ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ТЕМА № 2 (2лц+2пр+4ср)

1. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

Среди всевозможных систем отсчета существуют такие системы, относительно которых движение тел оказывается особенно простым. В частности, тела, не подверженные воздействию других тел, движутся относительно таких систем без ускорения, т.е. прямолинейно и равномерно. Эти особенные системы отсчета называются инерциальными.

Существование инерциальных систем установлено из опыта и представляет собой закон природы. Инерциальных систем существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно (т.е. с постоянной скоростью), будет также инерциальной.

2. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА

В основе так называемой ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г.

2.1. Первый закон ньютона

Утверждение о существовании инерциальных систем отсчета Ньютон сформулировал в виде закона инерции, который называется также первым законом Ньютона. Согласно этому закону всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставить его изменить это состояние. Оба названных состояния характеризуются тем, что ускорение тела равно нулю.

2.2. Масса и импульс тела

Всякое тело «противится» попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой.

Произведение тела на его скорость Ньютон назвал количеством движения тела. Это название устарело, и теперь величину

(1)

называют импульсом тела.

2.3. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона гласит, что скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе :

. (2)

Уравнение (2) называется уравнением движения тела (уравнением изменения импульса).

Заменив согласно (1) импульс произведением и учтя, что в ньютоновской механике масса предполагается постоянной, можно представить соотношение (2) в виде

, (3)

где . Таким образом, мы пришли к другой формулировке второго закона Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно действующей на тело силе. Это закон называется также законом ускорения Ньютона.

Соотношение (3) вызывало и продолжает вызывать среди физиков много споров. До сих пор нет общепринятого истолкования этого соотношения. Сущность состоит в том, что не существует независимых способов определения величин и , входящих в уравнение (3). Для определения одной из них ( или ) приходится использовать соотношение (3), связывающее эту величину с другой и с массой .

Подчеркнем, что второй закон Ньютона (так же как и два других его закона) является экспериментальным законом. Он возник в результате обобщений данных опытов и наблюдений.

В частном случае, когда ( т.е. при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел), ускорение, как следует из (3), также равно нулю. Этот вывод совпадает с утверждением первого закона Ньютона. Поэтому первый закон входит во второй как его частный случай. Несмотря на это, первый закон формулируется независимо от второго, так как в нем по сути заключен постулат (утверждение) о существовании инерциальных систем отсчета.

2.4. Третий закон Ньютона

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело действует на тело с силой , то и тело в свою очередь действует на тело с силой .

Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по модулю и противоположны по направлению. Используя приведенные выше обозначения сил, содержание третьего закона можно представить в виде равенства

. (4)

Из третьего закона Ньютона вытекает, что силы возникают попарно: всякой силе, приложенной к какому-то телу, можно сопоставить равную ей по модулю и противоположно направленную силу, приложенную к другому телу, взаимодействующему с данным.

Третий закон Ньютона бывает справедлив не всегда. Он выполняется вполне строго в случае контактных взаимодействий (т.е. взаимодействий, наблюдающихся при непосредственном соприкосновении тел), а также при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел.

3. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся относительно друг друга с постоянной скоростью . Одну из этих систем, обозначенную на рис. 1 буквой , будем условно считать неподвижной. Тогда вторая система будет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси , , системы и оси , , системы так, чтобы оси и совпадали, а оси и , а также и были параллельны друг другу.

Найдем связь между координатами , , некоторой точки в системе отсчета и координатами , , той же точки в системе отсчета . Если начать отсчет времени с того момента, когда начала координат обеих систем совпадали, то, как следует из рис. 1, . Кроме того, очевидно, что и . Добавив к этим соотношениям принятое в ньютоновской механике предположение, что время в обеих системах течет одинаковым образом, т.е., что , получим совокупность четырех уравнений, называемых преобразованиями Галилея:

, , , . (5)

Второе и последнее из соотношений (5) оказываются справедливыми лишь при значениях , малых по сравнению со скоростью света (). При , сравнимых с , преобразования Галилея должны быть заменены более общими преобразованиями Лоренца. В рамках ньютоновской механики формулы () оказываются справедливыми с большой степенью точности.

Продифференцировав соотношения (5) по времени, найдем связь между скоростями точки по отношению к системам отсчета и:

, или ,

, или , (6)

, или .

Три скалярных соотношения (6) эквивалентны следующему соотношению между вектором скорости по отношению к системе и вектором скорости по отношению к системе :

. (7)

Формулы (6) и (7) дают правило сложения скоростей в ньютоновской механике.

В теме № 1 отмечалось, что любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой системы с постоянной скоростью, будет также инерциальной. Теперь имеется возможность доказать это утверждение. Для этого продифференцируем по времени соотношение (7). Учитывая, что постоянна, получим

, или . (8)

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Поэтому если одна из этих систем инерциальна (это значит, что при отсутствии сил ), то и остальные будут инерциальными (также равно нулю).

Сила , действующая на частицу в системе , совпадает с силой , действующей на частицу в системе : . Это следует из того, что сила зависит от расстояний между данной частицей и действующими на нее частицами (и, возможно, от относительных скоростей частиц), а эти расстояния (и скорости) полагаются в ньютоновской механике одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета. Масса также одинакова во всех системах.

Из всего сказанного следует вывод, что уравнения движения не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е., как говорят, инвариантны по отношению к преобразованию координат, соответствующему переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета одинаковы: ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии прямолинейного и равномерного движения. Находясь, например, в вагоне поезда, движущегося без толчков прямолинейно и равномерно, мы, не выглянув в окно, не сможем определить, движется вагон или покоится. Свободное падение тел, движение брошенных нами тел и все другие механические процессы будут в этом случае происходить так же, как и в случае, если бы вагон был неподвижен.

Указанные обстоятельства были выявлены еще Галилеем. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится данная система отсчета или движется прямолинейно и равномерно, носит название принципа относительности Галилея.

4. СИЛЫ

В современной физике различают четыре вида взаимодействий:

1) гравитационное (или взаимодействие, обусловленное всемирным тяготением),

2) электромагнитное (осуществляемое через электрические и магнитные поля),

3) сильное или ядерное (обеспечивающие связь частиц в атомном ядре),

4) слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).

В рамках классической механики имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими силами и силами трения. Два последних вида сил определяются характером взаимодействия между молекулами вещества. Силы взаимодействия между молекулами вещества имеют электромагнитное происхождение. Следовательно, упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными.

Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными их нельзя свести к другим, более простым силам. Упругие силы и силы трения не являются фундаментальными.

4.1. Гравитационная сила

Эта сила возникает при взаимодействии двух электрически нейтральных тел и , удаленных друг от друга на расстояние :

, (9)

где гравитационная постоянная.

В данном случае взаимодействие тел осуществляется через гравитационное поле. Скажем, первое тело создает в окружающем ее пространстве поле, которое проявляет себя в том, на помещенное в какую либо точку этого поля тело действует сила притяжения к первому телу. Аналогично второе тело создает поле, которое проявляет себя в действии на первое тело.

4.2. Электрическая сила

Сила, с которой взаимодействуют два покоящихся точечных заряда и , дается законом Кулона:

. (10)

Здесь взаимодействие точечных зарядов осуществляется через электрическое поле. Например, первый заряд создает в окружающем его пространстве поле, которое проявляет себя в том, на помещенный в какую либо точку этого поля второй заряд действует сила, которая может быть как положительной, так и отрицательной. Аналогично второй заряд создает поле, которое проявляет себя в действии на первый заряд.

4.3. Магнитная сила

Если заряды движутся, то, кроме силы ( 10), на них действуют магнитные силы. Магнитная сила, действующая на точечный заряд , движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией , определяется формулой

. (11)

4.4. Упругие силы

Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, т.е. изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой.

Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука:

, (14)

где постоянный положительный коэффициент, характеризующий упругие свойства тела, координата ( соответствует недеформированному состоянию), единичный вектор.

Величина, равная отношению силы к площади поверхности , на которую действует сила, называется напряжением:

. (15)

Благодаря взаимодействию частей тела (стержня) друг с другом напряжение передается во все точки тела – весь объем тела оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным.

Для характеристики упругих свойств материала пользуются величиной, называемой модулем Юнга . Опыт показывает, что

, (16)

где деформация. Это выражение представляет собой другую форму закона Гука.

3.4. Силы трения

Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей относительно друг друга. Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним; трение между частями одного и того же сплошного тела, носит название внутреннего.

Сухое трение. Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными силе нормального давления, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

. (17)

Безразмерный коэффициент пропорциональности называется коэффициентом трения (соответственно покоя или скольжения).

Вязкое трение. В отличие от сухого вязкое трение характерно тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью. При небольших скоростях сила растет линейно со скоростью

. (18)

Сила сопротивления. Следует иметь в виду, что помимо собственно сил трения, при движении тел в жидкой или газообразной среде возникают так называемые силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо значительнее, чем силы трения.

3.5. Сила тяжести и вес

Под действием гравитационной силы все тела падают с одинаковым относительно Земли ускорением, которое называется ускорением свободного падения и обозначается буквой . Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой действует сила, называемая силой тяжести.

. (19)

Если подвесить тело (рис. 2 а) или положить на опору (рис. 2 б), оно будет покоиться относительно Земли. В этом случае сила тяжести уравновешивается силой , которую называют реакцией подвеса или опоры. Реакциями называются силы, с которыми на данное тело действуют другие тела, ограничивающие его движение.

По третьему закону Ньютона тело действует на подвес или опору с силой , которую называют весом тела.

Итак, вес тела это сила, с которой тело действует на подвес или опору вследствие гравитационного притяжения к Земле.

Поскольку силы и уравновешивают друг друга, выполняется соотношение

. (20)

В свою очередь есть сила, с которой подвес (или опора) действует на тело. Согласно третьему закону Ньютона должно выполняться соотношение

. (21)

Сравнение обоих соотношений приводит к выражению

. (22)

Таким образом, вес и сила тяжести равны друг другу.

Вес равен только в том случае, если тело и подвес (или опора) неподвижны относительно Земли. В случае их движения с некоторым ускорением вес не будет равен . Это можно уяснить на следующем примере.

Пусть подвес в виде укрепленной на рамке пружины движется вместе с телом с ускорением (рис. 3). Тогда уравнение движения тела будет иметь вид

. (23)

где - реакция подвеса, т.е. сила, с которой пружина действует на тело. По третьему закону Ньютона тело действует на пружину с силой , которая по определению представляет собой вес тела в этих условиях. Заменив в (23) на , а силу тяжести произведением , получим

. (24)

Формула (24) определяет вес тела в общем случае. Она справедлива для подвеса или опоры любого вида.

При свободном падении лифта с подвесом и сила , с которой тело действует на опору, равна нулю. Наступает состояние невесомости.

Отметим, что часто путают силу тяжести и вес тела. Это обусловлено тем, что в случае неподвижной опоры силы и совпадают по модулю и направлению (обе они равны ). Однако следует помнить, что эти силы приложены к разным телам: приложена к самому телу, - к подвесу или опоре, ограничивающем свободное движение тела в поле сил земного тяготения. Кроме того, сила всегда равна независимо от того, движется тело или покоится; вес же зависит от ускорения, с которым движется опора и тело, причем она может быть как больше, так и меньше ; в состоянии невесомости она обращается в нуль.

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ