Расчет статически неопределимых стержневых систем из хрупкого материала на действие нагрузки

Увеличить грузоподъемность и жесткость систем можно как за счет изменения геометрических характеристик (увеличения площади поперечных сечений стержней, оптимизации геометрической схемы), так и за счет установления дополнительных стержней или связей. Это может привести к тому, что усилия в элементах конструкции уже нельзя будет определять из уравнения равновесия. Происходит переход количественных изменений в качественные. Конструкция (система) становится статически неопределенной. Такие системы находят широкое применение в инженерной практике.

Рассмотрим стержневую ферму. Нагрузка воспринимается тремя стержнями, сходящимися в одном узле A. Для определения усилий, возникающих в стержнях, можно использовать только два уравнения равновесия: равенство нулю суммы проекции всех сил приложенных к узлу A на горизонтальную и вертикальную оси; третье уравнение обращается в тождество. Неизвестных усилий три, а уравнений равновесия два. Требуется составить ещё одно дополнительное уравнение. Такие системы называются один раз статически неопределенными. Один стержень здесь как бы “лишний”, его удаление не приносит к геометрической неизменяемости системы. Системы, имеющие два “лишних” стержня, и требующие составление двух дополнительных уравнений, называются дважды статически неопределенными, и т.д.

Для раскрытия статической неопределенности составляют дополнительные уравнения, например, описывающие способность реальных тел сопротивляться деформированию.

Пусть задана нормативная и расчетная нагрузки и допустимое вертикальное перемещение узлов . Требуется задаться геометрической схемой системы, выбрать материал для изготовления стержней и подобрать поперечные сечения стержней системы, выполнив расчет по допускаемым напряжениям и перемещениям.

Нахождение усилий в стержнях системы

Мысленно проводим сечение a-a и рассматриваем равновесие узла D. Для трех неизвестных усилий в стержнях и силы , сходящихся в точке D должны удовлетворяться двум уравнениям равновесия:

(а)

(это же следует из условия симметрии поставленной задачи) и с учетом (а)

(б)

Для решения задачи необходимо составить дополнительное уравнение, пользуясь представлениями о свойствах материала. В теоретической механике считалось, что стержни системы абсолютно жесткие. В сопротивление материалов полагаем, что стержни выполнены из идеально упругого материала и под действием приложенной к системе сил будет деформироваться.

Изобразим систему в деформированном виде, считая связи не нарушенными. Т.е. нет разрывов стержней, разъединения их и перемещений одной части конструкции относительно другой не предусмотренных схемой сооружения. В этом заключается совместность (неразрывность) деформации элементов системы.

Т.к. изучаемая система симметрична относительно оси стержня 1 и боковые стержни растягиваются одинаковыми усилиями , то узел D при деформации подвески опустится вниз по вертикали на величину , заняв новое положение . Все стержни удлинятся и займут новое положение (см.рис.).

Удлинение среднего стержня . Упругие деформации малы по сравнению с первоначальными длинами стержней. Поэтому можно считать углом и удлинения стержней 2 и 3 определять, заменяя дуги с перпендикулярами и , опущенными из угла D на новые положения стержней. Тогда . Рассматривая прямоугольный треугольник записываем зависимость между абсолютными деформациями стержней 1 и2

(в)

Уравнения (в) есть уравнение совместности деформаций системы в деформациях.

По закону Гука выразим деформации и через усилия и . и подставим в выражение (в):

С учетом того, что , получим (в’)

Выражением (в’) представлено уравнение совместности деформации, преобразованное через усилия в стержнях..

Решая совместно (а) и (в’) совместно, будем иметь

и (1)

Теперь примет вид

(2)

Усилия и можно определить только в том случае, если известны модули упругости материалов стержней и и соотношение площадей или сами площади стержней и . В этом одна из особенностей расчета статически неопределимых систем. Задаваемое отношение (г).

Тогда усилия найдем из выражений (1’) и (2’)

Подбор площадей поперечных сечений стержней

А. Расчет по допускаемым напряжениям.

Исходя из условия прочности , вычислим требуемую площадь поперечного сечения, например среднего стержня

, (3)

Т.к. расчет связан соотношением (г), то подбирать сечения стержней независимо друг от друга нельзя. Определив , по зависимости (г) находим площадь поперечного сечения . После чего производим проверку условия прочности второго стержня. Если, окажется, что , то подбор сечения начинается заново, но уже не с первого, а со второго стержня.

В. Расчет по допускаемым перемещениям

Условие жесткости имеет вид

или с учетом (1) . Откуда определим требуемую площадь поперечного сечения первого стержня при расчете системы по допускаемым перемещениям (4)

а площадь второго стержня из заданного соотношения (г)

В качестве проектной площади поперечных сечений стержней следует принять наибольшие значения из требуемых площадей (,,… и ,,…) полученных при расчете прочности и жесткости системы.

Порядок расчета статически неопределенных систем со стержнями из хрупкого материала.

Применяя метод сечений, составляют уравнения равновесия;
Рассматривают систему в деформированном состоянии, устанавливают зависимости между деформациями стержней, называемыми уравнениями совместности деформации. Этих зависимостей можно составить столько, сколько раз система статически неопределима;
Задаваясь соотношением и используя закон Гука, преобразуют уравнения деформации в уравнения усилий, и решая совместно с уравнениями равновесия, находят усилия в стержнях;
Подбирают площадь поперечного сечения наиболее напряженного стержня, а остальные площади принимают из заданного соотношения и производят проверку прочности этих стержней.

Особенности расчета статически неопределенных систем со стержнями из хрупкого материала.

Усилия в стержнях системы зависят от соотношения площадей поперечных сечений стержней, модулей упругости материала, из которого стержни выполнены, и геометрической схемы (следует из выражений (1) и (2)). Поэтому в таких конструкциях при заданной нагрузке можно осуществить много вариантов распределения усилий;
Соотношения между напряжениями в стержнях не зависит от размеров поперечных сечений стержней, а зависят от модулей упругости этих стержней и геометрической схемы сооружения.

Доказательство:

. Подставив (1) и (2), получим . Таким образом, в статически неопределенных системах нельзя получить равнопрочности всех элементов (бывают исключения). Проектируя конструкцию, необходимо выбрать и длину стержней такими, чтобы получить комбинацию, дающую наиболее экономичное решение (например, в зависимости от стоимости материала). Приняв, что в условиях примера 1 будем иметь , , , и экономию по расходу материала на изготовления стержней 64%.

Только в наиболее напряженном стержне удается довести до допускаемого , в остальных напряжения будут меньше . Т.е. прочность всего сооружения из хрупкого материала определяется прочностью наиболее напряженного стержня

Влияние изменения температуры на усилия и напряжения в стержнях статически неопределенных систем.

В элементах статически неопределенных конструкциях от изменения температуры возникают напряжения даже при отсутствии внешних нагрузок. Такие напряжения называются температурными.

Предположим, что стержни системы, расчетная схема которой представлена на рисунке, имеют площади поперечных сечений и , модули упругости материалов стержней и , а температурные коэффициенты линейного расширения и . Температура во время сборки конструкции и , т.е. температура первого стержня изменилась, например, он нагрет . Определим напряжение в стержне.

Уравнения равновесия узла D:

(д)

(е)

Задача один раз статически неопределенна. Поэтому составляем дополнительное уравнение совместности деформации

(ж)

В частности, удлинение стержня №1, температура которого изменилась, состоит из двух частей: из удлинения от усилия и удлинение от изменения t, т.е.

Но и деформация других стержней, температура которых не меняется . Тогда (ж) примет вид или с учетом получим (и)

Подставим (и) в (е)

. Откуда

. Дополнительное напряжение, вызванное изменением температуры вычисляем по формуле . При , и , т.е. усилие и напряжение в стержне №1 будут сжимающими. Подставив найденное в уравнение (и) определим и затем .

Если ведется расчет системы на действие нагрузки и изменение температуры, то необходимо вычислить суммарные напряжения , , а затем произвести проверку прочности стержня и ( в необходимых условиях когда потребуется перерасчет).

Влияние неточности изготовления элементов статически неопределенных систем на усилия и напряжения в стержнях

При изготовлении сооружений, машин, механизмов нельзя обеспечить абсолютно точного выполнения размеров их частей. Если какая либо часть конструкции имеет неправильный размер, то сборку статически неопределенной системы придется осуществлять с приложением усилий, вызывающий деформации элементов. В конструкции будут иметь место предварительные (начальные, монтажные) деформации, создающие предварительные напряжения (натяги).

Пусть вертикальный стержень №1 подвески, короче проектной длины на величину , значительно меньшую . Тогда приложив определенные усилия, можно все три стержня соединить в узле D. Определить множитель усилия в стержнях.

Рассматривая равновесия узла D, получим

(з)

(к)

Составив уравнение совместности деформации , но , с следовательно (л).

По закону Гука и . Подставляя и в уравнение (л), будем иметь . С учетом и , найдем, что (м).

Вводя (м) в (к) , определим

и (н)

Теперь (м) примет вид

(о)

После чего вычислим монтажные напряжения и (усилия и напряжения при принятых условиях задачи будут отрицательными - сжимающими).

При одновременном учете влияния нагрузки, изменения температуры и неточности изготовления стержня, применяя принцип суперпозиции, находим напряжения в стержнях как сумму напряжений от отдельных факторов . Затем производим проверку условия прочности ( в случае требуется перерасчет).

Явления создания предварительных монтажных напряжений при умелом использовании можно снизить расход материала.

Например, при , и расчетной схеме, представленной на рисунке, будут иметь от действия нагрузки P на систему, и .

Поставим задачу:

определить , при котором усилия в стержнях системы будут одинаковыми, т.е. или . Теперь, в последнее уравнение вместо и вводят их значения из (н) и (о), после преобразований получим . Т.е. стержень №1 надо запроектировать длиннее проектного на величину ( имеет знак минус).Полные усилия и напряжения в стержнях при этом станут одинаковыми и равными , . Требуемая площадь поперечных сечений меньше , полученной при учете только действия нагрузки на систему.

Приведенный пример показывает целесообразность использования искусственного регулирования напряжений в статически неопределенных системах, т.к. может привести к значительному экономическому эффекту. Во многих случаях сократить расход материала на изготовление статически неопределенных конструкциях позволяет также учет пластических деформации.

Расчет статически неопределенных систем со стержнями из пластичного материала.

В предыдущих рассуждениях всегда полагалась, что для материала конструкции выполняется закон Гука. Теперь рассмотрим, поведение системы со стержнями из конструкционной стали или алюминия диаграмму зависимости этих материалов можно схематически представить двумя прямолинейными участками ОВ и ВС. На участке вплоть до предела текучести соблюдается закон Гука, а затем происходить течение при напряжении (участок ВС). Для стали одна и та же диаграмма используется как при растяжении, так и при сжатии. Материал с такими свойствами называется упруго-идеально-пластическим.

Приемы, применяемые при расчете статически неопределенных систем с учетом пластических деформаций, продемонстрируем на примере расчета трехстержневой фермы.

При малых значениях силы Р во всех стержнях системы возникает упругие деформации. Усилия определяются обычными способами раскрытия статической неопределимости, до тех пор, пока в одном наиболее напряженном стержне , например, в среднем, не возникнут пластические деформации. Это произойдет при , но стержень из строя не выйдет. Т.к. развитие пластических деформации в нем не возможно без деформации соседних менее напряженных стержней. При дальнейшем увеличении силы Р усилие , и напряжения не меняется, происходит только увеличение усилий в боковых стержнях, до тех пор, пока напряжения в этих стержнях не станут равными пределу текучести, а . Система превращается в механизм – все стержни удлиняются при постоянном максимальном значении нагрузки. Это нагрузка, соответствующая катастрофическому состоянию системы, называется предельной . Т.к. напряжения в стержнях известны и равны , то система из статически неопределимой превращается в статически определимую.

Задавшись соотношением и полагая, что и , из условия равновесия узла D, при действии на систему , будем иметь

, но , .

Тогда, условия катастрофического состояния системы запишется в виде

(5)

При действии система выходит из строя. Рационально спроектированная конструкция должна иметь точно заданный коэффициент запаса прочности . Поэтому допускаемое состояние получим, разделив обе части уравнения (1) на

, где -допускаемая нагрузка.

Условие прочности системы (6) (здесь Р расчетная нагрузка).

Из выражения (6) находим требуемую площадь поперечного сечения первого стержня

(7), а затем .

Изложенный способ расчета называется расчетом по допускаемым предельным нагрузкам.

Сравнивая (3) {} и (7) {} видим, что при одинаковых , требуемая площадь поперечного сечения первого стержня , при расчете по допускаемым нагрузкам будет меньше, чем в расчете по допускаемым напряжениям.

Порядок расчета статически неопределенных систем со стержнями из пластичного материала:

составляются уравнения равновесия;
предполагается, что нагрузка, действующая на систему, достигла предельного значения , и напряжения во всех стержнях стали равными пределу текучести , а усилия ;
вводя и в уравнения равновесия, получаем уравнения предельного состояния (условие катастрофического состояния с учетом заданного и условие допускаемого состояния);
при заданных соотношениях площадей , исходя из условия прочности системы решая уравнения равновесия, определяют требуемую площадь поперечного сечения -го стержня системы, а далее .

При переменных нагрузках появление пластических деформации во многих случаях недопустимо и тогда следует вести расчет по допускаемым напряжениям.

Расчет статически неопределимых стержневых систем из хрупкого материала на действие нагрузки