ЭНЕРГИЯ, РАБОТА, МОЩНОСТЬ

ТЕМА № 3 (2лц+2пр+4ср)

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Понятия энергии и работы широко используются в повседневной жизни. Эти понятия тесно связаны друг с другом. Например, говорят об энергичном или работоспособном человеке. Греческое слово «энергия» означает «деятельность». Известно, что работа совершается за счет запаса энергии и, наоборот, совершая работу, можно увеличить запас энергии в каком-либо устройстве. Например, совершая работу при заводе часов, мы создаем запас энергии в пружине, за счет которого затем идут часы.

Энергия является общей количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего; она может лишь переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. В соответствии с различными формами движения материи рассматривают разные виды энергии механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

В дальнейшем мы дадим определения механической энергии и работы. Механическая энергия бывает двух видов – кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется скоростями рассматриваемых тел. Потенциальная энергия (или энергия положения) зависит от взаимного расположения (от конфигурации) взаимодействующих тел.

2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Напишем уравнение движения тела:

. (1)

Здесь результирующая сила, действующая на тело. Умножив скалярно уравнение (1) на перемещение тела , получим

. (2)

Замечая, что придем к соотношению

. (3)

Если сила , то , а сама величина

(4)

остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией тела.

Умножив на числитель и знаменатель выражения (4) и приняв во внимание, что произведение равно импульсу тела, выражению для кинетической энергии можно придать вид

. (5)

Если на тело действует сила , то кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно (3) приращение кинетической энергии тела за время , равно скалярному произведению ( это есть перемещение тела за время ). Величина

(6)

называется элементарной работой, совершаемой силой при перемещении на .

Проинтегрируем соотношение (3) вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2:

. (7)

Левая часть представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1, т.е. приращение кинетической энергии на пути 1-2. Учтя это, получим выражение

. (8)

Величина

(9)

есть работа силы на пути 1-2; есть проекция силы на направление перемещения. Иногда мы будем обозначать эту работу символом вместо .

Итак, работа результирующей всех сил, действующих на тело, идет на приращение кинетической энергии тела:

. (10)

В этом заключается физический смысл работы. Говоря о работе, всегда надо помнить, что работу может совершать только сила.

3. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ

Кроме контактных взаимодействий, возникающих между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Подобные взаимодействия осуществляются посредством физических полей, которые представляют собой вид материи. Каждое тело создает в окружающем его пространстве особое состояние, называемое силовым полем. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела.

Поле называется однородным, если во всех точках поля силы, действующие на тело, одинаковы по модулю и направлению, т.е. .

Поле, изменяющееся со временем, называется нестационарным; поле, остающееся постоянным во времени, стационарным.

Для стационарного поля может оказаться, что работа, совершаемая над телом силами поля, зависит лишь от начального и конечного положений тела, и не зависит от пути, по которому двигалось тело. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными.

Типичными неконсервативными силами являются силы трения.

Так как сила трения и скорость тела имеют противоположные направления, работа силы трения на каждом участке пути отрицательна:

. (11)

Поэтому будет отрицательной (т.е. отличной от нуля) и работа на любом замкнутом пути. Отсюда вытекает, что силы трения не консервативны.

4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

В случае, когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от начального и конечного положений тела, каждой точке поля можно сопоставить некоторую функцию такую, что разность значений этой функции в точках 1 и 2 будет определять работу сил при переходе тела из первой точки во вторую:

. (12)

Таким образом, с помощью функции можно определить работу, совершаемую над телом консервативными силами на любом пути, начинающемся в произвольной точке 1 и заканчивающемся в произвольной точке 2.

Зная вид функции , можно также найти силу, действующую на тело в каждой точке поля. Рассмотрим перемещение тела параллельно оси на . Такое перемещение сопровождается совершением над телом работы (6), равной

. (13)

Компоненты перемещения и равны нулю. С другой стороны, согласно (12) та же работа может быть представлена как убыль потенциальной энергии:

. (14)

Приравняв выражения для работы (13) и (14), получим, что

. (15)

Отсюда

(, ). (16)

Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функцию , вычисленную в предположении, что переменные и остаются неизменными, а изменяется лишь переменная . Подобные производные называются частными и обозначаются, в отличие от производных функций одной переменной, символом . Следовательно, компонента силы по оси равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной : . Для компонент силы по осям и получаются аналогичные выражения. Таким образом,

, , . (17)

Зная компоненты, можно найти вектор силы:

. (18)

Вектор с компонентами , , , где – скалярная функция координат , , , называется градиентом функции и обозначается символом либо ( называется оператором набла, читается так: «градиент фи»). Из определения градиента следует, что

. (19)

Сравнение (18) с (19) показывает, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком

. (20)

Пусть тело, на которое действует сила (20), перемещается на отрезок , имеющий компоненты , , . При этом сила совершает работу

. (21)

Приняв во внимание, что , получим для приращения функции следующее выражение:

. (22)

Выражение (22) называется полным дифференциалом соответствующей функции.

5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И РАБОТА

До сих пор мы рассматривали системы невзаимодействующих тел. Теперь перейдем к рассмотрению системы из двух взаимодействующих друг с другом тел (рис. 1).

Обозначим силу, с которой второе тело действует на первое, символом , а силу, с которой первое тело действует на второе, – символом . В соответствии с третьим законом Ньютона . Введем вектор , где и – радиусы-векторы тел. Расстояние между телами равно модулю этого вектора. Допустим, что силы и имеют модуль, зависящий1 только от расстояния между частицами, и направлены вдоль соединяющей частицы прямой. Это справедливо для сил гравитационного и кулоновского взаимодействий.

При сделанных допущениях можно показать, что элементарная работа внутренних сил и будет равна

, (27)

Функция представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояния между телами.

6. МОЩНОСТЬ

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Если за время совершается работа , то мощность равна

. (28)

С другой стороны принимая во внимание, что на основании (6) имеем

. (29)

Согласно (29) мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Рисунок 1

ЭНЕРГИЯ, РАБОТА, МОЩНОСТЬ