Устойчивость равновесия деформируемых систем

Под устойчивостью понимается свойство системы самостоятельно восстанавливать свое первоначальное состояние после того, как системе было сообщено некоторое отклонение от положения равновесия. При отсутствии таких свойств система является неустойчивой. Находится, длительное время в состоянии неустойчивого равновесия ни одна конструкция не может. Всегда происходит переход к некоторому новому состоянию. В этом случае говорят, что произошла потеря устойчивости, сопровождающаяся большими перемещениями, пластическими деформациями или полным разрушением, а иногда переходом в колебательный незатухающий режим. В некоторых случаях конструкция при потере устойчивости продолжает сопротивляться воздействием и выполняет свои основные функции, как, например, тонкостенная обшивка в самолетных конструкциях.

Состояние шарика, который перемещается без трений по неровной поверхности, определяется только занимаемым положением и может быть:

а) устойчивым, когда при любом достаточно малом отклонении от положения равновесия он возвращается в это положение;
б) неустойчивым, при котором любое отклонение от положения равновесия имеет своим следствием дальнейшее отклонение до тех пор, пока не будет достигнута положение устойчивого равновесия;
в) безразличным.

Заметим, что этим состояниям соответствует минимальное (а), максимальное (б) и постоянное (стационарное) (в) значение потенциальной энергии.

Во многих случаях устойчивость равновесия тела, связана не только с его положением, но и величиной действующих сил. Например, нагрузим достаточно длинный, по сравнению с поперечными размерами, шарнирно прикрепленный по концам и выполненный из линейно упругого материала идеально прямой стержень, центрально приложенной постепенно возрастающей силой Р. Пока осевая нагрузка Р мала, стержень от поперечного возмущения изогнётся. Но при устранения возмущения вновь становится прямым. Такая прямолинейная форма равновесия является устойчивой.

Постепенно увеличивая силу Р, можно довести её до величины при которой как прямолинейная, так и криволинейная формы равновесия равновероятны. Соответствующие состояния нейтрального безразличного равновесия называется критическим. Критической силой - называется наименьшая сжимающая сила, при превышении которой стержень теряет способность сохранять первоначальную прямолинейную форму равновесия, а криволинейная возможной .

Если - то упругое прямолинейное равновесие неустойчиво. Тело, будучи выведенным, из него каким-либо воздействием, приобретает стремление продолжать деформироваться в направлении данного ему отклонения, и после удаления воздействия не возвращаться в исходное состояние.

Таким образом, кроме расчета на прочность и жесткость, в ряде случаев необходим расчет на устойчивость. При этом надо знать критическую силу . Впервые решения задачи по определению было дано академиком Петербургской Академии наук Л. Эйлером в 1744 году.

Формула Эйлера для критической силы центрально сжатого стержня с шарнирно закрепленными концами.

Критическому состоянию упругого тела по Эйлеру соответствует внешняя нагрузка, при которой наряду с начальным прямолинейным состоянием равновесия становится возможной сколь угодно близкая криволинейная форма равновесия. Такой подход к решению задачи устойчивости называется статическим.

Рассмотрим прямой стержень с шарнирно закрепленными концами, центрально сжатой силой . Зададимся началом координат в точке на верхнем конце элемента. Предположим, что сила не вызывает напряжений, превышающих предела пропорциональности, и что, получив малые отклонения от прямолинейной формулы, стержень изогнулся. В этом состоянии для любого сечения изгибающий момент , т.к. (если бы стержень искривлялся выпуклостью вправо, то ордината прогиба была бы положительной, а кривизна и знак момента отрицательными, т.е вновь ).

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня

или .

Вводя обозначение (1)

Получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

(2)

общее решение, которого имеет вид

(3)

Условия на концах стержня: 1) при прогиб ; 2) при прогиб . Из первого условия - и , следует С=0. Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением

(4).

Из второго условия получим . Это соотношение справедливо в двух случаях: а) D=0, но если С=0 и D=0, то прогибы , что противоречит исходной предпосылки ; б) , когда принимает значение , где n – любое число. Отсюда и с учетом (1)

Т.е. получается множество критических сил, соответствующих различным формам искривления. Значение n=0 не дает решения (Р=0). Практический интерес представляет лишь наименьшая критическая сила величину, которой найдем, принимая n=1 и , так что

(5)

Это и есть формула Эйлера. Силе из (5) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной . Обратим внимание, что постоянная D, а следовательно, и форма изогнутой оси остались неопределенными. Если применить для исследования точное дифференциальное уравнение изогнутой оси, то оказывается возможным найти не только , но и установить зависимость между сжимающей силой и прогибом стержня.

Влияние способов закрепления концов стержня на критическую силу

Чаще всего концы стержней закрепляются одним из четырех способов (см. рис.). Когда стержни теряют устойчивость, то по их концам, помимо силы Р, в зависимости от способа зак-репления, могут действовать как реактивная горизонтальная сила H, так и реактивный момент . Следовательно, в общем случае на расстоянии от опорных частей изгибающий момент (знак при и устанавливается в соответствии с принятыми ранее правилами – см. “Построение эпюр в балке”).

Дифференциальное уравнение оси изогнутого стержня запишется в виде

или (6)

Общим решением уравнения (6) будет

(7)

В (6) и (7) см (1).

Подчинив выражение (7) условиям на концах стержня, находятся постоянные С и D и устанавливается уравнение, определяющее критическую силу. Выбрав начало координат на верхнем конце элемента, получим:

при первом способе закрепления и

и, следовательно (см. п. (1))

(5.а).

при втором способе закрепления и , причем и . Следовательно, С=0 и . Тогда критическая сила должна определяться из уравнения или откуда . Принимая, n=0 и будем иметь

(5.б)

Ось изогнутого стержня описывается уравнением , длина совпадает с длиной четверти волны синусоиды.

Если один конец стержня защемлен, а другой шарнирно закреплен, то и . Запишем условия на опорах: а) ; б) ; в) . Из условия а) получаем С=0 и, следовательно

; из б) и , ; из условия в) , и т.к. , для определения критической силы имеем уравнение или (8).

Наименьший корень (8) , откуда . Таким образом

(5.в)

Линия прогибов описывается выражением , а длина стержня совпадает с длиной приблизительно полутора полуволн синусоиды.

При защемлении обоих концов стержня и . Граничные условия: а) ; б) ;

в) ; г) . Из граничных условий получим , , , . Для определения имеем уравнение и , которые одновременно удовлетворяются , где (при нечетных n , а должен быть равен ). Значение n=0 не дает решения (Р=0). Критическую силу найдем, принимая n=2 и

(5.г).

Уравнение изогнутой оси , длина стержня равна длине двух полуволн синусоиды.

Сравнивая (5.а) и (5.г) видим, что при прочих условиях во втором случае вчетверо меньше, а в третьем и четвертом случаях соответственно вдвое и вчетверо больше, чем для стержня с шарнирным опиранием по концам.

Соотношения (5.а)-(5.г) можно объединить в одну формулу

(5)

где - приведенная свободная длина стержня, введенная впервые в 1892 году русским ученым Ф.С. Ясинским; фактическая длина стержня; - коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления концов стержня (значения для рассмотренных случаев приведены на рисунке).

Если закрепления концов в направлениях главных осей инерции сечения стержня различны, то при искривлении необходимо определять критическую силу для того, и другого случая, и принимать в расчет наименьшую из них.

В реальных конструкциях необходимо учитывать влияние на устойчивость собственного веса элемента. Так для случаев представленных на рисунке критический собственный вес соответственно равен

(9) и (10).

Умножая члены и знаменатель выражения (9) на 4 получим

. Откуда .

При шарнирном закреплении концов стержня . Здесь - вес единицы длины элемента.

Значение критической нагрузки при совместном действии сжимающей силы и собственного веса стержня следует определять по формуле

(11)

- эквивалентная собственному весу элемента сила, приложенная к конце невесомого стержня ( и - соответственно для случаев представленных на рисунке).

Т.к. критическая нагрузка не зависит от показателя прочности материала, то увеличить её можно либо увеличивая жесткость , либо уменьшая приведенную длину стержня . Использование материала с высоким допускаемым напряжением не экономично.

Пределы применимости формулы Эйлера.

Изложено исследование устойчивости центрально сжатого стержня производилась в предположении, что при действии критической силы в материале возникают упругие деформации, модуль упругости Е является постоянной величиной, и критическое напряжение не превосходит предела пропорциональности , т.е.

здесь и - площадь и наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня; - безразмерная величина, называемая гибкостью стержня и характеризующая влияние размеров элемента и способа закрепления концов (введена Ф.С. Ясинским).

Т.о. формула Эйлера (5) можно применять при условии

(12)

или (13).

Видим, что критическое напряжение зависит от упругих свойств материала (модуля упругости Е) и гибкости стержня . В системе координат видоизмененная зависимость формулы Эйлера

(14)

может быть представлена кривой BCD, называемой гиперболой Эйлера.

Слева от точки С кривая показана штриховой линией, т.к. не выполняются условия (12) и (13), т.е. . При стержни называются гибкими. Для стали Ст.3 , и .

Явление потери устойчивости продолжает существовать и за пределами упругости, т.е. в пластической области материала. Опытами установлено, что при этом меньше значений, определяемых из выражения (14), применение которого в этих случаях не только принципиально, неправильно, но и крайне опасно по своим последствием.

Устойчивость сжатого стержня при напряжениях, превышающих предел пропорциональности.

Теоретическое решение задачи об устойчивости центрально сжатых элементов в пластической области осложняется тем обстоятельством, что процесс деформирования здесь зависит не только от свойств материала нагружения, но и от характера нагружения стержня. Существуют приближенные теоретические способы определения критического напряжения в неупругой стадии материала. Во многих же случаях инженерной практики для ряда материалов (например, стали, древесины) применяется следующая эмпирическая зависимость, полученная Ф.С.Ясинским на основе обработки большого числа опытных данных

(15)

Коэффициенты и зависят от свойств материала.

При некотором значении гибкости величина , вычислена по формуле (15), становится равной предельному напряжению при сжатии, а именно: пределу текучести от пластических материалов или пределу прочности для хрупких материалов. Стержни, у которых или называются стержнями малой гибкости. Их рассчитывают только на прочность с помощью формул центрального сжатия . Этим случаям на рисунке соответствует горизонтальная прямая LH .

Для стержней средней гибкости или справедлива формула Ф.С.Ясинского, которой на рисунке соответствует наклонная прямая CL.

Если известны , то можно найти коэффициенты и в зависимости (15) которая при и (для точки С) примет вид , а при и (для точки L) . Решая совместно, получим

; ; (16)

Например, в случае , , и и получим , .

Расчеты на устойчивость центрально сжатых стержней.

А. По формулам Эйлера и Ясинского

Различного рода отклонения от идеального состояния (возможность случайного эксцентриситета приложения сжимающей силы, начальные несовершенства прямолинейной формы стержня, неоднородность материала и т.п.) учитывается коэффициентом запаса устойчивости , назначаемым в зависимости от материала и гибкости стержня. Так как отмеченные отклонения вносят большую степень неопределенности или незнания в значения факторов, влияющих на устойчивость элемента, то всегда принимается больше основного коэффициента запаса на прочность . Например, для стали , ; для чугуна , . Причем меньшим значениям соответствует большие гибкости.

Выбрав коэффициент запаса устойчивости, и разделив на него критическое напряжение, вычисленное по формуле (14) и (15), получим допускаемое напряжение на устойчивость

(17)

Устойчивость центрально сжатого стержня будет обеспечена, при условии, что

(18)

где - действительное напряжение в сжатом силой Р стержне, имеющем площадь поперечного сечения А.

Расчет на устойчивость может быть выполнен в двух вариантах:

Проверочный - вычислив действительное напряжение от заданного значения сжимающей силы Р и определив допускаемое напряжение на устойчивость при известных геометрических характеристиках стержня, материале и способе закрепления концов элемента, проверяют условие (18) (можно показать пример);
Проектировочный – выполняется методом последовательных приближений. При заданном значений сжимающей силы Р, краевых условиях и материале стержня подбирается сечение, обеспечивающее устойчивость. Задаются , определяют , и по таблице находят соответствующее значение . Если разница между действующей и допускаемой силами велика, то следует повторить расчет, задавшись значением и т.д., пока эта разница не будет меньше 5%.

Инженерный (практический) расчет сжатых стержней

При назначении размеров сжатых стержней в первую очередь приходится заботиться о том, что в процессе эксплуатации при действии сжимающих сил не потерял устойчивость. Поэтому напряжения в сжатом стержне должны быть обязательно меньше критических:

(19).

Исследование показали, что местные ослабления, например, заклепочные отверстия, ослабление за счет врубок и т.п., не оказывают существенного влияния на величину критической силы. Этим объясняется, что в формуле (19) при определении критических напряжений берется площадь сечения брутто. В тех особых случаях, когда ослабления весьма значительны, дополнительно производится проверка прочности по ослабленному сечению на чистое сжатие.

Для надежной работы сжатого стержня необходимо предусмотреть определенный запас устойчивости, поэтому напряжения в стержне должны быть меньше расчетного сопротивления, которое в свою очередь должно составлять некоторую часть от критического напряжения:

(20).

Проведем сравнение формулы (20) с формулой, применяемой при подборе сечений растянутых стержней

(а)

Обозначим отношение правых частей формул (20) и (а) через :

, откуда

Величина представляет собой коэффициент уменьшения основного расчетного сопротивления при продольном изгибе. В СНиП он называется коэффициентом продольного изгиба. Коэффициент зависит от критического напряжения, а следовательно, является функцией гибкости стержня (см. 12)

(21)

Расчетную формулу (20( перепишем в следующем виде

Разделив все члены этого уравнения на , получим

Отношение называют расчетным напряжением . Тогда

(22)

Расчетная формула для сжатого стержня в форме (22) внешне совпадает с формулой (а) для растянутого стержня. Такая запись удобна тем, что она позволяет пользоваться одним расчетным сопротивлением, как для сжатых, так и для растянутых стержней.

Подбор сечения сжатых стержней представляет собой более сложную задачу, чем растянутых. Это объясняется тем, что величина , входящая в расчетную формулу, зависит от размеров и формы поперечного сечения и поэтому заранее не может быть назначена. Ввиду этого подбор сечения обычно проводят путем последовательных приближений (попыток)

Устойчивость равновесия деформируемых систем