Кручение. Эпюра крутящих моментов

Кручение

В инженерной практике, и особенно в машиностроении, многие элементы подвергаются действию пар, расположенных в плоскости, перпендикулярной продольной оси этих элементов. В результате в произвольном поперечном сечении стержня из шести силовых факторов возникает только один - .

Такой вид напряженного состояния называется кручением, пара крутящим моментом, а стержень сопротивляющийся кручению –валом. Под действием крутящего момента происходит поворот сечения вокруг некоторой точки-центра кручения. Для стержня поперечное сечение, которого имеет две оси симметрии, за ось кручения естественно принять ось стержня. Если изображенного на рисунке поперечного сечения считать конец жестко заделанным, и, следовательно, правый свободный конец повернется на некоторый угол - угол закручивания. Это поворот сечения относительно сечения . Промежуточные сечения тоже повернутся друг относительно друга и относительно сечения .

Как показывают результаты опытов, в случае круглого или кольцевого постоянного по длине сечения скручиваемого стержня, при определении закона распределения поверхности сил на торцах, все поперечные сечения остаются плоскими. В случае любого другого поперечного сечения плоскость этого сечения под влиянием кручения искривляется - депланируется. Если связи, наложенные на скручиваемое тело, не препятствуют депланации, то в поперечных сечениях возникает только касательные напряжения с составляющими и , а нормальные напряжения - отсутствуют. Такие кручения называются свободным или нестесненным.

Закручиваемые стержни классифицируют по характеру поперечного сечения:

Сплошные, у которых ширина и высота имеют один порядок;

Тонкостенные замкнутого и откры-того про-филя, у которых отношение , где -минимальный поперечный размер, - наибольшая толщина профиля.

Кроме того, следует различать стержни длинные и короткие , где - длина, - максимальный поперечный размер.

В дальнейшем будет рассмотрена задача свободного кручения, когда , , , , и при этом уравнения равновесия принимают вид

(1)

(2)

(3)

Выражения (1)-(3) могут быть удовлетворены при бесчисленном количестве вариантов распределения касательных напряжений по поперечному сечению. Задача является статически неопределенной относительно закона распределения этих напряжений.

Поэтому в сопротивление материалов для нахождения напряжений в скручиваемом стержне приходиться вводить допущения (гипотезы) или использовать результаты эксперимента и точных решений, получаемых методами теории упругости.

Эпюра крутящих моментов

Внешние силы, передаваемые, например, на вал двигателя машины в местах посадки шкивов, зубчатых колес и т.п., могут быть представлены сосредоточенными и сплошными равномерно распределенными скручивающими моментами. Моменты имеют размерность , -. В практике встречаются и сплошные неравномерно распределенные моменты в случае .

Для исследования напряженного состояния скручиваемого элемента необходимо знать усилия не в одном сечении, а во всех, т.е. установить зависимость крутящего момента от абсциссы . Обычно внешние силы, действующие на боковую поверхность и по концам стержня, приводятся к оси , имеющей начало на одном из концов и совпадающей с осью кручения. Схематично стержень изображается линией совпадающей с осью , и к этой же линии прикладывается крутящие моменты. При определении возникающих в сечениях стержня, применяют метод сечения. Мысленно разрежем стержень на расстоянии от начала координат и отбрасываем одну часть, при начале отсчета на левом конце - правую, и наоборот. Приводим внешние силы к точке оси .

(4)

Здесь -крутящий момент, представляющий сумму моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения стержня, относительно центра кручения этого сечения.

В расчетной практике удобно пользоваться графическим изображением внешних силовых факторов, называемых эпюрами. Процесс построения эпюр сводится к составлению уравнений крутящих моментов на различных участках.

Правила знаков: Крутящий момент в сечении считается положительным, когда внеш-ний момент вращает отсеченную часть стержня по часовой стрелке, если смотреть на эту часть со стороны оси Х, и наоборот.

Положение сечения на эпюре определяется аппликатой . Ординатам на эпюрах соответству-ют модули крутящих моментов .

Пример.

Важно заметить, что в местах приложения сосредоточенных моментов М ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину и в направлении приложенного момента, на участке действия распределенного момента эпюра ограничена прямой линией наклонной к оси абсцисс, на остальных участках- прямыми параллельными этой оси.

Кручение прямого стержня сплошного круглого поперечного сечения

Крутящие моменты представляют лишь равнодействующие внешних сил. В поперечном сечении скручиваемого стержня они вызывают непрерывно распределенные внутренние силы, которые в случае свободного кручения, будут представлены только полными касательными напряжениями с составляющими и , т.е. напряженное состояние вблизи точек стержня представляет собой чистый сдвиг.

Поставим задачу найти и угол закручивания при свободном кручении стержня сплошного круглого поперечного сечения, находящегося под действием скручивающихся пар, приложенных по торцам и приводящихся к крутящему моменту, постоянному по длине стержня.

Определение напряжений

Опытами установлено, что в изучаемом случае после деформации расстояние между сечениями, например dx между I и II, длина и диаметр стержня не изменяются. Естественно допустить:

Каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (гипотеза плоских и жестких сечений);

На основании этого допущения можно принять, что радиусу всех поперечных сечений поворачиваются (на разные углы) оставаясь прямолинейными.

Рассмотрим деформацию элемента стержня длиной произвольного радиуса . Прямоугольник под действием касательных напряжений займет положение . Сечение II повернется по отношению к сечению I на угол . Из геометрических соображений будем иметь и (как дуга окружности радиусом ).

На основании закона Гука при чистом сдвиге . Следовательно

(5).

Откуда (6).

Как видим при кручении стержня круглого поперечного сечения деформации сдвига (5) и касательные напряжения (6) прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения. Наибольшие возникают вблизи точек контура. По условию задачи боковая поверхность стержня свободна от напряжений, поэтому, в силу закона равновесия касательных сил, должны быть направлены по касательной к контуру, или, что равнозначно, перпендикулярны диаметру ВС. А так как радиусы не искривляются, то и остальные - перпендикулярны ВС. Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня представлена на рисунке справа. Такая эпюра имеет место на любом из диаметров.

Зная закон распределения касательных напряжений , можно определить их из уравнения равновесия (3) представив его в следующем виде . Подставляя значения напряжения из (6) получим . Учитывая, что интеграл в последнем уравнении представляет собой полярный момент инерции поперечного сечения

(7)

приводим это уравнение к виду (8)

или (9)

Т.е. первая производная угла закручивания, называемая относительным углом закручивания и обозначаемая , пропорциональна крутящему моменту . Подставляя (9) в (6) имеем

(10) и (10’)

где - момент сопротивления поперечного сечения кручению.

Знак минус в (10) показывает, что направления противоположно направлению внешнего крутящего момента . При законе распределения касательных напряжений (10) уравнения (1) и (2) удовлетворяются, убедиться в этом предлагается самостоятельно.

Изучаемый вид напряженного состояния, когда внешние силы, приложенные к торцам стержня, приводятся к крутящей паре с моментом и распределяются по тому же закону (10), что и напряжения в поперечном сечении, называется чистым кручением.

Если распределение внешних сил произвольное, но они приводятся к крутящему моменту, то в сечениях, отстоящих от торцов не менее чем на диаметр, согласно принципу Сен-Венана внутренние силы определяются из выражения (10).

Иногда построив эпюру крутящих моментов, по (10) определяют во всех сечениях стержня и строят эпюру распределения наибольших касательных напряжений по длине стержня.

Углы закручивания. Закон Гука. Потенциальная энергия деформации.

Для вычисления деформации стержня при скручивании воспользуемся зависимостью (9) подставив ее в следующем виде

Угол поворота сечения с аппликатой относительно сечения с аппликатой равен

(11)

Если крутящий момент и жесткость стержня при кручении на всем участке постоянны, то (12)

При , (13)

Эта формула по своей структуре аналогична формуле для определения деформации при растяжении-сжатии, и, поэтому её часто называют законом Гука при кручении.

При кручении внешние моменты совершают работу вследствие поворота сечений, к которым они приложены, Эта работа расходуется на создание запаса потенциальной энергии деформации. Т.к. при свободном кручении вблизи точек поперечного стержня создается состояние чистого сдвига, то удельную потенциальную энергию деформации вычисляют по формуле , которая с учетом (10) принимает вид

Интегрируя это выражение по всему объему V, находят полную потенциальную энергию деформации

(14)

Если крутящий момент и жесткость стержня не меняются по длине, то

(15)

где -см формулу (13);

А – работа, совершаемая моментом внешних сил при кручении и равная площади ОВС диаграммы .

Анализ напряженного состояния и характера разрушения

Из формулы (10) видно, что напряжения в поперечном сечении при кручении изменяются по линейному закону от нуля в центре сечения до вблизи точек контура. Такие же по величине касательные напряжения в соответствии с законом равновесия касательных сил возникают в продольных сечениях, проходящих через ось вала х. По граням

элемента , мысленно выделенного у боковой поверхности стержня сечениями, параллельными и перпендикулярными к образующим, действуют только . В сечениях, наклонных к оси, будут также и нормальные напряжения (“чистый сдвиг”). Главные напряжения и располагаются в сечениях под углом 450 к оси вала.

Характер разрушения образцов при кручении зависит от способности материала сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений. Древесина, имеющая сравнительно низкую прочность на скалывания вдоль волокон (вдоль оси образца), разрушается образованием продольных трещин. Если же материал плохо сопротивляется растягивающим напряжениям, как например, чугун, то разрушение произойдет по винтовой поверхности, соответствующей максимальным растягивающим нормальным напряжениям и образующей угол 450 с осью стержня. При пластичном материале ведущая роль в развитии деформации, приводящей к разрушению, принадлежит касательным напряжениям, действующим в поперечных сечениях. Благодаря этим напряжениям на некотором малом участке, ограниченном двумя поперечными сечениями, происходит интенсивная сдвиговая деформация с сильным закручиванием одной части стержня относительно другой. Поэтому плоскость разрушения образцов из пластичного материала, например, из малоуглеродистой стали, перпендикулярна продольной оси образца.

Расчет валов круглого поперечного сечения на прочность и жесткость.

А. Понятие о допускаемым касательным напряжений.

Зная главные напряжения , , вблизи наиболее напряженных точек у боковой поверхности скручиваемого вала и допускаемое напряжение материала при центральном растяжении, можно составить условие прочности вала, используя ту или иную гипотезу прочности, и определить наибольшее касательное напряжение , удовлетворяющее этому условию.

В рассматриваемом случае условие прочности примут вид:

По первой гипотезе (наибольших нормальных напряжений)

(16)

По второй гипотезе (наибольших относительных удлинений)

или ; откуда

. (17)

По третьей гипотезе (наибольших касательных напряжений)

и . (18)

По четвертой гипотезе (энергетической)
, откуда

. (19)

Здесь - допускаемое касательное напряжение при чистом сдвиге или чистом кручении, определяемое из выражений (16)-(19) в зависимости от применяемой гипотезы прочности.

Расчет на прочность по допускаемым напряжениям.

Порядок расчета на прочность при кручении:

По схеме вала и по действующим на него внешним парам строят эпюру крутящих моментов по отдельным участкам;
Выбирают материал для рассчитываемого элемента и определяют допускаемое напряжение этого материала.

Условие прочности

; (20)

Момент сопротивления кручению сплошного круглого поперечного сечения вала

, то условие (20) принимает вид

(21)

Диаметр вала определяется по формуле

(22)

Выражение для допускаемого крутящего момента

(23).

Если вал достаточно длинный и по отдельным участкам действуют существенно разные по величине , то вал следует конструировать ступенчатым. Диаметры на каждой ступени рассчитывают, исходя из формулы (22), но значения крутящего момента берут разные для разных участков в соответствии с эпюрой .

Эпюра представленная на рисунке, свидетельствует о том, что материал внутренней части поперечного сечения значительно недонапряжен по сравнению с периферийной. В связи с этим применяют полые валы, распределение касательных напряжений в которых показано на рисунке, а полярный момент инерции и момент сопротивления кручению выражаются формулами

(24)

где .

Условие прочности сохраняет свой вид и в случае полого вала. Подставив (24) в (20) получим

(25)

Из конструкционных соображений задаются соотношением между размерами внутреннего и наружного диаметров, т.е. и определяют требуемую величину из выражения

(26)

Полый вал способен воспринять больший по величине крутящий момент, чем сплошной вал такой же площади поперечного сечения при одинаковых .

Расчет на жесткость.

При расчете на жесткость относительные углы закручивания ограничиваем некоторой допустимой величиной . При статической нагрузке на каждый метр длины вала. При переменных нагрузках , а при ударных нагрузках . Для валов средних размеров в “Справочнике машиностроителя” рекомендуется принимать на 1 метр длины. Условие жесткости записывается следующим образом

(27)

-наибольший крутящий момент от нормативных нагрузок.

Т.к. формула (27) выражает угол закручивания в радианах на метр, то приведенные выше значения нужно перевести в радианы, умножив их на . Если при проверке окажется, что условие жесткости (27) удовлетворяется, то на этом обычно и заканчивают расчет вала, в противном случае необходимый полярный момент инерции определяется из выражения

Подставляя в эту формулу найдем, что для сплошного вала

(28)

Для полого вала

(29)

При расчете вала часто задают передаваемую мощность и угловую скорость . В этом случае вращающий (скручивающий) момент вычисляют по формулам .

Где - в ; - в ; - в .

Расчет прочности скручиваемого стержня по предельному состоянию

Рассмотрим постепенное возрастание скручивающих внешних моментов, приложенных к торцам круглого цилиндрического стержня из упруго-идеально-пластичного материала, свойства которого характеризуется диаграммой Прандтля. Если рассчитывать стержень по допускаемым напряжениям, то прочностные возможности материала оказываются неиспользованными.

Действительно, после того как достигнут величины , возрастания крутящего момента приводит лишь распространению пластической деформации от поверхности вглубь стержня (рис.а)). Несущая способность элемента будет исчерпана при охвате пластической зоной всего сечения, т.к. в дальнейшем происходит закручивание без увеличения, крутящего момента. Эпюра напряжений в этом состоянии стержня изображен на рисунке б). Вычислим предельный и допускаемый крутящие моменты и получим условие прочности по предельному состоянию.

Выделим в поперечном сечений кольцо шириной и площадью , по которой действуют касательные напряжения (рис.в)). Момент от этих напряжений относительно оси стержня равен . Тогда . Откуда находим предельный крутящий момент . Величина допускаемого крутящего момента . Условие прочности имеет вид

или (30)

Величина - называется пластическим моментом сопротивления кручения для круглого сплошного сечения.

Отношение , т.е. оказывается на 33% больше . Соответственно, с чем и грузоподъемность стержня при расчете его по предельному состоянию на столько не может быть увеличен. Однако следует считаться с уменьшением жесткости вала, а также с возможностью наклепа материала и появления точных напряжений при действии переменной нагрузки. Потому расчеты по несущей способности применяются в практике только при действии постоянных крутящих моментов. У скручиваемых полых стержней кольцевого сечения разница в запасах прочности, обнаруживаемая при расчете по предельному состоянию и по допускаемым напряжениям будут меньше, т.к. распределение в упругой стадии ближе к равномерному.

Кручение. Эпюра крутящих моментов