МЕХАНИЧЕСКИЕ (УПРУГИЕ) ВОЛНЫ

ТЕМА № 7 (2лц+2пр+4ср)

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде (или в вакууме) и несущие с собой энергию. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной осуществляется без переноса вещества.

Основными видами волн являются упругие (в частности, звуковые и сейсмические) волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (например, световые волны и радиоволны).

Волны могут иметь различную форму. Одиночной волной или импульсом называют короткое возмущение, не имеющее регулярного характера (рис. 1 а). Ограниченный ряд повторяющихся возмущений называется цугом волн. Обычно под цугом понимают отрезок синусоиды (рис. 1 б). Особое значение в теории волн имеет гармоническая волна, т.е. бесконечная синусоидальная волна, в которой изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса (рис. 1 в).

Мы начнем с рассмотрения упругих гармонических волн. Если в каком либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами эти колебания будет распространяться в среде от частиц к частице с некоторой скоростью в среде возникает волна.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Упругие поперечные волны могут возникать лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 2 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны.

На рис. 3 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны.

Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени , называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут иметь различную форму. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне множество концентрических сфер.

Рассмотри случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси . Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату (но различные значения координат и ), колеблются в одинаковой фазе.

На рис. 4 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными в некоторый момент времени. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны и определяется как

, (1)

где скорость волны, период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, раной (см. рис. 4).

Наряду с длиной волны используется другая характеристика синусоидальной волны волновое число , которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной :

. (2)

Учитывая, что

, (3)

где частота колебаний, на основании (1), получим важное соотношение

. (4)

2. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси имеет вид

, (5)

где амплитуда колебаний, называемая амплитудой волны; циклическая (круговая) частота волны; период колебаний; начальная фаза колебаний в точках координатной плоскости . Величина , равная фазе колебаний в произвольной точке с координатой , называется фазой плоской волны.

3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси (5), волновое уравнение имеет вид

. (6)

4. СКОРОСТЬ УПРУГИХ ВОЛН В ТВЕРДОЙ СРЕДЕ

4.1. Продольные волны

Фазовая скорость продольных волн равна корню квадратному из модуля Юнга , деленного на плотность среды :

. (7)

4.2. Поперечные волны

Фазовая скорость для поперечных волн равна:

, (7)

где модуль сдвига.

5. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ

Если в некоторой среде распространяется в направлении плоская продольная волна

, (8)

то плотность ее энергии будет равна

. (9)

В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.

Среднее по времени значение плотности энергии в каждой токе среды

. (10)

6. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. Более строгое определение когерентности будет дано в теме Х. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

7. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей на встречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси в противоположных направлениях:

, ,

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

. (11)

Уравнение (11) есть уравнение стоячей волны. Это уравнение можно упростить. Для этого необходимо выбрать начало отсчета так, чтобы разность стала равной нулю, а начало отсчета так, чтобы оказалась равной нулю сумма . Кроме того, нужно заменить волновое число его значением . Тогда уравнение (11) примет вид

. (12)

Из (12) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн.

МЕХАНИЧЕСКИЕ (УПРУГИЕ) ВОЛНЫ