Гипотезы прочности

Гипотезы прочности.

Для обеспечения прочности материала, находящегося в линейном (одноосном) напряженном состоянии (например, растяжении, сжатии) требовалось, чтобы наибольшее нормальное напряжение не превосходило допускаемого напряжения (расчетного сопротивления), значение которого установлено по полученному в опытах пределу прочности (для хрупких материалов) или пределу текучести (для пластичных материалов). Вместе с тем во многих реальных конструкциях материал испытывает сложное (плоское или объемное) напряженное состояние.

Эксперименты показывают, что сопротивляемость одного и того же материала возникновению предельного состояния (разрушению или течению) зависит не только от модулей главных напряжений , но и от соотношения между ними, от истории нагружения материала. При одноосном сжатии образцы хрупких материалов разрушаются при конечном значении . В то время как в случае всестороннего равномерного сжатия для большинства этих же материалов образец не разрушается ни при какой из достижимой в опытах величине , исключение составляет пористые материалы – пемза, керамзит, пенобетон. При чистом сдвиге , течение пластичных материалов происходит при напряжениях и , значительно меньших предела текучести.

Вопрос: при каких значениях главных напряжений в сложном напряженном состоянии наступит предельное состояние материала?

Наиболее надежный способ решения этой задачи – испытать до разрушения или до начала течения образец, при заданном соотношении , установив, таким образом, предельные, а затем и допускаемые модули главных напряжений. Такое изучение связано со многими затруднениями, т.к. при каждой новой комбинации пришлось бы снова производить испытания. Поэтому чисто экспериментальное решение вопроса, в сущности, невозможно ввиду трудности постановки опытов и громадного объема испытаний. Проблема осложняется и тем, что сопротивление, как разрушению, так и пластической деформации чувствительно к деталям микромолекулярного строения тела. Сравните, например, свойства обычных и высокочувствительных сталей структурные различия которых не велики, а условные пределы текучести и прочности отличаются в 10 и более раз. Заметим так же, что до настоящего времени причина разрушения или течения материала с учетом всех реальных качеств их в исчерпываемом объеме не установлена.

Оценка перехода материала в предельное состояние решается на основе следующих допущений:

Причина разрушения или течения материала не зависит от вида напряженного состояния, т.е. в простом и сложном напряженном состояниях одинаковые ;
Материал изотропен во всех точках заполняемого им пространства, сплошным образом распределен в элементе, подчиняется закону Гука до момента разрушения или течения, и лишен свойств последействия (ползучести, релаксации и др.);
Напряженное состояние элемента однородное и подвергается кратковременному простому статическому нагружению, когда все внешние силы растут пропорционально одному параметру;
Температура материала в окружающей среде – комнатная.

Единой теории прочности материала нет.

Гипотезы прочности материала, находящейся в хрупком состоянии.

За предельное состояние для хрупких материалов принимается разрушение. Оно обычно происходит путем отрыва – отделения друг от друга частей материала по направлению нормали и разделяющей эти части поверхности.

Первая гипотеза прочности

Наблюдая за разрушением твердых тел, Галилео Галилей (1564-1642 г.) сделал предположение, что причиной катастрофического состояния материала является наибольшее растягивающее нормальное напряжение. В случае центрального разрушения разрыв образца их хрупкого материала наблюдается при напряжении равном пределу прочности. Исходя из допущения о независимости причин разрушения от напряженного состояния и принимая во внимание, что наибольшее нормальное напряжение в сложном случае есть главное напряжение , критерии предельного состояния (условие разрушение)можно записать в виде:

;. (1)

Хрупкое разрушение материала в сложном напряженном состоянии происходит тогда, когда наибольшее нормальное напряжение является растягивающем и достигает величины равной пределу прочности в простом случае напряженного состояния (определенному в опытах на центральное растяжение) в момент разрушения.

Иногда гипотезу распространяют и на случай действия сжимающих сил, записывая условие разрушение в виде

Вторая гипотеза прочности.

Впервые сформулирован Э.Мариотом в 1682 году.

Разрушение материала в сложном случае напряженного состояния происходит тогда, когда наибольшая относительная деформация (удлинение) станет равной относительной деформации в простом случае напряженного состояния (при центральном растяжении) в момент разрушения.

В сложном напряженном состоянии - .

При центральном растяжении - .

Опираясь на первое допущение критерий предельного состояния (условие разрушение) можно записать

или (2)

причем .

Применение этой теории заведомо ограничено хрупкими материалами, разрушение которых обычно происходит при малых деформациях. Это дает основание положить, что закон Гука справедлив до момента наступления предельного состояния (см. 2-ое допущение).

Гипотезы прочности материала, находящейся в пластичном состоянии.

При изучении тел, способных испытывать значительные пластические деформации, задолго до разрушения встает вопрос о критерии возникновения этих деформаций. Если основным механизмом хрупкого разрушения является отрыв, пластическая деформация реальных тел обусловлена необратимыми смещениями (скольжениями) элементов структуры тел.

Экспериментально установлено, что пластическая деформация сопровождается только искажением формы тела и не вызывает изменения объема его, т.е. объемная деформация

В общем случае , поэтому в пластическом состоянии можно принять коэффициент Пуассона .

Пример. Определить по первой и второй гипотезам прочности при каком значении произойдет разрушение элемента, находящегося в однородном напряженном состоянии, если

, а ?

Решение.

I. ;

II. , откуда .

Расхождение между результатами по первой и второй гипотезам прочности значительное. Это свидетельствует насколько важно продолжать как теоретические, так и экспериментальные исследования в области теории прочности материалов.

Третья гипотеза прочности.

Примером деформации, сопровождающейся искажением формы без изменения объема, является сдвиг. Определяющая роль сдвигов в механизме пластической деформации была введена Кулоном в 1773 году и позднее Треска в 1868 году, высказавшими гипотезу, согласно которой причиной перехода материала в пластическое состояние является наибольшие касательные напряжения, вызывающие сдвиги.

В простейшем случае (центральное растяжение или сжатие) в момент наступление течения

В сложном случае наибольшее равно .

Если принять во внимание первое допущение, то материал переходит в пластическое состояние в сложном случае напряженного состояния, тогда, когда наибольшее касательное напряжение станет равным наибольшему касательному напряжению в простейшем случае напряженного состояния в момент течения, т.е.

Критерий предельного состояния (условие течения) по третьей гипотезе прочности или по гипотезе наибольших касательных напряжений

. (3)

Критерий (3) достаточно удовлетворительно описывает начало пластической деформации для многих металлов и сплавов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию . Вследствие чего, этот критерий называют условием текучести (пластичности).

Третья гипотеза прочности хорошо соответствует трехосному равномерному сжатию материала, при котором даже очень высокие напряжения не приводят к возникновению текучести.

Недостатки гипотезы заключаются в том, что:

Не учитывается среднее по величине главное напряжение, которое как показывают опыты, вносит погрешность, но не более 12-15 %, при определении предельного состояния материала;
На основании критерии (3) течение материала при трехосном равномерном растяжении не должно возникать, хотя в действительности произойдет.

Четвертая гипотеза прочности.

Польский ученый Т.Губер в 1904 году предложил, в качестве фактора определяющего наступление в материале предельного состояния, считать удельную потенциальную энергию.

Предполагая, что закон Гука справедлив вплоть до наступления предельного состояния (второе допущение), удельную потенциальную энергию, затрачиваемую на изменение формы тела, можно записать в виде

- в общем случае напряженного состояния ;

- в простом случае в момент начала течения, когда, например, , .

(на основании первого допущения)

Течение материала в сложном случае напряженного состояния наступит тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения станет равной удельной потенциальной энергии, затрачиваемой на изменение формы тела в простом случае напряженного состояния в момент начала течения, т.е.

или

, и окончательно

. (4)

Энергия всегда положительна, поэтому энергетическая гипотеза, так же как и третья, не учитывает различие между растяжением и сжатием, другими словами, пользуясь этой гипотезой, приходится принимать

Опыты хорошо подтверждают четвертую гипотезу для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. Появление в материале малых пластических деформаций энергетической гипотезой определяется более точно, чем гипотезой наибольших касательных напряжений.

Пример.

По третьей и четвертой гипотезам прочности определить при каком значении произойдет разрушение элемента, находящегося в однородном напряженном состоянии, если ?

Решение.

III. , откуда ;

IV. , откуда или .

Видим, что для пластичных материалов расхождение между результатами, полученными по третьей и четвертой гипотезам меньше, чем для хрупких материалов по первой и второй гипотезам, но все же таковы, что им далеко не всегда можно пренебречь.

Приведенное напряжение. Универсальная запись признака наступления предельных состояний и условия прочности.

Если в результате расчета напряженное состояние материала в близи точки элемента от заданных воздействий представить показателем

- приведенное напряжение, представляющее совокупность главных напряжений и равное:

По первой гипотезе прочности ;
По второй гипотезе прочности ;
По третьей гипотезе прочности ;
По четвертой гипотезе прочности .

Признак наступления вблизи выбранной точки предельного состояния выразится равенством

- нормативное сопротивление материала, которое для хрупких материалов равно пределу прочности , для пластичных материалов равно пределу текучести .

Условие прочности материала

где - расчетное сопротивление материала;

- нормативный коэффициент запаса прочности.

Действительный коэффициент запаса прочности в сложном случае напряженного состояния

Гипотезы прочности