего яруса с i=0 для всех j в состояния верхнего яруса (i=1) с тем же j с интенсивностью 1. Эти переходы отражают процесс снятия заявки второго класса с обслуживания немедленно с поступлением заявки первого класса с вероятностью равной 1t в течение промежутка времени (t, t+t).
Рис. 3 Диаграмма состояний интегральной системы; абсолютный приоритет вызовам 1 – го класса; N=1 канал.
Составим уравнения равновесия для построенной модели системы. Они оказываются более сложными, чем для предыдущего случая. Выпишем сначала уравнения для нулевого состояния.
Их сразу можно разрешить относительно вероятностей состояний, соседних начальному, а затем выписать уравнения для остального множества состояний
Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом производящих функций. Введем
Умножим (9) и (10) на zj , и, суммируя по всем значениям j=1,2,3…,найдем после некоторых выкладок
Решая систему алгебраических уравнений и подставляя выражения (7) и (8) получим выражения для производящих функций. Далее, используя условия нормировки, выразим вероятность нулевого состояния
Последнее соотношение позволяет установить нетривиальное условие стабильности в системе (существования стационарного распределения вероятностей) для максимального значения коэффициента нагрузки со стороны заявок второго класса - на коммутацию пакетов
Смысл полученного неравенства состоит в необходимости обеспечения средней поступающей нагрузки второго класса меньшей, чем остаток пропускной способности канала после обслуживания нагрузки первого класса. В противном случае очередь из заявок второго класса просто переполнится и они никогда не будут обслужены (не получат доступ к каналу).
При выполнении же этого условия среднее число заявок в очереди будет конечным и может быть определено непосредственно через производящие функции по формуле
.
Воспользуемся формулой Литтла и вычислим в явном виде значение нормированного среднего времени задержки в системе для заявок второго класса
.
В качестве подтверждения правдоподобности полученного результата положим равной нулю интенсивность нагрузки первого класса. Получающееся при этом выражение будет в точности соответствовать известному выражению для задержки заявок в системе M/M/1.
Рассмотрим в качестве примера исходные данные для предыдущего раздела. При 1/1=100c,1/2=10мс, и =10000, 1=0.1, 2=0.4 вероятность блокировки для нагрузки первого рода будет равна 0.09, что в 5 раз меньше, чем для интеграции в порядке поступления заявок. Однако при этом нормированная средняя задержка для пакетов возрастет с 2М<T>=992 до 1600, т.е. более чем на 60%.
Можно показать, что в общем случае при достаточно больших выигрыш в вероятности блокировки при переходе на интеграцию с абсолютным приоритетом по сравнению с обслуживанием в порядке поступления будет определяться отношением
.
В то же самое время задержка пакетов возрастет в отношении
.
Таким образом стратегия интеграции с абсолютным приоритетом , гарантируя заданное качество обслуживания для соединений, приемлема только для очень низких нагрузок со стороны передачи пакетов.
Сочетания гарантированной вероятности блокировки для соединений и минимально возможной задержки при заданной пропускной способности канала удается достигнуть, применяя адаптивное распределение ресурса - стратегию подвижной границы.
Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных