МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ТЕМА № 5 (3лц+3пр+6ср)

1. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.1. Поворот тела

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого равна , а направление совпадает с осью, вокруг которой происходит поворот. Для того чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, направление поворота и отрезок его изображающий, связывают между собой правилом правого винта: направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него (рис. 2), мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (вращая головку правого винта по часовой стрелке, мы вызовем его перемещение от себя).

Мы знаем, что повороты на конечные углы складываются не по правилу параллелограмма (не сохраняются свойства сложения векторов) и потому не являются векторами.

Иначе обстоит дело для поворотов на очень малые углы . Путь, проходимый любой точкой тела при очень малом повороте, можно считать прямолинейным (рис. 2). Отсюда следует, что очень малые повороты можно рассматривать как векторы (мы будем эти векторы обозначать символами или ). Если повернуть тело на очень малый угол вокруг оси и на очень малый угол вокруг оси , то при достаточно малых и последовательность, в которой совершаются эти повороты, не влияет на результат (мы предполагаем, что обе оси проходят через общую точку О). Существует один поворот вокруг оси на угол , который в пределе для бесконечно малых равносилен сумме поворотов 1 и 2. Этот поворот определяется следующим векторным уравнением (рис. 2):

или . (1)

1.2. Угловая скорость

Если очень малые повороты совершаются за очень малое время, то векторная величина

(2)

называется угловой скоростью тела, причем . Угловая скорость является кинематической характеристикой направления и быстроты вращения тела (см. рис. 3)

Модуль угловой скорости равен

. (3)

Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равномерным вращением, если модуль угловой скорости тела постоянен:

. (4)

В этом случае угол поворота тела прямо пропорционален времени вращения :

. (5)

Таким образом, при равномерном вращении угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. (Сравнение с поступательным движением: и ).

Равномерное вращение можно характеризовать периодом обращения , под которым понимают время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол . Поскольку промежутку времени соответствует угол поворота , то

, (6)

откуда

. (7)

Число оборотов в единицу времени , очевидно, равно

. (8)

Из (8) следует, что угловая скорость равна , умноженным на число оборотов в единицу времени:

. (9)

Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени можно сохранить и для неравномерного вращения. При этом, под мгновенным значением следует понимать то время, за которое тело совершило бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данным мгновенным значением угловой скорости, а под мгновенным значением необходимо понимать то число оборотов, которое совершало бы тело за единицу времени при аналогичных условиях.

1.3. Угловое ускорение

Вектор может изменяться как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по модулю), так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае изменяется по направлению). Пусть за время вектор получает приращение . Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется величиной

, (10)

которую называют угловым ускорением. Если тело вращается вокруг неподвижной оси ускоренно, т.е. , то вектор направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор . При замедленном вращении и вектор направлен в сторону, противоположную вектору .

3.4. Связь между модулями линейной и угловой скоростей

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Найдем выражение, связывающее модули линейной и угловой скоростей. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис. 12).

Точка, находящаяся на расстоянии от оси, проходит при этом путь . Линейная скорость точки равна

. (11)

Таким образом,

. (12)

Формула (12) связывает модули линейной и угловой скоростей.

3.5. Связь между векторами линейной и угловой скоростей

Найдем теперь выражение, связывающее векторы и . Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиусом-вектором , проведенного из лежащего на оси вращения начала координат (рис. 5).

Из рис. 5 видно, что векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный . Следовательно

. (13)

Найдем ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

(14)

или

. (15)

Первый член в правой части формулы (15) представляет собой тангенциальное (касательное) ускорение точки:

, (16)

модуль которого равен

. (17)

Второй член нормальное ускорение точки:

. (17)

Подставив сюда значение из (), получим

. (19)

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния от точки до оси вращения.

Движение твердого тела, при котором только одна его точка остается все время неподвижной, называется движением (вращением) твердого тела вокруг неподвижной точки.

В этом случае все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер, центры которых находятся в точке . Поэтому такое движение твердого тела часто называют сферическим движением тела.

В этом случае

. (20)

(21)

или

. (22)

Вектор

(23)

называется вращательным ускорением точки тела, а вектор

(24)

осестремительным ускорением точки, так как эта составляющая вектора направлена перпендикулярно мгновенной оси вращения от точки к этой оси.

2. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки называется векторное произведение радиуса-вектора материальной точки, проведенного из неподвижной точки, на импульс этой материальной точки (рис. 4.6):

Моментом импульса системы относительно точки называется векторная сумма моментов импульсов материальных точек, входящих в систему:

Проекция вектора на некоторую ось называется моментом импульса материальной точки относительно оси:

Аналогично моментом импульса системы относительно оси называется величина

Модуль вектора момента импульса материальной точки равен

где – угол между и ; – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, вдоль которой направлен импульс материальной точки. Величина называется плечом импульса относительно точки (рис. 4.).

Рис. 4.

Моментом силы материальной точки относительно неподвижной точки называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из неподвижной точки в точку, приложения силы , на саму эту силу:

Момент силы относительно точки характеризует способность силы вращать тело вокруг этой точки.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости векторов и по правилу правого винта (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Модуль момента силы

где – угол между и ; – длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы . Величина называется плечом силы .

Проекция вектора на некоторую ось , проходящую через точку , относительно которой определен псевдовектор , называется моментом силы относительно оси:

Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси.

Уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси , имеет вид

Момент импульса тела связан с угловой скоростью соотношением

Величина , равная сумме произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси, называется моментом инерции системы относительно оси:

Таким образом, момент импульса тела относительно оси равен

Эта формула справедлива для любого тела. В случае симметричного тела (вращающегося вокруг оси симметрии) можно получить следующее соотношение

Здесь векторы и имеют одинаковое направление.

Уравнение () можно переписать в форме

Если тело в процессе вращения не деформируется, то его момент инерции не изменяется и его можно вынести в () из-под знака производной:

или

где – проекция вектора углового ускорения на ось вращения .

Из () видно, что угловое ускорение обратно пропорционально моменту инерции . Следовательно, момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела в его вращении вокруг этой оси.

Момент инерции тела зависит от материала, формы и размеров тела, а также от расположения тела относительно оси. Подсчет момента инерции относительно оси облегчается, если воспользоваться теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции тела относительно параллельной ей оси , проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями (рис. 4.):

Рис. 4.

3. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Таким образом, кинетическая энергия для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции на квадрат угловой скорости.

Пусть на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (см. рис. 4.). Согласно () эти силы совершат за время работу

4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Мы знаем уже две аддитивные сохраняющиеся величины: энергию и импульс. Теперь найдем третью такую величину. Для этого рассмотрим систему, из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы (рис. 1).

Уравнения движения частиц имеют вид

, . ()

Умножив векторно слева первое уравнение на радиус-вектор первой частицы , а второе на радиус-вектор второй частицы , после несложных преобразований получим

. ()

Для отдельно взятой частицы псевдовектор

. ()

называется моментом импульса частицы относительно точки .

Моментом импульса системы относительно точки называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему:

. ()

Аналогично псевдовектор

. ()

называется моментом силы частицы относительно точки . Момент силы характеризует способность силы вращать частицу вокруг точки, относительно которой он берется.

Моментом силы системы относительно точки называется векторная сумма моментов сил частиц, входящих в систему:

. ()

Соотношение (4.18) с учетом (4.20) и (4.22) можно переписать в виде

. ()

Если система замкнута, правая часть уравнения (4.23) равна нулю и, следовательно,

. ()

Мы пришли к аддитивной сохраняющейся величине, которую называют моментом импульса относительно точки (см. рис. 4.3). Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса, который формулируется следующим образом: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Таблица 1. Сопоставление формул механики точки

Поступательное движение

Вращательное движение

линейная скорость

линейное ускорение

масса

импульс

сила

закон динамики

закон ускорения

кинетическая энергия

элементарная работа

угловая скорость

угловое ускорение

момент инерции

момент импульса

момент силы

закон динамики

закон ускорения

кинетическая энергия

элементарная работа

5. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ

Плоское движение тела может быть представлено как наложение двух движений – поступательного с некоторой скоростью и вращения вокруг соответствующей оси с угловой скоростью . Согласно () скорость й элементарной массы тела равна

Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Гироскопы

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии.

Рисунок 2

Рисунок 1

Рисунок 3

Рисунок 4

Рисунок 5

Рисунок 1

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА